Demonstratio reperta

Facsimile: Teilband B (pp. 1003–1528)

AkademieLatin

DEMONSTRATIO REPERTA Demonstratio pure Analytica Quod in multiplicatione ─ in ─ faciat +

Sit quantitas x ─ b multiplicanda in aliam x ─ c ajo multiplicationem fieri hoc modo:  + x2  ─ b x}  x ─ b  x ─ c  ─ cx + bc  + x2  ─ bx NB. Manifesta autem est pars multiplicationis x2 ─ bx ─ cx, quaeritur solum an admitti possit ─ b in ─ c dare + bc. Quod sic ostendo:

Primum ponatur x aequ. b, ergo etiam erit x + c aequ. b + c. Ergo x2 + xc aequ. bx + cx multiplicatis scilicet omnibus per x. Et pro xc ponendo bc (quia x aequ. b), fiet x2 + bc aequ. bx + cx sive fiet:

x2  ─ bx + bc aequ. 0.  ─ cx

Jam si multiplicetur x - b per x - c, prodibit +x2─bx─ b}+x─ b+x─ c─ cx+Θ+x2─ bx x2  ─ bx + Θ aequ. 0.  ─ cx

Nam si id quod nihilo aequale est (hoc loco x ─ b) multiplices per quidvis productum etiam nihilo aequale erit. Hinc conferendo has duas aequationes invicem necessario fit bc aequ. Θ, adeoque ─ b in ─ c dedit Θ seu + bc.

Quod autem processit posito x aequ. b, procedet etiam in alia multiplicatione quacunque, ut facile patet, nam sit d ─ b multiplicanda per x ─ c. Utique poterimus facere d aequ. e + x (quia d est major quam x, adeoque et major quam b, posito x aequ. b) et fiet: e + x ─ b multiplicanda per x ─ c, et necessario fiet productum ex ─ ec + x2 ─ bx ─ cx + bc. Fit enim utique ex ─ ec + x2 ─ bx ─ cx · Θ. Quod tantundem esse debet quod ex ─ ec (quia x ─ b aequ. 0, ergo e + x ─ b in x ─ c idem quod e in x ─ c). Ergo x2 ─ bx ─ cx + Θ aequ. 0, ergo ut supra Θ aequ. + bc.

Jam ostendemus idem fieri debuisse etsi d fuisset retenta nec per x explicata quia peracta per d multiplicatione utique postea explicare licet d per e + x. Nimirum ­ostendimus ex ─ ec + x2 ─ bx ─ cx + bc esse aequ. d ─ b in x ─ c. Jam d ─ b in x aequ. ex + x2 ─ bx (ob valorem ipsius d) et d ─ b in - c aequ. ─ dc · Θ, id est (quia d aequ. e + x) d ─ b in ─ c aequ. ─ ec ─ xc · Θ. Ergo summa collecta ex + x2 ─ bx ─ ec ─ xc · Θ aequale superiori ex ─ ec + x2 ─ bx ─ cx + bc. Ergo ablatis utriaque iisdem fiet Θ aequ. + bc.

Breviorem hanc demonstrationem reddidissem si vacasset. Facile etiam patet idem fore et si adhibuissemus non x ─ c sed aliam quamvis ut f ─ c.