Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis

 [Februar bis April 1687 (?)]

Def. 1. Eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate. Si sint A et B et A ingrediatur aliquam propositionem veram, et ibi in aliquo loco ipsius A pro ipso substituendo B, fiat nova propositio, eaque itidem vera idque semper succedat in quacunque tali propositione; A et B dicuntur esse Eadem, et contra, si Eadem sint A et B, procedet substitutio quam dixi. Eadem etiam vocantur coincidentia. Aliquando tamen A quidem et A vocantur idem; A vero et B si sint eadem vocantur coincidentia.

Def. 2. Diversa sunt quae sunt non eadem, seu in quibus substitutio aliquando non succedit.

Corollarium. Unde etiam, quae non sunt diversa sunt eadem.

Charact. 1. A ^&.SE B significat A et B esse eadem vel coincidentia.

Charact. 2. A non ^&.SE B, vel B non ^&.SE A, significat A et B esse diversa.

Def. 3. Si plura simul sumta coincidant uni; plurium quodlibet dicitur inesse vel contineri in uno isto, ipsum autem Unum dicitur continens. Et contra, si quid insit alteri, erit inter plura simul coincidentia illi alteri. Ut si A et B simul sumta coincidant ipsi L; A, ut et B dicetur inexistens vel contentum; at L dicetur continens. Fieri tamen potest, ut continens et contentum coincidant, ut si sit A + B ^&.SE L, et coincidant A et L, tunc enim B nihil aliud continebit quam A, sed si non significet A, significabit Nihil.

Scholium. Non omne inexistens est pars, nec omne continens est totum, ex. gr. quadratum inscriptum, et diameter circulo inest; et quadratum quidem est pars circuli, diameter vero non est pars ejus. Addendum est ergo aliquid ad notionem totius et partis accurate explicandam, quod non est hujus loci. Et vero non insunt tantum, sed et detrahi possunt ea quae partes non sunt, ex. gr. centrum ex circulo ita ut in residuo sint omnia puncta praeter centrum; id enim residuum erit locus omnium punctorum intra circulum, quorum distantia a circumferentia est minor radio, cujus loci differentia a circulo est punctum, nempe centrum. Ita locus omnium punctorum quae moventur, sphaera duobus ejus punctis diametro distantibus, immotis, mota, fit si a sphaera detrahas axem seu diametrum per duo puncta immota transeuntem.

Iisdem positis, A et B simul sumta dicuntur constituentia, L autem constitutum.

Charact. 3. A + B ^&.SE L significat A inesse ipsi L, vel contineri a [L].

Scholium. Etsi A et B habeant aliquid commune, ita ut ambo simul sint majora ipso L; nihilo minus locum habebunt, quae hoc loco diximus aut dicemus. Exemplo rem declarare utile erit: L significet rectam RX, et A partem ejus, rectam scilicet RS, et B aliam ejus partem, rectam scilicet XY. Ponatur quaelibet harum partium RS, vel XY major esse dimidio totius RX; utique non potest dici A + B aequ. L seu [RS] + XY aequ. RX. Nam revera quia YS est pars communis ipsarum RS et XY, erit RS + XY aequ. RX + SY, et tamen vere dici potest rectas RS et XY simul, coincidere rectae RX.

Def. 4. Si aliquid M insit ipsi A itemque insit ipsi B, id dicetur ipsis commune, ipsa autem dicentur communicantia. Si vero nihil commune habeant, ut A et N (verbi gratia rectae RS et XS) dicentur incommunicantia.

Def. 5. Si ipsi L insit A, et efficiatur aliud N, in quo omnia manent, quae sunt in L, exceptis iis quae etiam sunt in A, quorum nihil manere debet in N, dicetur A detrahi vel removeri ab L, at N dicetur Residuum.

Charact. 4. Si sit L ─ A ^&.SE N, signi[fi]catur L esse continens, a quo si detrahas A residuum sit N.

Def. 6. Si unum aliquod pluribus simul positis aut remotis coincidere ponatur, plura illa dicuntur constituentia, unum autem constitutum.

Scholium. Hinc omnia quidem inexistentia sunt constituentia, sed non contra, ut L ─ A ^&.SE N, utique non inest L in [N].

Def. 7. Constitutio (hoc est positio aut detractio) vel tacita vel expressa est. Expressa ipsius [M] patet ut M vel ─M, tacita ipsius M, ut A vel ─A cui inest M.

Def. 8. Compensatio est, cum idem ponitur et detrahitur in eodem, expressa cum expresse. Destructio est cum quid ob compensationem abjicitur, ut non amplius exprimatur, ut pro M ─ M ponendo Nihil.

Axioma 1. Si idem secum ipso sumatur, nihil constituitur novum, seu A + A ^&.SE A.

Scholium. Equidem in numeris 2 + 2 facit [4], seu bini nummi binis additi faciunt quatuor nummos, sed tunc bini additi sunt alii a prioribus; si iidem essent, nihil novi prodiret, et perinde esset ac si joco, ex tribus ovis facere vellemus sex, numerando primum 3 ova, deinde uno sublato residua 2, ac denique uno rursus sublato residuum 1.

Axioma 2. Si idem ponitur et detrahitur, quicquid inde in alio constituitur, coincidit Nihilo. Seu A (quotiescunque in aliqua re constituenda ponitur) ─ A (quotiescunque ex eadem detrahitur) ^&.SE Nih.

Scholium. Unde A ─ A vel ^#6+A + A^#6- ─ A vel A ─ ^#6+A + A^#6- etc. ^&.SE Nih. Nam per Ax. 1 res semper redit ad A ─ A.

Postulatum 1. Plura quaecunque simul sumi possunt ad unum constituendum, ut si sint A, et B, potest inde fieri A + B, quod appellari potest L.

Postulatum 2. Detrahere aliquid A ab eo cui inest nempe ab A + B seu L, si reliqua dentur, ut B, quae cum ipso A constituunt continens L, seu iisdem positis invenire Residuum L ─ A.

Scholium. Ope hujus postulati postea modum dabimus inveniendi differentiam inter duo quorum unum A alteri L inest, licet reliqua quae cum illo hoc constituunt, non dentur; seu modum inveniendi L ─ A, seu A + B ─ A, licet solum dentur L et A, non vero B. Theorema I

Quae sunt eadem uni tertio, eadem sunt inter se.

Si A ^&.SE B et B ^&.SE C erit A ^&.SE C. Nam si in propositione A ^&.SE B (vera, ex hypothesi) substituatur C in locum B (quod facere licet per def. 1, quia B ^&.SE C, ex hyp.) fiet A ^&.SE C. Q. E. Dem. Theorema II

Si duorum quae sunt eadem inter se, unum diversum sit a tertio, ~~etiam alterum ab eo erit diversum.*

Si A ^&.SE B et B non ^&.SE C erit A non ^&.SE C. Nam si in propositione B non ^&.SE C (vera, ex *hyp.) substituatur A in locum B (quod facere licet per def. 1, quia A ^&.SE B ex hyp.) fiet *A non* ^&.SE C. Q. E. Dem. Theorema III Am Rande: Hic inseri posset Theorema tale: Quod inest uni coincidentium, etiam alteri inest. Si A est in [B] et B ^&.SE C etiam A est in C. Nempe in prop. A est in B (vera ex hyp.) substituendo C in locum ipsius B.

~~*Si eidem addantur coincidentia, fiunt coincidentia.

~~Si A ^&.SE B erit A + C ^&.SE B + C. Nam si in propositione A + C ^&.SE A + C (quae est vera* per se) pro A semel substituas B (quod facere licet per def. 1, quia A ^&.SE B) fiet A + C ^&.SE *B + C. Q. E. Dem. Corollarium

*Si coincidentibus addantur coincidentia, fiunt coincidentia.

~~Si A ^&.SE B et L ^&.SE M erit A + L ^&.SE B + M. Nam (per praesens theorema) quia L ^&.SE M* erit A + L ^&.SE A + M et in hac assertione pro A semel ponendo B (quia A ^&.SE B ex hyp.) fiet A *+ L ^&.SE B + M. Q. E. Dem. Theorema IV

*Contentum contenti est contentum continentis.

~~Seu si id cui aliud inest, insit tertio, id quod ei inest eidem tertio inerit, vel si A est in* B et B est in C, etiam A erit in C. Nam A est in B (ex hyp.). Ergo est aliquod, cui nomen imponemus L tale, ut sit A + L ^&.SE B (per def. 3 vel charact. 3). Similiter quia B est in C (ex hyp.) erit B + M ^&.SE C in qua assertione pro B ponendo A + L (quae coincidere ostendimus) fiet A + L + M ^&.SE C. Jam pro L + M ponendo N (per postul. 1) fiet A + N ^&.SE C. Ergo A est *in C (per def. 3). Q. E. Dem. Theorema V

*Cui singula insunt etiam ex ipsis constitutum inest.

~~Si A est in C, et B est in C, etiam A + B (constitutum ex A et B, def. [3]) erit in C.* Nam quia A est in C erit aliquod M tale, ut possit fieri A + M ^&.SE C (per def. 3). Similiter quia B est in C poterit fieri B + N ^&.SE C. Quae conjungendo (per coroll. Theorematis 3) fiet A + M + B + N ^&.SE C + C. Jam C + C ^&.SE C (per Axiom. 1). Ergo A + M + B + N ^&.SE C. Et *proinde (per def. 3) A + B est in C. Q. E. Dem. Am Rande: Intermiscendus familiaris sermo, cui jungendae expressiones propositionum familiares illustrandae exemplis. Theorema VI

*Constitutum ex contentis inest constituto ex continentibus.

~~Si A est in M et B est in N erit A + B in M + N. Nam A est in M (ex hyp.) et M est in* M* + N (per def. 3). Ergo A est in M + N (per theor. 4). Similiter B est in N (ex hyp.) et *N est in M + N (per def. 3). Ergo B est in M + N (per th. 4). Jam si A est in M + N, et B est in *M + N, etiam (per th. 5) erit A + B in M + N. Q. E. Dem. Theorema VII

*Si quid additur ei cui inest, nil constituitur novi.

~~Seu si B est in A erit A + B ^&.SE A. Nam si B est in A potest fieri B + C ^&.SE A (def. 3).* Ergo (per th. 3) A + B ^&.SE B + C + B, ^&.SE B + C (per axiom. 1), ^&.SE A (per dicta hic). Q. E. *Dem. Conversum Theorematis praecedentis

Si quid addendo alteri nil constituitur novi, ipsum alteri inest.

~~Si A + B ^&.SE A tunc B erit in A. Nam B est in A + B (def. 3) et A + B ^&.SE A (ex. hyp.).* *Ergo B est in A (per insertum inter th. 2 et 3). Q. E. Dem. Theorema VIII

*Si coincidentibus detrahantur coincidentia, Residua sunt coincidentia. *Am~~ ~~Rande*: Aliud est detractio in notionibus, aliud negatio. V.g. Homo non rationalis est absurdum seu impossibile; sed licet dicere Simia est homo nisi quod non est rationalis; Homines nisi qua bestiis differt homo; ut in Jambo Grotii. Homo ─ Rationalis aliud quam homo non rationalis. Nam homo ─ Rationalis ^&.SE Brutum, sed homo non rationalis est impossibile. Homo ─ Animal ─ rational est Nihilum. Hinc detractiones possunt facere nihilum seu non-Ens simplex, imo minus nihilo, sed negationes possunt facere impossibile.

~~Si A ^&.SE L, et B ^&.SE M, erit A ─ B ^&.SE L ─ M. Nam A ─ B ^&.SE A ─ B (quod est verum per se) et in alterutro pro A substituendo L, et pro B substituendo M (ex definitione coincidentium) *fit A ─ B ^&.SE L ─ M. Quod Erat Dem. Theorema IX

*1) ~~Ex compensatione expressa sequitur destructio compensati, si nihil sit in compensatione destruenda, quod tacite repetitum constitutionem ingrediatur extra compensationem; 2) item si quicquid est hoc repetitum ingrediatur et positionem et detractionem extra compensationem. 3) Si horum neutrum contingat, destructio pro compensatione substitui non potest.*

Casus 1^mus. Si A + N ─ M ─ N est ^&.SE A ─ M, et A, N, M sint incommunicantia. Ita enim nihil est in compensatione destruenda + N ─ N, quod sit extra ipsam in A vel M, seu quod in + N ponitur, id quotiescunque hic ponitur, continetur in + N; et quod in ─N detrahitur, id quotiescunque hic detrahitur, continetur in ─ N, ergo (per ax. 2) pro + N ─ N poni potest, Nihilum.

Casus 2. Si A + B ─ B ─ G ^&.SE F et omne quod tam A et B, quam G et B commune habent sit M, erit F ^&.SE A ─ G. Ponamus praeterea omne quod A et G commune habent esse E; si quod habent, ita ut si nihil commune habent, E sit ^&.SE Nih. Ita erit A ^&.SE E + Q + M, B ^&.SE N + M et G ^&.se E + H + M; et fiet F ^&.SE E + Q + M + N + M ─ N ─ M ─ E ─ H─ M, qui termini omnes (E, Q, M, N, H) sunt incommunicantes; ideo (per casum praecedentem) fiet F ^&.SE Q ─ H ^&.SE E + Q + M ─ E ─ H ─ M ^&.SE A ─ G.

Casus 3. Si A + B ─ B ─ D ^&.SE C et id quod commune est ipsi A et B non coincidit cum eo quod commune est ipsis B et D, non erit C ^&.SE A ─ D. Sit enim B ^&.SE E + F + G et A ^&.SE H + E et D ^&.SE K + F, sic ut haec ingredientia non sint amplius communicantia, nec ulteriore adeo resolutione sit opus, fiet C ^&.SE H + E + E + F + G ─ E ─ F ─ G ─ K ─ F, id est (per casum 1) C ^&.SE H ─ K, quod non est ^&.SE A ─ D, id enim est ^&.SE H + E ─ K ─ F. Nisi ponatur E ^&.SE F seu commune inter B et A idem cum communi inter B et D, contra Hyp. Eadem demonstratio foret, etsi A et D aliquid habuissent commune inter se. Theorema X

Detractum et Residuum sunt incommunicantia.

Si L ─ A ^&.SE N. Dico A et N nihil habere commune. Nam ex definitione detracti et Residui omnia quae sunt in L manent in N praeter ea quae sunt in A, quorum nihil manet in N. Theorema XI

In duobus communicantibus id cui inest quicquid utrique commune ~~est, et duo propria sunt tria incommunicantia inter se.*

Sint A et B communicantia et A ^&.SE P + M, et B ^&.SE N + M, sic ut quicquid est in A et B, sit in M, nihil vero ejus in P et N, dico P, M, N esse incommunicantia. Nam tam P quam N sunt incommunicantia cum M, quia quod est in M est in A et B simul, at nihil tale est in P aut N. Deinde P et N sunt incommunicantia inter se, alioqui itidem quod ipsis commune *est foret in A et B. Problema

*~~Efficere ut ex non coincidentibus ad data coincidentia additis constituantur tamen coincidentia.*

Sit A ^&.SE A dico reperiri posse duo B et N, sic ut B non sit ^&.SE N et tamen A + B sit ^&.SE A + N. Solutio. Sumatur aliquid quod insit ipsi A ut M, et sumto N pro arbitrio, sic tamen ut neque M sit in N neque contra N in M, fiat B ^&.SE M + N. Et factum erit quod quaeritur. Nam quia B ^&.SE M + N ex hyp. et M atque N sibi non insunt ex hyp., et tamen A + B ^&.SE A + N, quia A + B ^&.SE A + M + N, at hoc (per th. 7 quia M est in A ex Hyp.) ^&.SE A + N. Theorema XII

In incommunicantibus quae coincidentibus addita faciunt coincidentia, ~~ea ipsa sunt coincidentia.*

Seu si A + B ^&.SE C + D et A ^&.SE C erit B ^&.SE D, modo A et B itemque C et D sint incommunicantia. Nam A + B ─ C ^&.SE C + D ─ C (per th. 8). Jam A + B ─ C ^&.SE A + B ─ A (ex Hyp. quod A ^&.SE C) et A + B ─ A ^&.SE B (per th. 9 cas. 1, quia A et B incommunicantia) et *(per eandem rationem) C + D ─ C ^&.SE [D]. Ergo B ^&.SE [D]. Quod Erat Dem. Theorema XIII

*Generaliter ~~Si coincidentibus addendo alia fiant coincidentia, addita sunt inter se communicantia.*

Sint coincidentia vel eadem A et A, fiatque A + B ^&.SE A + N dico B et N esse communicantia. Nam si A et B sunt incommunicantia, item A et N, erunt B ^&.SE N (per praeced.). Ergo communicantia sunt B et N. Sin A et B sint communicantia, sit A ^&.SE P + M, et B ^&.SE Q + M, ponendo M quicquid commune est inter A et B et nihil tale in P et Q. Ergo (per ax. 1) A + B ^&.SE P + Q + M ^&.SE P + M + N. Jam P, Q, M sunt incommunicantia (per th. 11). Ergo si etiam N cum A seu cum P + M est incommunicans, ex P + Q + M ^&.SE P + M + N fiet (per praeced.) Q ^&.SE N. Ergo N est in B. Ergo N et B sunt communicantia. Si vero iisdem positis (nempe P + Q + M ^&.SE P + M + N seu A communicante cum B), N etiam communicet cum P + M seu A, tunc N vel communicabit cum M, quo facto communicabit etiam cum B (cui inest M) et habebitur intentum; vel N communicabit cum P, ergo faciamus similiter P ^&.SE G + H et N ^&.SE F + H sic ut G, H, F sint incommunicantia (secundum th. 11) et ex P + Q + M ^&.SE P + M + N fiet G + H + Q + M ^&.SE G + H + M + F + H. Ergo (per praeced. th.) fit Q ^&.SE F. Ergo N (^&.SE F + H) et B (^&.SE Q + M) habent aliquid commune. Q. E. D.

Porisma ex demonstratione hac discimus: Si eidem vel coincidentibus ~~addantur aliqua, et fiant coincidentia, sintque addita utraque ei cui adduntur incommunicantia, ipsa coincidere inter se* (quod et patet ex* *th. 12[)]. ~~Sin unum sit communicans eidem illi cui utrumque additur,~~~~ ~~~~alterum vero non; tunc incommunicans erit in communicante; denique, si ambo sint communicantia cum eo cui addantur, ad minimum communicabunt inter se (quanquam alioqui non sequatur quae communicant eidem tertio communicare inter se).*

In Notis: A + B ^&.SE A + N. Si A et B incommunicantia, item A et N incommunicantia, erit B ^&.SE N; si A et B communicantia, at A et N incommunicantia, N erit in B; denique si B communicet cum A, et N itidem communicet cum A, tunc B et N ad minimum communicabunt inter se.