Regulae ex quibus de bonitate consequentiarum formisque et modis syllogismorum categoricorum judicari potest, per numeros

ET MODIS SYLLOGISMORUM CATEGORICORUM JUDICARI POTEST, ~~PER  April 1679

~~April 1679. N^o 6. plag. 1. ~~Regulae ex quibus de bonitate consequentiarum formisque et modis syllogismorum categoricorum judicari potest, per numeros

Has regulas ex altiori principio duxi, et quibusdam mutatis accommodare possum syllogismis modalibus, hypotheticis, aliisque quibuscunque varie multiplicatis, continuatis, transformatis ac perturbatis, ita, ut summa in numeris subducta etiam in longissimis ratiocinationibus appareat an consequentia sit proba. Cum tamen hactenus logici communiores tantum et simpliciores et certo tantum ordine dispositas argumentationes examinare possint, et caeteras taediose in has resolvere cogantur, quae res homines a regulis logicorum ad usum transferendis non sine causa avertit. Habeo praeterea et modum excogitandi certas notas characteristicas quae si rebus accommodentur, inde judicare liceat an argumentum sit vi materiae bonum, si non vi formae; imo alia inveniri possunt ex eodem principio, multo majoris momenti atque usus quam quae attigi, sed nunc modum facillimum ad numeros exigendi formas consequentiarum in scholis celebratarum, exponere satis habebo.

In omni propositione categorica habetur subjectum, praedicatum, copula, qualitas, quantitas. Subjectum et praedicatum vocant Terminos. Exempli gratia, in hac: Pius est felix, pius et felix sunt Termini, ex quibus pius, est subjectum; felix, praedicatum; est, copula. Qualitas propositionis est affirmatio vel negatio: ita haec propositio: pius est felix affirmat. Illa vero: sceleratus non est felix negat. Quantitas propositionis est universalitas vel particularitas. Ut cum dico Omnis pius est felix vel si dicam Nullus sceleratus est felix; sunt propositiones universales, illa universalis affirmativa, haec [universalis] negativa. Sed si dicam quidam sceleratus est fortunatus, quidam pius non est fortunatus, propositiones sunt particulares, illa affirmativa, haec negativa. Venio nunc ad numeros quibus Termini sunt exprimendi; eamque in rem sive regulas sive definitiones dabo sequentes.

I. Si qua offeratur propositio, tunc pro quolibet ejus Termino, subjecto scilicet vel praedicato, scribantur numeri duo, unus affectus Nota, +, seu plus, alter Nota, ─, seu minus. Exempli gratia sit propositio: omnis sapiens est pius. Numerus respondens sapienti sit, +20 ─21, numerus respondens pio sit +10 ─3. Eosque vocabo imposterum Numeros cujusque Termini characteristicos (interim assumtos). Hoc unum tantum cavendum est ne duo numeri ejusdem Termini, ullum habeant communem divisorem, nam si (loco +20 ─21) pro sapiente sumsissemus numerum +9 ─6 (qui ambo dividi possunt per eundem nempe per 3) non fuissent ullo modo apti. Possumus etiam loco numerorum uti literis, ut in Analysi speciosa. Sub literis enim quivis numerus condi- ­tiones easdem habens potest intelligi, ut si numerus pii sit +a ─ b, hoc uno observato ut a et b sint primi inter se seu nullum habeant communem divisorem.

II. Propositio universalis affirmativa vera est  (verbi gratia Omnis   sapiens est   pius)  +70 ─33  +10 ─3  +cdh ─ef  +cd ─e in qua quilibet numerus characteristicus subjecti (v.g. +70 et ─33) per praedicati numerum characteristicum ejusdem notae (+70 per +10, et ─33 per ─3) exacte (id est ita ut nihil maneat residuum) dividi potest (ita si +70 dividas per +10 prodit [7], remanet nihil. Si [─33] dividas per ─3 prodit [11], remanet nihil.) Et contra quando id non fit falsa est.

III. Propositio particularis negativa vera est, quando universalis affirmativa vera non est. Et contra.  Verbi gratia quidam   pius non est   sapiens  +10 ─3  +70 ─33 patet nec +10 dividi posse per +70, nec ─3 dividi posse per [─33] ex quibus duobus defectibus vel unus suffecisset ad efficiendam particularem negativam veram (vel quod idem est ad reddendam universalem affirmativam falsam). Ita si dicas  quidam   sapiens non est  fortunatus  +70 ─33  +8 ─11  +cdh ─ef  +g ─f patet non posse dividi exacte +70 per +8, quod sufficit licet ─33 dividi possit per ─11.

Theorema 1. Hinc Universalis Affirmativa et particularis negativa contradictorie sibi opponuntur adeoque nec simul verae sunt, nec simul falsae.

IV. Propositio universalis negativa vera est  (verb. grat. Nullus   pius est   miser)  +10 ─3  +5 ─14  +cd ─e  +l ─cm in qua duo quidam diversarum notarum et diversorum terminorum numeri (ut +10 et ─14, nam ille habet notam +, hic notam ─; ille sumtus est ex subjecto, hic ex praedicato) habent divisorem communem (nempe +10 et ─14 ambo dividi exacte possunt per 2). Et contra quando id non fit falsa est.

Theorema 2. Hinc propositio universalis negativa converti potest simpliciter. Id est ex hac: nullus pius est miser, sequitur: nullus miser est pius, vel contra. Quia, nihil refert utrum dicas, et quem terminum pro subjecto aut quem pro praedicato habeas, neque enim in conditionem Propositionis Universalis Negativae Verae subjecti aut praedicati mentio diversimode ingreditur, sed sufficit unius termini numerum unius notae per alterius termini numerum alterius notae posse dividi, quicunque tandem ex his duobus terminis subjectum sit aut praedicatum.

V. Propositio particularis affirmativa vera est, quando Universalis negativa vera non est. Et contra.  Verbi gratia: quidam  fortunatus est   miser  +11 ─9   +5 ─14  +n ─p   +l ─cm quia nec +11 et ─14, nec [─9] et +5 communem divisorem habent (quorum alterutrum alias suffecisset ad propositionem universalem negativam veram reddendam).  Similiter: quidam   sapiens est   pius  +70 ─33  +10 ─3  +cdh ─ef  +cd ─e quia nec +70 et ─3, nec ─33 et +10 divisorem communem habent.

Theorema 3. Propositio universalis negativa et particularis affirmativa sibi contradictorie opponuntur (ita, ut non possint esse simul verae aut simul falsae). Patet ex dictis.

Theorema 4. Propositio particularis affirmativa converti potest simpliciter, v.g. quidam fortunatus est miser, Ergo quidam miser est fortunatus. Quidam sapiens est pius, Ergo quidam pius est sapiens. Patet eodem modo quo ostendimus propositionem Univ. negativam (quae huic contradicit) simpliciter converti, vid. theor. 2.

Hae sunt propositionum categoricarum verarum pro diversa sua qualitate et quantitate, definitiones seu conditiones quibus continentur totius Calculi Logici principia, unde jam consequentias Logicas celebriores solo numerorum usu jam explicato, demonstrabimus. Consequentiae illae sunt vel simplices vel syllogisticae. Consequentiae simplices celebriores sunt Subalternatio, Oppositio, Conversio. Subalternatio est cum ex universali concluditur particulare. Sit ergo

Theorema 5. Semper locum habet subalternatio seu semper ex universali concludi potest particulare.  Omnis   sapiens est   pius  +70 ─33  +10 ─3  +cdh ─ef  +cd ─e  Ergo  Quidam sapiens est pius. Hoc ita demonstro: ─33 dividi potest per [─3] (ob propositionem universalem affirmativam, per reg. 2). Ergo +70 et [─3] non habent divisorem communem (alioqui ^&.za +70 et ─33 haberent eundem divisorem communem, quod est contra reg. 1). Similiter +70 dividi potest per +10 (per reg. 2) ergo ─33 et +10 non habent divisorem communem (alioqui ^&.za enim ─33 et [+]70 haberent etiam divisorem communem, quod est contra reg. 1). Quoniam ergo tam +70 et ─3, quam ─33 et +10 non habent divisorem communem, vera erit propositio particularis affirmativa (per reg. [5]), nempe quidam sapiens est pius. (Ratio consequentiae per ^&.za notatae manifesta est numerorum naturam intelligenti, quia divisor divisoris est etiam divisor dividendi, itaque si verbi gratia ─33 tertius numerus, et +10 divisor habent divisorem communem, is divisor divisoris +10, et numeri ─33 erit etiam divisor dividendi per +10 nempe +70. Ergo sequeretur ─33 et +70 habere divisorem communem.)

Ita et in Negativis res demonstrari poterit:  verbi gratia:  Nullus   pius est   miser  +10 ─3  +5 ─14  +cd ─e  +l ─cm  Ergo:  Quidam pius non est miser. Nam quia +10 et ─14 habent communem divisorem (ob universalem negativam, per reg. 4.), ergo ─3 et ─14 non habent communem divisorem (nam alioqui etiam ─3 et +10 communem divisorem haberent contra reg. 1). Ergo nec ─3 dividi potest per ─14 (alioqui haberent communem divisorem, quia divisor divisoris est etiam divisor dividendi). Jam ─3 non potest dividi per ─14. Ergo propositio particularis negativa est vera (per reg. [3]). Quod erat demonstrandum.

Hae duae demonstrationes maximi momenti sunt, non quidem ad rem per se claram reddendam certiorem, sed ad calculi nostri fundamenta jacienda, ac cognoscendam harmoniam. Certe tum maxime animadverti me veras calculi leges obtinuisse, cum has demonstrationes, a quarum successu pendebant omnia, sum assecutus. Et ratio hujus rei est, quia notiones universales tractans, transitum maxime quaerebam a genere ad speciem: neque enim considero genus ut majus quiddam specie seu ut totum ex speciebus, quemadmodum solet fieri (non male quidem, quia individua generis se habent ad individua speciei ut totum ad partem), sed considero genus ut partem speciei, quia notio speciei ex notione generis et differentiae conflatur. Et huic principio hanc calculandi rationem inaedificavi, quia non individua sed ideas spectavi. Verum ita procedenti difficillimus fuit descensus a genere ad speciem, quia est progressus a parte ad totum. Huic vero his ipsis demonstrationibus viam munivi, quibus ab universalibus ad particularia tenditur.

Subalternationem sequitur Oppositio. Est autem Oppositio vel contradictoria cum duae propositiones oppositae nec simul verae esse possunt nec simul falsae (quam locum habere inter Universalem affirmativam et particularem negativam, dictum theor. [1], et inter Universalem negativam, et particularem affirmativam th. 3.), vel contraria cum non possunt esse simul verae, possunt tamen esse simul falsae, vel subcontraria, cum possunt simul esse verae, non tamen simul falsae.

Theorema 6. Universalis Affirmativa et Universalis Negativa sibi opponuntur contrarie.  v.g.  Omnis   sapiens est  fortunatus  +70 ─33  +8 ─11  +cdh ─ef  +g ─f  et  Nullus sapiens est fortunatus. Non possunt simul esse verae. Nam si prior et posterior simul est vera, sequetur ex posteriore: quidam sapiens non est fortunatus (per th. 5.), prior autem erat Omnis sapiens est fortunatus. Ergo hae duae simul verae erunt contra th. 1. Possunt tamen simul esse falsae. Nam fieri potest ut neque +70 dividi possit per +8 (Ergo prior est falsa per reg. 2.) neque tamen aut +70 et ─11 aut ─33 et +8 habeant divisorem communem (Ergo posterior est falsa per reg. 4). (Potuisset et aliud exemplum assumi, in quo nec numerus qui esset loco ─33 potuisset dividi per numerum qui esset loco ─11. Sed res eodem redit.)

April. 1679. N^o 6. plag. 2.

Theorema 7. Particularis affirmativa et particularis negativa sibi opponuntur subcontrarie, seu possunt esse simul verae, non tamen simul falsae. Verbi gratia quidam sapiens est fortunatus, et quidam sapiens non est fortunatus. Sequitur ex praecedenti: nam quia universalibus contrarii signi contradictorie opponuntur, particulares (per th. 1, 3) hinc cum illae sunt verae, hae sunt falsae, et contra. Jam illae possunt esse simul falsae (per th. 6. praeced.) ergo hae simul verae. Illae non possunt esse simul verae (per idem th. 6) ergo hae non possunt esse simul falsae.

Conversio fit vel simpliciter vel per accidens. Conversio quae fit simpliciter locum habet in universali negativa per th. 2 (Nullus pius est miser. Ergo nullus miser est pius. Vel contra.) et in particulari affirmativa per th. 4 (quidam fortunatus est miser. Ergo quidam miser est [fortunatus. Et contra.)] Conversio per accidens locum habet in universali affirmativa, ut mox ostendam. Conversio neutra (vi formae) in particulari negativa locum habet. De conversione per contrapositionem hic non loquor. Ea enim novum terminum assumit. Exempli gratia Omnis sapiens est pius. Ergo qui non est pius non est sapiens. Seu Omnis non-pius est [non-]sapiens. Habemus enim [quatuor terminos: non-sapiens, sapiens] Pius, non-pius. Mihi autem sermo est hic de consequentiis simplicibus ubi servantur iidem termini. Praeterea usus hujus conversionis nullus est necessarius ad demonstrandas syllogismorum figuras et modos. Et proprietates hujusmodi infinitorum terminorum, non-pius, Non-miser, etc. demonstrari debent et possunt per nostrum calculum, separatim, quemadmodum modalium. Habent enim multa peculiaria, nam si ipsos adhibeas, syllogismus poterit habere quatuor terminos, et nihilominus bonus erit, aliaque multa quae non sunt hujus loci, quia propositum est nobis syllogismorum categoricorum triterminorum generales modos et figuras calculo ostendere.

Theorema 8. Universalis affirmativa converti potest per accidens. Omnis sapiens est pius. Ergo quidam pius est sapiens. Nam quia omnis sapiens est pius. Ergo (per th. 5) quidam sapiens est pius. Ergo (per th. 4) quidam pius est sapiens.

Von dem folgenden Text in Kleindruck hat Leibniz zunächst den zweiten, dann auch den ersten Absatz gestrichen, ehe er mit dem unvollständig gebliebenen Neuansatz begann:

A Consequentiis simplicibus, in quibus duo tantum sunt Termini, transeo ad consequentias Triterminas, seu syllogismos categoricos. Sed quia tunc paulo difficilius est numeros Terminorum apte assumere, quoniam medius terminus ita assumi debet ut in duabus propositionibus simul quadret, nempe in utraque praemissarum; ideo incipiemus ab ea praemissa in qua medius terminus est subjectum et vicissim Darüber: rursus in hac ipsa praemissa incipiemus a praedicato, cujus rei ratio est quia (ut ex reg. 2, 3, 4, 5 patet consideranti) aut aeque facilia sunt ambo, aut certe semper facilius est constitutis numeris praedicati ipsis accommodare numeros subjecti, quam contra. Uno verbo incipiemus ab uno termino extremo, qui in praemissis tantum praedicatur, inde progrediemur ad Medium seu qui in praemissis tam praedicatur quam subjicitur, denique pergemus ad illum terminum extremum qui in praemissis tantum subjicitur. Itaque ante omnia numeros Termini qui est praedicatum medii termini in aliqua praemissarum, sumemus pro arbitrio (observata tantum reg. 1, ut scilicet duo numeri ejusdem termini, quorum unus afficitur nota +, alter nota ─, nullum habeant communem divisorem[)]. Hoc facto Numeri medii termini assumantur secundum relationem quam per regulas praecedentes pro propositionis qualitate aut quantitate habere debent ad numeros praedicati. Quod semper facile esse patebit experienti. Jam transeamus ad propositionem in qua Medius terminus est praedicatum, et quia ejus numeri jam habentur (per propositionem in qua fuit subjectum) ideo superest tantum ut numeros extremi termini, qui superest (id est ejus qui subjectum est ubi medius est praedicatum), secundum relationem ad numeros praedicati ejus, nempe medii, quam propositionis hujus forma praescribit assumamus. Hoc enim posito constitutis numeris characteristicis quemadmodum praemissae exigunt; sponte inde exurgent indicia indubitabilia in extremorum terminorum numeris, quibus statim pateat an in conclusione secundum qualitatem, quantitatem ac situm praescriptum hi termini conjungi possint.

Itaque si qua oblata sit Argumentatio  ut:  Omnis sapiens est pius  Quidam sapiens est fortunatus  ergo  Quidam fortunatus est pius de qua quaeritur an vi formae concludat. Primum terminus qui in [bricht ab]

A consequentiis simplicibus in quibus duo tantum sunt termini transeo ad consequentias Triterminas seu syllogismos Categoricos. Sed tunc paulo majore cura opus est ad numeros terminorum apte assumendos; quia idem terminus, nempe medius, utrique praemissae inest, et ideo numeri ejus characteristici utriusque praemissae regulis accommodari debent. Quod ut fiat primum ipse medius accommodetur uni extremorum, Majori scilicet vel minori termino, sed alter extremus postea ipsi accommodetur. Ubi notandum praestare subjectum accommodare praedicato quam contra, ut ex regulis superioribus consideranti constabit. Itaque si qua sit praemissa in qua Medius terminus sit subjectum, ab ea incipiatur, et praedicati ejus numeris pro arbitrio assumtis accommodentur ei numeri subjecti seu medii termini; inventis jam ita medii termini numeris, his numeri alterius termini in altera praemissa etiam accommodentur. Habitis jam ita Majoris ac Minoris termini numeris characteristicis, facile apparebit an eam inter se legem servent, quam Conclusionis forma praescribit, id est an conclusio vi formae ex praemissis ducatur.

Sed ut haec numerorum assumtio facilius fiat, certas quasdam regulas praescribam.