Demonstratio Axiomatum Euclidis

  22. Februar (4. März) 1679 22. febr. 1679. Pars 1. Demonstratio Axiomatum Euclidis

Apollonium olim Axiomata demonstrare aggressum narrat Proclus, idem intelligo conatum facere Robervallium. Mihi recte fecisse videntur: tum demum enim ad perfectissimas comprehensiones perveniemus, cum nihil sensui aut imaginationi fidentes, omnia ad rationes exigemus. Sed hoc fieri posse reapse ostendendum est.

Definitio 1. Aequalia sunt quae magnitudine discerni non possunt, seu quae sibi substitui possunt magnitudine salva.

Definitio 2. Minus est quod alterius parti aequale est, alterum dicitur majus, ut A partes habet E, F et F aequ. B, erit B minus quam A.

Axioma 1. Quae eidem sunt aequalia et inter se sunt aequalia.

^&.bb A a equ. B et B a equ. C. Ergo A a equ.^&.b*  (1)  (2)  (3)

A aequ. B et B aequ. C. Ergo A aequ. C. Nam quia A aequ. B per 1, ergo per def. *aequalium poterit substitui ipsi B in prop. 2, unde fiet prop. 3.

*Axioma 2. Si aequalibus aequalia adjecta sunt tota sunt aequalia.

^&.bb A a equ. B et C a equ. D. Ergo A + C a equ.^&.b*  (1)  (2)  (3)

A aequ. B et C aequ. D. Ergo A + C aequ. B + D. Nam in locum A substitui potest B per prop. 1 et in locum C substitui potest D per prop. 2. Ergo in locum A + C substitui potest B + D.

Axioma 3. Si ab aequalibus aequalia ablata sunt quae reliquuntur sunt aequalia. Est conversum prioris.

Demonstratur ut praecedens. (Potest et demonstrari ex supposito praecedenti, ^&.bb hoc modo: Si A + C a equ. B + D et C a equ. D, erit A a equ. B. Ponatur enim^&.b*  (1)  (2)  (3) hoc modo: Si A + C aequ. B + D et C aequ. D, erit A aequ. B. Ponatur enim ^&.bb A m ajus B et sit A a equ. E + F et F a equ.^&.b*  (4)  (5)  (6) A majus B et sit A aequ. E + F et F aequ. B (per definitionem minoris), erit ^&.bb F + C a equ. B + D per axioma praecedens, non ergo E + F + C aequ. B + D,^&.b*  (7) F + C aequ. B + D per axioma praecedens, non ergo E + F + C aequ. B + D, nec proinde* *(per 5) A + C aequ. B + D, quod tamen posueramus.) Am Rande: Demonstrandum est quicquid aequale non est id esse vel majus vel minus.

*Axioma 4. Si inaequalibus aequalia adjecta sunt tota sunt inaequalia.

^&.bb Sint A et B inae qualia et sit A majus B seu per defin. minoris A aequ. E + F et^&.b*  (1)

Sint A et B inaequalia et sit A majus B seu per defin. minoris A aequ. E + F et E aequ. B, et [sit] C aequ. D, erit E + C aequ. B + D per axiom. 2, ergo  E + F + C majus

  A B + D, seu si inaequalibus A et B addantur aequalia C et D fient inaequalia A + C et B + D.

Axioma 5. Eodem modo demonstratur si ab inaequalibus ablata sint aequalia residua esse inaequalia.

Axiomata 4 et 5 melius ita demonstrantur, ut non sit necesse assumere alterum altero esse majus nec demonstrare prius inaequalium alterum esse majus alterum minus. Axioma 4 sic demonstratur:

^&.bb Sint A et B inae qualia et C a equ. D, erunt A + C et B + D inae qualia. Nam^&.b*  (1)  (2)  (3)

*Sint A et B inaequalia et C aequ. D, erunt A + C et B + D inaequalia. Nam ^&.bb ponantur A + C et B + D ae qualia ^&.b*  (4) ponantur A + C et B + D aequalia et sublatis aequalibus C et D per prop. 2, erunt residua A et B aequalia per axiom. 2, quod est contra hypoth. 1. Vera ergo est conclusio prop. 3, falsa est hypothesis prop. 4.

Nota cum eadem sint quae sibi mutuo substitui possunt salva veritate, erunt eadem magnitudine seu aequalia quae sibi substitui possunt salva magnitudine.

Linea recta est, quae ad punctum extremum similiter se habet utcunque producatur, seu quae a suo extremo uniformiter procedit seu quae ex extremo aliquo similiter percipitur, utcunque producatur.

Circularis linea est, quae ex uno puncto extra ipsam similiter percipitur, utcunque producatur.

Superficiei planae et sphaericae eadem definitio est, tantum pro linea superficiem substituendo.

Quoniam possumus demonstrare omnes veritates etsi in infinitum non progrediamur resolvendo; quemadmodum propositio totum est majus parte demonstrari potest solo termino majoris resoluto, reliquis totius et partis non explicatis, ideo nobis ad geometriam perfecte absolvendam et ad characteres reducendam satis erit, si eousque continuemus resolutionem, quousque produci potest, id est, donec omnium axiomatum demonstratio habeatur. Et quidem axiomata de aequalitate, inaequalitate additorum etc. demonstrare facile est.

Demonstrandum est Congrua aequalia esse.

Congrua sunt quae omnium partium terminos habere possunt simili-similiter [positos]; seu quoad situm indiscernibiles, seu eundem situm habentes. Seu quae ita sita esse possunt, ut puncto cuilibet unius respondeat punctum alterius eodem modo situm. Congrua sunt quae hoc modo sita esse possunt: Congruunt quae reapse ita sita sunt:

Congruunt quae situ discerni non possunt, id est quorum pars quaelibet cuilibet respondenti per se sine ulla ad totum relatione similiter sita est. Ita ABCD et AEFG similiter quidem sita sunt, sed non congruunt, nam etsi ex puncto A discerni non possint, ABCD et AEFG tamen ex puncto G discerni possunt.

Itaque congrua sunt quae simul percepta nullo modo quoad situm discerni possunt. Hinc quae congruunt eorum et partes congruunt.

Similia sunt quae separatim percepta sine aliquo forinsecus assumto, seu per solum situm partium discerni non possunt.

Similiter posita sunt, quae simul ex aliquo puncto percepta discerni non possunt.

Quantitas est numerus partium quae quibusdam determinatis congruere possunt. Imo quia diverso modo numerus partium assignari potest, sequeretur diversas esse quantitates. Itaque dicerem potius est rei attributum quod per numerum congruentiarum rei vel omnium ejus partium cum determinatis rebus cognosci potest. Ita tripedalitas per ternarium partium pedi congruentium. Am Rande: Quantitas est rei attributum, quod cognosci potest, per congruentiam omnium rei partium cum aliis rebus determinatis. Ita fieri potest ut detur linea recta cujus aliquae partes congruant lateri quadrati, aliae [bricht ab]

Aequalium eadem est quantitas, id est eundem habent numerum partium determinatis rebus congruentium.

Quae eidem congruunt aequalia sunt, nam ponatur eam rem esse certam et determinatam, utique cum unumquodque eidem rei totum semel congruat, eodem modo eorum quantitas per congruitatem cum certa re cognosci potest, itaque eadem erit eorum quantitas. Hic est primarius congruentiae modus cum tota semel congruunt.

Quae inter se congruunt aequalia sunt, nam sint a et b congruentia, utique a congruit ipsi b, et b etiam congruit ipsi b, ergo a et b eidem congruunt, adeoque aequalia sunt per praecedentem.

Quantitas est posse totum congruere certo modo secundum aliquem numerum repetitionum et assumtionem rerum partiumque rebus determinatis.

Ejusdem sunt quantitatis quae iisdem rebus eodem modo congruere possunt, seu ut in modo congruendi nullum sit discrimen.

Hinc quae eidem toti tota simul congruunt aequalia sunt, nam neque in re neque in modo congruendi differentia est.

Quae inter se tota semel congruunt eidem toti congruunt.

Sese Attingentia sunt quae aliquod punctum habent congruens.

Extima sunt in quibus nullum punctum designari potest, quod non solum alterius puncto alicui congruere possit. Am Rande: Ambitus est cujus punctum quodlibet ab alio extenso tangi potest. Tangi id est in uno solo puncto congruere.

Extensum in se cognoscitur per situm partium quarundam, quo inveniri potest situs partium caeterarum.

Si cognoscatur ambitus extensi, cognoscetur ipsum extensum.

Si cognoscatur situs punctorum per se determinatorum situ a caeteris distincto, cognoscetur et situs reliquorum punctorum quae per haec determinantur.

Per se determinata intelligo [puncta] cum ratio est cur haec prae illis considerentur. Ut in figuris rectilineis anguli; in curvilineis vel mixtilineis diversae speciei linearum vel superficierum tactiones, id est intersectiones vel contactus. Fieri potest ut in aliquo extenso nullum detur punctum eminens, ut in circumferentia circuli vel in recta aut helice cylindrica infinita.

Ex dato ambitu solidi solidum ipsum determinatum est, seu duo diversa solida eundem ambitum habere non possunt, nisi congruentia sint. Nam puncta distingui non possunt nisi per alia puncta quae ab aliis distinguuntur, id est per ea quibus solidum terminatur. Hinc si solidum determinatum est, per ambitum determinatum est. Hinc sequitur solida quorum ambitus integer congruit, congruere ipsamet, puncta omnia per ambitum determinantur, et aeque per ambitum unius ac per ambitum alterius, ergo discerni non possunt, quoniam per ea quae discerni non possunt determinantur. Punctum omne intra solidum ab alio quolibet intra solidum per se discerni non posse manifestum est, quia eodem modo solidi partibus medium est. Verbi gratia si quis sit in aqua unum locum aquae ab alio discernere non poterit; praeter fundum et superficiem. Sola ergo puncta quae in ambitu sunt per se discernuntur, et ex his solis proinde necesse est determinari caetera quae non per se discernuntur seu non in ipsis.

In superficie uniformi, plana, sphaericave scilicet, puncta a se invicem discerni non possunt praeter terminos, eodem enim modo se habet punctum quodlibet ad partes vicinas, idemque est in lineis recta, circulari, helice cylindrica. In integra circumferentia circuli, integraque linea recta, infinita, aut superficie sphaerica vel plano infinito nulla sunt puncta quae ab aliis discerni possint; itaque sumtis quibuscunque necesse est determinari puncta extra ipsa quae ab aliis possunt discerni, ut in sphaera centrum, vel nulla erunt ejusmodi puncta ut ne extra quidem lineam rectam tale quid reperitur. Itaque punctum aliquod pro arbitrio sumendum est; pro arbitrio id est ob causas externas.

Determinata est figura cujus puncta quotcunque ex totidem cujusdam determinatae figurae punctis inveniri possunt.

Determinata est figura cujus inveniri possunt puncta quotcunque ex datis punctis certis ope cujusdam regulae. Hinc sequitur figuram etiam esse determinatam, cujus puncta quotcunque ex totidem punctis figurae respondentis determinari possunt, nam ipsa figura respondens utique jam est determinata per pauca puncta, vel adhuc per aliam, id est tandem per pauca puncta ne res eat in infinitum, seu nihil sit nobis determinatum.

Linea recta est quae duobus punctis datis positione data est, id est quae duobus quibusdam punctis existentibus immobilibus, licet caetera omnia moveantur, ipsa est immobilis quae vera est generatio lineae rectae. Am Rande: NB.: vera definitio rectae. Hinc «etiam» demonstratur minimam esse, nam sola minima determinata est.

Punctum in linea recta esse intelligitur, quod ita situm est ad duo alia puncta, ut his duobus existentibus immobilibus situm ad alia mutare non possit, nisi situm ad haec quoque mutet.

Et hic est verus modus determinandi omnia puncta lineae rectae.

Brevius: si determinato situ AB, BC, determinatum est AC, punctum B erit in recta AC. Am Rande: NB. Si ex tribus punctis A, B, C datis duobus et situ tertii ad ipsa detur tertium, ideo tantum quod tertium ad ipsa quam determinatissime seu simplicissime situm est, tria puncta A, B, C dicentur esse in una recta. Vel sic: Si AB, CB perceptis eo ipso percipiatur AC, si quis attendat, erunt A, B, C in eadem recta. Vel si AB, BC, AC sint ut totum et omnes partes, seu si AB + BC aequ. AC, imo congruunt.

Itaque in characteristica situs, ad rectam designandam satis est hoc exprimi, si sint puncta A, B, C, D et datis AB, BC, AC, AD, CD detur BD, erit B in recta indefinita AC... Melius sic: Data sint puncta A, C, D; et rectae AB, CB, si hinc detur recta BD, erit B in recta AC indefinita. Am Rande: Datis AB, CB, DB datur punctum B, hoc demonstrandum est.

Eodem modo planum est quod datis tribus punctis determinatur positione (non magnitudine). Plaga est, quod puncto ex duobus aliis dato restat determinandum, ut ipsum punctum detur. Vel potius plaga est recta positione data uno tantum puncto terminata. 22. febr. 1679. Pars 2. Demonstratio axiomatum Euclidis

Situm habere duo puncta sic exprimo: AC, id est concipio ambo simul percipi.

Eodem modo situm trium punctorum simul perceptorum ita exprimo: ABC.

Si situs AB sit perceptus, itemque situs BC, et eo ipso perceptus sit situs AC, erunt A, B, C, in eadem recta; sed qua nota sciemus nos duobus perceptis tertium percepisse? Si situs AB, BC, AC, congruant. Seu si tribus simul perceptis hoc quoque percipiatur AB, BC ipsi AC congruere, seu potius AC et BC perceptis eo ipso percipi AC.

Cum positione datis A, C punctum B situm habet salvo situ cum A et C invariabilem, erunt A, B, C in eadem recta. Seu positione datis: A, C et specie datis AB, CB, si punctum B talem habet speciem situs ad haec duo ut eo ipso positione datum sit, seu si punctum B habet speciem situs ad haec duo invariabilem, erit in linea recta.

Notandum est autem speciem illam situs tum demum esse [in]variabilem, cum congruunt, seu cum AB; BC simul congruunt ipsi AC.

Notandum hanc congruentiam vel aequalitatem esse et in linea circulari, nam arcus AB, BC aequantur arcui AC. Verum situs non aequantur. Situm enim percipere est percipere duo puncta et nihil praeterea nisi hoc unum quod nihil praeterea notari possit, et hic ipse conceptus est lineae rectae.

Imo difficultas circa punctum medium. In recta assignato puncto medio nihil praeterea quaeri potest, in circulari quaeri potest praeterea aliud cur circulus hoc modo flectatur non alio.

Definita recta quae ex duobus punctis determinatur, Darüber: Determinatum est positione et magnitudine datum. hinc facile demonstratur esse minimam, nam aut nulla aut unica est minima. Nulla autem datur maxima.

Hinc statim patet etiam rectas AB + [BC aequari rectae AC.] Nam si major via electa est, punctum B non est determinatum ex data [AC], eo ipso enim determinatur, quod brevissimam monstrat viam. Sed haec distinctius demonstranda. Quod videtur ita fieri: Demonstrandum est viam AB + BC esse minimam, si B cadat in lineam rectam.

Recta est quae duobus punctis sine alia conditione adjecta determinata est. Am Rande: Meliorem adhuc inveni definitionem rectae, quod scilicet eodem modo se habent omnia ejus puncta ad unum. Et hinc sequitur per duo determinari, nam adhuc uno praeter ipsum determinato, reliqua omnia quae eodem modo se habent ad primum, ac assumtum, determinantur.

Determinata id est magnitudine et positione data seu invariabilis omnino, ergo nec magnitudine, et hinc est minima, nec positione, et hinc immobilis.

Magnitudine datum intelligitur cui sub propositis conditionibus non nisi una magnitudo competere potest, eique potest alia construi aequalis.

Positione datum est cui sub iisdem conditionibus non nisi unus esse potest situs, et is potest construi. Am Rande: Situs duo continet, puncta positione dari, seu percipi, et percipi simul seu eorum distantiam. Datum est, quod sub his conditionibus invariabile.

Brevius: Magnitudine data est cum alia exhiberi potest quam constat esse huic aequalem. Positione data est cum exhiberi potest quam constat esse huic congruentem.

Unaquaque linea inter duo puncta ABC dari potest major. Sit enim quaecunque per punctum aliquod ut B, sumatur aliud D, quod magis distet ab A et C, quam ab iis B distat, erit ADC major. Ostendendum prius: Distantiam esse lineam minimam inter duo puncta, imo hoc est definitio. Ostendendum dari lineam minimam inter duo puncta.

A quolibet puncto in quodlibet punctum duci potest linea. Id est quotcunque sumi possunt puncta quorum extrema sint data.

A quolibet puncto ad quodlibet [duci] potest linea evitando punctum datum. Id est quotcunque sumi possunt puncta quorum extrema sint data, et ex quibus non sit punctum datum.

A quolibet puncto ad quodlibet duci potest linea per punctum datum. Id est quotcunque sumi possunt [puncta] quorum extrema sint data, et medium aliquod etiam datum.

Ex his sequitur qualibet linea ab uno puncto ad aliud duci posse majorem. Nam sit linea ABC, ab A ad C per punctum [B], ajo aliam duci posse majorem, sumatur aliud punctum D, poterit a B ad ipsum duci linea quae non transeat nec per A nec per C; a D ducatur linea ad C, erit ABDC major quam ABC. Imo imperfecta est demonstratio.

Situs est rei conditio secundum quam alia percepta et ipsam percipere in potestate est, extensione tantum considerata.

Recta est linea quae duobus punctis datis sine ulla alia praeterea conditione quam hac, ut eo ipso determinata sit, determinata est. Am Rande: Quaeri adhuc potest an detur linea quae sic determinetur. Sed hoc patet ex generali axiomate, quod ex duobus quibuslibet simul sumtis semper aliquid novi determinetur, plus enim est ea simul ponere, quam ea ponere singulatim.

Duae rectae sunt similes inter se, seu nisi ad externa referantur, discerni a se invicem non possunt.

Nam punctum unum alteri simile est, et hoc ipsum, ut per haec sola puncta detur, etiam ubique simile est, neque inde apparere potest differentia, nisi aliquid aliud considerationi addatur.

Recta linea habet partes; quia est linea, seu quia in ea duo sunt puncta extrema et unum sumi potest medium. Pars una erit quae continet puncta omnia inter unum extremum et medium, [altera] omnia inter alterum extremum et medium. Sed hic videndum est quid sit intersitum. Punctum inter duo puncta situm intelligitur, si punctum quod ab uno ad aliud tendit in eadem linea per hoc primum transire debet. Seu si lineam ordine per partes consideres, ab uno puncto incipiendo, prius hoc punctum quod medium vocatur considerare poteris, quam extremum, salvo ordine.

Extensum est in quo diversa similia simul percipi possunt.

Situm seu positionem habet quod in extenso percipere possumus, nulla in ipso mutatione facta.

Positione datum est quod in extenso percipere in nostra potestate est seu in quod ex iis quae jam percipimus ordine progredientes ita incidere possumus, ut simul nos in ipsum incidere sciamus. Nam si in nostra potestate est, necesse est, ut id assequamur, utendo iis quae jam habemus, id est quae jam percipimus.

Ordo autem progrediendi id postulat, ut primum percipiamus a et b, postea b et c, per modum catenae, alioqui ordo quidem est in cogitando sed non in situ seu in objecto.

Ordo naturalis est qui simul et facilior et distinctior est, cum omnia aeque distincta sunt, naturalior est ordo qui simplicior est.

Recta linea est quae inter duo puncta cogitata simplicissima est.

Recta linea determinata est duobus in ea punctis determinatis.

Punctum in linea recta est cum duobus aliis punctis, si situ ad haec duo puncta eodem manente, situm omnino mutare non potest.

Situs puncti ad punctum unicum sola magnitudine et specie lineae interjectae determinari non potest.

Recta est extensio quae perceptis duobus punctis simul, necessario eo ipso percipitur.

Videndum an non definitioni extensionis obstat quod sonus et color simul percipitur, sed non obstat, quia non sunt similia.

Recta linea est quae duobus punctis perceptis simul eo ipso percipitur. Difficultas quod puncta non percipiuntur. Imo percipiuntur quia extrema.

Linea flexa ad quam percipiendam opus est plurium punctorum perceptione.

Linea recta est quae concipitur, si duo puncta simul in ea percipi concipiantur.

Extensum est in quo diversa percipi possunt ipsi in eo similia in quo inter se similia sunt, ea autem situm habere dicuntur.

Punctum est simplicissimum eorum quae situm habent.

Spatii natura est aliquid quo fit ut plura sint capacia ut simile aliquid in ipsis percipi possit, aeque in toto ac partibus.

Exempli causa motus: albedo; resistentia. Nam etiam cum omnia hujusmodi a corpore removemus, relinquimus tamen imaginando velut tenebras, quod spatium vocamus. Idem fit tactu, nam calorem et frigus, liquorem et siccitatem, et alia id genus in multis simul-percipientes eodem modo; aut certe aliquid aliud horum loco, concipimus id quod vocant Extensionem, seu capacitatem qualitatis ejusdem.

In extenso illud percipimus, nos multa percipere posse.

In extenso per se percipimus nos multa percipere posse, sed et posse fieri ut nulla sit causa cur aliud prae alio concipiamus. Itaque in extenso absolute sumto nulli sunt limites; nam limites prae aliis percipiuntur.

Vera methodus tradendi a priori est, componendi omnia ex conceptibus primis et simplicissimis: ita ut simul appareat, ea quae concipimus esse possibilia, seu ut appareat eorum causa. Itaque definitiones erunt conclusiones propositionum possibilitatis.

Punctum aliquod ad aliud punctum certo quodam modo situm dicitur, si sit terminus lineae cujusdam specie et magnitudine datae, a puncto altero incipientis.

Linea recta dicitur in qua punctum assumtum ad duo extrema puncta ita situm est, ut aliud punctum ad eadem puncta eodem modo situm uspiam reperiri non possit. Seu si ABC congruere non potest ADC, B et D esse diversa.

Linea circularis est in qua punctum unumquodque ad duo puncta data eodem modo situm est. (Nam relatione ad unum punctum non determinatur linea circularis, nisi addas in eodem plano.) Seu si ABC congruere potest ADC erunt B, D in arcu circuli.

Si ABC et ADC congrua sint et B et D necessario coincidant erunt A, B, D in eadem recta; sin B et D sint diversa erunt in eodem arcu circuli.

Linea est locus punctorum numero majore quam qui assignatur qui ab aliis quibuslibet punctis certa quadam nota distingui possunt seu Linea est locus punctorum quotcunque communem proprietatem habentium.

Superficies est locus linearum quotcunque communem proprietatem habentium.

Corpus est locus superficierum quotcunque communem proprietatem habentium.

Ostendendum locum corporum quotcunque communem proprietatem habentium (ut sectorum sphaerae), esse corpus.

Imo notandum posse dari locum linearum quotcunque communem proprietatem habentium etsi non inde fiat superficies, ut si lineae addatur dimidium ejus, et dimidium dimidii, etc. etc.

Linea est locus punctorum quotcunque, quae ordine respondent non trium sed duorum aliorum locorum punctis sibi ordine respondentibus, quibus determinatis et in hac respondens punctum per certam aliquam regulam determinatur.

Superficies est locus punctorum quotcunque quae ordine respondent trium aliorum locorum punctis etc. Sed hoc non sufficit quia non potest hinc dignosci an quod per duo loca alia determinatur non forte per tria determinari possit.

Lineae sunt duo punctorum numero indefinitorum loca, quae utcunque sita sint, non nisi definitum punctorum numerum possunt habere communem. Am Rande: NB.

Superficies sunt duo punctorum numero indefinitorum loca, quae utcunque sita sint, non nisi definitum linearum numerum possunt habere communem. Seu Superficies sunt tria punctorum numero indefinitorum loca, quae utcunque sita non nisi definitum punctorum numerum possunt habere communem. Seu Superficies sunt duo linearum numero indefinitarum loca, quae utcunque sita sint non nisi definitum linearum numerum possunt habere communem.

Corpora sunt quatuor punctorum numero indefinitorum loca quae utcunque sita non nisi definitum punctorum numerum possunt habere communem; vel sunt tria linearum numero indefinitarum loca, quae utcunque sita sint, non nisi definitum linearum numerum, possunt habere communem, vel sunt duo superficierum [numero] indefinitarum [loca] quae utcunque sita non nisi unam superficiem possunt habere communem.

Imo vero error est in definitione corporum. Nam corpora quae se non tangunt sed secant habent semper corpus aliquod commune, quod secus est in lineis et superficiebus.

Nimirum in corpore sunt puncta quae ab alio corpore tangi non possunt.

Spatium est locus corporum.

Corpus est substantia in qua partes intelligi possunt.

Extensio est illa capacitas Darüber: possibilitas qua intelligi potest aliquid reperiri in toto quod reperitur in qualibet parte. Quod sane dicitur forma; sed capacitas hujusmodi qualitatis Darüber: formae dicitur extensio.

Locus est extensum in quo nihil aliud quam extensio considerari potest, quod in toto ac in partibus similiter sit. Seu cujus forma nulla alia est quam extensio. Malim dicere formam illam esse aliud quiddam, seu spatialitatem. Puncto enim competit spatialitas seu homogeneitas cum linea, etsi non sit extensum. Ita imaginamur totum corpus durum esse, moveri, album esse, existere, ne puncto quidem excepto.

Cum loca sint in quibus omnia puncta certam habent regulam, seu modum ea determinandi, et ea determinatio fiat, vel ex alio loco, vel ex quibusdam datis punctis propriis; et rursus sive ex alio loco sive punctis propriis jam datis, modus determinandi sit situs quidam novi puncti; is autem situs novi puncti sit iterum, ut sit extremum lineae cujusdam certo modo definitae et magnitudine et positione etc. datae, necesse est tandem vel nulla unquam fieri intelligive posse loco, vel quaedam esse prima, quae sola punctorum duorum extremorum consideratione determinantur, et haec est linea recta.