Calculi universalis Elementa

  April 1679

April. 1679. N^o 3. plag. 1. Calculi universalis Elementa

Terminum ut animal, homo, rationale, sic exprimam numeris: a, b, c. Hoc uno observato ut qui termini simul constituunt aliquem terminum, eorum numeri, in se invicem multiplicati constituant numerum, ita quia animal et rationale constituunt hominem, erit b terminus hominis aequalis ac producto ex a in c.

Propositio categorica universalis affirmativa ut homo est animal, sic exprimetur $\frac{b}{a}aequ.y,$ vel b aequ. ya, significat enim numerum quo exprimitur homo, divisibilem esse per numerum quo exprimitur animal, tametsi id quod dividendo prodit nempe y hic non consideretur, quamvis aliunde sciamus y hic fore c. Ubi nota si y sit unitas tunc aequipollere b et a, vel si aequipolleant, y esse unitatem. Caeterum poterimus et sic exprimere: omne b est a.

Propositio universalis negativa, verbi gratia Nullus homo est lapis, reducatur ad hanc affirmativam Omnis homo est non lapis. Non lapis autem erit terminus quicunque praeter lapidem, itaque hic terminus non-lapis exprimetur per numerum indefinitum, de quo hoc unum constat, quod non sit divisibilis per numerum lapidis. Nam si homo non est lapis, non erit lapis scissilis nec lapis pellucidus, nec lapis pretiosus adeoque nec erit gemma, nec marmor etc. Numerus autem qui per numerum aliquem datum non est divisibilis est ille qui non est divisibilis per numerum primitivum aliquem per quem numerus datus est divisibilis. Exempli causa Numerus dividendus sit abg aequ. f et divisor sit de aequ. g. Ita ut omnes numeri primi [dividendi] sint a, b, g, unus autem divisoris sit d qui non continetur sub his a, b, g. Patet $\frac{abg}{de}$ esse aequ. $\frac{f}{g}.$ Itaque exprimendo numeros primitivos per literas graecas, scribendoque: $\frac{f}{g}aequ.\frac{a..}{d..}$ exprimetur $\frac{f}{g}$ esse $<Fn>AmRande:\frac{7}{3}aequ.2+\frac{1}{3},\frac{11}{3}aequ.3+[brichtab]</Fn>$ numerum fractum seu [propositionem universalem negativam]. Per puncta . . idem intelligitur quod etc.; et intelligitur in loco vacuo quoscunque numeros posse scribi, modo nec a nec d contineant. Et quia propositio universalis negativa est convertibilis id quoque hic exprimitur, nam quia manifeste, quia $\frac{f}{g}aequ.\frac{a..}{d..}$ fiet $\frac{g}{f}aequ.\frac{d..}{a..}$ utriusque autem par ratio est.

Propositio particularis affirmativa, ut quidam homo est [bonus] significat bonitatem cuidam homini inesse, seu numerum cujusdam hominis dividi posse per numerum boni. Exempli causa numerum hominis sapientis: id ergo de quo agitur sic exprimetur: $\frac{ah}{l}aequ.z,$ posito a*h aequ. v quod significat numero hominis per alium numerum integrum vel fractum a* (nam numeros vel integros vel fractos per hebraicas* *literas exprimam) multiplicato, productum dividi posse per l.

*Sed ut haec distinctius intelligantur primum terminos ipsos explicabimus. a, b, g etc. seu litera graeca significat numerum primum, qui in nulla propositione universali affirmativa subjectum esse potest, nisi ea sit identica, id est nisi in qua ipse etiam sit praedicatum.

a, b, c seu litera latina ex prioribus significat numerum integrum certum seu datum* *primum sive non-primum.

s, t, v, w, x, y etc. seu litera latina ex posterioribus significat numerum integrum* *primum vel non-primum incertum.

$\frac{b}{y}$ significat praedicatum ipsius b in propositione universali affirmativa seu significat* numerum aliquem ut a qui prodit dividendo b per numerum aliquem incertum, aptum *scilicet ad dividendum. Nam quando incertus ponitur semper intelligitur aptus. Itaque si dicam a aequ. $\frac{b}{y}$ idem dico ac b est a seu a inest ipsi b, quod et idem est ac si scripsissem ay aequ. b ut supra vel b aequ. ay qui modus scribendi optimus, respondet enim *enuntiationi homo est animal ~~quoddam.

~~Terminus ay vel $\frac{b}{y}$ significat terminum indefinitum id est vel universalem vel particularem, *id est praedicatum propositionis affirmativae sive universalis sive particularis, sive ipsum per se universale sit, sive particulare.

Terminus b definitus significat semper terminum universalem, itaque etiam si dicam* ac aequ. b (animal rationale est homo) est quidem praedicatum in propositione universali *affirmativa, sed nihilominus ea est convertibilis, nam idem est ac si dixissem *omne animal rationale est omnis homo*. Imo et in hac yc est b seu aliquod rationale est homo,* *succedet conversio. Nam omnis homo est aliquid rationale.

Hinc propositio universalis affirmativa est haec b est ya, seu b est c, prior*~~ ~~non convertibilis, posterior convertibilis, vel ut generalius loquar b est ya vel b est zc sed tunc numerus z est idem quod unitas quae non multiplicat. Propositio particularis affirmativa est ya est b vel ya est zc. b est a. Hinc demonstratio xb est a. Nam b est a. Ergo xb aequ. xya. Ponatur z aequ. xy. Ergo xb aequ. za seu xb est a. Hinc demonstratur propositionem particularem affirmativam esse convertibilem in particularem affirmativam, nam ya est b, convertatur in aequationem, hoc semper fieri potest, nam ya subjectum dividi potest per b praedicatum, et fiet $\frac{ya}{b}aequ.x,$ posito x esse productum divisionis incertum, Ergo fiet: ya aequ. xb. Ergo *xb aequ. ya. Ergo xb est ya seu propositio erit conversa ut postulabatur.

*Cuncta haec nunc brevius et distinctius sic exhibebo:

1) Regula generalis characteristicae nostrae est ut ~~Terminus quilibet, verbi gratia*

ani mal ho mo rati onale

 a  b  c repraesentetur per numerum qui prodeat ex multiplicatione numerorum ~~terminos terminum datum componentes repraesentantium*, ita sit* numerus b aequ. ac quia homo est animal rationale. Finge numerum animalis esse 2, *rationalis esse 3, erit numerus hominis 6.

Hinc sequitur in omni propositione categorica debere numerum subjecti dividi posse per numerum praedicati. Exempli causa homo est animal, b dividi potest per a seu 6 per 2.

*2) Hinc semper propositio mutari potest in aequationem, nam si~~ ~~numerus praedicati per alium quendam numerum multiplicetur, eum nempe qui ex divisione subjecti per praedicatum prodit, oritur numerus aequalis numero subjecti. Nam si quotiens multiplicetur [per] divisorem prodit dividendus. $\frac{b}{a}aequ.c.$ Ergo b aequ. ac.

*3) Quando non constat quis sit quotiens, quod fit quando unum quidem datur praedicatum, sed non reliqua quae conceptum complent, tunc numerus indefinitus ut *x, y, z* poni potest pro illo incognito; ut sit nix subjectum meteori, seu dicatur n est m utique* dividi potest n per m seu dici potest $\frac{n}{m}$ aequale cuidam. Sed quia ipsum quale sit non *constat, neque enim forte scimus aggregatum reliquorum requisitorum necessariorum ad hoc ut meteorum aliquod sit nix, exempli causa, si sit frigidum spumeum, sensibiliter cadens, vocabimus hoc incognitum aggregatum s, et dicemus $\frac{n}{m}aequ.s,$ et fiet n aequ. sm* *seu nix idem est quod certum quoddam meteorum.

*4) Itaque observandum est in omni aequatione seu propositione simpliciter convertibili ut litera aliqua absolute posita significet terminum universaliter ut n omnis nix,* multiplicata autem per literam incognitam s ut sm, significet terminum cum signo particulari, *ut aliquod meteorum.

*5) Patet etiam hinc quo modo aequatio in propositionem mutari debeat, nam quilibet terminus aequationis potest esse subjectum propositionis modo alter fiat praedicatum; et contra. Sed terminus qui fieri debet subjectum in propositione relinquendus est qualis erat in aequatione; in termino vero qui praedicatum fieri debet potest omitti litera indeterminata, ut n aequ. sm. Hinc fiet n est sm, Omnis *nix est certum illud meteorum de quo nunc loquor* et sm est n seu omne illud certum meteorum de quo nunc loquor, (seu* *aliquod meteorum) est nix.

*6) Nam et illud notari debet ~~me subjectum propositionis cui nullum signum particularitatis adjectum est, intelligere esse universale*. Nix est meteorum id est omnis nix est meteorum. Ex his principiis circa propositiones categoricas affirmativas facile cuncta derivantur.

7) n est m. Ergo n aequ. sm (per regulam convertendi propositionem in aequationem artic. 3). Ergo n est sm (per regulam convertendi aequationem in propositionem artic. 5). Omnis nix est meteorum. Ergo omnis nix est aliquod meteorum.

8) Porro si n est m, seu n aequ. sm. Ergo per naturam numerorum seu aequationis tn aequ. tsm, id est per conversionem aequationis in propositionem, tn est m. Seu si omnis nix est meteorum, ergo aliqua nix est meteorum.

9) Si tn est m, Ergo tn aequ. vm per artic. 3. Ergo (per artic. 5.) vm [est] n seu si aliqua nix est meteorum, Ergo aliquod meteorum est nix.

10) Hinc denique concludemus: Si n est m, ergo vm est n. Seu si omnis nix est meteorum ergo quoddam meteorum est nix. Nam si n est m ergo tn est m per artic. 8. Si tn est m, ergo vm est n per artic. 9. Ergo si n est m, vm est n. Quod erat demonstrandum.

Der in Kleindruck folgende Text wurde von Leibniz durch die Abschnitte 11) bis 13) und die beiden nächsten Absätze ersetzt:

11) Venio ad negativas propositiones. His autem illud exprimitur, praedicatum non inesse subjecto, id est numerum praedicati non esse in numero subjecti, velut divisorem in dividendo vel sicut multiplicatorem in producto. Adhibeamus ergo literas quasdam repraesentantes fractiones seu in nostro casu notiones negativas, quas exhibebimus literis graecis p, s, f, c, v. Nam equidem si quis a me quaerat quid requiratur positivi ad hoc ut aliquod animal sit homo, dicam requiri ipsum: rationale; et si quis quaerat a me quid requiratur ut meteorum seu m sit nix seu n dicam requiri ut sit frigidum, spumeum, album, sensibiliter cadens, et similia, quorum requisitorum simul aggregatum seu differentiam nivis specificam sub genere meteori distinguentem nivem ab aliis meteoris omnibus vocabo s, litera ex posterioribus, quia non satis cognitam suppono, hoc loco confuse tantum considero, ut exprimam per sm, nivem esse certum aliquod peculiare meteorum, nempe illud de quo nunc loquor et cujus confusam notitiam habeo. Et haec quidem bene succedunt. Sed si quis a me quaerat differentiam specificam positivam constituentem hominis speciem sub genere lapidis, seu quid requiratur praeterea positivum ut lapis sit homo, dicam requiri a me absurdum. Hanc ergo absurdam notionem impossibilem nihilominus adhibebo ad instar notionis possibilis, hunc enim saltem usum habebit, ut designet propositionum falsitatem adeoque ipsas esse negandas. Adhibebimus autem literas graecas pro his notionibus.

12) Ergo Propositio Universalis negativa verbi gratia Nullus homo est lapis, seu Non ^#6+omnis homo est lapis^#6- seu falsum est quod Omnis homo sit lapis sic exprimetur: b non est l quae convertitur in aequationem hanc: b aequ. pl seu p aequ. $\frac{b}{l}.$ Itaque si b sit homo et l sit lapis pl* significet aliquid quod naturam lapidis destruit seu non-lapidem, seu quidvis potius quam Lapidem.

13) Itaque generaliter modus calculi circa negativas propositiones similis est calculo circa affirmativas, hoc discrimine observato, quod propositionis negativae praedicatum respondet termino aequationis per numerum fractum seu litera graeca expressum multiplicato.

14) Huc ergo applicemus regulas calculi in affirmativis Omnis homo est non-lapis, Ergo omnis homo est quidam non lapis per artic. 7, quidam homo est non-lapis per artic. 8, quidam non-lapis est homo.

11) Hinc statim etiam demonstrari possunt proprietates negativarum. Nam particularis negativa tantum falsitatem dicit universalis affirmativae. Hinc illae propositiones, ex quibus concluderetur universalis affirmativa si vera esset, sunt etiam falsae.

12) Eodem modo universalis negativa dicit falsitatem particularis affirmativae. Hinc dicit etiam falsitatem earum propositionum ex quibus concludi potest particularis affirmativa, ut (per art. 8) universalis affirmativae. Ergo ex universali negativa concluditur falsitas universalis affirmativae adeoque (per 11) veritas particularis negativae.

13) Et quia U. N. dicit falsitatem ipsius P. A. et P. A. concluditur ex conversa P. A. Ergo U. N. dicit falsitatem conversae P. A. id est (per artic. 12. initio) veritatem conversae U. N. itaque converti potest simpliciter.

April. 1679. N^o 3. plag. 2.

Sed rem in nostra characteristica fusius exequemur. Nimirum per negativas propositiones autem illud exprimitur, praedicatum non inesse subjecto, id est numerum praedicati non esse in numero subjecti, velut divisorem in dividendo vel sicut multiplicatorem in producto. Adhibeamus ergo literas quasdam repraesentantes fractiones seu in nostro casu notiones negativas, quas exhibebimus literis graecis p, s, f, c, v. Nam equidem si quis a me quaerat quid requiratur positivi ad hoc ut aliquod animal sit homo, dicam requiri ipsum: rationale; et si quis quaerat a me quid requiratur ut meteorum seu m sit nix seu n dicam requiri ut sit frigidum, spumeum, album, sensibiliter cadens, et similia, quorum requisitorum simul, aggregatum seu differentiam nivis specificam sub genere meteori distinguentem nivem ab aliis meteoris omnibus vocabo s, litera ex posterioribus, quia non satis cognitam suppono, et hoc loco confuse tantum considero, ut exprimam per sm, nivem esse certum aliquod peculiare meteorum, nempe illud de quo nunc loquor et cujus confusam notitiam habeo. Et haec quidem bene succedunt. Sed si quis a me quaerat differentiam specificam positivam constituentem hominis speciem sub genere lapidis, seu quid requiratur praeterea positivum ut lapis sit homo, dicam requiri a me absurdum. Am Rande, noch mit Bezug auf das Ende des gestrichenen Absatzes Nr. 11: Fieri potest ut duae literae impossibiles in se invicem multiplicatae constituant possibilem, quia duo numeri fracti in se invicem ducti dare possunt integrum. Hinc ex falsis colligi potest verum. Adde huc sb aequ. pl.

Requiritur autem potius aliquid negativi vel hoc loco potius partim positivi partim omissivi, ut lapis fiat homo. Nam adimenda lapidi quaedam, et quaedam danda sunt ut notio inde fiat notioni hominis coincidens. Atque id semper fit in disparatis seu quorum neutrum est genus vel species, ut partim addendum sit partim adimendum, quo unum fiat ex altero. Sed [ut] ex genere fiat species tantum, addenda est differentia: ut ex specie fiat genus tantum, adimenda. Itaque si quis a me quaerat quid requiratur praeterea ad hominem ut sit idem quod animal: dicam nihil praeterea positivi requiri sed potius omittendum esse aliquid nempe rationalitatem, quae omissio exprimetur per fractionem $\frac{1}{c}$ quae significat, ad hoc ut numerus hominis b reducatur ad numerum animalis a, debere ipsum numerum hominis multiplicari per fractionem $\frac{1}{c}$ id est dividi per c. Unde si id quod ex specie addito aliquo requisito novo constituere volumus, sit genus; patet, ipsum genus ex specie constitui, sola ablatione differentiae specificae, seu speciem quodammodo fieri genus et contra, ita ut differentia specifica generis sub specie sit differentiae specificae speciei sub genere omissio: adeoque numerus fractus multiplicandus in b speciem, ut inde fiat a genus, erit simplex fractio, cujus scilicet numerator est unitas. Sed [ut] disparatum unum fiat aliud partim omittendum aliquid partim addendum, unde requisitum ad hoc erit fractio cujus numerator sit major unitate. Et haec omnia attente consideranti patent ex Regula nostra fundamentali, nam si notionum positionem exprimimus multiplicatione numerorum, utique notionum omissionem divisione numerorum exprimemus.

Quoniam autem caute locutus sum hactenus de Omissionibus potius quam negationibus per fractiones repraesentatis, quaerendus est jam ad Propositiones negativas transitus. Et quidem considerandum est, quod dicere possumus quoddam meteorum non esse nivem, ejus rei esse causam, quod omittitur aliquid in notione meteori quod requiritur in notione nivis; unde fit aliquid possit esse meteorum licet ea non habeat, quae omittuntur in notione meteori, et requiruntur in notione nivis. Am Rande versuchsweise: a est pb a est $\frac{b}{c}aest$ $\frac{1}{y}b</Fn>$ Eodem modo dici potest quidam lapis non est homo, quia quiddam requiritur ad hominem quod non requiritur ad lapidem. Cum ergo posito m esse genus, n esse speciem, sit propositio universalis affirmativa generis de specie n est m in qua n habet signum universale, et m quale habeat nihil refert; aequatio autem inde fit n aequ. sm inter numeros n et sm. Ergo dividendo per s fit $\frac{n}{s}aequ.m,$ quam aequationem multiplicando per x fit $\frac{xn}{s}aequ.xm.$ Unde [per] regulam mutandarum aequationum in propositiones supra artic. 5 fiet: xm est $\frac{n}{s}.$ Jam $\frac{n}{s}$ significat idem quod quoddam non n, uti tn significat quoddam n. Quia multiplicatio per literam est terminus affirmatus particularis, adeoque necessario divisio per literam est terminus negatus particularis. Habemus ergo quoddam meteorum est quoddam non-nix. Jam in omni propo- ­sitione nihil refert [an] quoddam signum sit praedicati, itaque habemus quoddam meteorum est non nix. Imo facilius adhuc dicemus tantum m est $\frac{n}{s},$ facilius adhuc omissa x possumus uti hac regula, quod propositio est particularis si subjectum multiplicatur per literam indeterminatam, et quod eadem est [negativa] si praedicatum dividitur per literam indeterminatam. Atque hoc modo satis constituisse videmur naturam particularis negativae. Data quacunque fractione $\frac{w}{s}$ dici potest $\frac{w}{s}$ esse negationem cujuscunque speciei ipsius s sive numeri per s divisibilis sive ipsius zs seu idem esse quod nullum s. Itaque dicere homo non est lapis idem est ac dicere homo est id quod est nullus lapis. Ita quoddam animal est nullus homo. Ergo quidam nullus homo est animal.

Colligamus expressiones nostras hactenus constitutas:

n vel m absolute positum est terminus indefinitus. Si subjectum sit sm propositio est particularis. Si praedicatum sit $\frac{n}{s}$ propositio est particularis negativa. Am Rande neben der Streichung: caritativus sapiens justus prudens Vel sic potius: Si ex aequationis cujusdam termino fiat subjectum omissa aliqua litera multiplicante vel praedicatum omissa aliqua litera dividente fiet propositio particularis. Horum duorum unum pendet ex altero. Sit enim mc aequ. fd, exempli causa metallum constantissimum idem quod fossile ductilissimum, inde fiet propositio particularis m est fd, quoddam metallum est fossile ductilissimum. Ex aequatione nostra fiat haec aequatio *m aequ. $\frac{fd}{c}.$ Patet si omittas divisorem in praedicato, idem fieri quod in praecedenti aequatione omisso multiplicatore in subjecto, nempe m est fd, ergo haec eadem est particularis. Nimirum utroque modo sumitur praedicatum subjecto latius, vel quod idem est, subjectum praedicato angustius, unde non amplius constat (nisi aliunde id sciamus) an praedicatum ita amplificatum amplius inesse, vel subjectum ita contractum amplius continere possit. Sed si sumatur subjectum praedicato angustius seu plurium requisitorum, ut si subjectum multiplicetur vel praedicatum dividatur, non ideo mutatur signum quod erat in aequatione, nempe universale, neque enim eo minus praedicatum subjecto omni inest, nam quod generi inest et speciei inest; itemque cui genus inest ei et generis genus inest, per regulam pars partis est pars totius. Habemus ergo regulam signorum.

Quod attinet ad regulam affirmationum et negationum, duo sunt casus, vel enim negamus speciem de genere, vel negamus disparatum de disparato. Si negamus speciem de genere redibit casus quem supra habuimus, ita ac aequ. b, patet a esse genus et hominem esse speciem. Hinc jam volumus formare propositionem quoddam animal non est homo, hoc fit adimendo aliquid a termino qui debet fieri subjectum nihilque adimendo a termino qui debet fieri praedicatum.

Sin velimus negare disparatum de disparato, qualia disparata sunt cuprum et aurum, videamus quomodo sit procedendum. Nullum cuprum est aurum, id est non quoddam cuprum est aurum, ostendamus ergo tantum hanc propositionem falsam esse quoddam cuprum est aurum. Item nullum cuprum est aurum. Ergo omne cuprum est non aurum. Am Rande: Nota haec propositio nullum cuprum est aurum, non bene exprimitur per hanc omne cuprum non est aurum (quae dicere tantum videtur quoddam cuprum non est aurum) sed per hanc omne cuprum est non-aurum. Itaque haec quae pendent a genio linguae demonstrari non possunt nec debent. Sed fortasse melius omnis homo est animal. Ergo quicquid est non animal est non homo. Sed hoc nobis exhibet tantum negativa inter genus et speciem, sed nondum inter disparata. $\frac{w}{s}est$ non s*. Id est si in termino fracto omisso numeratore fiat terminus integer propositionis qui sit nominator, is terminus erit negativus nominatoris. Imo sic: ac aequ. b. Ergo *c aequ. $\frac{b}{a}.$

Der in Kleindruck folgende Text wurde von Leibniz gestrichen:

Id est quoddam rationale est non animal, seu quoddam non animal est rationale. Omnis homo est rationalis. Ergo quidam homo est non animal. Am Rande gestrichen: Item sic: Omnis homo est rationalis. Quoddam non animal est homo. Ergo quoddam non animal est rationale. Quae conclusio bona est, sed haec quoddam rationale est non animal, non sequitur ex hac animal rationale et homo aequivalent, nisi supponatur animal et rationale esse disparata. Et hoc in meis calculis generatim notandum, posse ex iis quasdam propositiones demonstrari, quae non valent nisi tunc ubi superflua vitantur, seu cavetur ne multiplicentur aliquae literae in se invicem.