Endgültige Fassung

ENDGÜLTIGE FASSUNG

Persaepe non sine admiratione cogitavi cum pleraeque scientiae tanto studio colantur tantoque successu, cur una quae caeteras omnes potestate continet, ars inventoria prope negligatur. Cujus rei causam denique hanc deprehendisse mihi videor, quod plerique casui potius aut sagacitati cuidam naturali usu excultae quam regulis inventiones suas debent, ac proinde generalem inveniendi artem esse vix suspicantur. Quem certe errorem genus humanum magnis detrimentis luit: nam si experimenta demas circa abditas corporum vires, ut magnetis, pyriique pulveris, quae temporis opus, ac fati munus fuere, neque in hominum ut nunc sunt, suspicionem cadere poterant, caetera vel observationibus passim obviis, vel ratiocinationibus continentur quae duo statim ordine fuissent in potestate, prout homines in arte inventoria profecissent.

Itaque non dubito si procederemus quemadmodum oportet et quemadmodum possemus artis certae ductu, plura viginti annorum spatio inveniri posse etiam in materia maxime conjecturali, et summe necessaria Darüber desiderata qualis ipsa Medica est, quam ut nunc agimus aliquot annorum millenarii dabunt: et quoties cogito quantum nunc experimentorum exquisitorum apparatum habeamus, et quam parum inde ducatur ad usum vitae, toties nostram ignaviam negligentiamque incuso, et studia nostra illorum stultitiae comparo, qui immensa collectanea habent, indicem nullum. Quod si ita pergimus, accumulando experimenta tantum et fabricando hypotheses auribus secundas, sed nuspiam demonstratas, tandem ipsa multitudine laborabimus, aut ad summum abnepotibus nostris praestabimus aliquid, nobis nihil. Sed et illud dolendum est, passim exquisitis experimentis, concludi ea tantum quae per se patent, aut ex parabilissimis observationibus poterant certa demonstratione duci, quod perinde mihi videtur ac si nobis Archimedes multa reliquisset experimenta circa Parabolae et Conoidum centra gravitatis quorum tamen possunt dari demonstrationes. Ita perit nobis tempus pretiosissimum rerum, et, perpetuo materiam colligentes, nunquam structuram ipsam ordimur. Quare summorum quorundam Virorum sortem deploro, qui monstravere quid potuissent si in nostra tempora incidissent; dum interea discipuli eorum plerique enarrationibus ac disceptationum inanibus contenti, nihil memorabile adjiciunt Magistrorum inventis. Quod non tantum de Platonis et Aristotelis sed et Galilaei et Cartesii sectatoribus dictum volo; qui quales vulgo sunt mihi parum a Peripateticis differre videntur et juvenum animos materiae cujusdam subtilis ac corpusculorum usu inani et vago, et saepe ad blaterandum potius quam inveniendum apto, non minus corrumpunt; quam Scholastici qualitatibus ac formis. Bacono sane plurimum debemus, quod homines ad experimenta incitavit, sed nisi ad Empiricen ars analytica vera accedat, cujus vestigia in paucis agnosco, vix Regiis sumtibus et seculorum tractu consequemur, quae in unius privati sed artis inventoriae utcunque periti potestate erant.

Hujus itaque Artis magnitudinem et praestantiam cum aliquando vidissem per nebulam, pulchritudine ejus ita accensus sum, ut diu prope obliviscerer caeterorum vitae officiorum. Praesertim cum crederem hanc ut ita dicam Visionem esse beneficium coeli, eamque paucis apparuisse mortalibus, et si quibus apparuit, hos eam, quantum constat nobis, non satis secutos, negligentia quadam rursus ex oculis amisisse. Mihi vero certum fuit haerere vestigiis ejus, aliis omnibus missis. Cum persuasus essem tum maxime, et vocanti Deo me obedire, et de genere humano bene mereri posse.

Elementa autem tantae Artis neque tradere nunc satis possum, nec vellem si possem; Demonstrationem tamen habeo successus, et quod perinde est, certam viam atque ita designatam video, ut labore complanandi tantum, et si temporis compendium quaerimus conspiratione paucorum, sit opus.

Der in Kleindruck folgende Text wurde von Leibniz verworfen und durch den nachfolgenden ersetzt:

Duobus maxime modis homines inventores fieri deprehendo, per combinationem, et per analysin; et Combinatoria inventa voco, cum quis data re invenit aliquem ejus usum, ut qui virtute magnetis cognita pyxidem postea commentus est, Analytica autem, cum dato fine media eruuntur. Combinatoria autem ingenia et in opificibus, et in Mercatoribus, et omnino in illis agnosco qui sunt foecundi in propositiones consiliaque. In his enim cum magna sit agitatio imaginum et simul habitus quidam ad usum aliquem omnia referendi, hinc plurimas exiguo tempore ideas inter se conjungunt, quod alii non solent, et si qua se offert conjunctio felix, velut globulis e sacco agitato exeuntibus, hanc statim animadvertunt, eique injiciunt manus. Ita si quis audiat pendulum certae longitudinis unius scrupuli secundi horarii spatio absolvere oscillationem, atque inde ei in mentem veniat, posse hoc modo mensuras rerum ad posteros transmitti; item si quis consideret situlam in aqua levem sentiri, et prout magis ac magis extrahitur, graviorem percipi atque inde colligat novum librae exactissimae genus excogitari posse, liquidis pariter ac solidis aptae quam possis autometram dicere, quod in ea corpora suum ipsa inveniant aequipondium, nullis licet pondusculis ultro citroque adjectis: is combinatione utitur non admodum difficili, nam ubi primum admonueris, statim eam percipit unusquisque: sed hoc interest homo homini quod non veniunt talia cuivis in mentem. Talis erat inventio typographiae et (invento jam pulvere pyrio) inventio bombardae; et (deprehensa magnetis versoria vi) inventio pyxidis; atque huc pertinet historiola de ovo Columbi. Atque hos quidem homines passim ingeniosos vocamus. Sed sciendum est Combinatoria ingenia, si Analysi careant, mirifice subinde falli; saepe enim temere ratiocinantur, aut jungunt quae incompatibilia sunt, quod nisi per accuratam analysin judicari aliquando non potest. Ut si quis audiat in cochlea Archimedea ascensum corporum ab ipsa eorum gravitate juvari (nam certe corpus quod grave non esset per eam non attolleretur) atque inde jam credat ope ejus haberi posse motum perpetuum, quasi hoc loco gravitas corpora sursum niti faciat, is male ratiocinatur. Et si cochleam aqua impleat, velitque hanc aquam effusam ex summo et in rotam aliquam incidentem, impetu suo ipsam cochleam plenam circumagere, is incompatibilia jungit. Ita si quis intelligat aquam in tubos subtiles ultra aequilibrium ascendere ad pollicis usque altitudinem, atque inde motum perpetuum confectum putet, in tubulo, qui pollice minor sit, egregie falletur.

Analytica facultas in illis est qui rebus immorantur, easque accurate expendunt, ac resolvunt. Sive hoc natura aut consuetudine quae altera natura habetur, aut etiam methodo sint consecuti. Est autem in his qui natura analytici sunt tardior motus, sed fortior ac penetrans magis, quemadmodum videmus morienti jam in solo progressui pilae majore tormento excussae pedem sine periculo opponi non posse et plus in murum posse unum ejus ictum, quam pluviam globulorum ex sclopetis manuariis. Sed si quis ingenio natura combinatorio praeditus methodum analyticam adjunxerit utriusque commodis sine utriusque incommodis frui potest. Sed et Combinatoria quaedam Methodus est, quam ingenia magis ad profundam analysin, quam promtam agitationem imaginum natura proclivia, sibi familiarem reddere possunt.

Analytica inventa sunt, cum quis dato effectu invenit causam, quemadmodum combinatoria sunt, cum quis

Duobus maxime modis homines inventores fieri deprehendo, per Synthesin scilicet sive Combinationem et per analysin; utrumque autem vel facultati natura usuve comparatae, vel methodo debere. Combinatio est pro arbitrio cogitationibus nostris alias jungere cogitationes ut prodeat aliquid novum, aliis rebus forinsecus assumtis, in quas ex sola rei oblatae consideratione incidere non poteramus. Ita qui vim magnetis versoriam considerabat, non poterat ex hoc solo incidere in considerationem navigationis; sed in hoc tantum, magnetem prodesse illis qui sunt in loco ubi plaga mundi ignorari potest. Tales autem esse qui sunt in mari, aut fodinis, aut desertis, forinsecus erat assumendum, id est instituenda erat Combinatio. Cum vero pauci sint ingenio combinatorio praediti, et plerique quae non intelligunt temere contemnant, credibile est multos hanc pyxidem velut rem puerilem initio irrisisse.

Analysis est cum proposita aliqua re, ei immoramur, ejusque conceptum resolvimus in alios conceptus ex quibus componitur, ac rei requisita atque attributa ex ipsis requisitis inter se junctis nata eruimus, aut etiam partem conceptus retinemus, partem abjicimus, quae omnia fieri possunt, sine ullo forinsecus assumto. Ut si animadvertam situlam quam puteo extraho, sub aqua levem satis esse, ubi vero emersit fieri graviorem, eoque magis, quo pars quae emersit, major est, hinc per solam analysin ducere possum genus librae novae exactissimae; quam autometram appellare soleo, quia ipsa suum aequipondium quaerit, nec pondusculis ultro citrove adjectis indiget; nam pro situla substituo pondus quodvis per partes emergens, ac proinde ex situlae conceptu retineo tantum quod ad rem facit reliquo abjecto: eligo autem pondus figura simplicissimum, quale est cylindricum, inutili situlae parte mente resecta: Sed et ex putei conceptu retineo tantum conceptum vasis liquorem continentis; denique ex conceptu mei ipsius, qui situlam extraho; retineo conceptum corporis vim aliquam exercentis, quae scilicet magnitudine partis corporis alterius ex aqua in vase contenta extracti, mensuratur. Habemus ergo instrumentum quod vim sive potentiam metitur, id est libram.

Der in Kleindruck folgende Text wurde von Leibniz verworfen und durch den nachfolgenden ersetzt:

Ingenia porro natura Combinatoria sunt, in quibus celer est imaginum agitatio, et simul sensus interior ita delicatus, ut cum agitato ut ita dicam sacco, multae intra exiguum tempus exeant conjunctiones, cum tamen una prodit apta his quae animo versamus, statim eam Mens percipiat, et ne dilabatur injiciat manus. At Ingenia natura analytica uni rei diutius immorantur, et solida magis fortiaque quam promta sunt, quemadmodum videmus pilae majore tormento excussae tardae licet, et morientis jam in solo progressus eam vim esse, etiam cum jam quietura est, ut pes ei sine periculo opponi non possit. Usus autem facultatem Combinatoriam tribuit, imaginum exiguarum multitudine, quam experimenta cogitationesque obtulere; sed si paucae, at clarae magnaeque admodum imagines animum occupent aptiores analysi reddemur.

Cum vero ad Analysin tantum voluntate et animi attentione opus sit, quae semper in potestate est, consequens est consultum esse, ut usu combinatoriam potius, methodo analyticam facultatem quaeramus. Analysin autem esse in potestate ex eo patet quod semper in potestate est, imaginem quam habemus examinare per partes; at invenire forinsecus aliam imaginem aptam huic praesenti, non est cujusvis. Et qui combinatoria facultate pollent similes mihi videntur Drebelio illi quem ajunt inter deambulandum per urbem reperisse lapidis plani fragmentum qualibus platearum pars altior nitidiorque sternitur, quod sustulerit, et postridie rursus deambulantem hiatum observasse, qui lapide illo ita exacte claudebatur, ut alter alteri debitus videretur, ac neque emineret aliquid neque deesset. Utraque tamen inveniendi ratio Methodum suam habet, ut mox dicam.

Methodus inveniendi in universum indiget aliquo cogitandi filo, id est regula secundum quam a

Porro et Ingenia ad inveniendum apta vel Combinatoria vel magis Analytica sunt. Combinatoria sunt quibus oblata quadam re statim alia res licet longe [dissita] occurrit, quae cum hac utiliter componi possit. Hi ergo datae rei facile inveniunt usum in vita, ac datae regulae exemplum vel instantiam, narrataeque historiolae mox similem aliam in promtu habent. Et qui hac facultate pollent similes mihi videntur Drebelio illi, quem ajunt inter deambulandum per urbem, reperisse lapidis plani fragmentum, qualibus platearum pars altior nitidiorque sternitur; quod sustulerit; et postridie inter deambulandum rursus hiatum observasse, qui lapide illo exacte claudebatur, ita ut alter alteri debitus videretur, ac neque emineret quicquam, neque deesset.

Analytica ingenia sunt, quae rem praesentem diligenter examinant, omnesque ejus partes rimantur, sed alia invenire quae huc quadrent, facile non possunt, nam isti ita immersi sunt praesentibus imaginibus, ut animum ad longinqua prospicienda attollere non possint. Ex quibus sequitur sua natura Combinatorium Ingenium analytico praestare, quoniam unusquisque Analyticus esse potest si velit, id est si patientiam examinandi adhibeat. Combinare vero remota promte, non est cujusvis.

Methodus inveniendi consistit in quodam cogitandi filo id est regula transeundi de cogitatione in cogitationem. Cum enim Animus noster utatur imaginibus rerum sensibilium, consequens est, si imagines velut catena quadam implicentur, cogitantem exerrare, dummodo attendat, non posse. Quemadmodum ergo ad circulum accurate describendum Organo est opus, quo regatur manus idque eo magis quo minus exercitati sumus, ita ad recte cogitandum Instrumentis quibusdam sensibilibus indigemus, quae ad duo summa capita revoco, Characteres, et Tabulas, quorum illis ad Analysin egemus, his ad Combinationem. Sunt autem Tabulae nihil aliud quam Inventaria rerum per characterum systemata. Characterem voco quicquid rem aliam cogitanti repraesentat. Repraesentare autem dicitur quod ita respondet, ut ex uno aliud cognosci possit, etsi similia non sint, dummodo certa quadam regula sive relatione omnia quae fiunt in uno referantur ad quaedam respondentia illis in alio. Nam ad repraesentandum non esse opus similitudine, patet ex Ellipsi quae circuli projectio est in tabella, eumque repraesentat spectatori distincte satis, et per partes, cum tamen similis ei nec sit nec esse debeat. Et quae potest intelligi similitudo inter Characteres Arithmeticos, et numeros sive unitatum repetitiones? Nihilominus Characteres quibus utimur, numeros ita exacte repraesentant, ut proprietates numerorum inveniantur per characteres.

Equidem si res ipsas possemus semper habere ante oculos, ut feras in vivariis, aut sceleta in theatris anatomicis, characteribus eas repraesentantibus minus indigeremus. Et optandum est strui Theatrum naturae atque artis, in quo Res quoad fieri potest conserventur, ubi non potest, mortuorum exuviae, deperditorum varia simulacra ad vivum; deinde multiplicium instrumentorum atque machinarum Moduli habeantur. His enim ante oculos positis saepe nullo negotio consequemur, quae vix alias multa meditatione. Ita memini amicum, qui formam munimenti a se propositam multis diversis modis exhibere volebat optice, pertaesum nimiae linearum multitudinis quas ducere opus erat, brevissimam hanc deprehendisse viam, si munimentum ipsum elaboraret in ligno, quo facto mox nullo negotio varios ejus prospectus in plano delineavit. A modulis proximae sunt figurae sive in charta sive in instrumentis delineatae quibus res exhibentur quales oculis objiciuntur. Caeterum et Modulos et Figuras inter characteres referre possis; nam manifestum est nec sphaeram torno elaborari [posse], nec circulum circino duci, qui congruat illi circulo illique sphaerae, cujus essentiam definitione cognoscimus; itaque characterum tantum locum implent.

Est autem in rebus ipsis, in Modulis, in figuris haec imperfectio, ut tot modis quot menti ratiocinaturae opus est, tractari, inque omnes partes versari satis commode non possint. Saepe enim decem amplius sive individuis rerum, sive exemplaribus modulorum esset opus, quae nec sine sumtu haberi, nec saepe tractari ac transfigurari possunt. Itaque satis mirari non potui Josephum Scaligerum potuisse credere ab Archimede quadraturam Parabolae inventam experimentis, quam non dubito eum uno ictu mentis pervidisse, vix inutili aliquot septimanarum taedio per modulos habendam.

Figurae autem quae in charta aut pulvere delineantur etsi commodiores sint, tamen nec omnia simul exhibere possunt, itaque multarum figurarum conjunctione opus est, et quaedam omnino exhibere non possunt; quemadmodum cum ad suprasolida ascendimus. Licet itaque facile ex figura sequenti perspiciamus  .  o  o  o 0        0  5  .  .  o  o  .  .  .  o        6  5  .  .  .  . duos numeros triangulares sibi proximos (ut 10 et 6), componere numerum quadratum (16) a (4) latere trianguli majoris; non ideo tamen simili methodo facile deprehendemus, summam numerorum cuborum inde ab unitate esse quadratum numeri triangularis ejusdem lateris.   Cubi        7   64  25 Summae Cuborum        6  00  25 quorum Radices quadraticae         6   10   15

Itaque manifestum est ad juvandam Mentem opus esse characteribus, qui nullo negotio transponi possint, quemadmodum vocabula, et notae numerales, et symbola quibus utuntur Algebristae, et quidem si vocabula excogitata essent apta satis et constantia, mirifice juvaremur in ratiocinando, sed quoniam nulla lingua vel casu vel arte facta satisfacit, et vero artificium linguam excogitandi qualem oportet, nulli scriptorum satis notum animadverti, contenti nunc simus oportet, Characteribus qualibus hactenus Mathematici utuntur, id est lineis, numeris, et symbolis sive lineas sive numeros generaliter exhibentibus, et denique linguae qua utimur verbis receptis. Porro in quibus numerorum et figurarum linearium et verborum usus aptior ratiocinationi reddi posset, velut res a consuetudine nimis remotas, attingere hujus loci non est, itaque Characteristicen tantum Matheseos Universalis nunc quidem perfectiorem reddere satis habebo.

Porro Inventa sive per casum, sive per ingenii sagacitatem, sive per methodum, si in systemata redigantur et haec systemata ita ordinentur atque contrahantur, ut omnia sint in conspectu facileque inter se conferri possint, Tabulas habebimus; et quoniam ob relationum variarum multitudinem omnes rerum cognationes Tabulis exhiberi non possunt Indicibus quibusdam utimur quae in se Tabulas continent potestate, haec vero omnia Inventariorum nomine comprehendere licet. Itaque Inventaria sunt Methodi Combinatoriae basis, et recte memini Virum in republica administranda et ordinanda Principum re oeconomica in paucis excellentem crebro dicere, in plerisque non artibus tantum scientiisque sed et vitae officiis inventaria nobis deesse. Ita si quis (exempli causa) in promtu habeat tres tabulas, unam numerorum triangularium, alteram quadra- torum, tertiam summarum a cubis, is simplici combinatione theorema supra dictum statim animadvertet; quanquam is modus inveniendi non sit analyticus. Ita qui Indicem sibi conficeret ex Euclide, Apollonio et Pappo aliisque, in quibus statim invenire posset exempli causa quaenam propositiones loquantur de circuli tangentibus, quae de inscriptis, quae de rectangulis in eodem aliaque id genus, is multa saepe compendia elegantia simplici combinatione inveniret. Itaque subinde miratus sum hujusmodi indices certe mirifice profuturos deesse Geometris, cum aliae disciplinae indicibus abundent. Et vero nullus alius est usus, praeclarorum canonum ab aliis inventorum, quam ut posteris inquirendi laborem minuant; minimeque ego cum nonnullis libros theorematum inutiles puto, quasi omnia per analysin nunc receptam inveniri possint, quod quam sit falsum in progressu patebit; quanquam etsi id fieri posset jam ab aliis inventa ac demonstrata frustra denuo quaereremus, nisi fortasse aliquando exercendi ingenii causa. Equidem Originem inventorum semper vestigandam arbitror, efficiendumque ut omnia sint in nostra potestate, sed cum eo pervenerimus, prudentiae est propositiones, si adsint, adhibere, quae jam in promtu habentur, neque contemnere aliorum inventa, quoniam ex multis calculis pauci tantum in elegantia theoremata desinunt, quae antecessorum studio in aerarium publicum relata perennare, interest posteritatis: Tam multa enim invenienda supersunt, ut homines aliorum hominum ope et laboribus non satis uti possint. Ne quis autem putet, haec esse infra Analyseos receptae dignitatem, sciendum est, multa quae creduntur fieri per analysin, ideo tantum quia per symbola transiguntur, ea revera fieri nonnisi per Combinationem, et Synthetica potius quam Analytica esse; usus enim symbolorum analysin non facit. Exempli causa, si problema aliquod in quo incognitae sunt x et y, at a et b sunt datae, redactum sit ad duas aequationes x² + y² aequ. a², et x ─ y aequ. b, possumus construere problema per intersectionem circuli cujus radius a, et lineae rectae indefinitae quidem attamen determinatae per datam b. Idque nobis non quidem apparet ex sola consideratione problematis, quod esset merae analyseos, sed et (quod syntheticum, sive combinatorium est) ex cognitione extrinsecus assumta theorematum ab aliis demonstratorum, sive ex locorum planorum catalogo aut Tabula, illic enim discimus aequationes in quibus indeterminatae non ducuntur in se invicem, quae non assurgunt ultra x et y esse ad rectam, quae vero non assurgunt ultra x² et y², et in quibus ambo haec quadrata sunt eodem modo affecta, eas esse ad circulum, si modo angulus ordinatarum sit ad axem rectus.

Ex his itaque intelligi posse arbitror, quid sint denique Compositio ac Resolutio Mathematica, quas video paucis recte cognitas. Nam nec lineae synthesin faciunt, neque ut dixi symbola analysin; possum enim symbolis demonstrare aliquid tecta inventionis origine quod semper syntheticum est, et possum lineis veterum Geometrarum more adhibitis, analyticum agere. Sed etsi appareat inventae solutionis origo, potest ea tamen esse synthetica seu combinatoria, id est in quam non incidissem sine notitiis forinsecus assumtis; ideo neque illa vera est nota analyseos, ut originem inventionis exhibeat. Multo magis errant qui analysin in eo constituunt, ut aliquid quaesitum habeatur pro invento, nam analysis absolvi potest, ne distinguendo quidem utrum inventum aut datum sit. Et maxime illi labuntur, qui putant deesse aliquid analysi ad certitudinem, nescientes scilicet cum a Geometris adhibentur proprietates reciprocae nihil referre prorsum an retrorsum eas. Causa autem cur demonstrationes analyticae non placeant, haec est, quod homines malunt res videre perfectas et perpolitas quam rudes et poliendas, nam illud est gratius, etsi hoc sit ad discendum utilius: itaque analyticus apparatum suum exhibens quo ad inventa pervenit, similis est architecto, qui perfectis aedibus relinqueret machinas quibus usus est ad tollendas substructiones; architectis caeteris forte gratam rem facturus, si quid singulare habet, sed minime caeteris mortalibus. Ea enim hominum imbecillitas est, ut quaedam malint admirari quam scire, et faveant illis potius a quibus circulatorio more decipiuntur, quam qui nudam etiam in rebus maximis veritatem exhibere pollicentur. Quare si ex paucis principiis ita combinatis, ut ratio combinationis initio appareat nulla, videant inexpectatam effulgere demonstrationem, mire delectantur, analysi autem sincera et fideli minime moventur.

Intellectis jam inveniendi modis, per Analysin scilicet vel Combinationem, res postulat ut Instrumenta inveniendi exponamus, quae Characteres esse comperimus, atque Inventaria, sed quoniam Inventaria ipsa systemata quaedam formularum ex characteribus confectarum apte ordinata esse constat; sequitur totam Inveniendi artem ab Arte Characteristica vera pendere. Professi autem sumus hoc loco Characteres Matheseos Universalis receptos, quos symbola vocant, a nobis tantum tractandos, atque ita perficiendos esse, ut appareat quantum hactenus desit Analysi receptae, et quanta res sit Ars characteristica generalis, cujus hoc loco tantum specimina damus. Sed eadem opera indicabimus artificia, usque adeo ampla ut non tantum quae hactenus in re mathematica inventa habentur inde manare constet, sed et aditus pateat ad alia multo majora, quae in vitae humanae usus verti possunt, nisi malumus ipsi nostrae felicitati deesse.

Cogor autem admonere aliquid de discrimine Analyseos nostrae ac passim receptae: quamquam enim excellentes Geometrae id facile animadvertant, nam sueti tractare problemata minus obvia, jactatarum vulgo methodorum imperfectionem, quotidie sentiunt et quae his desunt cum opus est ingenio supplent. Vulgus tamen analyticorum, ut quidem ipsi se vocant, et inter hos etiam scientiae Magistri qui sibi haud paulo quam sunt doctiores videntur; ubi praecepta calculi protrita didicere et successum eorum in minutis quibusdam [Problematis] experti sunt, jam subito inflati vento inani, quidvis a se praestari posse putant, neque interea quicquam unquam novum alicujus momenti aggrediuntur, alioqui haererent statim, et cum quidvis per aequationes efficere velint, sentirent profecto in magnis problematibus hoc ipsum arduum esse solere, ac saepe impossibile, invenire aequationem illam novissimam certi gradus quae incognitam quaesitam relatione ad datas comprehendat.

Ajo itaque Methodos hactenus traditas pertinere sua natura tantum ad Problemata Rectilinea, cum quaeritur linea recta per datas lineas rectas earumque potestates, varia rationum compositione determinata, inde enim oriuntur aequationes. Ut si quaeratur recta (y), quae sit ad rectam datam (a) in duplicata ratione alterius rectae datae (b) ad ipsam quaesitam (y) tertia data (c) auctam (seu ad y + c), erit scilicet y ad a, ut quadratum de b ad quadratum de y + c, seu y ad a ut b² ad y² + 2cy + c², et quia factum sub extremis aequatur facto sub mediis, erit: y³ + 2cy² + c²y aequal. ab². Sed quoties in problematibus datum quaesitumve est longitudo curvae, aut area spatii curvilinei, vel superficiei gibbae, aut solidi contentum, et quae ex his pendent, ut centra gravitatis et oscillationis aliaque problemata mechanica innumera, tunc recepta hactenus methodus non procedit et ne ad aequationes quidem perveniri potest, quales vulgo quaerunt. Quin imo problemata ejusmodi neque plana sunt, neque solida, neque ullius certi gradus, ideoque a me transcendentia appellantur. Multae etiam aliae conditiones ita praescribi possunt, ut vulgaris calculi ratio sufficere nequeat ad valorem incognitae quantitatis inveniendum. Ut cum figuras quaerimus ex data tangentium proprietate, aut cum incognita ingreditur ipsum exponentem potestatum, ut si sit aequatio: 2^z + z^z + 1 aequ. 4z² quaeraturque ipsa z aut cum id quod quaeritur est quidam modus calculandi. Ut si quaeras quantitatem quae eodem modo producatur ex his duabus a, b quo ex his duabus sequentibus $\sqrt{ab}$ et $\frac{2ab}{a+<wt>ab<wte>}$ tunc enim non quaeritur incognita quaedam quantitas determinata, sed potius formula quaedam quae id praestet, quales forte multae esse queant. Quod si tamen formulam hujusmodi possemus reperire, haberetur quadratura Circuli. Sed si essent duae priores a, b, duae posteriores $\frac{1}{2}\sqrt{ab}$ et $\frac{ab}{a+<wt>ab<wte>}$ haberi posset formula eodem modo producta ex duabus prioribus, quo ex duabus posterioribus. Sed id non est hujus loci. Tantum ut intelligatur quaestio, alio utar exemplo faciliori, sint duae priores a, b, duae posteriores: \frac{2a}{a + b}, \frac{ab + b^#o:2}{2}, formula quaesita esset ab, quae eodem modo producitur ex ipsis a et b quo ex ipsis \frac{2a}{a + b}, \frac{ab + b^#o:2}{2} nimirum unum in alterum ducendo, nempe a in b, vel $\frac{2a}{a+b}$ in \frac{ab + b^#o:2}{2}, sed in difficilioribus, ubi ignoratur quae sit quaesita formula, ignoratur et calculandi modus. Idem dicendum est de Problematibus Arithmeticis qualia proposuit Diophantus, nam in illis invenire solutiones aut quando id non licet demonstrare impossibilitatem nondum potuit Analysis cognita. Est tamen res illa tota jam nunc in potestate. Denique ausim dicere vix ullum occurrere problema Mathematicum difficilius in Mechanica, caeterisque artibus vitae utilibus, cui recepta analysis sufficiat aut quod nostra non habeat in potestate.