De calculo irrepetibilium

 [März bis April 1687 (?)]

Si idem ponitur et detrahitur, quicquid inde in alio constituitur coincidit Nihilo, seu A (quotiescunque ponitur in aliqua re constituenda) ─ A (quotiescunque detrahitur in eadem) ^&.SE Nih. seu ^#6+A + A + A etc.^#6- ─ ^#6+A + A + A etc.^#6- ^&.SE Nih.

Schol. hoc est A ─ A ^&.SE Nih., si non amplius adsit A, in re de qua agitur constituenda; vel ^#6+A + A^#6- ─ A ^&.SE Nih., si bis adsit in toto posito et semel in toto detrahendo; vel A ─ ^#6+A + A^#6- ^&.SE Nih. si contra. Et ita porro quia per Axioma praecedens pluribus A unum coincidit.

Problema aliquam rem ita constituere ex pluribus, ut pro eodem in ea expresse posito et detracto, non liceat substituere Nihil.

Si a coincidentibus detrahantur coincidentia, residua sunt coincidentia. Si A ^&.SE L et B ^&.SE M erit A ─ B ^&.SE L ─ M. Nam A ─ B ^&.SE A ─ B (patet per se) et in posteriori pro A substituendo L, et pro B substituendo [M], (ex definitione coincidentium) fit A ─ B ^&.SE L ─ M. Quod erat demonstrandum.

Si A + N ─ M ─ N ^&.SE P, et N cum A, itemque N cum M sit incommunicans, erit A ─ M ^&.SE P.

Expressa ejusdem positio et detractio in aliquo constituendo se mutuo destruunt, si nulla adsit tacita.

Nam in P nihil aliud extra N ponitur quam A. Ergo quicquid in P extra N poni tacite debet id poni debet in A; ergo et si id quod est in N extra N tacite ponitur in A poni debet, quod est contra Hypothesin. Posuimus enim [bricht ab]

Compensationem voco, si idem ponitur et detrahitur, eamque expressam si expresse quod in alio exprim«endum».

Ex compensatione expressa sequitur destructio tum demum, si nihil sit in destruendo, quod tacite repetitum constitutionem ingrediatur extra compensationem, aut si praecise id omne compensationis, quod extra eam praecise tantum repetitur tam in positione quam detractione repetatur seu A + N ─ M ─ N ^&.SE A ─ M, si nihil sit in N, quod sit etiam in A aut in M. Ita enim + N expressum, vel quod in ipso est, erit quotiescunque hic ponitur; et ─ N expressum, vel quod in ipso est, erit quotiescunque hic detrahitur. (Nam ex hypothesi praeter A et M nihil extra N adest.) Ergo per axioma 2 N ─ N ^&.SE Nihil. Sed in casu communicationis constructio non est tuta. Nam ponamus A + B ─ B ─ P ^&.SE F ut quod habeant A et B commune sit M, seu sit A ^&.SE Q + M, et B ^&.SE N + M, quae Q, M, N, P nihil habent amplius commune, alioqui ulterius essent resolvenda. His positis nego pro supra dicto scribi posse A ─ P ^&.SE F. Nam explicando A et B per valores dictos, fiet: Q + M + N + M ─ M ─ N ─ P ^&.SE F hoc est (per Axioma 2) Q ─ P ^&.SE F. Ergo falsum est A ─ P seu Q + M ─ P esse ^&.SE F. Similis erit demonstratio si non A et B, sed B et P aliquid commune habeant; vel si A et B, itemque B et P aliquid commune habeant, nisi contingat, ut quod ipsis A et B commune etiam sit ipsis B et [P] commune quo posito succedet constructio, ut ostendet resolutio, nam sit A + B ─ B ─ P ^&.SE F, et A ^&.SE Q + M, et B ^&.SE N + M, et P ^&.SE H + M, dico fore F ^&.SE A ─ P. Nam resolvendo A, B, P, fiet F ^&.SE Q + M + N + M ─ N ─ M ─ H ─ M ^&.SE (per axioma 2.) Q ─ H, quod ^&.SE A ─ P, seu Q + M ─ H ─ M. Verum quando ignoratur [bricht ab] A  + B ^&.SE A + C  8010  A + F

In hoc calculo literae A, B, etc. significant certa quaedam irrepetibilia verbi gratia res singulares, item notiones universales, unde repetitio est inutilis; item ordinis quoque hic non habetur ratio.

Subalternatur calculo de combinationibus in universum ubi non ingreditur Axioma A + A ^&.SE A.

Si A est in L, erit A + B in L + B. Nam L ^&.SE A + N. Jam A + B est in A + N + B. Ergo in L + B.

Si A + B est in L + B, A est in L, hoc non sequitur.

Si A est in B et B est in A erit A ^&.SE B. Nam si A est in B erit A + N ^&.SE B. Ergo A + N est in A. Ergo N est in A. Ergo A + N ^&.SE A.

Probanda haec consequentia: Si A + N est in A, etiam N est in A. Nam si A + N est in A. Erit A + A + N ^&.SE A (per propositionem). Ergo A + N ^&.SE A (per axioma). Ergo (per propositionem) N est in A.

Si A + N est in A etiam N est in A, nam N est in A + N.

Datis duobus A et B invenire tertium ab iis diversum C, ut nihilominus A + C et B + C coincidant. Fiat A ^&.Sg B (per postulatum 1.) in quo sumatur aliquid, quod neque sit ^&.SE A neque ^&.SE B et factum erit quod quaeritur.

Hic prius ostendendum est, dato quolibet cujus data sunt aliqua inexistentia inter se diversa, posse haberi aliud a singulis diversum, nempe compositum ex omnibus vel aliquibus. Quod si quis velit aliquid in eo reperiri, ne compositum quidem ex inexistentibus datis, oportet ut inveniat eorum resolutionem, quae cum dari non ponatur non video quomodo haberi possit, nisi habeant aliquid commune ubi detractio adhiberi potest, sed ea non est hujus loci.

Ostendendum quod pluribus datis, quae singula inter se diversa, aliquid componi potest ex ipsis a singulis diversum. Posset et doctrina combinationum his conjungi.

In additione seu compositione non habetur ratio qualitatis inter res, neque ordinis, sed simpliciter positionis, ut eodem modo ambo considerentur ad unum aliquod constituendum, quod singulis positis aequivalet.

Adhibere licebit numeros ut quaternarius, verbi gratia binarius, quaternarius, octonarius.

Post definitionem de Continente et contento veniendum est ad definitionem de Subalternante et disparato, seu de iis quorum alterutrum est continens vel contentum.

Pro A ^&.Sg B posset simpliciter poni AB.

Calculus de continentibus et contentis est species quaedam calculi de combinationibus, quando scil. nec ordinis rerum, nec repetitionis ratio habetur. Itaque praemittenda esset tractatio de variationibus generalis, nisi malimus hanc considerare ut simpliciorem.

Hic quae eadem nota designantur sunt coincidentia.