Modus Examinandi Consequentias per Numeros

  April 1679

April. 1679. N^o 5. Modus Examinandi Consequentias per Numeros. Am Rande: Ex numeris unius termini invenire numeros alterius termini   in propositione pro varia qualitate et quantitate. In subjecto  numerus  cum nota  + sit s, cum signo  ─ sit  s in praedicato  num.  [cum]  + sit p  ─   p. In propositione Univ. affirm. sit aequatio:  s aequ. mp  s aequ. mp  Nota m et m, item s et s, et p et p sunt primi inter se. In praedicato  sit  [p]  aequ. $\frac{s}{m}$ et   p  aequ. $\frac{s}{m}.$ In partic. neg. erit vel ls aequ. mp, ponendo l et m primos inter se, vel Generaliter ita: ls aequ. mp, ls aequ. mp [Die Variablen der Gleichungen dieser Zeile wurden von Leibniz nachträglich umbenannt:]  bs aequ. cp, bs aequ. gp [die Änderung hat er aber nicht weitergeführt.] =Semper  s et s  204  graeci et latini  p et p  primi inter se  m et m  aut 1.  l et l =[Die vier Variablenpaare hat Leibniz nachträglich wieder durchgestrichen, ohne den rechts neben der geschweiften Klammer stehenden Text auch zu streichen.] In prop. Un. Aff. l aequ. 1 et l ^&.SC 1. In prop. part. neg. vel l vel l vel ambo ^&.zc 1. In univ.  neg.  s et p  202  non primi inter se.  vel  s et p In partic. affirm. sunt omnes primi inter se. Pro  s scribatur  st  s  su  p  pm  p  pm.  +lst  aequ. +mpr  ─lsu  aequ. ─mpr  +ls  aequ. +mp  ─ls  aequ. ─mp (1) Graeci et latini respondentes semper primi inter se. (2) In univ. aff. l aequ. 1 et l aequ. 1. (3) In partic. neg. l vel l major 1. (4) In univ. neg. s et p vel s et p non primi inter se. (5) In partic. neg. s [bricht ab]

Multae apud Logicos traduntur Regulae consequentiarum, et quo facilius retinerentur excogitati sunt Schematismi quidam quos vocant Pontem Asinorum, et adhibita sunt vocabula memorialia.

Sed haec omnia in scholis tantum celebrata, negliguntur in vita communi; tum multas alias ob causas, tum vero inprimis, quia scholae solent considerare simplices fere tantum syllogismos, seu ratiocinationes ex tribus propositionibus constantes: cum contra in usu loquendi et scribendi saepe una periodus contineat decem syllogismos simplices, si quis eam ad logici rigoris normam exigere velit. Unde solent homines imaginationis vi, et consuetudine ipsa formularum sermonis, et intelligentia materiae quam tractant, supplere defectum logicae.

Fatendum est tamen eos saepissime festinatione, et impatientia examinandi, et verisimilitudine decipi; praesertim in rebus quae oculis cerni ac manu tangi, et experimentis comprobari non possunt: quanquam et in his saepe sero sapiant cum suo damno. Difficile vero est huic malo mederi secundum artes hactenus cognitas: nam cum verbis utantur homines, manifestum est earum significationes parum esse constitutas, et varia phrasium et particularum incrustatione falsam ratiocinationem speciosissime adornari posse, ut vix appareat sedes erroris; et ordinem naturalem elegantia affectata, et aures mulcente saepe mirifice perturbari, quo fit ut plerumque homines jucunda oratione decipi quam arido quodam et aspero dicendi genere doceri malint.

Ego re multum perpensa remedium video unicum, si sive Lingua sive Scriptura nova constituatur, excogitatis signis aptis, quibus notiones animi accurate exprimantur. Vera hujus rei ratio nulli hactenus in mentem venit quod sciam, et longe aberrarunt a scopo, qui tale quiddam hactenus tentavere. Sed si aliquando eam exequi detur quemadmodum concepi animo, erunt effectus ejus admirandi et usus immensi.

Nimirum Am Rande gestr.: Si terminus aliquis est in duabus propositionibus, ejus numerus ita conflabitur: si notioni cuique sive vocabulo certus aliquis Characterismus secundum artis hujus leges assignetur, poterimus ex solis characterismis statim judicare an con- ­clusio aliqua sit vera, et an ex praemissis probata; id est an argumentum sit in materia vel forma bonum. Et hoc locum habiturum est etiamsi argumentatio sit prolixa et longe producta, multisque modis et phrasibus implicata et ordine perturbata, quae secundum Logicam communem resoluta multas paginas impletura esset; quod tamen frustra fieret, quia innumerabiles verborum ambiguitates accurate tollere non tantum logicae notitiam sed et maximam animi attentionem et summum judicium requirat. Adde quod saepe in judicando animus sit ordine ducendus, et ad multa attendendum; itaque filo quodam sensibili opus est in hoc labyrintho, quo dirigatur imaginatio, quod tunc cum res ipsae per se imaginationi subjecta non est, a characterismis peti debet; qua ratione quivis solo calculo de difficillimis nunc veritatibus judicabit; et imposterum non amplius digladiabuntur homines circa ea quae jam habent in potestate, sed ad nova invenienda convertentur.

Quoniam autem haec etiam ingeniosissimis videntur impossibilia, ideo gustum aliquem tantae rei dare operae pretium est; et quoniam nondum excogitatos habeo characterismos pro singulis terminis, et ob mirificum rerum connexum difficile est in paucis a reliqua rerum sylva avulsis specimen exhibere; ideo nunc quidem loco characterismorum in quibus aliquando Calculus vere universalis instituetur, adhibebo nunc numeros, et quoniam an argumentationes in materia bonae sint ex singulorum Terminorum characterismis dijudicandum erit, ideo nunc satis habebo ostendere in numeris an argumentationes quomodocunque transpositae, multiplicatae invicem, implexae sint in forma bonae, seu an vi formae concludant.

Saepe enim fit ut conclusio sit vera sed non sequatur ex praemissis vi formae; et tunc non licet eam imitari in aliis casibus, nisi ubi par ratio est, quod difficile est dijudicatu, cum veras formae regulas ignoramus. Exempli causa, proponatur hoc argumentum:

 Omnis sapiens est justus. Über justus: pius  *Quidam sapiens est fortunatus.  Ergo quidam fortunatus est justus.* Item hoc:

 *Omnis pius est beatus.  Quidam pius non est fortunatus.  Ergo quidam fortunatus non est beatus.* Conclusiones verae sunt, et excogitari possunt innumerae aliae ubi etiam est vera, sed tamen in posteriore argumentatione non sequitur ex praemissis neque consequentia sive forma est bona; possunt enim dari etiam innumera exempla ubi locum non habet, exempli causa:

 *Omne metallum est minerale.  Quoddam metallum non est aurum.  Ergo quoddam aurum non est* [minerale]. Am Rande:  Omne malleabile est metallum.  Omne argentum vivum est metallum.  Ergo quodd. arg. viv. non est malleabile.  Bocardo  Qu. A. V. non est mall.  O. A. V. est metall.  E. q. met. non est mall.  metall. + a ─ b  malleab. + c ─ d  arg. viv. + e ─ f \quad \frac{a}{c} ^&.SC l \quad \frac{b}{d} ^&.SC m  Ergo  a ^&.SC cl  b ^&.SC $md\frac{a}{e}aequ.n$ \quad \frac{b}{f} ^&.SC p  Ergo  a ^&.SC \frac{en}{cl} \quad b ^&.SC $\frac{fp}{dm}$ $\frac{c}{f}aequ.g.$ Ergo c aequ. fg.  a b  c d  e  f [bricht ab]

Et cum in tam brevi argumentatione et simplici et naturali habitu atque situ exhibita facile aliquis falli potuerit, quanto facilius falletur in composita implicata et perturbata. Itaque res magna profecto est numeros ita excogitare, ut simplicissimis quibusdam observationibus adhibitis, statim inde judicari possit, utrum argumentatio aliqua sit legitimae formae an secus.

Regula autem sive observatio pro argumentationibus sive simplicibus sive compositis, ordinatisque aut perturbatis, modo ex propositionibus categoricis constent, haec unica est, quam mutatis quibusdam etiam ad modales et hypotheticas et alias quascunque applicare licet, sed nunc quidem satis habebo in categoricis specimen dare.

Cuicunque praemissarum Termino (id est subjecto vel praedicato propositionis categoricae) assignetur numerus sed talis

I. ut numerus subjecti Propositionis universalis affirmativae possit ~~dividi exacte (nullo manente residuo) per numerum praedicati*, ex. g.* omnis homo est animal Über animal: immortalis pro homine scribamus 6, pro animali 2, quia 6 dividi exacte *potest per 2;

II. in propositione particulari negativa non possit dividi hoc modo,~~ ~~ex. g. quoddam animal non est homo, quia 2 non potest dividi per 6; Der folgende Text stellt eine nachträgliche Überarbeitung der Regeln I und II dar, die Leibniz am Rande vorgenommen hat. Dabei hat er den ursprünglichen Text der Regel I gestrichen, die Regel II jedoch versehentlich stehen lassen. Eine analoge Überarbeitung auch der Regeln III und IV hat er nicht mehr vorgenommen. Cuicunque praemissarum Termino (id est subjecto vel praedicato propositionis categoricae) assignetur numerus compositus hoc modo +15 ─12 vel +5 ─2. Sit jam (Reg. I). In Propositione universali affirmativa debet numerus subjecti cum signo + dividi posse per numerum praedicati cum signo +, et numerus subjecti cum signo minus debet dividi posse* *per numerum praedicati cum signo ─. Sed duo numeri diversorum signorum non debent habere divisorem communem, seu non debent dividi posse per eundem numerum. Ex. gr. sit propositio Omne malleabile est metallum. Verbi gratia pro malleabile scribamus +15 ─12, pro metallo +5 ─2, quia patet +15 dividi posse per +5 et ─12 per ─2. Sed nec +15 et ─2; nec item ─12 et +5 communem divisorem habere. (Regula II.) Si quid horum aliter se habet propositio est particularis negativa, v.g. quoddam metallum non est malleabile.  [+5 ─2]  [+15 ─12] Patet numerum +5 subjecti non posse dividi per numerum +15 praedicati, nec ─2 subjecti per [─12] praedicati. Quorum vel unum suffecisset ad pronuntiandum hanc propositionem esse veram. V.g. quoddam argentum vivum non est  malleabile.  +[1]5 ─[1]2

~~*III. ~~in propositione universali negativa vel pro praedicato vel pro subjecto vel pro utroque duo scribantur numeri, unus cum signo +, seu plus; alter cum signo ─ seu minus, hoc uno observato ut numerus aliquis* ~~*in uno termino per signum + affectus cum numero aliquo in altero termino per signum* minus affecto communem habeat divisorem, exempli~~ ~~gratia: Nullus homo est lapis vel nullus lapis est homo. Numerus pro homine sit +6, pro lapide, +15 ─8, quia +6 et ─8 communem habent divisorem seu per eundem numerum dividi possunt, nempe 2.

IV. ~~Quando propositio est particularis Affirmativa tunc id quod de propositione Universali negativa diximus non debet locum habere.** Exempli gratia quoddam animal est homo, sunt numeri 2 et 6. Patet cum neutri sit *numerus cum nota: ─ etiam quod diximus non habere locum. Et si esset numerus cum nota: ─ tamen potest id fieri ut propositio particularis affirmativa sit vera. Exempli causa quidam lapis est marmor, sit numerus lapidis +15 ─8, marmoris, [+]13 vel [+]13 ─2,* *patet neque +15 et ─2 neque ─8 et +13 communem divisorem habere, adeoque propositio est vera.

Ex his paucissimis regulis per numeros demonstrari possunt et examinari omnes consequentiae, omnes figurae, omnes modi syllogismorum hactenus recepti, et innumeri alii magis compositi in vita communi frequentati, sed in schola ignorati. Sed nunc quidem satis habebo per has regulas demonstrare in numeris omnes consequentias, omnes figuras omnesque modos syllogismorum categoricorum simplicium in schola jam receptos. Observando tantum, ut numeris Terminorum secundum universalitatem aut particularitatem, Affirmationem aut negationem praemissarum in quibus reperiuntur modo praescripto adornatis, examinetur postea an sua sponte idem quod in regulis nostris praescripsimus, etiam in conclusione locum habere deprehendatur. Hoc enim deprehenso dicemus argumentum in forma legitimum esse; secus, nullius esse momenti.

Venio Am Rande: Numeri terminorum ad consequentiam investigandam ita conflabuntur: si quis terminus est in una tantum propositione, is sumi potest pro arbitrio; et tunc alter assumatur quemadmodum regula propositionis requirit. Si Terminus aliquis est in duabus propositionibus, tunc formetur in unaquaque separatim secundum leges formae, adhibendo semper numeros primos unius positionis diversos ab his qui sunt in alia propositione assumti, et diversae positiones multiplicentur in se invicem + in +, et ─in ─. Productum satisfaciet pro propositionibus omnibus. Incipiendum ergo [bricht ab] igitur ad demonstrationes consequentiarum per Numeros. Consequentiae* *sunt vel simplices vel syllogisticae. Consequentiae simplices in scholis celebratae sunt Oppositio; Subalternatio; Conversio.

Oppositio est quando duae propositiones habent idem subjectum et idem praedicatum, et nos colligimus ex veritate unius falsitatem alterius.

Die folgenden zwei in Kleindruck wiedergegebenen Ansätze hat Leibniz gestrichen:

*Oppositio I. Vera  est haec:  Omnis sapiens est justus  Ergo falsa est haec:  Quidam sapiens est non justus. Ut rem examinemus in numeris, sit numeris sapientis 10, justi 5, quia ille est subjectum hic praedicatum in* praemissa [bricht ab] * Oppositio I est inter has duas: Vera  est haec:  Omnis sapiens est justus  Ergo falsa haec:  Quidam sapiens non est justus vel contra si falsa illa vera haec: Hoc patet ex regulis nostris nam si numerus sapientis v.g. 10 dividi potest per* *numerum justi v.g. per 5, utique dici non potest, quod divisio non succedat, quod tamen ad [bricht ab]

*Oppositiones inter universalem affirmativam et particularem Negativam (v.g. *Omnis sapiens est justus* et quidam sapiens non est justus), item inter [bricht ab]