Series VI Band 4 · No. 222₃.
Demonstratio reperta
DEMONSTRATIO REPERTA
Demonstratio pure Analytica
Quod in multiplicatione ─ in ─ faciat +
Sit quantitas x ─ b multiplicanda in aliam x ─ c ajo multiplicationem fieri hoc modo:
^&.bb
Primum ponatur x aequ. b, ergo etiam erit x + c aequ. b + c. Ergo x2 + xc aequ. bx + cx multiplicatis scilicet omnibus per x. Et pro xc ponendo bc (quia x aequ. b), fiet *x2 + bc aequ. bx + cx sive fiet:
*x2 ─ bx + bc aequ. 0. ─ cx
Jam si multiplicetur x - b per x - c, prodibit
Nam si id quod nihilo aequale est (hoc loco x ─ b) multiplices per quidvis productum etiam nihilo aequale erit. Hinc conferendo has duas aequationes invicem necessario fit bc aequ. U, adeoque ─ b in ─ c dedit U seu + bc.
Quod autem processit posito x aequ. b, procedet etiam in alia multiplicatione quacunque, ut facile patet, nam sit d ─ b multiplicanda per x ─ c. Utique poterimus facere d aequ. e + x (quia d est major quam x, adeoque et major quam b, posito x aequ. b) et fiet: e + x ─ b multiplicanda per x ─ c, et necessario fiet productum ex ─ ec + x2 ─ bx ─ cx + bc. Fit enim utique ex ─ ec + x2 ─ bx ─ cx · U. Quod tantundem esse debet quod ex ─ ec (quia x ─ b aequ. 0, ergo e + x ─ b in x ─ c idem quod e in x ─ c). Ergo x2 ─ bx ─ cx + U aequ. 0, ergo ut supra U aequ. + bc.
Jam ostendemus idem fieri debuisse etsi d fuisset retenta nec per x explicata quia peracta per d multiplicatione utique postea explicare licet d per e + x. Nimirum ostendimus ex ─ ec + x2 ─ bx ─ cx + bc esse aequ. d ─ b in x ─ c. Jam d ─ b in x aequ. ex + x2 ─ bx (ob valorem ipsius d) et d ─ b in - c aequ. ─ dc · U, id est (quia d aequ. e + x) d ─ b in ─ c aequ. ─ ec ─ xc · U. Ergo summa collecta ex + x2 ─ bx ─ ec ─ xc · U aequale superiori ex ─ ec + x2 ─ bx ─ cx + bc. Ergo ablatis utriaque iisdem fiet U aequ. + bc.
Breviorem hanc demonstrationem reddidissem si vacasset. Facile etiam patet idem fore et si adhibuissemus non x ─ c sed aliam quamvis ut f ─ c.