Latin [Frühjahr 1686 bis Anfang 1687 (?)]
Def. 1. Eadem seu Coincidentia sunt quorum alterutrum ubilibet potest substitui
alteri salva veritate. Exempli gratia Triangulum et
Trilaterum; in omnibus enim propositionibus ab
Euclide demonstratis de Triangulo, substitui potest Trilaterum,
et contra, salva veritate.
A ^&.SE B significat A et B esse eadem, ut de recta
XY et recta YX dicemus: YX ^&.SE XY, seu coincidere viam
brevissimam mobilis ab X ad Y et ab Y ad X.
Def. 2. Diversa sunt quae non sunt eadem, seu in quibus substitutio aliquando non
procedit. Talia sunt circulus et triangulum; item quadratum
(scil. perfectum, ita enim semper intelligunt Geometrae) et
quadrangulum aequilaterum, hoc enim de rhombo dici
potest, de quo tamen quadratum dici nequit.
A non ^&.SE B significat A et B esse diversa, ut rectae XY et RS.
Prop. 1. Si A sit ^&.SE B, etiam B erit ^&.SE A. Si quid idem sit alteri, alterum
~~idem erit ipsi.* Nam quia A ^&.SE B (ex hypothesi),*
Ergo (per def. 1) in enuntiatione A ^&.SE B
(vera ex Hyp.) poterit substitui B in locum A, et A
*in locum B, ergo fiet B ^&.SE A.
*Prop. 2. Si A non ^&.SE B, etiam erit *B**~~
non ^&.SE A. Si quid diversum sit ab altero, alterum erit diversum ab ipso.
Prop. 3. Si A ^&.SE B et B ^&.SE C, erit A ^&.SE C. ~~Eadem uni tertio
sunt eadem inter se. Nam si in enuntiatione A ^&.SE B (vera ex Hyp.)
substituatur C in locum B (per def. 1 ob B ^&.SE C) fiet propositio vera A ^&.SE
C.
Coroll. Si *A ^&.SE B et *B ^&.SE C et *C ^&.SE D, erit *A ^&.SE D, et ita porro.
Nam A ^&.SE B ^&.SE C. Ergo A ^&.SE C (prop. hic). Rursus A ^&.SE C ^&.SE D. Ergo (prop. hic) A ^&.SE D.
Hinc cum aequalia sint magnitudine eadem, consequens est aequalia uni tertio esse
aequalia inter se. Euclides effecturus triangulum aequilaterum, facit quodlibet latus
aequale basi, unde consequens est aequari inter se. Si quid moveatur in circulo, tantum
ostendendum est semper duarum proximarum periodorum (seu reditionum ad idem punctum)
vias inter se coincidere, ut concludatur quarumlibet periodorum vias coincidere.
Prop. 4. Si A ^&.SE B et B non ^&.SE C, erit A non ^&.SE C. Si duorum quae sunt
~~eadem inter se, unum sit diversum a tertio, etiam alterum
ab eodem erit diversum.* Nam si propositione B non ^&.SE C*
(vera ex Hyp.) substituatur A in locum B, fiet (per def. 1 ob A ^&.SE B)
*propositio vera A non ^&.SE C.
Def. 3. A inesse in L, seu L continere A, idem est ac pro pluribus inter quae est~~
~~*A simul sumtis coincidens poni L. Am Rande gestr.: Pars inest toti, genus speciei.
Def. 4. Omnia autem simul quibus inest quicquid est in L dicentur componentia~~
~~*respectu ipsius L compositi vel constituti.
B ^&.Sg N ^&.SE L significat B esse in L seu L continere B; at B et N simul constituere vel
~~*componere L, idem est in pluribus.
Def. 5. Subalternantia voco quorum unum alteri inest, ut A et B, sive B insit ipsi~~
~~*A, sive A ipsi B.
*Def. 6. Disparata quorum neutrum alteri inest.
Scholium. ad def. 3, 4, 5, 6. Inesse dicimus notionem generis in notione speciei,
~~individua speciei in individuis generis; partem in toto, imo et indivisibile in continuo, ut
punctum in linea, licet punctum pars lineae non sit. Sic notio affectionis seu praedicati
inest in notione subjecti. Et in universum latissime patet haec consideratio. Dicimus etiam
inexistentia his quibus insunt contineri. Nec refert hoc loco ad notionem istam generalem
quomodo ea quae insunt sese invicem aut ad continens habeant. Ita demonstrationes
nostrae etiam de his locum habent, quae aliquid distributive componunt, ut omnes species
simul componunt genus. Porro omnia inexistentia sufficientia ad constituendum continens,
seu quibus omnia insunt, quae insunt continenti, dicuntur ipsum continens componere,
exempli gratia A ^&.Sg B componere dicentur L, si A, B, L significent rectas *RS,~~
~~YX, RX*, nam RS ^&.Sg YX ^&.SE RX. Eodem modo RS ^&.Sg SX ^&.SE RX. Et tales partes, quae totum*
*complent, vocare soleo cointegrantes, maxime si nullam partem communem habeant,
quae commembra dici possent, ut RS et [SX]. Unde patet idem multis modis componi*
*posse, si ea ex quibus componitur rursus sint composita. Imo si resolvi possint in
infinitum, variationes compositionis infinitas esse. Itaque tota synthesis et analysis fundamentis
hic jaciendis innituntur. Porro si ea quae insunt homogenea sint ei quo continentur,
appellantur partes, et continens appellatur totum. Si duae quaevis partes ita se habent,
ut tertium reperiri possit habens partem uni et partem alteri communem, quod ex ipsis
componitur est continuum. Unde patet quomodo paulatim una consideratio ex alia exurgat.
Porro subalternantia voco, quorum unum alteri inest, ut species generi, recta RS*
rectae RX. Disparata, ubi secus est, ut rectae RS et YX, duae species ejusdem generis,
metallum perfectum et imperfectum. Imo et diversarum divisionum ejusdem totius membra,
quae aliquid commune habent, verbi gratia si metallum dividas in perfectum et
*imperfectum et rursus in solubile in aqua forti et insolubile, patet *metallum insolubile in
aqua forti*, et metallum perfectum esse duo disparata, darique metallum perfectum seu*
fulminabile persistens in cupella, et tamen solubile in aqua forti, ut argentum, et contra
*dari metallum imperfectum insolubile in aqua forti, ut stannum.
*Axioma 1. B ^&.Sg N ^&.SE N ^&.Sg B seu transpositio hic nihil mutat.
*Postulatum 1. Dato quolibet sumi potest aliquid ab eo diversum, et si placet,
disparatum, seu ut unum alteri non insit.
Postulatum 2. Plura quaecunque ut A, B simul sumi possunt ad unum A ^&.Sg B seu L*
*componendum.
Axioma 2. A ^&.Sg A ^&.SE A. Si nihil novi addatur, nec novi aliquid fit, sive repetitio hic*~~
~~*nil mutat. (Nam licet 4 nummi et alii 4 nummi sint 8 nummi, non tamen 4 Nummi, et
iidem 4 Nummi adhuc semel numerati.)
Scholium ad Ax. 1 et 2. Cum speciosa generalis nihil aliud sit, quam combinationum
per notas repraesentatio atque tractatio, variaeque sint combinandi leges excogitabiles,
hinc fit ut varii oriantur modi computandi. Hoc loco autem nulla habetur ratio
variationis quae in sola ordinis mutatione consistit, idemque nobis est AB quod BA.*
Deinde hoc loco nulla habetur ratio repetitionis, seu AA idem nobis est quod A. Itaque
*ubicunque istae leges servantur, applicari potest praesens calculus. Hoc autem patet
servari in compositione notionum absolutarum in recto, ubi nec ordinis ratio habetur, nec
repetitionis, sic idem est dicere calidum et lucidum ac dicere lucidum et calidum; et *ignem
calidum*, vel lac album cum poetis dicere est pleonasmus, nec aliud est lac album quam*
lac, et homo rationalis seu animal rationale quod rationale est, nihil aliud est quam
animal rationale. Idem est cum determinatae quaedam res, rebus inexistere dicantur.
*Realis enim adjectio ejusdem frustra repetitur. Cum bina et bina dicuntur facere quaterna,
posteriora debent esse diversa a prioribus. Si«n» idem esset nihil novi prodiret, et perinde
esset ac si joco ex tribus ovis vellemus facere sex, numerando primum 3 ova, deinde uno
sublato residua 2, ac denique uno rursus sublato residuum 1. At in calculo Numerorum et
magnitudinum A vel B vel aliae notae non significa[n]t certam rem, sed quamlibet*
*ejusdem numeri partium congruarum, quilibet enim duo pedes significantur per 2 si pes
sit unitas seu mensura. Unde 2 + 2 facit novum, 4, et 3 per 3 facit novum, 9. Praesupponitur
enim semper diversa (licet ejusdem magnitudinis) adhiberi; at secus res se habet
in certis rebus, verbi gratia lineis. Ponatur mobile describere rectam RY ^&.Sg YX ^&.SE RYX seu*
P ^&.Sg B ^&.SE L, tendendo ab R ad X. Ponamus idem deinde reverti ab X versus Y ibique
quiescere, utique licet bis describat YX seu B, nihil aliud producet, quam si semel
descripsisset YX. Et L ^&.Sg B idem esse quod L seu P ^&.Sg B ^&.Sg B sive RY ^&.Sg YX ^&.Sg XY idem esse
quod RY ^&.Sg YX. Quae cautio magni momenti est in aestimanda magnitudine eorum quae
*generantur, ex magnitudine et motu eorum quae generant vel describunt, cavendum enim
est ne describens suamet aut unum alterius vestigia legat, unave pars describentis in
alterius locum succedat, aut detrahendum id est, ne idem saepius poneretur. Patet etiam
hinc componentia, secundum notionem qua hic utimur, posse ex suis magnitudinibus
componere magnitudinem majorem magnitudine rei quam componunt. Unde longe differt
compositio rerum et magnitudinum, exempli gratia si totius rectae L vel RX duae sint*
partes A seu RS, et B seu YX, quarum quaelibet major sit dimidia ipsius RX, ut si RX sit 5
pedum, et RS 4 pedum, et YX 3 pedum, patet magnitudines partium componere magnitudinem
7 pedum, majorem quam quae est totius; et tamen rectae ipsae RS et YX nihil
aliud componunt quam RX seu RS ^&.Sg YX ^&.SE RX. Unde et adjectionem hanc realem designo
*hic per ^&.Sg , ut additio magnitudinum designatur per +. Denique etsi multum referat in reali
adjectione, cum de rebus actu generandis agitur, quis sit ordo, prius enim fundamenta
jaciuntur, quam struatur domus, in mentali tamen formatione rerum idem prodit quodcunque
ingredientium prius consideremus, tametsi unus modus considerandi alio sit
utilior, unde nec ordo hic variat rem provenientem. Suo tempore et ad ordinem erit
accedendum. Nunc autem RY ^&.Sg YS ^&.Sg SX idem est quod YS ^&.Sg RY ^&.Sg SX.
Prop. 5. Si A est in B, et sit A ^&.SE C etiam C est in B. ~~Coincidens
inexistenti est inexistens. Nam in propositione A est in B (vera ex hyp.) pro A
substituendo C (per def. 1 Coincidentium, quia A ^&.SE C ex hyp.) fit C esse in B.
Prop. 6. Si C est in B, et sit A ^&.SE B, etiam C erit in A. Quod uni
~~coincidentium inest, etiam alteri inest. Nam in prop. C est in B, pro C
substituendo A (quia A ^&.SE C) fit: A esse in B. (Est conversa praecedentis.)
Prop. 7. A est in A. Unumquodque est in se ipso. Nam A est in A ^&.Sg A (per~~
~~def. inexistentis seu per def. 3) et A ^&.Sg A ^&.SE A (per axiom. 2). Ergo (per prop. 6) A est in A.
Prop. 8. A est in B, si A ^&.SE B. Coincidentium unum est in altero. Patet~~
~~ex praecedenti. Nam A est in A (per praeced.), id est (ex hypothesi) in B.
Prop. 9. Si A ^&.SE B, erit A ^&.Sg C ^&.SE B ^&.Sg C. ~~Si eidem adjiciantur coincidentia,
fiunt coincidentia.* Nam si in propositione A ^&.Sg C ^&.SE A ^&.Sg C (per se vera)*
*pro A semel substituas coincidens B (per def. 1), fiet: A ^&.Sg C ^&.SE B ^&.Sg C.
A triangulum 202
coincidunt
B trilaterum
C aequilaterum
A ^&.Sg C triangulum aequilat. 202
coincidunt
B ^&.Sg C trilaterum aequilat.
*Scholium. Haec propositio converti non potest,
multoque minus duae sequentes, et infra in problemate
quod est prop. 23, docebitur modus instantiam
reperiendi.
Prop. 10. Si A ^&.SE L et B ^&.SE M, erit A ^&.Sg B ^&.SE L ^&.Sg M. Si coincidentibus*
~~adjiciantur coincidentia, fiunt coincidentia. Nam quia B ^&.SE M, erit (per
praeced.) A ^&.Sg B ^&.SE A ^&.Sg M, et pro posteriori A ponendo L (quia A ^&.SE L ex Hyp.) fiet A ^&.Sg B
^&.SE L ^&.Sg M.
A triangulum 202
coincidunt
L trilaterum
B regulare 204
M capacissimum
coincidunt
isoperimetrorum
isopolypleurorum
Triangulum regulare, et trilaterum, sub tribus lateribus
*eandem peripheriae magnitudinem facientibus
capacissimum*, coincidunt.
Scholium. Haec propositio converti non potest, neque enim si sit A ^&.Sg B ^&.SE L ^&.Sg M et
A ^&.SE L sequitur statim esse B ^&.SE M, et sequens multo minus converti potest.
Prop. 11. Si A ^&.SE L et B ^&.SE M et C ^&.SE N, erit A ^&.Sg B ^&.Sg C ^&.SE L ^&.Sg M ^&.Sg N. Et ita~~
~~porro. ~~Si sint quotcunque proposita, et totidem alia illis respective coincidentia
singula singulis, compositum ex illis coincidet composito ex
istis.* Nam (ex praeced. quia A ^&.SE L et B ^&.SE M) fiet A ^&.Sg B ^&.SE [L] ^&.Sg M. Unde quia C ^&.SE N,*
*fiet (rursus per praeced.) A ^&.Sg B ^&.Sg C ^&.SE [L] ^&.Sg M ^&.Sg N.
Prop. 12. Si B est in L erit A ^&.Sg B in A ^&.Sg L. ~~Si idem adjiciatur contento~~
~~et continenti, factum prius inest posteriori. Nam sit L ^&.SE B ^&.Sg N (per defin.
inexistentis), et A ^&.Sg B est in B ^&.Sg N ^&.Sg A (per eandem) hoc est in L ^&.Sg A.
YS est in [YX].
Ergo RT ^&.Sg YS seu RS est in RT ^&.Sg [YX]. seu in RX.
B aequilaterum
L regulare
A quadrilaterum
Aequilaterum inest seu tribuitur regulari. Ergo
quadrilaterum aequilaterum inest quadrilatero regulari
sive quadrato perfecto.
Scholium. Haec propositio converti non potest, neque enim si A ^&.Sg B est in A ^&.Sg L,
sequitur esse B in L.
Prop. 13. Si L ^&.Sg B ^&.SE L erit B in L. ~~Si quid adjecto alio non fit aliud,
adjectum ei inest. * Nam B est in L ^&.Sg B (per definitionem inexistentis) et L ^&.Sg B ^&.SE L*
*(ex hyp.). Ergo (per prop. 6) B est in L.
Prop. 14. Si B est in L erit L ^&.Sg B ^&.SE L. ~~Subalternantia nihil componunt~~
~~novi seu ~~si quid alteri inest adjectum ei, non facit aliud ab eo. Conversa
praecedentis.* Si B est in L erit (per def. inexist.) L ^&.SE B ^&.Sg P. Ergo (per prop. 9) L ^&.Sg B*
*^&.SE B ^&.Sg P ^&.Sg B hoc est (per ax. 2) ^&.SE B ^&.Sg P quod (ex hyp.) ^&.SE L.
RY ^&.Sg RX ^&.SE RX. Ergo RY in RX.
RY in RX. Ergo RY ^&.Sg RX ^&.SE RX.
Sit L parallelogrammum (*cujus quodlibet latus alicui
lateri parallelum est*)
B quadrilaterum
Parallelogrammum quadrilaterum idem est quod
parallelogrammum.
Ergo quadrilaterum esse inest parallelogrammo.
Vicissim quadrilaterum esse inest *parallelo-
grammo*.
Ergo parallelogrammum quadrilaterum idem est
quod parallelogrammum.
Prop. 15. Si A est in B et B est in C, etiam A est in C. ~~Contentum~~
~~contenti est contentum continentis. Nam A est in B (ex hyp.). Ergo A ^&.Sg L ^&.SE B
(per def. inexist.). Similiter quia B est in C, erit B ^&.Sg M ^&.SE C, in qua assertione pro B
ponendo A ^&.Sg L (quae coincidere ostendimus) fiet A ^&.Sg L ^&.Sg M ^&.SE C. Ergo (per def. inexist.)
A est in C.
RT est in RS et RS in RX.
Ergo RT est in RX.
A quadrilaterum
B parallelogrammum
C rectangulum
Quadrilaterum esse inest parallelogrammo, et parallelogrammum
esse inest rectangulo (hoc est figurae
cujus omnis angulus rectus). Ergo quadrilaterum esse
inest rectangulo.
Inverti haec possunt, si pro notionibus per se consideratis, spectemus singularia sub
notione comprehensa, et fieri potest A rectangulum, B parallelogrammum, C quadrilaterum.
Nam omnia rectangula sunt in numero parallelogrammorum comprehensa, et
omnia parallelogramma in numero quadrilaterorum. Ergo et rectangula omnia in quadrilateris
continentur. Quemadmodum omnes homines continentur in omnibus animalibus,
et omnia animalia in omnibus substantiis corporeis, ergo et omnes homines in substantiis
corporeis continentur. Licet contra notio substantiae corporeae in notione animalis, et
notio animalis in notione hominis insit. Hominem enim esse continet animal esse.
Scholium. Haec propositio converti non potest, et sequens multo minus.
Corollar. Sit A ^&.Sg N est in B, etiam N est in B. Nam N est in A ^&.Sg N (ex def.
inexist.).
Prop. 16. Si A est in B, et B est in C, et C est in D, etiam A est in D. ~~Et
ita porro. Contentum contenti a contento est contentum continentis.**
Nam si A est in B et B est in C etiam A est in C (per praeced.). Unde si C est in D tunc
*(rursus per praeced.) etiam A erit in D.
Prop. 17. Si A est in B et B est in A erit A ^&.SE B. ~~Quae se mutuo~~
~~continent coincidunt. Nam si A est in B, erit A ^&.Sg N ^&.SE B (per def. inexist.). Jam B
est in A (ex hyp.). Ergo A ^&.Sg N est in A (per prop. 5). Ergo (per coroll. prop. 15) etiam N
est in A. Ergo porro (per prop. 14) A ^&.SE A ^&.Sg N seu A ^&.SE B.
RT, N
RS, A
SR ^&.Sg RT, B
Trilaterum esse inest triangulo, et *triangulum
esse* inest trilatero. Ergo coincidunt triangulum
et trilaterum.
Sic omniscium esse et omnipotentem esse.
Prop. 18. Si A est in L et B est in L, etiam A ^&.Sg B erit in L. ~~Quod ex
duobus eidem inexistentibus componitur, eidem inest.* Nam quia A est in L*
(ex Hyp.) poterit intelligi A ^&.Sg M ^&.SE L (per def. inexistentis). Similiter quia B est in L
poterit intelligi B ^&.Sg N ^&.SE L. Quae conjungendo fiet (per prop. 10) A ^&.Sg M ^&.Sg B ^&.Sg N ^&.SE L ^&.Sg
*L. Ergo (per Axiom. 2) A ^&.Sg M ^&.Sg B ^&.Sg N ^&.SE L. Ergo (per def. inexist.) A ^&.Sg B est in [L].
RYS est in RX
YST est in RX
Ergo
RT est in RX.
A aequiangulum
B aequilaterum
A ^&.Sg B aequiangulum aequilaterum seu regulare
L quadratum
aequiangulum inest *quadrato
aequilaterum* inest quadrato
Ergo
Regulare inest quadrato.
Prop. 19. Si A est in L et B est in L et C est in L erit A ^&.Sg B ^&.Sg C in L. ~~Et~~
~~ita porro. Seu ~~generaliter, cui singula insunt, etiam ex iis compositum
inest.* Nam erit A ^&.Sg B in L (per praeced.). Jam et C est in L (ex hyp.). Ergo (iterum per*
*praeced.) A ^&.Sg B ^&.Sg C est in L.
Scholium. Has duas propositiones et similes converti posse patet. Nam si A ^&.Sg B ^&.SE
L, patet ex definitione [in]existentium A esse in L, et B esse in L. Item si A ^&.Sg B ^&.Sg C ^&.SE L,
patet A esse in L, et B esse in L, et C esse in L, item A ^&.Sg B esse in L, et A ^&.Sg C esse in L, et
*B ^&.Sg C esse in L. Et ita porro.
Prop. 20. Si A est in M, et B est in N, erit A ^&.Sg B in M ^&.Sg N. ~~Si prius~~
~~*posteriori et aliud prius alteri posteriori insit, compositum ex duobus
prioribus inest composito ex duobus posterioribus.* Nam A est in M (ex.
hyp.) et M est in M ^&.Sg N (per def. inexist.). Ergo (per prop. 15) A est in M ^&.Sg N. Similiter
quia B est in N, et N est in M ^&.Sg N, erit B in M ^&.Sg N. Jam si
A est in M ^&.Sg N et B est in M ^&.Sg N, etiam (per prop. 18) A ^&.Sg B erit in M ^&.Sg N.
RT est in RY et SY est in SX
Ergo RT ^&.Sg SY seu RY est in RY ^&.Sg SX seu in RX
Quadrilaterum sit A
Aequiangulum B
Et A ^&.Sg B erit Rectangulum
Parallelogrammum sit M
Regulare vero N
et M ^&.Sg N erit quadratum
Jam quadrilaterum inest parallelogrammo.
Et Aequiangulum inest regulari.
Ergo Rectangulum (seu quadrilaterum aequiangulum)
inest parallelogrammo regulari seu quadrato
Scholium. Haec propositio converti non potest. Et licet A sit in M, itemque A ^&.Sg B in
M ^&.Sg N, non tamen continuo sequitur B esse in N, potest enim fieri ut tam A quam B sit in
M, item ut aliqua quae sunt in B, sint in M, caetera vero in N. Multo minus ergo converti
potest propositio sequens et similes.
Prop. 21. Si A est in M et B est in N, et C est in P, erit A ^&.Sg B ^&.Sg C in M ^&.Sg ~~
~~N ^&.Sg P. Et ita porro. ~~Compositum ex contentis inest composito ex continentibus.~~~~
~~Nam quia A est in M et B est in N, erit (per praecedentem) A ^&.Sg B in M ^&.Sg N,
jam porro C est in P, ergo (rursus per praecedentem) A ^&.Sg B ^&.Sg C est in M ^&.Sg N ^&.Sg P.
Prop. 22. Datis duobus disparatis A et B ~~invenire tertium ab iis
diversum* C, quod cum ipsis componat subalternantia A ^&.Sg C et B ^&.Sg C. Hoc*
*est ut licet A et B alterum alteri non insit, tamen A ^&.Sg C et B ^&.Sg C alterum alteri insit.
Solutio: Si velimus ut A ^&.Sg C insit ipsi B ^&.Sg C, licet A non sit in B, hoc ita praestari
potest: sumatur (per postul. 1) aliquid D qualecunque modo non insit ipsi A, et (per
postul. 2) ex A ^&.Sg D faciamus ^&.SE C, et factum erit quod quaeritur. Nam A ^&.Sg C ^&.SE A ^&.Sg A ^&.Sg
[D] (ex constructione) ^&.SE A ^&.Sg [D] (per axiom. 2). Similiter B ^&.Sg C ^&.SE B ^&.Sg A ^&.Sg [D] (ex
*construct.). Jam A ^&.Sg [D] est in B ^&.Sg A ^&.Sg [D] (per def. 3). Ergo A ^&.Sg C est in B ^&.Sg C. Quod
erat Faciendum.
Sunt SY et YX disparata
Sit RS ^&.Sg SY ^&.SE YR
et SY ^&.Sg YR erit in XY ^&.Sg YR
A aequilaterum
B parallelogrammum
D aequiangulum
C aequilaterum aequiangulum seu regulare
Ubi patet, licet aequilaterum et parallelogrammum*
*sint disparata, sic ut alterum alteri non insit, tamen
aequilaterum regulare inesse parallelogrammo regulari*
*seu quadrato.
At inquies non succedere hanc constructionem in problemate praescriptam, in omnibus*
casibus. Sit v.g. A trilaterum, B quadrilaterum; non potest inveniri notio, cui simul A et B
insit, adeoque nec datur B ^&.Sg C cui insit A ^&.Sg C; quia A et B sunt incompatibilia.
*Respondeo constructionem nostram generalem inniti postulato 2do, quo continetur quidvis
cuivis componi posse, ita Deus, anima, corpus, punctum, calor componunt aggregatum*
harum quinque rerum. Et ita quadrilaterum quoque et trilaterum componi possunt, et
solvi problema. Sumatur enim D quodlibet quod in trilatero non continetur, ut circulus.
Fiet A ^&.Sg D trilaterum et circulus quod vocetur C; jam C ^&.Sg A nihil aliud est quam rursus
trilaterum et circulus, quod utique inest in C ^&.Sg B, hoc est in trilatero, circulo et
quadrilatero. Sed si quis generalem istum calculum compositionum qualiumcunque
applicare velit ad modum specialem componendi, verbi gratia si quis velit ut trilaterum et
circulus vel quadrilaterum non tantum componant unum aggregatum, sed ut simul
*utraque notio sit in eodem subjecto, videre debet an sint compatibiles. Ita *rectae dissitae
immotae* simul quidem sumi possunt ad componendum unum aggregatum, at non ad*
*componendum unum continuum.
Prop. 23. Datis duobus disparatis A et B, invenire tertium ab iis*
~~diversum C, quod cum iis componat eadem A ^&.Sg C ^&.SE B ^&.Sg C.
~~~~Solutio~~: Sumatur (per postulatum 2) C ^&.SE A ^&.Sg B et factum erit quod desideratur.~~
~~Nam quia A et B sunt disparata (ex Hyp.) hoc est (per def. 6) unum alteri non inest, hinc
(per prop. 13) non potest esse C ^&.SE A, vel C ^&.SE B. Haec tria ergo sunt diversa, quemadmodum
problema postulat. Porro A ^&.Sg C ^&.SE A ^&.Sg A ^&.Sg B (per constructionem) hoc est (per
Axiom. 2) ^&.SE A ^&.Sg B. Ergo A ^&.Sg C ^&.SE A ^&.Sg B. Quod erat Faciendum.
Prop. 24. ~~Plura reperire inter se diversa, singula a singulis, quotcunque
quis voluerit, ita se habentia, ut ex ipsis non possit componi
novum seu a quolibet diversum.*
Solutio: Sumantur quaecunque et quotcunque inter se diversa, A, B, C, D (per A, B, C, D (per
*postul. 1) et ex his (per postul. 2) fiat A ^&.Sg B ^&.SE M, M ^&.Sg C ^&.SE N, N ^&.Sg D ^&.SE P, dico *A, B, M,
N, P* esse desiderata. Nam (ex constructione) ex A et B fit M; et porro A vel B est in M, et*
M in N, et N in P. Ergo (per prop. 16) quodlibet priorum in quolibet posteriorum. Jam si
*duo quaevis inter se componas, nil constituitur novum, nam si componas idem secum
ipso, nil fit novi, L ^&.Sg L ^&.SE L (per ax. [2]). Si componas unum cum alio, compones prius*
cum posteriori. Ergo inexistens cum continente, ut [A] ^&.Sg N, sed [A] ^&.Sg N ^&.SE N (per prop.
[14]). Quod si tria inter se componas, ut [A] ^&.Sg N ^&.Sg P, compones bina [A] ^&.Sg N cum uno P.
At bina [A] ^&.Sg N per se nil componunt novi, sed unum ex ipsis nempe posterius N, ut jam
ostendimus, ergo idem est componere bina [A] ^&.Sg N cum uno P, et componere unum N
cum uno P; quae jam ostendimus nil componere novi. Ergo et bina cum uno seu terna nil
*componunt novi. Atque ita porro in pluribus. Quod erat Faciendum.
Scholium. Suffecisset sumere continua sibi inexistentia, ut M, N, P etc., idque*
revera prodibit, si in constructione nostra ponatur A ^&.SE Nihilo, fiet B ^&.SE M. Sed solutio
*allata paulo latius patet, et sane haec problemata adhuc aliis modis solvi possunt; sed
omnes eorum possibiles solutiones exhibere hoc est demonstrare nullos alios esse modos
possibiles, pluribus adhuc propositionibus praedemonstrandis indiget. Exempli gratia
quinque res A, B, C, D, E non nisi sequentibus modis se habere possunt, ut nihil inde*
possit componi novum. Nempe primo si sit A in B et B in C et C in D et D in E,
secundo si sit A ^&.Sg B ^&.SE C et C in D et D in E. Tertio si sit A ^&.Sg B ^&.SE C et A in D et B ^&.Sg
D ^&.SE E. Et ultimo seu tertio modo se habent hae quinque notiones: Aequiangulum A,
Aequilaterum B, Regulare C, Rectangulum D, Quadratum E, ex quibus nulla nova
componi potest, quae non jam his coincidat, quia aequiangulum aequilaterum coincidit
regulari; et Aequiangulum inest rectangulo, et aequilaterum rectangulum coincidit
quadrato*. Hinc aequiangulum regulare idem est quod regulare, et *aequilaterum regulare
itidem; et aequiangulum rectangulum est rectangulum et regulare rectangulum est
*quadratum.
Ad prop. 24 Scholium. Sunt RS et YX diversa, imo disparata, ita ut neutrum sit in
altero, fiat RS ^&.Sg YX ^&.SE RX, et erit RS ^&.Sg RX idem quod YX ^&.Sg RX. Semper enim componitur
*recta RX.
In notionibus, sit A parallelogrammum, B aequiangulum, quae sunt disparata, C sit
*A ^&.Sg B, id erit rectangulum, eritque parallelogrammum rectangulum, idem quod *rectan-
gulum aequiangulum, utrumque enim nihil aliud est
quam rectangulum.
Generaliter sit Maevius A, Titius B; Par hominum
ex utroque compositum C, erit Maevius una cum hoc
pari, idem quod Titius cum hoc pari, utrobique enim
nihil aliud prodit quam ipsum par. Alia adhuc solutio
dari potest, quae est elegantior, sed specialior,
si A et B habeant aliquid commune, idque datum sit,
adeoque datum sit etiam quod utrique est proprium, sit
igitur ipsi A proprium M, et ipsi B proprium N, et fiat M ^&.Sg N ^&.SE D, commune autem
utrique sit P. Dico A ^&.Sg D fore ^&.SE B ^&.Sg D. Cum enim sit A ^&.SE P ^&.Sg M et B ^&.SE P ^&.Sg N erit A ^&.Sg
D ^&.SE P ^&.Sg M ^&.Sg N, et B ^&.Sg D etiam ^&.SE P ^&.Sg M ^&.Sg N.