Elementa calculi

  April 1679

April. 1679. N^o 2. plag. 1. Elementa Calculi

1) Terminus est subjectum vel praedicatum propositionis categoricae. Itaque sub termino nec signum nec copulam comprehendo. Itaque cum dicitur sapiens credit, terminus erit non credit, sed credens, idem est ac si dixissem sapiens est credens.

2) Propositiones hic intelligo categoricas, cum aliud speciatim non exprimo, est autem [categorica] caeterarum fundamentum, et modales, hypotheticae, disjunctivae, aliaeque omnes categoricam supponunt. Categoricam autem voco A est B, vel A non est B, seu falsum est A esse B. Signi varietate accedente, ut vel universalis sit propositio et de omni subjecto intelligatur, vel particularis de quodam.

3) Cuilibet Termino, assignetur suus numerus characteristicus, qui adhibeatur in calculando, ut terminus ipse adhibetur in ratiocinando. Numeros autem eligo in scribendo, alia signa suo tempore et [numeris] et ipsi sermoni accommodabo. Nunc autem maxima est numerorum utilitas, ob certitudinem et tractandi facilitatem, et quia hinc ad oculum patet, omnia in notionibus ad numerorum instar certa et determinata esse.

4) Regula inveniendi numeros characteristicos aptos haec unica est, ut quando Termini dati conceptus componitur in casu recto ex conceptibus duorum pluriumve aliorum terminorum, tunc numerus termini dati characteristicus producatur ex terminorum termini dati conceptum componentium numeris characteristicis invicem multiplicatis. Verbi gratia quia Homo est Animal rationale (et quia Aurum est metallum ponderosissimum) hinc si sit Animalis (metalli) numerus a, ut 2 (m ut 3) Rationalis (ponderosissimi) vero numerus r ut 3 (p ut 5), erit numerus hominis seu h idem quod ar id est in hoc exemplo 2 , 3 seu 6 (et numerus auri seu solis s idem quod mp, id est in hoc exemplo 3 , 5 seu 15).

5) Literas adhibebimus, ut hic a, r, h (m, p, s), quando aut numeri non adsunt aut saltem non speciatim considerantur, sed generaliter tractantur, quod hoc loco in Elementis tradendis nos facere oportet. Quemadmodum in Algebra symbolica seu Arithmetica figurata fieri solet, ne quod simul ac semel in infinitis exemplis possumus in singulis praestare cogamur. Modum autem hic utendi literis infra explicabo.

6) Caeterum regula articulo 4. tradita sufficit ad omnes res totius mundi calculo nostro comprehendendas, quatenus de iis notiones distinctas habemus, id est quatenus earum requisita quaedam cognoscimus, quibus per partes examinatis, eas a quibuslibet aliis possumus distinguere, sive quatenus earum assignare possumus definitionem. Haec enim requisita nihil aliud sunt quam termini quorum notiones componunt notionem quam de re habemus. Possumus autem plerasque res ab aliis discernere per requisita, et si quae sunt quarum requisita assignare difficile sit, iis interim ascribemus numerum aliquem primitivum, eoque utemur ad alias res hujus rei ope designandas. Et hoc modo saltem omnes propositiones calculo invenire ac demonstrare poterimus, quae interim sine rei, pro primitiva interim sumtae resolutione demonstrari possunt.

Sic Euclides nuspiam utitur definitione lineae rectae in suis demonstrationibus, sed ejus loco adhibuit quaedam pro axiomatis assumta; at Archimedes cum longius vellet progredi, coactus est ipsam lineam rectam resolvere, eamque definire, inter duo puncta minimam. Itaque hoc modo non quidem omnia, attamen innumera inveniemus tum quae jam ab aliis sunt demonstrata, tum quae ab aliis ex jam cognitis definitionibus et axiomatibus atque experimentis unquam poterunt demonstrari: idque ea praerogativa nostra, ut statim de oblatis propositionibus possimus per numeros judicare an sint probatae, et ut quae alii vix summo labore animi et casu, nos solo characterum ductu, et certa methodo, eaque vere analytica demus, ac proinde quae vix multi annorum millenarii alias praebituri erant mortalibus, intra seculum exhibere valeamus.

7) Ut autem usus numerorum characteristicorum pateat in propositionibus, considerandum est; omnem propositionem veram categoricam affirmativam universalem, nihil aliud significare quam connexionem quandam inter Praedicatum et subjectum in casu recto de quo hic semper loquar, ita scilicet, ut praedicatum dicatur inesse subjecto vel contineri in subjecto, eoque vel absolute et in se spectato vel certe seu in aliquo exemplo. Seu ut subjectum dicto modo dicatur continere praedicatum: hoc est ut notio subjecti vel in se, vel cum addito involvat notionem praedicati, ac proinde ut subjectum et praedicatum sese habeant invicem, vel ut totum et pars, vel ut totum et totum coincidens, vel ut pars ad totum. Primis duobus casibus propositio est universalis affirmativa. Ita cum dico omne aurum est metallum, hoc volo tantum in notione [auri] contineri notionem metalli in casu recto, aurum enim est metallum ponderosissimum. Et cum dico omnis pius est felix, nihil aliud volo quam hoc: ejusmodi esse connexionem inter notionem pii et notionem felicis; ut is qui perfecte naturam pii intelligeret, deprehensurus sit naturam felicis in ea involvi in casu recto. At in omnibus casibus sive subjectum sive praedicatum sit pars aut totum, semper locum habet propositio particularis affirmativa. Exempli causa quoddam metallum est aurum, licet enim metallum per se non contineat aurum tamen quoddam metallum cum addito seu speciale (exempli causa id quod majorem ducati Hungarici partem facit) ejus naturae est, ut naturam auri involvat. Discrimen autem est in continendi modo, inter subjectum propositionis universalis et particularis. Nam subjectum propositionis universalis in se spectatum et absolute sumtum debet continere praedicatum, ita auri notio per se spectata et absolute sumta metalli notionem involvit. Nam notio auri est metallum ponderosissimum, sed in Propositione affirmativa particulari, sufficit aliquo addito rem succedere. Ita notio metalli absolute spectata et in se sumta non involvit auri notionem; et ut involvat addendum est aliquid. Nempe signum particulare: quoddam metallum, est enim certum quoddam metallum quod auri notionem continet. Imposterum autem cum dicemus Terminum in termino vel notionem in notione contineri, intelligemus simpliciter et in se.

8) Propositiones autem negativae tantum affirmativis contradicunt, easque falsas esse asserunt. Ita propositio particularis negativa nihil aliud praestat quam ut neget propositionem affirmativam universalem [veram] esse. Sic cum dico quoddam argentum non est solubile in aqua forti communi, hoc unum volo: falsam esse hanc propositionem affirmativam universalem Omne argentum in aqua forti communi solubile est. Nam datur exemplum contrarium si Chymistis quibusdam credimus, nempe Luna fixa ut ipsi vocant.

Propositio autem Universalis negativa tantum contradicit particulari affirmativae. Exempli causa si dicam Nullus sceleratus est felix, hoc significo: falsum esse quod aliquis sceleratus sit felix. Itaque patet ex affirmativis negativas intelligi posse et contra illas ex istis.

9) Porro in omni Propositione categorica sunt duo Termini; duo vero quilibet termini quatenus inesse aut non inesse sive contineri aut non contineri dicuntur differunt modis sequentibus. Quod vel unus continetur in altero vel neuter. Si unus continetur in altero, tunc vel unus alteri aequalis est, vel differunt ut totum et pars. Si neuter in altero continetur, tunc vel commune aliquid continent (quod non nimis remotum sit) vel toto genere differunt. Sed haec per species explicabimus.

10) Duos Terminos sese continentes et nihilominus aequales, voco coincidentes. Exempli causa notio trianguli coincidit in effectu notioni trilateri, id est tantundem continetur in una, quantum in altera, tametsi id prima fronte aliquando non appareat; sed si quis resolvat unum pariter atque alterum, tandem incidet in idem.

Ita Leibniz hat diesen Abschnitt umrandet und dazu am Rande vermerkt: NB. ^&.!! coincidunt metallum ponderosissimum inter metalla et metallum fixissimum inter metalla; tametsi absolute loquendo ponderosissimum et fixissimum non coincidant; ut exemplo Mercurii patet, nam inter haec duo cuprum et argentum vivum, patet illud esse fixissimum, hoc ponderosissimum. Sed hoc obiter.

11) Duo Termini sese continentes, nec tamen coincidentes vulgo appellantur Genus ~~et Species*, quae quoad notiones, seu terminos componentes (ut hoc loco a me spectantur),* *differunt ut pars et totum; ita ut generis notio sit pars, speciei notio sit totum, componitur enim ex genere et differentia. Exempli causa notio auri et notio metalli differunt ut pars et totum; nam in notione auri continetur notio metalli et aliquid praeterea, exempli causa notio ponderosissimi inter metalla. Itaque notio auri est major notione metalli.

12) In scholis aliter loquuntur, non notiones spectando, sed exempla notionibus universalibus subjecta. Itaque metallum dicent esse latius auro, nam plures continet* species quam aurum, et si individua auri ab una parte et individua metalli ab altera parte *numerare vellemus, utique plura essent haec illis, imo illa in his continerentur ut pars in toto. Et hac quidem observatione adhibita, et characteribus accommodatis possent omnes regulae Logicae a nobis demonstrari alio nonnihil calculo quam hoc loco fiet; tantum quadam calculi nostri inversione. Verum malui spectare notiones universales sive ideas, earumque compositiones, quia ab individuorum existentia non pendent. Itaque dico aurum majus metallo, quia plura requiruntur ad notionem auri quam metalli, et majus* *opus est aurum producere, quam metallum qualecunque. Nostrae itaque et scholarum phrases hoc loco non quidem contradicunt sibi, distinguendae sunt tamen diligenter. Caeterum in loquendi modis nihil a me sine quadam ratione atque utilitate innovari, patebit consideranti.

13) Si neuter terminorum in altero continetur, appellantur Disparata, et tunc~~ ~~rursus ut dixi vel aliquid commune habent, vel toto genere differunt. Aliquid commune habent, qui sub eodem sunt genere, quos posses dicere Conspecies, ut Homo et~~ ~~brutum animalis conceptum habent communem. Aurum et Argentum metalli, Aurum et Vitriolum communem habent conceptum mineralis. Unde patet etiam plus minusve commune habere duos terminos, prout genus [eorum] minus magisque remotum est. Nam si genus sit valde remotum, tunc exiguum etiam erit, in quo symbolizent species. Et si genus sit remotissimum, exempli gratia aliquas res dicemus esse Heterogeneas seu~~ ~~toto genere differre, ut Corpus et Spiritum, non quod nihil illis commune sit, saltem enim ambo sunt substantiae, sed quod hoc genus commune sit valde remotum. Unde patet quid Heterogeneum dicendum sit vel non, a comparatione pendere. Nobis vero in calculo sufficit duas res nullas ex quibusdam notionibus certis a nobis designatis, habere communes, etsi alias forte communes habeant.

14) Haec jam quae de Terminis sese varie continentibus aut non continentibus diximus, transferamus ad numeros eorum characteristicos. Quod facile est quia diximus articulo 4. quando terminus concurrit ad alium terminum constituendum, id est cum notio termini in notione alterius termini continetur, tunc numerum characteristicum termini constituentis, concurrere per multiplicationem ad productionem numeri characteristici pro termino constituendo assumendi; seu quod idem est numerum characteristicum termini constituendi seu alium continentis, divisibilem esse per numerum characteristicum termini constituentis seu qui alteri inest. Exempli gratia, notio animalis concurrit ad constituendam notionem hominis, itaque et numerus characteristicus animalis a (verbi* gratia 2) concurret cum alio aliquo numero r (ut 3) ad producendum per multiplicationem numerum ar sive h, (2 , 3 vel 6) nempe characteristicum hominis. Ac proinde necesse est *numerum ar vel h (sive 6) dividi posse per a (sive per 2).

*15) Quando autem Termini duo sunt coincidentes, exempli causa Homo et *Animal Rationale*; tunc et Numeri, h et ar sunt coincidentes in effectu (velut 2 , 3 et 6). Quoniam* tamen nihilominus terminus unus hoc modo alterum continet, licet reciproce, nam homo continet animal rationale (sed nihil praeterea) et animal rationale continet hominem (et nihil praeterea, quod scilicet non jam in homine contineatur), hinc necesse est et numeros h et ar (2 , 3 et 6) sese continere, quod utique verum est, quia sunt coincidentes, idem *autem numerus utique continetur in se ipso. Necesse est praeterea etiam unum per alterum posse dividi, quod etiam verum est; nam si quis numerus per seipsum dividatur prodit unitas. Itaque quod articulo praecedenti diximus, ut Termino uno alium continente, characteristicus illius divisibilis sit per characteristicum hujus, id etiam in terminis coincidentibus locum habet.

April. 1679. N^o 2. plag. 2.

16) Hinc itaque per Numeros characteristicos etiam illud scire possumus, quinam terminus alium non contineat. Nam tantummodo tentandum est utrum Numerus hujus exacte dividere possit Numerum illius. Exempli gratia, si Numerus characteristicus hominis fingatur esse 6, simiae vero 10 patet quod nec simiae notio contineat notionem hominis, nec contra haec illam, quia nec 10 dividi potest exacte per 6 nec contra 6 per 10. Hinc si quaeratur an in notione ejus qui justus est contineatur notio sapientis, id est an nihil praeterea requiratur ad sapientiam quam id quod in justitia jam continetur; tantum examinandum erit an numerus characteristicus justi dividi exacte possit per numerum characteristicum sapientis, nam si non praecedit divisio, patet adhuc aliquid requiri ad sapientiam quod non requiritur in justo; nempe scientiam rationum, potest enim aliquis esse justus per consuetudinem seu habitum etiamsi rationem eorum quae agit reddere non possit. Quomodo autem id minimum quod adhuc requiritur sive supplendum est, inveniri etiam per numeros characteristicos queat, postea dicam.

17) Itaque hinc possumus scire an propositio aliqua Affirmativa Universalis sit vera. Nam in ea semper notio subjecti absolute et indefinite sumta, ac per se atque in genere spectata, continet notionem praedicati. Omne scilicet aurum est metallum, id est metalli notio continetur in notione generali auri per se spectata ut quicquid aurum esse ponitur eo ipso metallum esse ponatur, quoniam omnia requisita metalli (ut: esse ad sensum homogeneum, in igne saltem certa ratione administrato liquidum, et tunc non madefaciens res alterius generis immersas) in requisitis auri continentur. Quemadmodum pluribus explicuimus supra articulo 7.

Itaque si velimus scire an omne aurum sit metallum (nam dubitari potest exempli gratia an aurum fulminans adhuc sit metallum quoniam est in forma pulveris, et in igne quadam ratione administrato disploditur non funditur) tantum explorabimus an ei insit metalli definitio, id est simplicissima opera, cum numeri characteristici adsunt, an numerus characteristicus auri dividi possit per numerum characteristicum metalli.

18) Sed in Propositione affirmativa particulari non est necesse ut praedicatum~~ ~~in subjecto per se et absolute spectato insit, seu ut notio subjecti per se praedicati notionem contineat, sed sufficit praedicatum in aliqua specie subjecti contineri seu notionem alicujus exempli ~~seu speciei subjecti continere notionem praedicati*; licet qualisnam ea species sit, non exprimatur. Hinc si dicas quidam expertus est prudens, non quidem illud dicitur in notione experti in se spectata contineri notionem prudentis. Neque etiam id negatur sed instituto nostro sufficit, quod aliqua species experti habet notionem, quae notionem prudentis continet tametsi forte non sit expressum, qualisnam illa sit species; nempe etsi hoc loco non exprimatur eum demum expertum esse prudentem, qui praeterea habet judicium naturale, sufficit tamen subintelligi aliquam speciem experti prudentiam involvere.

19) Imo si notio subjecti in se spectata continet notionem praedicati, utique etiam notio subjecti cum addito, seu notio speciei subjecti notionem praedicati continebit. Quod nobis sufficit, quia non negamus ipsi subjecto inesse praedicatum, cum speciei ejus inesse dicimus. Itaque possumus dicere quoddam metallum in igne (recte administrato) est liquidum; etsi potuissemus generalius et utilius sic enuntiare: Omne metallum in igne etc. Habet tamen et particularis assertio suos usus, velut cum facilius demonstratur aliquando quam generalis, aut cum auditor eam facilius recepturus est quam generalem; et particularis nobis sufficit.

20) Quoniam itaque ad propositionem particularem affirmativam nihil aliud requiritur quam ut species subjecti contineat praedicatum, hinc subjectum se habet ad praedicatum vel ut species ad genus, vel ut species ad aliquid sibi coincidens seu attributum reciprocum, vel ut genus ad speciem, id est: habebit sese notio subjecti ad notionem praedicati, vel ut totum ad partem, vel ut totum ad totum coincidens, vel ut pars ad totum, (vide supra artic. 7 et 11). Ut totum ad partem, cum notioni subjecti velut speciei inest notio praedicati velut generis, verbi gratia si bernacla sit subjectum, avis praedicatum, ut totum ad totum coincidens cum duo aequivalentia de se invicem dicuntur, ut cum triangulum est subjectum, trilaterum praedicatum; et denique ut pars ad totum, ut cum metallum est subjectum, aurum est praedicatum. Itaque dicere possumus quaedam bernacla est avis; quoddam triangulum est trilaterum (etsi has duas propositiones potuissem etiam enuntiare universaliter); denique quoddam metallum est aurum. Aliis casibus propositio particularis affirmativa locum non habet. Haec autem ita demonstro: si species subjecti continet praedicatum, utique continebit vel ut coincidens sibi vel ut partem, si ut aequale sibi seu coincidens, tunc utique praedicatum est species subjecti, quia speciei subjecti coincidit. Sin species subjecti praedicatum continet ut partem, praedicatum erit genus speciei subjecti per artic. 11. Itaque praedicatum et subjectum erunt duo genera ejusdem speciei. Jam duo genera ejusdem speciei vel coincidunt, vel si non coincidunt necessario se habent, ut genus et speciem. Hoc autem facile ostenditur, nam ex speciei notione formatur notio generis sola abjectione.  2,  3,  4,  5 Am Rande: Adamas: corpus sensibile homogeneum durabilissimum Cum ergo ex specie duorum generum communi ambo genera per abjectionem continuam prodeant, id est superfluis abjectis relinquantur, unum prodibit ante alterum; et ita unum erit ut totum, alterum ut pars.

Imo est paralogismus, et simul cadunt multa quae hactenus diximus, video enim propositionem particularem affirmativam locum habere etiam cum neutrum est genus vel species, ut quoddam animal est rationale modo scilicet Termini sint compatibiles. Hinc patet etiam non esse necesse ut vel subjectum per praedicatum vel praedicatum per subjectum dividi possit.

Quibus multa hactenus inaedificavimus. Ergo specialiora justo diximus; adeoque de integro ordiemur.