Methodus synthetica seu ars ordinandi theoremata et problemata

 [April bis Oktober 1686 (?)]

Methodus synthetica, seu ars ordinandi Theoremata et problemata in aliqua scientia inde a primis Elementis constituenda nondum adhuc constituta est. Nam ante omnia quaeritur utrum sequendus ordo demonstrandi, seu connexionis propositionum, an vero ordo Terminorum ingredientium combinatorius; et hoc admisso, rursus quaeri potest utrum praeferendus ordo subjectorum ut in unum conjungantur quantum commode licet, propositiones ejusdem subjecti; an vero propositiones ejusdem praedicati. Et in ipso ordine demonstrandi quoque, si eum sequamur, magna potest esse varietas, idem enim variis modis demonstrationem recipit. Si propositioni alicui semper subjiceretur sua conversa, licet (forte demonstranda ex propositionibus posterioribus) servaretur ordo mixtus ex ordine terminorum secundum subjectum et secundum praedicatum. Interdum etiam utilius est praeferre demonstrationem casus simplicioris ante generalem. Interdum utilius est praeferre generalem. Sunt et quaedam demonstrationes verae quidem et demonstrabiles, sed parum dignae poni et demonstrari, quarum determinanda est natura. Et cum demonstratio aliqua longior offertur, ea plerumque in breviorem contrahi potest, adhibitis quasi lemmatibus seu propositionibus quae partem demonstrationis in se absorbeant quaeritur quando et quousque eae sint utiles. Ita et dispiciendum, quandonam propositiones debeant potius proponi ut corollaria, quam ut separatae propositiones. Item quando ex ipsa demonstratione, non vero ex ejus conclusione fieri potest aliquod porisma quandonam id facere conveniat, quod tamen non admodum placet.

Optimum esse videtur, artem combinatoriam ita sequi. Primum sumantur pauci aliquot characteres et notae. Et ponantur propositiones quae ex ipsis solis resultant; et vero si res recte instituitur, videntur semper ex ipsis solis, nempe ex ipsis et iis quae earum definitionem ingrediuntur posse demonstrari. Sed ut optime progrediamur in combinando pro Terminis jam definitis adhibeamus eorum definitiones, et definitionum definitiones quousque licet. Quod ab initio cum paucas adhuc definitiones fecimus, statim sistetur variationesque omnes faciamus possibiles quae ex ultimis terminis irresolutis fieri possunt eos semel vel saepius sumendo, et deinde combinando, et in quavis combinatione rursus ordinem variando et quavis tali Hypothesi facta contrahendo terminos indefinibiles ope definibilium et quia ope repetitionum iri potest in infinitum, alicubi sistendum est, cum scil. quasi ad seriem perventum est, ex qua judicari potest, quid sit futurum, etsi in infinitum continuetur quam in rem excogitandum singulare genus notarum, ut pro serie utcunque continuata generalis sit demonstratio.

Verum Theorematum scopus est maxime duplex, unus in ratiocinando, alter in efficiendo. In ratiocinando opus est ut proposito aliquo inspiciamus, quid ex ipso sequatur, vel cum ipso sit compatibile; ubi inprimis ea annotanda, ubi dissita satis sunt inter quae collectio est, item ubi ex multis antecedentibus contractione quadam fiunt pauca vel certe non multo plura consequentia. In efficiendo vero potissimus et ultimus est usus theorematum. Problemata possent plane omitti e scientia, aut tantum postea poni instar indicum, nam semper ex problemate cum solutione fit [theorema]. Magis tamen ad auditorum vel lectorum taedium minuendum videntur inspergi. Certe problemata de efficiendo nihil aliud sunt, quam theoremata de modo aliquid generandi. Et quidem si problemata inspergere volumus quod non dissuadeo, utile erit inprimis adhibere generationes Entium tum efficacium ad alia Entia producenda, tum et proprietates pulchras habentium; tum denique Entium paradoxorum, quae habent proprietates, de quibus dubitare possis an sint possibiles aut compatibiles. Sunt et problemata de cognoscendo, ut notas assignare, ex quibus cognoscatur utrum aliquid sit tale, etc. Et hujusmodi et in Euclide reperiuntur.

Res interim in summa eo redit, ut ex terminis simplicibus, utcunque repetitis, combinatis et variatis, condamus Hypotheses, et ex quavis Hypothesi per varias ejus contractiones faciamus plures propositiones demonstrabiles. Ubi possumus tunc contractioni jam factae addere novam contractionem (quo facto utimur praecedentis jam propositionis demonstratione) tum vero etiam progredi ad novas contractiones; et quidem ab una ad unam, rursus enim in terminis contractis (ex definibilibus) omnis possibilis variatio institui potest. Adde meam artem combinatoriam.