Calculi universalis investigationes

  April 1679

April. 1679. N^o. 4. Calculi universalis investigationes

Ad calculum universalem constituendum inveniendi sunt characteres pro terminis quibusque, ex quibus postea inter se junctis statim cognosci queat propositionum ex terminis conflatarum veritas.

Commodissimos characterum hactenus invenio esse Numeros. Sunt enim facile tractabiles omnibusque rebus accommodari possunt, et certitudinem habent.

Numeri characteristici cujusque dati Termini ita fient, si numeri characteristici terminorum ex quibus dati termini notio constituitur inter se multiplicentur, productumque sit numerus characteristicus termini dati.

Itaque in omni propositione universali affirmativa vera, necesse est Numerum characteristicum subjecti dividi posse exacte per numerum characteristicum praedicati. Ita omne aurum est metallum. Item omne Triangulum est trilaterum; hoc enim dicit tantum hujusmodi propositio praedicatum inesse subjecto, adeoque et numerum characteristicum praedicati inesse numero characteristico subjecti. Inerit autem modo dicto, id est ut multiplicantes insunt producto per multiplicationem, seu, ut divisores insunt dividendo. Nam productus per aliquam multiplicationem semper per producentem exacte dividi potest.

Porro termini sunt vel positivi vel negativi. Exempli causa Terminus positivus est homo; negativus non homo. Fieri potest, ut terminus a parte rei positivus sit negative expressus, ut infinitum (quod idem est ac absolute maximum), item ut negativus sit positive expressus, ut peccatum, quod est anomia.

Termini contradictorii sunt, quorum unus est positivus alter negativus hujus positivi, ut homo et non homo. De his regula observanda est: si duae exhibeantur propositiones ejusdem praecise subjecti singularis, quorum unius unus terminorum contradictoriorum alterius alter sit praedicatum, tunc necessario unam propositionem esse veram et alteram falsam. Dico autem: ejusdem praecise subjecti, exempli causa hoc aurum est metallum, hoc aurum est non-metallum.

Haec porro unica Propositio (nempe harum duarum B est A et B est non A una est vera, altera falsa) continet in se has quatuor propositiones: I. Si vera propositio est B est A, tunc falsa propositio est B est non A. II. Si vera propositio est B est non A, tunc falsa propositio est B est A. III. Si falsa propositio est B est A, tunc vera propositio est B est non A. IV. Si falsa propositio est B est non A, tunc vera propositio est B est A.

Id est generaliter si propositionis conditionalis terminus unus sit una propositio et unum attributum propositionis, erit terminus alter altera propositio et alterum attributum. Propositiones scilicet sunt B est A et B est non-A, earum vero attributa sunt: vera propositio, falsa propositio. Definiendo falsam propositionem quae vera erit si pro praedicato ejus sumatur terminus negativus. Haec orientur ex prioribus: I. Si vera est propositio haec: B est A, tunc vera erit haec: B est non non A. II.Si vera haec propositio est B est non A, tunc vera propositio est haec: B est non A, quae est identica. III.Si vera est propositio haec: B est non A, tunc vera propositio est B est non A, rursus identica. IV. Si vera propositio est B est non-non A, vera propositio est B est A. Definitiones: Termini contradictorii sunt, quorum si uni praefigitur non, inde fit alter. Hinc sunt duo tantum, et non non A est idem quod A. Propositio vera est cujus praedicatum continetur in subjecto seu ei inest. Hoc est si in locum quorundam terminorum substituentur aequipollentes seu ii ex quibus componuntur ostenditur terminos simul aequipollentes praedicato omnes reperiri inter terminos aequipollentes subjecto. Propositio non vera seu falsa est ubi id non fit.

Falsa autem propositio idem est quod non-vera. Ita ut hi duo termini verum et falsum sint contradictorii. Unde etiam ex quibusdam harum propositionum demonstrari possunt caeterae. Possumus et altius assurgere et sumamus exempli causa tantum hanc:

Si propositio B est A est vera, tunc propositio B est non A est falsa, quam in se replicabimus.

Et quoniam id ipsum Haec propositio B est A rursus est subjectum propositionis, et praedicatum est vera. Hinc loco subjecti Haec propositio: B est A scribemus b, et loco praedicati vera scribemus a. Et quia falsum est idem quod non-verum (ex definitione termini) hinc fiet talis propositio:

Si propositio b est a est vera, tunc propositio b est non-a est falsa si Propositio haec  (b) Propositio  est   id est

 303  B  204  303  (b) Propositio  est

Si Propositio haec  est  A   est vera  (a) vera  303  B  204  303  (b) Propositio  est tunc Propositio haec  est  A   est falsa  (non-a) falsa sive, ut vulgarius loquar, si verum est propositionem aliquam esse veram, falsum est eam [esse] falsam. Id est rursus contrahendo: si propositio est vera, falsum est quod sit falsa. Si propositio est vera, tunc haec alia propositio (propositio est vera) est vera.

In omni propositione universali affirmativa continetur praedicatum in subjecto, adeoque dividi potest numerus characteristicus subjecti per numerum characteristicum praedicati.

In omni propositione particulari affirmativa dividi potest numerus characteristicus subjecti, per alium numerum multiplicatus, per numerum characteristicum praedicati; ideo semper procedet propositio aliqua particularis affirmativa in terminis qui sunt pure affirmativi et componuntur ex pure affirmativis, quia tunc nulla unquam oritur incompatibilitas.

Negationem alicujus termini, ut non-homo, non possum commode exprimere per signum minus, quia id afficit totum terminum, quod hic esse non debet. Nam cum dico doctus non-prudens, speciatim dico esse doctum sed non prudentem, possem quidem dicere non,^#6+doctus-prudens^#6-, sed tunc non tantundem dico.

Si dicam: doctus non-prudens non-justus, non possumus inde facere: +d, ─p, ─j, fieret enim +dpj.

Posset numero vel literae signum praefigi quale radicis quadraticae est. Nam termini incompatibiles possunt exprimi quodammodo per numeros incommensurabiles, ut a et $\sqrt{a}.$ Estque haec similitudo quod non-non dat affirmationem, ita $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}$ dat a.

Verum in eo hic est discrimen, nam potius id significat $\sqrt{\sqrt{a}}$ esse a, nam etsi hic componas injustum injustum non inde facies justum.

Si unus sit integer, alter ejus fractus, erunt incompatibiles, nam in se invicem ducti evanescent, sed quomodo inde judicabimus propositionem impossibilem, an quia quod inde oritur non amplius dividi potest per ullum eorum? Ita certe non poterit, nisi inde faciendo novum fractum. Porro si velimus scire an negativus insit alicui termino dividamus terminum per ipsum negativum, prodibit contradictorius negativi, seu numerus cui inest affirmativus. Itaque patet non procedere divisionem. U. A.  2Omn. H est A,  ergo H aequ. rA. P. A.  Qu. A est H,  ergo rA aequ. vH. Possumus simpliciter pro U. N. adhibere U. N.  Null. H est B,  ergo yH inaequ. rB. P. N.  Qu. A non est H,  ergo H inaequ. rA.

Sed ut in numeris rem exprimamus, consideremus non-Homo significare quidvis praeter hominem. Videtur autem ille esse terminus unitatis qui idem quod terminus Entis seu cujuslibet, Non homo erit y - H Omnis homo est non Lapis, id est: $\frac{H}{non-L}aequ.\frac{f}{non-f}.$ Qu. A est non H.  Ergo \frac{rA}{non-H} ^&.sc $\frac{y}{non-y}.$ Itaque f dat terminum primo incompatibilem, qui est in homine ejusque contradictorium in lapide.

An sic commode pro numeris: Omnem numerum negatum separabimus ab alio per signum non-, ut doctus non-prudens non-justus scribemus d non pj, et si sit solum imprudens injustus scribemus: 1 non pj. Si jam rursus negetur iste terminus doctus non-justus non prudens, patet fieri: justum prudentem indoctum et scribemus pj non d, quod et ita non miscemus terminos negatos affirmatis, et sciemus divisores omnes numeri de quo agitur esse negatos. Debent autem semper aequari negati negatis, affirmati affirmatis: in aequatione. Duo [bricht ab]