Generales Inquisitiones de Analysi Notionum et Veritatum

 [Frühjahr bis Ende] 1686 Generales Inquisitiones de Analysi Notionum et Veritatum Am Rande: Hic egregie progressus sum. 1686.

Concretis, sive ea sint substantiae, ut Ego, sive phaenomena, ut Iris, intelligantur. Itaque nec de discrimine inter abstracta et concreta nunc erimus soliciti, vel saltem non alia nunc adhibebimus abstracta, quam quae sunt Logica seu Notionalia, verb. grat. ut Beitas ipsius A, nihil aliud significet quam tò A esse B.

Privativum non-A.

Non-non-A idem est quod A.

Positivum est A, si scilicet non sit non-Y quodcunque, posito Y similiter non esse non-Z et ita porro.

Omnis terminus intelligitur positivus, nisi admoneatur eum esse privativum.

Positivum idem est quod Ens.

Non Ens est quod est mere privativum, seu omnium privativum, sive non-Y, hoc est non-A, non-B, non-C, etc. Idque est quod vulgo dicunt nihili nullas esse proprietates.

Omnem quoque Terminum hic accipiemus pro completo, seu substantivo, ita ut magnus idem sit quod Ens magnum sive ut ita dicam magnio, quemadmodum qui nasutus est dicitur naso, itaque in his adjectivi et substantivi discrimine non indigemus, nisi forte ad emphasin significandi.

Ens est vel per se vel per accidens, seu terminus est necessarius vel mutabilis. Ita Homo est Ens per se; at Homo doctus, Rex, sunt Entia per accidens. Nam res illa quae dicitur Homo, non potest desinere esse homo, quin annihiletur; at potest quis incipere vel desinere esse Rex aut doctus licet ipse maneat idem.

Terminus est vel integralis sive perfectus, ut Ens, ut Doctus, ut idem vel similis ipsi A, qui scilicet potest esse subjectum vel praedicatum propositionis, licet nihil accedat; vel est partialis sive imperfectus, ut: idem, similis; ubi aliquid addendum est (nempe: ipsi A) ut integer terminus exurgat. Et vero id quod addendum est, oblique accedit; rectum enim integrali accedens salva termini integritate semper addi et omitti potest. Et in recto junguntur duo termini integrales constituentes novum integralem. Interim non omnis terminus cui alius in obliquo additur partialis est; ita Ensis est integralis, licet oblique addendo inde fiat Ensis Evandri. Itaque potest aliquid non-rectum salva integritate termini omitti, ut hoc loco obliquum: Evandri. At contra obliquum recto omisso integralem terminum non facit. Et proinde si terminus per se integralis cum aliqua flexione vel connexionis nota alteri addatur ita ut altero omisso integralem non faciat, additus est in obliquo. Potest autem ex obliquo a recto divulso fieri integralis, ut ex obliquo: Evandri, fieri potest qui est res Evandri, seu Evandrius. Utile autem erit curare ut termini integrentur. Et proinde opus erit signis quibusdam rerum vel terminorum generalibus; ita si volumus semper uti in nostra characteristica non nisi terminis integralibus, non dicendum erit Caesar est similis Alexandro, sed Caesar est similis t^ṽ A qui est Alexander seu similis rei quae est Alexander. Itaque terminus noster non erit: similis; sed: similis t^ṽ A. Eodem modo non exprimetur verbotenus: Ensis Evandri, sed Ensis qui est res Evandri, ita ut: qui est res Evandri, sit unus terminus integralis. Hoc modo poterimus dividere terminum quemlibet compositum in integrales. Sed haec quousque et qua ratione exequi liceat, progressus docebit. Quod si hoc semper procedit, non alia habebimus nomina quam integralia. Videbimus an ex ipsis particulis similiter integralia formare liceat, ut pro A in B, A ~~inexistens in aliquo, quod est B.

~~Ex his patet porro esse integrales qui in partiales resolvantur, et esse rectos in quos (si resolvas seu definitionem pro definito substituas) manifestum sit ingredi obliquos. Partiales ergo, itemque particulae quae obliquis additae inde faciunt rectos, et partialibus additae faciunt integrales, prius explicari debent quam integrales, qui in partiales et particulas resolvuntur. Sed tamen ante partiales et particulas explicari debent illi integrales qui aut non resolvuntur, aut non nisi in integros. Et tales integrales a partialibus independentes utique esse necesse est, saltem generales, ut Terminus, Ens, nam his ipsi partiales indigent, ut transeant in integrales, ultimum enim complementum partialis vel obliqui, ut in integralem transeat, cum sit integrale, rursus in integralem et partialem resolvi non potest. Talium integralium in obliquos et partiales nobis irresolubilium enu meratione opus est, quam reliquorum Analysis dabit, et initio satis erit eos enumerare tanquam pure integrales, quorum resolutione in non-integrales minus opus videtur. Res etiam eo reducenda est, ut paucis adhibitis integralibus per partiales et obliquos compositis, reliqui omnes inde recta seu similariter sive sine obliquis componi possint. Et ita constitui poterunt pauci integrales, vel sane certi definiti, aut definita serie progredientes, qui poterunt considerari tanquam primitivi in recta resolutione ex quibus reliqui magis compositi deinde oriantur, ut numeri derivativi ex primitivis. Eaque ratione cuilibet Notioni quatenus sine obliquitate resolvitur suus posset numerus characteristicus assignari.

Habemus igitur Primo Terminos Am Rande: Terminum intelligo integralem, nam partiales fiunt ex integrali et particula, ut: pars, est Ens in aliquo, etc. ~~integrales primitivos simplices~~~~ ~~irresolubiles, vel pro irresolubilibus assumtos, ut: *A.

~~*Secundo Particulas simplices seu syncategoremata primitiva, ut: *in.

~~~~Tertio~~ Terminos integrales primitivos compositos ex meris Terminis~~ ~~simplicibus, idque recta seu sine interventu particularum vel syncategorematum, ut: *AB.

*Quarto Particulas compositas ex meris particulis simplicibus, sine Termini (categorematici) interventu, ut: *cum-in, qua particula uti possemus ad designandam (si ~~categorematicis postea adjiciatur) rem quae cum aliquo est in aliquo. Am Rande: Dubito an procedat particula cum-in. Sit A cum B in C; non commode dicitur A esse cum-in BC nisi velimus per ordinem exprimi cum pertinere ad B, et in ad C.

~~~~Quinto~~ habemus Terminos integrales derivativos simplices. Appello~~ autem derivativos, qui oriuntur non per solam compositionem, scilicet similarem, seu ~~recti cum recto, ut AB, sed per flexionis cujusdam aut particulae sive syncategorematici interventum, ut A in B; ubi A et B dissimilariter terminum compositum ex ipsis, nempe tò A in B, ingrediuntur. Am Rande: In formandis compositis non refert quo ordine collocentur simplicia, at in formandis derivatis interesse potest quo ordine. Recta compositio idem quod similaris. Quam differentiam inter compositionem et derivationem quodam~~ ~~modo et Grammatici observant. Sunt ergo derivativi simplices, qui non possunt resolvi in alios derivativos, sed non nisi in primitivos simplices, cum particulis.

Sexto habemus Terminos integrales derivativos compositos, qui scilicet~~ ~~~~recta~~ seu similariter componuntur ex aliis derivativis, et hi oblique etiam~~ ~~componuntur ex primitivis compositis una cum particulis.

Septimo. Ambigi potest de illis ~~derivativis qui constant ex primitivis simplicibus, et particulis compositis*, utrum sint potius simplices quam compositi,* *sane in alios categorematicos resolvi non possunt, nisi primitivi unius duplicatione, quatenus componendo eum nunc cum una nunc cum alia particula simplice, compositam componente, duo novi inde fieri possunt derivativi simplices, ex quibus fieri potest propositus derivativus, quasi compositus.

Octavo quemadmodum habemus Terminos categorematicos primitivos et derivativos, ita et haberi possunt particulae derivativae, eaeque rursus simplices quidem ex particula simplice et termino primitivo;

At [compositae] (Nono) ex particula composita et termino primitivo, quae resolvi possunt in plures particulas derivativas simplices.

Et decimo hic similiter ambigitur quid dicendum de particula derivativa ex termino primitivo composito et particula simplice. Fortasse tamen praestat efficere ut omnes particulae cessent, quemadmodum et omnes obliqui, quemadmodum pagina praecedente dictum est. Nisi tamen obstet, quod ita non facile apparebit, quae quibus sint arreferenda.

Illud tamen adhuc in considerationem venire debet quod particulae etiam primitivae simplices non uniuntur ita similariter, ut termini primitivi simplices. Itaque multae in compositione particularum occurrere possunt varietates. Exempli causa, si dicam Johan* nes-Pauli-Petri, id est Johannes Petri, qui fuit Pauli est quaedam compositio similaris; at si dicam Socrates Sophronisci ex Athenis, dissimilaris est particularum vel flexionum *compositio. Et hinc orientur haud dubie varii respectus, variaeque obliquitates obliquitatumque mixturae, quarum accurata constitutione potissima characteristicae artis pars continetur. Sed de his non satis potest judicari antequam primitiva simplicia tam in Terminis quam in particulis prorsus accurate constituantur; vel saltem pro illis interim derivativa quidem et composita, sed primitivis simplicibus propiora assumantur, donec paulatim ad ulteriorem resolutionem via se sponte aperiat. Sub particulis etiam hoc loco comprehendo nomina primitiva partialia, si qua sunt quae in alia primitiva partialia non possint resolvi. Sed revera puto ea fieri ex; Ente vel alio integrali termino cum particula.

*Termini primitivi Simplices vel interim pro ipsis assumendi, sunto:

Terminus (quo comprehendo tam Ens quam Non-Ens). Ens seu possibile (intelligo* autem semper concretum quia abstracta tanquam non necessaria exclusi). Existens (licet *revera reddi possit causa existentiae, et definiri posset Existens, quod cum pluribus compatibile est, quam quodlibet aliud incompatibile cum ipso. Nos tamen his tanquam altioribus nunc abstinemus). Individuum (etsi enim Ens omne revera sit individuum, nos* *tamen terminos definimus, qui designant, vel quodlibet individuum datae cujusdam naturae, vel certum aliquod in[di]viduum determinatum, ut Homo seu quilibet homo,* *significat quodlibet individuum naturae humanae particeps. At certum individuum est Hic; quem designo vel monstrando vel addendo notas distinguentes, quanquam enim* *perfecte distinguentes ab omni alio individuo possibili haberi non possint, habentur tamen notae distinguentes ab aliis individuis occurrentibus). Ego (est aliquid peculiare, et* *difficulter explicabile in hac notione, ideo cum integralis sit, ponendam hic putavi).

Sunt etiam Termini primitivi simplices omnia illa phaenomena confusa sensuum, quae clare quidem percipimus, explicare autem distincte non possumus, nec definire per alias notiones, nec designare verbis. Ita caeco quidem multa dicere possumus de extensione, intensione, figura, aliisque varietatibus quae colores comitantur, sed praeter notiones distinctas comites est aliquid in colore confusum, quod caecus nullis verbis nostris adjutus concipere potest, nisi ipsi aliquando oculos aperire detur. Et hoc sensu, album, rubrum, flavum, caeruleum, quatenus in illa inexplicabili imaginationis nostrae* *expressione consistunt, sunt termini quidam primitivi. Utile tamen erit eos cum confusi sint, ratiocinationemque nihil adjuvent, evitare quoad licet, adhibendo loco definitionum notiones distinctas comites, quatenus eae sufficiunt ad confusas inter se discernendas. Interdum et miscere ambas methodos inter se, utile erit, prout commoditas dabit. Itaque primariis istis proprias notas dare possumus, caeteris per eas explicatis. Sic coloratum est* *terminus explicabilis per relationem ad nostros oculos, sed quia ea relatio sine multis verbis accurate exprimi non potest, et ipse oculus rursus explicatione prolixa indigeret, tanquam machina quaedam, poterit coloratum assumi ut terminus primitivus simplex, cui* *addendo notas quasdam differentiales, poterunt designari colores varii. Fortasse tamen coloratum definiri poterit per perceptionem superficiei sine sensibili contactu. Sed horum* *quid praestet in progressu patebit.

Videntur inter primitivos simplices recenseri posse omnes notiones quae continent materiam cujusdam quantitatis, sive in quibus res homogeneae conveniunt inter se, ut habens magnitudinem; extensum, durans, intensum, sed hae notiones ni fallor resolvi* adhuc possunt. De Notionibus Extensi et cogitantis peculiariter dubitari potest an sint *simplices; multi enim arbitrantur has esse notiones quae per se concipiantur, nec porro resolutione indigeant, sed Extensum videtur esse continuum habens partes coexistentes.* Et terminus cogitantis videtur non esse integralis, refertur enim ad aliquod objectum quod *cogitatur. Inest tamen in ipsa cogitatione realitas aliqua absoluta quae difficulter verbis explicatur. Et in extensione videmur aliquid aliud concipere, quam continuitatem et existentiam. Nihilominus satis videtur plena notio extensionis, ut concipiamus coexistentiam* *continuatam, sic ut omnia coexistentia faciant unum, et quodlibet in extenso existens sit continuabile seu repetibile continue. Interea si e re videretur Extensum, vel* etiam situm (seu in spatio existens), assumere ut primitiva simplicia, ut et cogitans (seu *Unum plura exprimens cum actione immanente, seu conscium) nihil ea res noceret, si praesertim deinde adjiciamus axiomata quaedam unde caeterae omnes propositiones adjunctis definitionibus deducantur. Sed haec omnia, ut saepe dixi, ex ipso progressu melius apparebunt. Et praestat progredi, quam nimia quadam morositate obhaerescere in ipsis initiis.

Tentemus nunc explicare Terminos partiales seu respectivos ex quibus et particulae nascuntur, notantes respectum terminorum. Quod primum mihi inquirenti occurrit est idem. Idem autem esse A ipsi B, significat alterum alteri substitui posse in propositione* quacunque salva veritate. Am Rande: Videndum an posito A ubique substitui posse ipsi B, etiam vicissim sequatur B ubique posse substitui ipsi A, sane si termini isti se similariter habent in relatione inter se invicem, utique mutua est substitutio. Quodsi non se habent similariter, nec ad tertium quodlibet plane eodem modo se habent, nec proinde unum alteri substitui poterit. Nam respectus illi per propositiones sive veritates explicantur. Sic Alexander Magnus, et rex Macedoniae victor Darii; item triangulum, et trilaterum, sibi substitui possunt. Porro haec coincidere ostendi semper potest resolutione, *si scilicet eo usque resolvantur, donec appareat a priori esse ipsa possibilia, si etiam formaliter prodeant iidem termini, tunc diversi termini sunt iidem. Sit Terminus A et* terminus B, si pro utroque substituatur definitio, et pro quolibet ingrediente rursus *definitio, donec perveniatur ad primitivos simplices, prodibit in uno, quod in alio seu formaliter idem, Ergo A et B erunt coincidentes, seu iidem virtualiter. Sic ergo* *definiri potest:

Coincidit A ipsi B, si alterum in alterius locum substitui potest salva veritate, seu si* *resolvendo utrumque per substitutionem valorum (seu definitionum) in locum terminorum, utrobique prodeunt eadem, eadem inquam formaliter, ut si utrobique prodeat *L, M, N*. Salva enim veritate fiunt mutationes quae fiunt substituendo definitionem in locum* *definiti vel contra. Hinc sequitur si A coincidit ipsi B etiam B coincidit ipsi A.

Proxima notio, ut A sit subjectum, B praedicatum, si B substitui potest in locum ipsius A salva veritate, seu si resolvendo A et B, eadem quae prodeunt in B prodeunt etiam *in A. Idem aliter explicari potest, ut A sit B, si omne A, et quoddam B coincidant.

*Habemus igitur Notas: Coincidens ipsi B. Subjectum et praedicatum. Est. *Omne. Quoddam.*

Si dicatur quoddam A est B, sensus est: quoddam A et quoddam B coincidunt. Unde *et sequitur quoddam B est A.

Si omne A et quoddam B coincidunt, etiam quoddam A et quoddam B coincidunt. *Sed hoc tamen videtur posse demonstrari ex negativis, ad ea igitur accedamus.

Ut A et A sunt prima coincidentia, ita A et non-A sunt prima disparata. Disparatum* *autem est, si falsum est quoddam A esse B. Itaque si B = non-A, falsum est quoddam *A esse B*.

*Generaliter si A sit B, falsum est A esse non-B.

*Si falsum sit quoddam A esse non-B, dicetur Nullum A esse non-B, seu Omne *A esse B*.

Hinc demonstrari poterit haec consequentia: Omne A est B. Ergo quoddam A est B. Hoc est: Omne A et quoddam B coincidunt. Ergo quoddam A et quoddam B coincidunt. Nam Si Omne A et quoddam B coincidunt, Ergo falsum est quoddam A et quoddam non-B *coincidere (ex definitione Omnis). Ergo verum est quoddam A et quoddam B coincidere.

*Sed operae pretium est totam rem Enuntiationum, et respectus terminorum qui ex variis enuntiationibus nascuntur, tractare accuratius. Inde enim Origo plerorumque Terminorum partialium, et particularum sumenda est.

*Leibniz hat die beiden in Kleindruck folgenden mit einen Durchschuß getrennten Ansätze gestrichen und durch den nachfolgenden Text ersetzt*:

*L dicetur Enuntiatio, si sequentia de ea dici possunt: Si verum sit L esse veram est vera  404 Si falsum sit L esse falsam est vera     seu generaliter: [bleibt offen] Si verum sit L esse falsam est falsa Si falsum sit L esse veram est falsa Coincidunt M esse falsam et M negari esse veram.

*1) Coincidunt: Enuntiatio (directa) L et enuntiatio (reflexiva) L est ~~vera.

~~*2) Coincidunt: L est vera, et: L esse falsam est ~~falsa.

3) 4) Hinc demonstratur: si L esse veram est vera, L est vera; per 1. Si loco L esse veram substituatur L. Et *contra si L est vera, L esse veram est vera, pro L (ex 1) substituendo L esse veram. Similiter si *L esse veram est falsa, L est falsa* (per 1). Et contra si L est falsa, L esse veram est falsa.

*5) 6) Item si L esse falsam sit falsa, L est vera, et si L est vera, L esse falsam est falsa; coincidit cum 2.

*7) 8) Si L esse falsam sit vera, L est falsa. Quod sic demonstro: L esse falsam vocetur M. Dicemus: si *M est vera L est falsa*. Ergo et (per 2) si M esse falsam est falsa, L est falsa. Et pro M reddendo valorem si *L esse falsam falsam esse est falsa, L est falsa*. At coincidunt quod L esse falsam sit vera, et quod *L esse falsam, falsam esse est falsa* (per 2). Ergo et L esse veram est falsa (per eandem 2). Ergo L esse falsam (per 1). Eodem modo* *demonstratur et inversa: Si L est falsa, L esse falsam est vera.

*9) 10) Si L esse veram sit falsa, L est falsa.

*Coincidere dico enuntiationes, si una alteri substitui potest salva veritate, seu quae se reciproce inferunt. Am Rande: Quaelibet litera ut A, B, L, etc. significat mihi vel terminum aliquem integralem, vel integram aliam propositionem. Cum pro pluribus terminis ponitur unus, illi sunt definitio seu valor assumtitius, hic definitum, ut si pro AB pono C, seu cum A = BC est primitiva propositio. Coincidunt A et B, si per substitutionem valorum assumtitiorum loco terminorum et contra, utrobique prodit idem, eadem formula.

1) Coincidunt: Enuntiatio (directa) L et enuntiatio (reflexiva) L est ~~vera. Hinc~~ ~~*coincidunt L esse veram est vera (falsa), [et] L est vera (falsa). Am Rande: Haec potius differenda pro explicatis propositionibus. Generaliter etsi A sit terminus, semper dici poterit A est verum, coincidit cuidam vero.

*^&.SD Coincidunt: L est vera, et: L esse falsam est ~~falsa.

Coincidunt quod L esse falsam sit vera, et quod L est falsa. Hoc theorematis instar demonstrare possum, hoc modo: L esse falsam est enununtiatio quae vocetur M. Jam *coincidit M est vera et M (per 1). Ergo pro M reddendo valorem, coincidunt *L esse falsam est vera*, et L est falsa.

*Idem aliter, licet prolixius, adhibendo et ^&.SD sic demonstratur: quod *L esse falsam sit vera*, coincidit cum hac quod L esse falsam falsam esse, est falsa (per ^&.SD ), et ista rursus* *cum hac quod L esse veram est falsa (per eandem ^&.SD ) et ista denique cum hac quod *L est falsa* (per 1).

*2) Si coincidunt A et B, coincidunt etiam non-A et non-B. Am Rande: A non-A contradictorium est. Possibile est quod non continet contradictorium seu A non-A. Possibile est quod non est: Y, non-Y.

Coincidunt Non-Non-A et A; adeoque, si coincidunt Non-A et B, coincident etiam *non-B et A. Am Rande: Si A = B, etiam non-A = non-B. Si A = quoddam verum. Non-A = non ^#6+quoddam verum^#6- seu nullum verum seu falsum, nam non-A continet *non AY. Daneben: ^&.!!

3) Coincidunt Non verum et falsum.

Ergo et coincident non-falsum, et Verum. Am Rande: Haec omnia intellige si Termini sint possibiles, nam alioqui neque verum neque falsum in propositionibus quas ingrediuntur locum habet.

4) Coincidunt L esse veram est vera, et L esse non veram est non vera, adeoque coincidunt L; et L esse falsam est falsa. Nam L idem est quod L est vera, et haec idem quod L esse veram est vera (per 1), et haec idem quod L non esse veram est non vera (per 4). Et haec idem quod L esse falsam est falsa (per 3). Am Rande: Dico aliquid impossibile esse seu contradictionem continere, sive terminus sit incomplexus continens A non-A sive sit propositio quae rursus vel dicat coincidere ea quorum unum continet contradictorium alterius, vel contineat terminum incomplexum impossibilem; nam quoties coincidere dicuntur ea quorum unum continet contradictorium alterius utique idem continet terminum contradictorium. Quoties aliquid continet id cujus contradictorium continet, utique continet terminum contradictorium. Itaque adhibita propositione impossibili prodit terminus contradictorius incom«plexus».

Coincidunt L, et L esse non falsam est non falsa. Nam L idem est quod L esse veram est vera (per 1) et haec idem est quod L esse non falsam est non falsa (per 3).

Coincidunt L esse falsam et L esse non veram est non falsa.

Coincidunt L esse falsam et L esse non falsam est non vera.

Haec facile demonstrantur ex praecedentibus.

Generaliter, si propositio vera aut non vera, falsa aut non falsa dicatur, verum in verum, falsum in falsum facit verum. Non in non aequipollet omissioni utriusque.

Demonstratur etiam ex his omnem propositionem aut veram aut falsam esse. Seu si L est non vera, est falsa; si est vera est non falsa; si est non falsa est vera; si est falsa est non vera. Omnia per 3.

Propositiones autem 1, 2, 3, 4 faciunt officium definitionum, unde sine probatione sunt assumtae, indicant enim usum quorundam signorum nempe veritatis et falsitatis, affirmationis et negationis.

Propositio est A coincidit ipsi B, A est B (seu ipsi A inest B, seu ipsi A substitui potest B); A non coincidit ipsi B.

A autem et B significare possunt Terminos, vel propositiones alias.

5) A non coincidit ipsi B idem est ac A coincidere ipsi B est falsum.

6) Si A coincidit ipsi B, B coincidit ipsi A.

7) Si A non coincidit ipsi B, B non coincidit ipsi A.

8) Si A coincidit ipsi B, et B coincidit ipsi C, etiam A coincidit ipsi C.

9) Si A coincidit ipsi B; non-A coincidit ipsi non-B.

Haec quatuor axiomata sunt corollaria hujus definitionis quod coincidunt, quorum unum alteri substitui potest.

10) Propositio per se vera est A coincidit ipsi A. Am Rande gestr.: A = A posito A esse verum.

11) Propositio per se falsa est A coincidit ipsi non-A.

12) Hinc colligitur falsum esse non-A coincidere ipsi A (per 6).

13) Item colligitur verum esse A non coincidere ipsi non-A (per 5). Hae propositiones possent referri ad veras per consequentiam.

Porro A ut dixi hoc loco significat Terminum vel propositionem, hinc non-A significat [contradictorium] termini vel contradictoriam propositionis.

14) Si propositio ponatur, nec adjicitur aliud, intelligitur esse veram, coincidit cum 1.

15) Non-B coincidit ipsi non-B est corollarium ipsius 10, posito Non-B coincidere [ipsi] A.

16) Propositio Affirmativa A est B sive A continet B, seu (ut loquitur Aristoteles) ipsi A inest B (in recto scilicet). Hoc est si pro A substituatur valor prodibit: A coincidere ipsi BY. Ut homo est animal, seu homo idem est quod Animal . . . .,  nempe Homo idem est quod Animal rationale. Nota enim Y significo aliquod incertum, ut proinde BY idem sit quod quoddam B seu Animal ... . (ubi subintelligitur rationale, si modo sciamus quid subintelligendum sit) seu quoddam animal. Itaque A est B idem est quod A esse coincidens cuidam B seu A = BY. Am Rande: Notabile est pro A = BY posse etiam dici A = AB et ita non opus est assumtione novae literae. Praesupponit autem haec notatio quod AA idem est quod A, oritur enim redundantia.

17) Hinc coincidunt: A esse B, et quoddam B coincidere ipsi A, seu BY = A.

18) Coincidunt A et AA, et AAA, etc. ex natura hujus characteristicae, seu Homo, et Homo Homo, et Homo homo homo. Itaque si quis dicatur esse Homo pariter et animal, resolvendo Hominem in animal rationale, pariter dicetur Animal rationale et Animal, id est animal rationale. Am Rande: Hinc patet etiam ex AC = ABD non licere inferri C = BD, patet enim et in A = AB non posse utrinque omitti A. Si ob AC = ABD inferri posset C = BD, praesupponendum esset, nihil quod continetur in A contineri et in C quin contineatur et in BD, et contra.

19) Si A sit B, pro A poni potest B, ubi tantum de continendo agitur, ut si A sit B et B sit C, A erit C. Demonstratur ex natura coincidentiae, nam coincidentia substitui sibi possunt (nisi in propositionibus quas dicere possis formales, ubi unum ex coincidentibus ita formaliter assumitur, ut ab aliis distinguatur, quae revera sunt reflexivae, et non tam de re loquuntur, quam de nostro concipiendi modo, ubi utique discrimen est). Am Rande: NB. Itaque cum (per 16) A = BY et B = CZ, Ergo A = CYZ seu A continet C. Am Rande: Licebit et habere generale quoddam indefinitum, quasi Ens quoddam seu quoddam, ut in communi sermone, tunc nulla orietur coincidentia.

20) Notandum est quod in hoc calculo fuerat praemittendum; pro quotlibet literis simul poni posse unam, ut YZ = X, sed nondum usurpatam in hoc calculo Rationis, ne oriatur confusio.

21) Deinde definitas a me significari prioribus Alphabeti literis, indefinitas posterioribus, nisi aliud significetur.

22) Pro quotcunque definitis substitui posse unam definitam, cujus valor seu definitio sunt illae pro quibus substituta est.

23) Pro qualibet definita substitui posse indefinitam nondum usurpatam. Ac proinde et pro quotlibet definitis, et pro definitis et indefinitis, seu poni potest A = Y.

24) Cuilibet literae adjici potest nova indefinita, ut pro A poni potest AY, nam A = AA (per 18) et A est Y (seu pro A poni potest Y, per 23). Ergo A = AY.

25) A esse B (A continere B) infert (continet) quoddam B esse (continere) A.

Nam ^#6+A esse B^#6- = ^#6+BY = A^#6- (per 17) = ^#6+BY = AY^#6- (per 24) = quoddam B esse A (per 17).

26) Admonenda adhuc quaedam circa hunc calculum, quae praemittere debueramus. Nempe quod de quibuslibet literis nondum usurpatis asseritur generaliter vel concluditur, non tanquam Hypothesis, id de quotlibet aliis literis intelligi. Itaque si asseratur A = AA, etiam dici poterit B = BB.

27) Quoddam B = YB. Itaque similiter qu. A = ZA. Nimirum licet hoc quidem dicere ad imitationem prioris (per 26) sed nova assumenda est indefinita pro posteriori aequatione, nempe Z, ut paulo ante fuerat Y.

28) Terminus simpliciter positus a me solet usurpari pro universali, ut A est B, id est omne A est B, seu in notione A continetur notio B.

29) A est B, Ergo quoddam A est B (sive A continere B, infert seu continet quoddam A continere B). Nam ^#6+A est B^#6- = ^#6+AY est B^#6- (per 24).

30) A esse B et B esse A idem est quod A et B coincidere, sive A coincidere ipsi B quod coincidit ipsi A. Nam A = BY et B = AZ. Ergo (per [19]) A = AYZ. Ergo Y, Z sunt superfluae seu Z continetur in A. Ergo pro B = AZ dici potest B = A.

31) Scilicet notandum et hoc est, si A = AY, tunc vel Y est superfluum, vel potius generale ut Ens, et utique impune omitti potest, ut Unitas in multiplicatione apud Arithmeticos, vel Y inest in A. Imo revera semper inest Y in A, si dicatur A = YA. Am Rande: NB.

32) Propositio Negativa. A non continet B, seu A esse (continere) B falsum est seu A non coincidit BY. Am Rande: Si B sit propositio, non-B idem est quod B est falsum seu tò B esse falsum. Non-B, intelligendo B de propositione in materia necessaria, vel est necessarium vel impossibile. At secus est in incomplexis. Notionem sumo tam pro incomplexa quam complexa. Terminum pro incomplexa categorematica.

32[bis]) B, non-B est impossibile, seu si B non-B = C, erit C impossibile. Impossibile in incomplexis est non-Ens, in complexis est falsum.

33) Hinc si A = non-B, erit AB impossibile.

34) Quod continet B, non-B idem est quod impossibile seu EB, non-B idem est quod impossibile.

35) Propositio falsa est, quae continet AB continere non-B (posito B et A esse possibiles). Intelligo autem B et [A] tam de Terminis, quam de Propositionibus. Am Rande: A continere B et A continere C idem est quod A continere BC. Hinc si A continet B, etiam continet AB. Hinc si AB continet non-B, etiam AB continebit AB non-B.

36) A = B. Ergo A est B, seu A = B, continet quod A est B. Nam si Y sit superflua, fiet A = BY, id est A = B. Idem aliter demonstratur: A = B idem est quod A = BY et B = AY. Ergo A = B continet A = BY. Item A = B, ergo AA = BA. Ergo A = BA. Ergo A est B.

37) B est B, nam B = B (per 10). Ergo B est B (per 36).

38) AB est B. Est indemonstrabilis, et sive identica sive definitio est, vel toỹ Est, vel continentis, vel verae propositionis. Nam significatur AB, seu id quod continet B, esse B seu continere B.

39) Si B continet C, tunc AB continet C. Nam AB est B (per 38) B est C (ex hypothesi). Ergo (per 19) AB est C.

40) Vera propositio est quae coincidit cum hac: AB est B, seu quae ad hanc primo veram reduci potest. (Puto id et ad non-categoricas applicari posse.)

41) Igitur cum falsa sit quae non est vera (per 3) sequitur (ex 40) falsam propositionem idem esse quod propositionem quae non coincidit cum hac: AB est B, seu falsam propositionem idem esse quod propositionem quae non potest probari. Propositiones facti non semper probari possunt a nobis, et ideo assumuntur ut Hypotheses.

42) A continet B et A non continet B, earum una est vera altera falsa seu sunt Oppositae, nam si una probari potest altera non potest, modo termini sint possibiles. Ergo (per 41) non simul verae sunt aut falsae.

43) B continere non-B est falsa seu [B] non continet non-B, patet ex praecedenti. Nam utcunque resolvas manet semper haec forma, nunquam fiet AB est B. Patet et aliter. B continet B (per 37). Ergo non continet non-B alioqui foret impossibilis (per 32). Am Rande: Falsum esse B continere non-B, intelligendum est et de propositione B, quae non continet contradictoriam.

44) Non-B continere B est falsa, patet eodem modo.

45) B et non-B coincidere est falsa. Patet ex 43 et 44. Supponunt autem haec terminum B esse possibilem.

46) AB continere non-B est falsa, seu AB non continet non-B. Suppono autem AB esse possibilem. Demonstratur ut 43. Nam AB continet B, ergo non continet non-B, quia est non impossibilis (per 32). Am Rande: Cavendum est ne syllogismis utamur, quos legitimos esse nondum demonstravimus.

47) A continet B est Universalis affirmativa respectu ipsius *A subjecti.

*48) AY continet B est Particularis Affirmativa respectu ipsius *A.

49) Si AB est C, sequitur quod AY est C, seu sequitur quoddam A est C, nam assumi potest B = Y per 23.

50) AY non est B est Universalis negativa.

51) Hinc sequitur Universalem negativam et Particularem Affirmativam esse oppositas, seu si una est vera altera est falsa (ex 48 et 50).

52) Particularis affirmativa verti potest simpliciter seu si quoddam A est B sequitur quod quoddam B est A. Hoc ita demonstro: AY est B ex Hypothesi, id est (per 16) AY coincidit ipsi BY. Ergo (per 6) BY coincidit ipsi AY. Ergo (per 16) BY est A. Quod erat dem. Am Rande: Majusculis notentur propositiones fundamentales seu indemonstratae ut L1 (vel simul numeris communibus et diversis).

53) Universalis Negativa convertitur simpliciter, seu si Nullum A est B sequitur quod Nullum B est A. Nam AY non est B (ex hypothesi), ergo AY non coincidit BY (per 16). Ergo BY non coincidit AY (per 6). Ergo (per 16) BY non est A. Quod erat dem.

54) Universalis affirmativa convertitur per accidens, seu si omne A est B sequitur quod quoddam B est A. Nam A est B ex hypothesi. Ergo quoddam A est B (per 29). Ergo (per [52]) quoddam B est A. Idem brevius: A coincidit BY (per 16). Ergo BY coincidit A (per 6). Ergo (per 36) BY est A. Am Rande: Dicendum de collatione horum Nullum A est B et Omne A est non-B. Item de conversione per contrapositionem ipsius Universalis affirmativae. Pro Nul- lum A est B licebitne dicere Omne A non est B? Operae pretium erit conferre has duas demonstrationes, ut appareat utrum eodem recidant, an vero detegant veritatem alicujus propositionis hactenus sine demonstratione assumtae. Am Rande: NB.

55) Si A continet B et A est vera, etiam B est vera. Per falsam literam intelligo vel terminum falsum (seu impossibilem, seu qui est non-Ens), vel propositionem falsam. Et per [veram] eodem modo intelligi possit terminus possibilis, vel propositio vera. Am Rande: NB. Et ut postea explicatur, totus syllogismus mihi etiam propositio est. Caeterum quod hic assero etiam sic enuntiari potest, quaelibet pars veri est vera seu quod continetur in vero, est verum.

Demonstrari potest ex sequenti.

56) Verum in genere sic definio, Verum est A, si pro A ponendo valorem, et quodlibet quod ingreditur valorem ipsius A rursus ita tractando ut A, si quidem id fieri potest, nunquam occurrat B et non-B seu [contradictio]. Hinc sequitur ut certi simus veritatis vel continuandam esse resolutionem usque ad primo vera aut saltem jam tali processu tractata, aut quae constat esse vera, vel demonstrandum esse ex ipsa progressione resolutionis, seu ex relatione quadam generali inter resolutiones praecedentes et sequentem, nunquam tale quid occursurum, utcunque resolutio continuetur. Hoc valde memorabile est, ita enim saepe a longa continuatione liberari possumus. Et fieri potest, ut resolutio ipsa literarum aliquid circa resolutiones sequentium contineat, ut hic resolutio Veri. Dubitari etiam potest an omnem resolutionem finiri necesse sit in primo vera seu irresolubilia in primis in propositionibus contingentibus, ut scilicet ad identicas reduci «rursus possint».

57) Falsum in genere definio quod non est verum. Itaque ut constet aliquid esse falsum, vel necesse est ut sit oppositum veri, vel ut contineat oppositum veri, vel ut contineat contradictionem seu B et non-B, vel si demonstretur, utcunque continuata resolutione non posse demonstrari quod sit verum.

58) Itaque quod continet falsum est falsum.

59) Potest tamen aliquid continere verum, et tamen esse falsum. Si scilicet (per 58) praeterea falsum contineat.

60) Videmur etiam hinc discere posse discrimen veritatum necessariarum ab aliis, ut scilicet verae necessariae sint quae ad identicas reduci possunt, aut quarum oppositae reduci possint ad contradictorias; et falsae impossibiles, quae ad contradictorias reduci possint, aut quarum oppositae reduci possint ad identicas.

61) Am Rande zu den drei folgenden, stark korrigierten Sätzen gestr.: Haec male, postea correcta Possibiles sunt de quibus demonstrari potest nunquam in resolutione occursuram contradictionem. Verae contingentes sunt quae continuata in infinitum resolutione indigent. Falsae autem contingentes quarum falsitas non aliter demonstrari potest, quam quod demonstrari nequeat esse veras. Videtur esse dubium, utrum sufficiat ad demonstrandam veritatem, quod continuata resolutione certum sit nullam occursuram esse contradictio[nem]. Inde enim sequetur omne possibile esse verum. Equidem Terminum incomplexum qui est possibilis, voco verum, et qui est impossibilis, voco falsum. At de Termino complexo, ut: A continere B, seu A esse B, ambigi potest. Resolutionem autem termini complexi intelligo in alios terminos complexos. Scilicet sit ^#6+A esse B^#6- = L et sit B = CD et ^#6+A esse C^#6- = M, et ^#6+A esse D^#6- = N, utique fiet: L = MN. Licet autem subjectum A resolvatur, non potest pro A substitui pars valoris, sed substituendus est valor integer, quod obiter moneo. Et si C = EG et D = FG, et A = EFG, poterit M resolvi in has duas ^#6+A = EFG^#6- = P et ^#6+EFG = EG^#6- = Q, seu erit M = PQ; et similiter N in has duas resolvi poterit: ^#6+A = EFG^#6- = P, et ^#6+EFG = FG^#6- = R, ergo L = PQR, quae sunt primo verae, nam P est Hypothesis, Definitio scilicet vel experimentum, R et Q sunt axiomata prima. Verum si porro pergamus, requiritur ad definitionem, ut constet eam esse possibilem, seu necesse est ut demonstretur A esse possibilem, seu ut demonstretur, EFG non involvere contradictionem, id est non involvi X non-X. Quod cognosci non potest nisi experimento, si constet A existere, vel extitisse, adeoque esse possibile aut saltem extitisse aliquid ipsi A simile Am Rande: Cujus simile possibile est, id ipsum est possibile. (Quanquam revera hic casus fortasse non possit dari, nam duo completa nunquam sunt similia, et de incompletis sufficit unum ex duobus similibus existere, ut incompletum, id est denominatio communis, possibilis dicatur (imo tamen videtur esse utile, seu si sphaera una extitit, dici poterit recte quamlibet sphaeram esse possibilem).). Am Rande: NB.

Unde patet rem eodem modo procedere in Terminis complexis et in incomplexis. Nam probare verum esse terminum complexum est eum reducere in alios terminos complexos veros et hos tandem in terminos complexos primo veros, hoc est, in axiomata (seu propositiones per se notas), definitiones terminorum incomplexorum quos probatum est esse veros; et experimenta. Similiter Terminos incomplexos esse veros probatur reducendo eos in alios terminos incomplexos veros, et hos tandem in alios terminos incomplexos primo veros, hoc est in terminos per se conceptos, vel in terminos, aut terminos quos sumus experti (aut quorum similes sumus experti, quanquam id adjici opus non sit, nam demonstrari potest uno similium existente possibili et alia esse similia). Ita ut omnis resolutio tam complexorum quam incomplexorum, desinat in axiomata, terminos per se conceptos, et experimenta. Fit autem haec resolutio pro quolibet substitu endo valorem, nam et cum pro continente substituitur contentum valor substituitur indefinitus, ut sup. n. 16 ostendimus.

62) Omnis autem propositio vera potest probari. Unde cum experimenta rursus sint propositiones verae, ideo si nullus alius datur probandi modus quam paulo ante descriptus, sequitur rursus experimenta resolvi posse in axiomata, terminos per se conceptos et experimenta, nulla autem dari possunt Experimenta prima, nisi sint ipsa per se nota, seu axiomata.

63) Quaeritur an experimenta resolvi possint in alia experimenta in infinitum, et omissa mentione experimentorum an possibile sit quandam probationem esse talem, ut comperiatur propositionis probationem, semper praesupponere probationem alterius propositionis, quae non sit axioma nec definitio, adeoque rursus indigeat probatione. Unde et necesse est terminos quosdam incomplexos continue ita resolvi posse, ut nunquam deveniatur ad per se conceptos. Alioqui resolutione absoluta apparebit utrum coincidentia virtualis fiat formalis seu expressa sive an res redeat ad identicam.

64) Quaeritur igitur an possibile sit resolutionem terminorum incomplexorum aliquando posse continuari in infinitum, ut nunquam perveniatur ad per se conceptos. Et sane si nullae darentur in nobis notiones per se conceptae, quae distincte attingi possint, aut non nisi una (v.g. notio Entis); sequitur nec propositionem ullam ratione perfecte demonstrari posse; nam licet ex positis definitionibus et axiomatibus perfecte possit demonstrari sine experimentis, definitiones tamen praesupponunt terminorum possibilitatem, adeoque vel resolutionem in per se conceptos, vel in experimento compertos, reditur ergo ad experimenta seu ad alias propositiones.

65) Quodsi dicamus possibilem esse continuationem resolutionis in infinitum, tunc saltem observari potest, progressus in resolvendo an ad aliquam regulam reduci possit, unde et in terminorum complexorum, quos incomplexi in infinitum resolubiles ingrediuntur, probatione talis prodibit regula progressionis.

66) Quodsi jam continuata resolutione praedicati et continuata resolutione subjecti, nunquam quidem demonstrari possit coincidentia, sed ex continuata resolutione et inde nata progressione ejusque regula saltem appareat nunquam orituram contradictionem, propositio est possibilis. Quodsi appareat ex regula progressionis in resolvendo eo rem reduci, ut differentia inter ea quae coincidere debent, sit minor qualibet data, demonstratum erit propositionem esse veram, Am Rande: NB. Am Rande gestr.: Si ex progressione demonstrari potest nullam orituram coincidentiam [bricht ab] sin apparet ex progressione tale quid nunquam oriturum, demonstratum est esse falsam, scilicet in «contingentibus». Am Rande: Dubium: utrum verum omne quod non potest probari falsum; an falsum omne quod non potest probari verum; quid ergo de illis, de quibus neutrum? Dicendum est semper probari posse et verum et falsum resolutione in infinitum saltem. Sed tunc est contingens, seu possibile est ut vera sit, aut ut falsa; idemque est de notionibus, ut in resolutione in infinitum appareant verae aut falsae, id est ad existendum admittendae, vel non. Hoc modo an notio vera erit existens; falsa non existens. Omnis notio impossibilis est falsa, sed non possibilis est vera, itaque falsa erit quae nec est nec erit, ut falsa est talis propositio; etc. Nisi forte malimus nullam existentiae in his habere rationem, et notio vera hic idem quod possibilis; falsa idem quod impossibilis, nisi quando dicitur, v.g. Pegasus existens.

67) Necessaria autem propositio est, cujus opposita non est possibilis, seu cujus oppositam assumendo per resolutionem devenitur in contradictionem. Itaque necessaria est quae per identicas demonstrari potest, et definitiones, nullo alio usu experimentorum accedente, quam ut inde constet terminum esse possibilem.

68) Sed illud adhuc examinandum est, unde sciam me recte progredi in definiendo, nam si dico A = EFG, non tantum scire debeo, E, F, G singula esse possibilia, sed etiam inter se compatibilia, id autem patet non fieri posse, nisi experimento vel rei, vel alterius rei similis, in eo saltem de quo agitur. At si quis dicat me id saltem posse cognoscere ex ideis in mente mea comprehensis, dum experior, me concipere EFG, quod voco A, respondeo me cum dico concipere E, vel concipere aliquid quod experior nihil involvere aliud, vel concipere aliquid adhuc compositum, quod a me confuse apprehenditur. Si experior E nihil involvere aliud seu per se concipi, tunc admitti potest ipsum esse possibile. Sed de tali nullae omnino fieri possunt propositiones, nisi identicae; alioqui falso dixi me experiri quod nihil aliud involvat. Si experior E involvere plura, jam ea rursus similiter tractanda sunt, quoties vero plura conjungo, quae non sunt per se concepta, opus est experimento, non tantum quod a me simul concipiantur in eodem subjecto, talis enim conceptus est confusus, sed quod revera extiterint in eodem subjecto.

69) Itaque inter prima principia est, terminos quos in eodem subjecto existere deprehendimus non involvere contradictionem. Seu si A est B, et A est C, utique BC est possibile, seu non involvit contradictionem.

70) Deus ex solis sui intellectus experimentis, sine ulla perceptione aliorum, judicat de rerum possibilitate.

71) Quid dicendum de propositionibus A est existens, seu A existit. Ut si dicam de re existente A est B, idem est ac si dicam AB est existens, v.g. Petrus est abnegans, id est Petrus abnegans est existens. Hic quaeritur quomodo in resolvendo procedendum sit, seu an terminus Petrus abnegans involvat existentiam; an vero Petrus existens involvat abnegationem, an omnino Petrus involvat et existentiam et abnegationem, quasi dicas Petrus est abnegans actu, seu abnegans existens, quod utique verum est. Et ita omnino dicendum est, et hoc discrimen est inter terminum individuum seu completum, et alium; nam si dicam aliquis homo est abnegans, homo non continet abnegationem, est enim terminus incompletus, nec homo continet omnia quae de eo dici possunt de quo ipse.

72) Unde si sit BY, et terminus Y indefinitus quicunque sit superfluus; seu ut quidam Alexander Magnus, et Alexander Magnus sit idem, tunc B est individuum. Si sit terminus BA et B sit individuum, erit A superfluus, seu si BA = C, erit B = C.

73) Sed quaeritur quid significet tò Existens, utique enim existens est Ens seu possibile, et aliquid praeterea. Omnibus autem conceptis, non video quid aliud in Existente concipiatur, quam aliquis Entis gradus, quoniam variis Entibus applicari potest. Quanquam nolim dicere aliquid existere esse possibile seu Existentiam possibilem, haec enim nihil aliud est quam ipsa Essentia; nos autem Existentiam intelligimus actualem seu aliquid superadditum possibilitati sive Essentiae, ut eo sensu existentia possibilis futurum sit idem quod actualitas praescindens ab actualitate, quod absurdum est. Ajo igitur Existens esse Ens quod cum plurimis compatibile est; seu Ens maxime possibile. Itaque omnia coexistentia aeque possibilia sunt. Vel quod eodem redit, existens est quod intelligenti et potenti placet, sed ita praesupponitur ipsum Existere. Verum poterit saltem definiri, quod Existens est quod Menti alicui placeret, et alteri potentiori non displiceret si ponerentur existere mentes quaecunque. Itaque res eo redit, ut dicatur Existere quod Menti potentissimae non displiceret, si poneretur mens potentissima existere. Sed ut haec definitio applicari possit experimentis, sic potius definiendum est Existit, quod Menti alicui (existenti) placet (existenti, non debet adjici, si definitionem non simplicem propositionem quaerimus), nec Menti potentissimae (absolute) displicet. Placet autem menti potius id fieri quod habet rationem, quam quod non habet rationem, ita si plura sint A, B, C, D, et unum ex ipsis sit eligendum, et sint B, C, D per omnia similia, at solum A ab aliis sese aliqua re distinguat, Menti cuilibet hoc intelligenti placebit A. Idem est si saltem discrimen non appareat inter B, C, et D, appareat autem inter A et ipsa, et mens decreverit eligere, eliget A. Libere tamen eligit, quia potest adhuc inquirere, an non sit discrimen inter B, C, D.

74) Omnes propositiones Existentiales, sunt verae quidem, sed non necessariae, nam non possunt demonstrari, nisi infinitis adhibitis, seu resolutione usque ad infinita facta, scilicet non nisi ex completa notione individui, quae infinita existentia involvit. Ut si dico Petrus abnegat, intelligendo de certo tempore, utique praesupponitur etiam illius temporis natura, quae utique involvit et omnia in illo tempore existentia. Si dicam infinite Petrus abnegat, abstrahendo a tempore; ut verum hoc sit, sive abnegarit, sive sit abnegaturus, tunc nihilominus saltem ex Petri notione res demonstranda est, at Petri notio est completa, adeoque infinita involvit, ideo nunquam perveniri potest ad perfectam demonstrationem, attamen semper magis magisque acceditur, ut differentia sit minor quavis data.

75) Si, ut spero, possim concipere omnes propositiones instar terminorum, et omnes Hypotheticas instar Categoricarum, et universaliter tractare omnes, miram ea res in mea characteristica, et analysi notionum, promittit facilitatem, eritque inventum maximi momenti. Nimirum generaliter voco terminum falsum, qui in incomplexis est terminus impossibilis, vel saltem insignificans, et qui in complexis est propositio impossibilis, vel saltem propositio quae probari non potest. Am Rande: NB. und über saltem insignificans: NB. Itaque manet analogia. Itaque per A intelligo vel terminum incomplexum, vel propositionem; vel collectionem, vel collectionum collectionem, etc. Ut generaliter terminus verus sit, qui perfecte intelligi potest.

76) Praeter Ens adhibebimus etiam Entia, unde prodit totum et pars. Generaliter si A non est B et B non est A, et primitiva est haec: A est L et B est L idem esse quod C est L, dicitur C totum, A (aut B) pars. Am Rande: Continuum cum partes indefinitae. Numerus oritur si consideratur tantum plura esse Entia, non qualia. Dubitari potest an et quatenus C sit unum Ens reale, an non semper ex pluribus resultet novum Ens, etiam dissitis, et quandonam resultet vel non.

76[bis]) Non-A est non ^#6+AB^#6-, seu non-A = Y non [^#6+AB^#6-]. Omnis non homo est non: ^#6+homo rationalis^#6-, sequitur ex 77.

77) Generaliter A esse B idem est quod non-B est non-A. Unde demonstratur praecedens: nam AB est A. Ergo non-A est [non ^#6+AB^#6-]. Am Rande: Hoc videndum an possit demonstrari. Demonstratum est infra 95 et 99.

78) A = B et non-A = non-B coincidunt.

79) At si A sit B, non sequitur non-A esse non-B, seu si homo sit animal, non sequitur non hominem esse non animal. Itaque licet pro A substitui possit B, non ideo tamen pro non-A licet substituere non-B, nisi vicissim pro B substitui possit A.

80) Videndum an infinitis possit careri, sane non-A videtur idem esse quod is qui non est A, seu subjectum propositionis negativae cujus praedicatum est A, seu omnis qui non est A. Itaque si ^#6+Y^#6- non est A, erit [^#6+Y^#6-: non-A], seu ^#6+Y^#6- non = AX idem est quod ^#6+Y^#6- = [X]* non-A*.

81) ^#6+Y^#6- seu Y indefinita cum lineola mihi significat quilibet, Y est unum incertum, ^#6+Y^#6- est quodlibet.

82) Nimirum et sic dici poterit; B non est A idem esse quod, B est non-A, unde B non = AY idem esse quod B = Y non-A.

83) Generaliter A esse B, idem est quod A = AB, inde enim manifestum est B contineri in A, idemque est homo, et homo animal. Notavi hoc jam supra ad marginem articuli 16, et quanquam inde fieri videatur homo est rationale animal animal, tamen animal animal idem est quod animal, ut notavi supra articulo 18.

84) Hinc si propositio A est B dicatur esse falsa seu negetur, utique hoc est dicere A non = AB hoc est quoddam A non est B.

85) A esse non-B idem est ac dicere A = A ^#6+non-B^#6-, patet ex 83. Si dicas A = A non-B, est falsa seu A non = [A] non-B, significat quoddam A est B.

86) Rursus non-B idem est quod is qui non est B, seu genus cujus species sunt A, C, D, etc., posito A non esse B, C non esse B, D non esse B.

87) Itaque Nullum A esse B idem est quod A esse non-B, seu quodlibet A esse unum ex iis quae non sunt B. Seu [A^#6+Y^#6- non = AB^#6+Y^#6-], idem est quod A = A non-B. Habemus igitur transitum inter infinitas affirmativas, et negativas.

88) Ut obiter dicam, generaliter A esse AB, idem est quod A coincidere cum AB (seu si propositio A est AB est vera, erit reciproca). Hoc ita demonstro: A est AB ex hypothesi, id est (per 83) A = AAB, id est (per 18) A = AB. Idem sic: A est AB (ex hypothesi) et AB est A (per 38). Ergo (per 30) A = AB. Hae duae demonstrationes inter se comparentur, aut enim in idem desinent, aut dabunt demonstrationem alicujus propositionis sine probatione assumtae. Am Rande: NB.

89) Consideremus particularem affirmativam quoddam animal est homo, BY = AZ. Ea etiam potest in hanc mutari BY = ABY seu dici potest quoddam animal esse hominem, idem esse quod, animal quoddam esse hominem-animal. Patet ex 83. Nihil refert enim quod Y incerta est, quaecunque enim illa sit, fingatur nosci, et adesse, tunc utique locum haberet ratiocinatio.

90) Caeterum etsi hoc modo in Praedicato vitari semper possit indefinita Y, non tamen potest vitari in subjecto, et praestat praedicato etiam relinqui, ob inversionem manifestiorem. Et omnino quia non prorsus eliminari possunt indefinitae, praestat eas relinqui. Am Rande: Imo puto posse eliminari.

91) Si A est B tunc A non est non-B. Esto verum A esse non-B, si quidem fieri potest, jam A est B ex hypothesi. Ergo A est B non-B, quod est absurdum. Adde infra [100]. Am Rande: Hic ratiocinandi modus, seu ducendi ad absurdum, jam in praecedentibus est opinor stabilitus. Daneben: ^&.!!

92) Non valet consequentia: Si A non est non-B, tunc A est B, seu omne animal esse non hominem falsum est, quidem; sed tamen hinc non sequitur omne animal esse hominem.

93) Si A est B, non-B est non-A. Falsum esto si fieri potest non-B esse non-A, seu non-B non esse A, verum erit non-B esse A. Ergo quoddam A est non-B. Ergo falsum est omne A esse B, contra Hyp. Am Rande gestr.: Videndum

94) Si non-B est non-A, A est B. Falsum esto si fieri potest A esse B, ergo A erit non-B. Ergo quoddam non-B erit A (per conversionem). Ergo falsum est quoddam non-B esse non-A (per 91). Ergo multo magis falsum est omne non-B esse non-A, contra hypothesin.

95) A esse B idem est quod non-B esse non-A, patet ex 93, 94, juncto 30. Videndum an non propositio 95 demonstrari possit per se, sine 93 et 94. Hoc praestitum articulo [99]. Am Rande gestr.: NB.

96) Non-non-A = A. Am Rande der gestr. Stufe von (96)**: Nullum non-A, idem est quod solum A.

97) Nullum A est B idem est quod A est non-B (per 87).

98) Omne A est B idem est quod Nullum A est non-B, seu quoddam A non esse non-B. Patet ex 97 vel 87, tantum pro B ponendo non-B et pro non-B ponendo non-non-B seu B.

99) A est B idem quod A est non-non-B (per 96) et hoc idem (per 87) quod Nullum A est non-B id est nullum non-B est A (per conversionem universalis negativae) id est (per 87) Omne non-B est non-A = A est B. Quod erat dem.

100) Si A est B, sequitur A non esse non-B, seu falsum esse Omne A esse non-B. Nam si A est B, utique nullum A est non-B, seu falsum est quoddam A esse non-B (per 87). Ergo (per 101) multo magis falsum est Omne A esse non-B. Adde 91.

101) Si falsum est aliquod A esse B, falsum est omne A est B seu quod idem est aliquod A non est B. Ergo omne A non est B. Nam ponatur si fieri potest omne A esse B. Ergo quoddam A est B (per 29). Sed hoc est contra hypothesin, adeoque falsum, ergo et falsum prius.

102) Si A est B et A est C, idem hoc est quod A est BC.

103) Hinc si A est non-B et A est non-C idem hoc est quod A est non-B non-C.

104) Non-B esse non ^#6+BC^#6- demonstratum est 76[bis]. Sed non semper [non ^#6+BC^#6-] est non-B. Excogitandus esset modus propositionis formalis, seu generalis, quasi dicerem: falsum est omne negativum compositum esse negativum simplex seu non ^#5+Y^#5- ^#5+X̄^#5- non = non-^#5+Y^#5-, Am Rande: NB. ita ut ^#5+Y^#5- et ^#5+X^#5- significent quaslibet similiter se habentes.

105) Si A est non ^#6+BC^#6- non ideo sequitur vel A esse non-B, vel A esse non-C, potest enim fieri ut B sit = LM et C = NP, et ut A sit [non ^#6+LN^#6-], quo facto A erit non ^#6+LMNP^#6- seu non ^#6+BC^#6-, interim hinc sequitur falsum esse simul A esse B et A esse C seu A esse BC. Patet ex 91 vel [100].

106) Patet ex his non a sua litera vel formula cui praefigitur in calculo divelli minime debere.

107) Omnis complicatio propositionum ita generaliter repraesentari potest ^#3+AB^#3-^#2+C^#2-^#1+D^#1-, etc. vocare possumus ^#6+AB^#6- = L, ^#6+LC^#6- = M, ^#6+MD^#6- = N ponendo aliqua horum similiter posse resolvi ut L vel M vel N, et ea in quae ipsa resolvuntur, rursus ita fortasse posse resolvi, pro re nata. Lineola autem supra ducta ut ^#6+AB^#6- significare potest affirmationem vel negationem aut potius coincidentiam vel incoincidentiam. Poteritque lineola notam quandam habere tam in medio quam in extremis, in medio ut significetur modus propositionis, utrum sit affirmativa an negativa, etc., extremum autem quo respicitur A poterit notam habere qua designetur utrum A sit terminus universalis an particularis, etc. similiter idem designabit pro B lineola quae respicit B. Et si sit

^&.bb  A     B    C^&.b*  ^#1+4    ^#1-  ^#1+1    ^#1-  A  B  C locus 1 designabit quantitatem vel qualitatem etc. secundum [quam] hic adhibetur terminus* A seu modum adhibendi termini A, et locus 2 naturam propositionis AB, locus 3 modum termini B. Locus 4 modum adhibendi toỹ AB seu L. Locus 5 naturam propositionis ^#5+AB^#5-^#4+C^#4- seu ^#6+LC^#6-, locus [6] modum termini [C]. Posset in numeris observari talis ordo, *ut semper incipiatur a maxime subdivisis seu ab infimo subdivisionis gradu seu a terminis ad incomplexa propioribus ut si sit ^&.bb  3  B  1    2   5  5  ^&.b*  ^#1+13  4  5^#1-  ^#1+10  1  2^#1-  ^#1+7   8   9^#1-  ^&.SD   ^#1+1     3^#1-  ^#1+4 5   6^#1-  A  B   C   D  E   F Unde intelligi potest quam miris modis terminorum relationes et denominationes variari possint tam ab ordine si respicias solam dispositionem numerorum, quam a valore cujusque numeri, si vel solius quantitatis et qualitatis habeatur locus.

108) Omnis terminus etiam incomplexus potest haberi pro propositione, quasi ipsi adjectum esset tò hoc Ens, ut Homo perinde sumi potest ac si diceretur Homo idem est quod est hoc Ens, scilicet id ipsum quod est, vel potius generalius, perinde erit ac si adjectum esset tò verum, ut: Homo est verum, ^#6+Homo est animal^#6- est hoc verum et tò hoc verum facit hoc loco officium quod unitas in Arithmetica, ad supplenda loca seu dimensiones. Si scilicet ponatur quodlibet quod cum aliquo copulatur tot modis esse subdivisum quo id cum quo copulatur, ne terminus nisi aeque complexo vel incomplexo jungi ponatur, verum seu Unitas scribatur V, ex ^&.SD fiet ^&.za , ubi loca sunt suppleta, dici enim potest ^#6+A esse idem quod hoc verum^#6-, esse idem quod, hoc verum, est hoc verum: sed notandum ipsum V suppletum ubique debere mutari: A = A verum seu «A est hoc verum» Auf der Rückseite am Rande gestr.: A = A verum ^&.za ^&.bb   2   4 5   6 7 8   10 11  2   13 14  5 16 17  8 19 20  1 22 23  4^&.b*  ^#1+43   44  5^#1- ^#1+37   38  9^#1-   ^#1+40   41  2^#1- ^#1+25   26  7^#1- ^#1+28   29  0^#1-   ^#1+31   32  3^#1- ^#1+34   35  6^#1- ^#1+1 2  ^#1- ^#1+4 5   6^#1- ^#1+7 8  ^#1- ^#1+10 11  2^#1-   ^#1+13 14  5^#1- ^#1+16 17  8^#1- ^#1+19 20  1^#1- ^#1+22 23  4^#1- A  V V   V B  V C   D   E   V V   V F   V V   V

*109) Quemadmodum autem quilibet terminus concipi potest instar propositionis, ut explicuimus, ita et quaelibet propositio concipi potest instar Termini, ut *^#6+Hominem esse animal^#6- est verum, est propositio, est tale quid, est causa, est ratio*, etc. Quae serviunt ad* *universalissimas condendas enuntiationes de his complicationibus.

110) Possunt etiam novi Termini reflexivi condi, qui similiter tractari possunt ut directi, ut subjectum propositionis talis, tale ..., potest appellari aliquo nomine. Et* *videndum quomodo hae ipsae denominationes rursus inter se per literas explicari possint, ut si subjectum propositionis universalis affirmativae sit praedicatum alterius propositionis affirmativae, cujus subjectum est praedicatum prioris, subjectum dicitur esse idem cum praedicato ejusdem propositionis. Si quis autem velit rigorose rem enuntiari ad morem communem logicorum aut etiam hominum vulgo loquentium in propositionibus satis difficultatis inveniet, ut si dicere velit *subjectum propositionis universalis affirmativae, cujus praedicatum est subjectum propositionis universalis affirmativae in qua** *[praedicatum est subjectum] *praecedentis propositionis, est idem cum praedicato dictae propositionis cujus est subjectum.* Ac ne sic quidem relativum, dictae, vel praecedentis,* *potest evitari, quanto satius, brevius, clariusque dicemus *si A est B et B est A, A est idem cum B.* Cujus etiam demonstratio facile dari potest, quemadmodum supra a nobis data* *est; adhibitis scilicet literis. At verbis haud dubie foret satis perplexa, et opus foret peculiarem adhibere curam in illis recte disponendis. Nam si recte constituta essent, credo idem praestarent, licet nesciam an pari claritate, similiter et consequentiae ex literis facile ducuntur, ut statim hic patet ut A diximus esse idem ipsi A, ita et B posse dici idem ipsi B,* *quod non aeque videtur facile ex verbis apparere.

111) Notandum est posse etiam de tota resolutionis serie generalia quaedam excogitari circa processum ejus, etiamsi continuaretur resolutio in infinitum, et circa haec utique excogitari possent verba apta reflexiva, vel etiam literae quaedam generales ut ^#5+Y^#5-,* *sed in progressu clarius apparebit, quid horum praestet.

112) Videndum an non alio nonnihil sensu sumatur Y cum dicatur AY est B hoc est* *quoddam A est B, quam cum negatur ullum A esse B, ita ut non tantum negetur *quoddam A esse B* seu incertum hoc A esse B, sed et quodcunque ex incertis A, ut proinde cum* dicitur nullum A esse B, sensus sit negari A^#6+Y^#6- esse B, nempe ^#6+Y^#6- est Y, seu quodcunque Y continebit hoc Y. Itaque cum dico quoddam A est B, dico hoc quoddam A est B, si nego quoddam A esse B, seu hoc quoddam A esse B, tantum videor particularem negativam dicere. At cum nego quodcunque A esse [B], seu non tantum hoc, sed et hoc et hoc A esse B, tunc nego ^#6+YA^#6- esse B. Unde etiam in loquendo negare quoddam A esse B, seu dicere *quoddam A non est B, non videtur sonare nullum A esse B, et similiter dicere *Omne A non est B*, non videtur sonare negationem quod omne A sit B; sed dici de quolibet A, quod non* sit B. Pro prioribus tamen stat, quod negatio Universalis affirmativae, utique est particularis *negativa. Itaque negatio particularis affirmativae non potest etiam esse particularis negativa (neque enim negatio particularis affirmativae et universalis affirmativae potest esse idem), superest ergo, ut sit universalis negativa; neque enim aliud esse potest. Am Rande: Univ. Aff. A aequatur B cum aliquo addito. Univ. Neg. negatur [bricht ab]

*113) Res utiliter exhibebitur figuris. A est B seu A coincidit cuidam B, seu *A coincidit AB*. Am Rande zu Nr. 113 bis 121: Lineola perpendicularis significat limites ultra quos non possunt et intra quos possunt extendi termini salva propositione seu habitudine. Ut lineola perpendicularis significat maximum, ita duplex linea horizontalis significat minimum seu quod detrahi non potest salva habitudine, duplex linea non videtur in subjecto necessaria, sed tantum in praedicato, subjectum enim sumo pro arbitrio. Pro duplici malo fortiorem. Ut quando linea proxime sub linea ducitur intelligatur unus terminus componi licet etiam semper intelligi possit unus respectu magis distantium linearum adhuc inferius ductarum.  1001  A 1003  B 1004

*114) Quoddam A est B, seu quoddam A coincidit cuidam B.  A 1005  B 1006

115) Hinc A = A. Nimirum generaliter fingendum est, quasi lineae horizonti parallelae, *quarum una ducta est sub alia distinctionis causa, ducta[e] essent una super alia.

116) AB = BY, ubi per Y intelligo quicquid  205  AB in genere est in tota linea B quod cadit sub A.  A 1002

*117) A = BY idem est quod A = BA.  B 1002

*118) A = BY. Ergo BY = AY.  Haec omnia ex figurae

*119) A = BY et B = AY idem est quod A = B.  inspectione patent.

*120) Negatio hujus: quoddam A esse B seu cum negatur *quoddam A coincidere cuidam B*, sic exprimetur:  A 1007  B 1008

*121) Sed negatio hujus: Omne A est B sic exprimetur:  A 1007  B 1009

*122) Potest et alia consideratio institui, ut genus non ponatur esse pars speciei, ut paulo ante fecimus, quia generis notio est pars (vel saltem inclusum) notionis speciei; sed ut contra potius species sit pars generis, quia individua speciei sunt pars (vel saltem inclusum) individuorum generis.

123) Itaque Omne A est B sic repraesentabitur  A 1010   202   Omne A est B  B 1011 quae repraesentatio est inversa prioris. Eodem modo repraesentatio particularis negativae* *est inversa prioris. Sed particularis affirmativa et Universalis negativa eodem modo repraesentantur ut ante, quia nihil refert utrum praeponas aut postponas, itaque generaliter dici potest priorem repraesentationem a posteriore in eo saltem differre, quod lineae in figura transponuntur.

124) Est et alia repraesentatio propositionum per numeros. Nempe pro terminis ponendo numeros, Universalis affirmativa seu A est B significat: A (vel saltem quadratum* *ipsius A aut cubus) dividi potest per B. Nam A, A² A³, hic habentur pro iisdem.

125) Particularis affirmativa, quoddam A est B, significat A multiplicatum per B seu AB* dividi posse per B. Intellige scilicet AB semper dividi posse per [B], nisi in *AB *destruatur [B], si verbi gratia A significaret $\frac{C}{B}$ et C non posset dividi per B.

126) Particularis negativa est, falsum esse dividi A posse per B, licet forte AB dividi *possit per B. Am Rande gestr.: Omnia per numeros demonstrari possunt, si modo notetur [bricht ab]

127) Universalis negativa est falsum esse AB dividi posse per B, cujus nulla alia causa est, quam quod A continet $\frac{1}{B}.$ Itaque proprie universalis negativa est si A continet non-B, Am Rande: NB. unde per consequentiam colligitur Universalem negativam esse oppositam particulari *affirmativae, nempe si A dividitur per B non potest fieri, ut A per B multiplicetur.

128) Habemus ergo has expressiones A = AB est universalis affirmativa. Am Rande: senarius est senarius, omnis homo est animal et sic designari posset AY = AZ, sed hoc puto inutile. AB = AB *est particularis affirmativa; nam et hoc falsum est, si particularis affirmativa sit falsa, quia tunc AB est terminus impossibilis, quia A continet non-B. A = A non-B est universalis* negativa. Am Rande zu Nr. 128 und 129: Distinguenda negatio a divisione, divisione fit omissio alicujus termini, sed non ideo negatio nisi quod revera in infinitis, quod non inest negatur, itaque respectu formulae distinguitur divisio seu ablatio a negatione, a parte rei non distinguetur.   A = A  vera   A = A : A falsa   A = A   A non = A : A   A = AB  univ. Aff.   vel A : B non = A : B   seu A : B est falsum   A = A : B  univ. Neg.   vel AB non = AB   seu AB est falsum   AB = AB  part. Aff.   vel A non = A : B   A : B = A : B  part. Neg.   vel A non = AB Intelligo hic quendam hominem esse doctum si modo id possibile sit, hoc enim loco nos notiones abstractas, non experimenta consideramus. Si enim possibile sit A = BY, utique istud BY est quoddam B quod est A. Itaque si particularis affirmativa est falsa, impossibile est dari talem notionem. Videtur optimum, ut prius definiamus particulares, nempe AB est notio vera seu AB = AB est part. Aff. Et A : B est notio vera seu A : B = A : B est partic. Neg. Cum vero dicimus AB esse falsam notionem, seu negamus part. Aff., fit univ. Neg. Cum dicimus A : B esse falsam notionem seu A : B non = A :B, fit Univ. Aff. Hinc statim patet conversio simpliciter univ. Neg. et part. Aff. Sed ex his ­demonstrandum jam esse A = AB si A : B non = A : B, et esse A = A : B si AB non = AB. Unde sequitur falsam esse particularem affirmativam, seu AB esse impossibilem *terminum, vel potius falsum (si enim demonstrari hoc perfecte non possit resolvendo in infinitum falsus est, non impossibilis). Denique particularis negativa est A non-B = A non-B.* Quae si falsa sit A non-B est impossibilis seu A continet B. Et hoc didici ex considerando numeros. Atque ita tandem plane eliminavimus indefinitam Y. Am Rande: NB. Idque ex *numeris didicimus.

129) Omnia per numeros demonstrari possunt, hoc uno observato, ut AA et A* aequivaleant, et ut $\frac{A}{A}$ non admittatur. Quia multiplicatio hoc loco repraesentat complexum notionum, si autem notio aliqua sibi ipsi directe adjiciatur ut Homo homo, nihil aliud fit quam Homo. Divisio autem repraesentat negationem unius de alio, quando scilicet exacte non procedit. Itaque quando A dividi potest exacte per B, seu quando A continet B, tunc repraesentatur propositio Universalis affirmativa A est B. Quando A dividi potest exacte per non-B seu per $\frac{1}{B}$ seu quando A continet fractionem $\frac{1}{B}(quae$ repraesentat non-B) repraesentatur Universalis negativa. At quando A non dividitur exacte per B, oritur particularis Negativa, et quando A non dividitur exacte per $\frac{1}{B}$ oritur particularis affirmativa. *Ita arcanum illud detexi, cui ante aliquot annos frustra incubueram. Am Rande: NB.

*130) Vera autem propositio est quae probari potest. Falsa quae non est vera. Impossibilis quam ingreditur terminus [contradictorius]. Possibilis quae non est impossibilis. An igitur omnis universalis negativa impossibilis? Ita esse videtur, quia intelligitur de notionibus non de rebus existentibus ut si dico Nullum hominem esse animal, non id* *intelligo tantum de existentibus hominibus, sed hinc sequetur quod de singulari aliquo ut Petro negetur, necessario de eo negari. Igitur negandum est omnem Universalem Negativam esse impossibilem, et ad objectionem responderi potest, A continere non-B, probari* *vel demonstratione seu resolutione perfecta, vel non nisi resolutione in infinitum continuabili seu semper imperfecta. Itaque certum est quidem non vero necessarium, quia nunquam reduci potest ad identicam vel oppositam ad contradictoriam.

130[bis]) Verum igitur est quod probari potest, seu cujus ratio reddi potest, resolutione. Falsum quod contra. Necessarium est quod resolutione reducitur ad identicum. Impossibile est quod resolutione reducitur ad contradictorium. Falsus est terminus vel propositio qui continet opposita utcunque probata. Impossibilis qui continet opposita per reductionem ad finitos probata. Ita ut A = AB si probatio facta est per resolutionem* finitam, distingui debeat ab A = AB, si probatio facta est per resolutionem ad infinitum, *inde jam oritur illud de Necessario, possibili, impossibili et contingente.

131) Dupliciter fit resolutio, vel conceptuum in mente, sine experimento (nisi reflexivo quod ita concipiamus) vel perceptionum seu experientiarum. Prior probatione non indiget, nec praesupponit novam propositionem et hactenus verum est quicquid clare et distincte percipio est verum, posterior praesupponit veritatem experimenti. In Deo sola resolutio propriorum requiritur conceptuum, quae tota fit simul apud ipsum. Unde ille novit etiam contingentium veritates, quarum perfecta demonstratio omnem finitum intellectum transcendit.

132) Omnis propositio vera probari potest, cum enim praedicatum insit subjecto, ut loquitur Aristoteles, seu notio praedicati in notione subjecti perfecte intellecta, involvatur, utique resolutione terminorum in suos valores, seu eos terminos quos continent, oportet veritatem posse ostendi.

133) Propositio vera necessaria, probari potest reductione ad identicas, vel oppositae reductione ad contradictorias; unde opposita dicitur impossibilis.

134) Propositio vera contingens non potest reduci ad identicas, probatur tamen, ostendendo continuata magis magisque resolutione, accedi quidem perpetuo ad identicas, nunquam tamen ad eas perveniri. Unde solius Dei est, qui totum infinitum Mente complectitur nosse certitudinem omnium contingentium veritatum.

135) Hinc veritatum necessariarum a contingentibus idem discrimen est, quod Linearum occurrentium, et Asymptotarum, vel Numerorum commensurabilium et incommensurabilium.

136) At difficultas obstat: possumus nos demonstrare lineam aliquam alteri perpetuo accedere licet Asymptotam, et duas quantitates inter se aequales esse, etiam in asymptotis, ostendendo progressione utcunque continuata, quid sit futurum. Itaque et homines poterunt assequi certitudinem contingentium veritatum. Sed respondendum est, similitudinem quidem esse, omnimodam convenientiam non esse. Et posse esse respectus, qui utcunque continuata resolutione, nunquam se, quantum ad certitudinem satis est, detegant, et non nisi ab eo perfecte perspiciantur, cujus intellectus est infinitus. Sane ut de asymptotis et incommensurabilibus ita et de contingentibus multa certo perspicere possumus, ex hoc ipso principio, quod veritatem omnem oportet probari posse, unde si omnia utrobique se habeant eodem modo in Hypothesibus, nulla potest esse differentia in conclusionibus, et alia hujusmodi, quae tam in necessariis quam contingentibus vera sunt, sunt enim reflexiva. At ipsam contingentium rationem plenam reddere non magis possumus, quam asymptotas perpetuo persequi et numerorum progressiones infinitas percurrere.

137) Multa ergo arcana deteximus magni momenti ad analysin omnium nostrarum cogitationum, inventionemque et demonstrationem veritatum. Nempe quomodo omnes veritates possint explicari numeris. Quomodo veritates contingentes oriantur, et quod naturam quodammodo habeant numerorum incommensurabilium. Quomodo veritates absolutae et Hypotheticae unas easdemque habeant leges, iisdemque generalibus theorematibus contineantur, ita ut omnes Syllogismi fiant Categorici. Denique quae sit origo Abstractorum, quod postremum nunc paulo distinctius explicare operae pretium erit.

138) Nempe si propositio A est B consideretur ut terminus, quemadmodum fieri* posse explicuimus, oritur abstractum, nempe tò ^#6+A esse B^#6-, et si ex propositione A est B sequatur propositio [D est C], tunc inde fit nova propositio talis: tò ^#6+A esse B^#6- est vel *continet tò [^#6+D esse C^#6-], seu Beitas ipsius A, continet Ceitatem ipsius D, seu *Beitas ipsius A est* Ceitas ipsius D.

139) Generaliter autem si dicatur: aliquid esse B, tunc ipsum hoc: ^#6+aliquid esse B^#6- est nihil aliud quam ipsa Beitas. Sic tò ^#6+aliquid esse animal^#6- nihil aliud est quam animalitas. At tò ^#6+Hominem esse animal^#6- est Animalitas hominis. Unde habemus originem tam *abstracti quam talis obliqui.

140) At per quale abstractum exprimetur tò [^#6+Omnis Homo est animal^#6-]? An per hoc:* Animalitas omnis hominis? Quae longe utique differt ab omni animalitate hominis. Nam modo aliquis homo sit doctus, omnis doctrina hominis est terminus verus; at nisi omnis homo sit doctus, eruditio omnis hominis est terminus falsus. Nisi quis intelligat terminum exclusive, ut aliquando Geometrae, quando sub omni moto id cujus celeritas est infinite *parva, seu quod quiescit. Videtur eruditio omnis hominis, etiam efferri posse *eruditio humanitatis*. Sed hoc tamen nolim, si insistimus supra dictis, quod humanitas alicujus* *nihil aliud sit quam tò ^#6+aliquid esse [hominem^#6-].

*140[bis]) An quia ex eo quod quidam homo est doctus, sequitur: *quoddam doctum est homo*: dicere licebit: doctrina hominis est humanitas docti? Ita puto.

141) Quomodo explicabimus quantitatem in abstractis, verbi gratia quando A est duplo calidius ipso B, seu quando calor ipsius A est duplus caloris ipsius B? Scilicet tò [^#6+A esse calidum^#6-] est calor ipsius A. Itaque si tò [^#6+A esse calidum^#6-], sit ad tò [^#6+B esse calidum^#6-], ut 2 ad 1, erit calor ipsius A duplus caloris ipsius B. Sed porro videndum est, quomodo tò [^#6+A esse calidum^#6- possit [esse] ad tò [^#6+B esse calidum^#6-] ut numerus ad numerum. Hoc ergo contingit cum causa quae A esse calidum uniformi actione efficit, tali actione adhuc semel continuata efficiat B esse calidum, vel si signum ex quo cognoscimus aliquid esse *calidum sit continuum, et in uno alterius duplum. Sed in his multa opus est circumspectione, unde thermometra etsi signa sint graduum caloris, non tamen sunt aequaliter dividenda.

142) Sed quomodo abstractis efferemus propositiones negativas; ut *quidam Homo non est doctus*? nempe ut negatio hominis est non-humanitas ita negatio *doctrinae hominis* est non-doctrina hominis. Et si dicatur nullus homo est lapis; abstractum ejus seu* tò ^#6+nullus homo est [lapis]^#6-, efferendum erit, non-lapideitas omnis hominis; an vero dicere licebit: lapideitas nullius hominis? seu lapideitas non-hominis? Non puto; neque enim id *exprimit nullum hominem esse lapidem.

143) Illud jam videndum est, an cum abstractorum praedicationibus consentiat haec doctrina, et quidem viriditas est color, praedicatio bona est, cur ita? An quia sequitur qui* *est viridis, eundem esse coloratum? Sed videamus an non exempla sint in contrarium: Circulus est uniformis, item circulus est planum. Non tamen dici potest *uniformitatem esse planitiem*, quia ex uniformitate non sequitur planities. An vero dicemus *uniformitas circuli est planities*? Sane videtur ex propositione Circulus est uniformis sequi Circulus* est planum. Equidem verum est non sequi ex hac propositione magis quam ex quavis alia *de circulo. An ergo videntur praedicationes abstractorum non tantum consequentiam postulare, sed et aliquid praeterea. Quid ergo quia Omnis circulus est uniformis, seu quia* *si A est circulus, sequitur quod A est uniformis, licebitne ideo dicere *Circularitas est uniformitas*? Ergo pari jure dicere licebit: Circularitas est planities. Et proinde dici* poterit: Quoddam quod est uniformitas est planities. In quibus tamen haereo adhuc nonnihil. Sane si idem sit, uniformitas, quod tò [^#6+uniforme esse^#6-], et planities quod tò [^#6+planum esse^#6-], an verum est aliquando quod tò [^#6+A uniforme esse^#6-], sit tò [^#6+A planum esse^#6-]. *Ita puto, quando ipsum A est uniforme respectu unius centri. Unde dici poterit *Uniformitas respectu unius centri est planities* seu existentia in plano. Et vero quemadmodum in* concretis sunt praedicationes per accidens, cum Musicus est poeta, non video cur non et *admittantur in abstractis, ut uniformitas aliqua sit planities. Recte igitur dicemus *uniformitatem circuli esse planitiem*, et proinde poterimus insistere regulae generali. Sed* quomodo jungemus haec in circularitate. An quia dicimus circularitas est uniformitas, et circularitas est planities dicere licebit uniformitas est circularitas planities? Et an non videntur confundi officia praedicamentorum, ut dici possit quaedam qualitas est quantitas, *cum aliquando ex eo quod quis est qualis sequitur eum esse quantum. Quid hinc? Modo non possit dici omnis qualitas est quantitas. Videndum an in casu talis propositionis* *universalis in abstractis sequatur necessitas in concretis, puto ne hoc «quidem» sequi, sunt enim contingentes connexiones semper verae, quae pendent a liberis actionibus.

144) Propositiones sunt vel Essentiales vel existentiales; et ambae vel secundi vel tertii adjecti. Propositio essentialis tertii adjecti ut: Circulus est figura plana.* *Propositio essentialis secundi adjecti ut: *figura plana ad unum aliquod punctum eodem modo se habens, est*; est, inquam, hoc est intelligi potest, concipi potest, *inter varias figuras est aliqua quae hanc quoque naturam habet*; perinde ac si diceremus:* *figura plana ad unum aliquod punctum eodem modo se habens, est ens sive res. Propositio* ~~existentialis tertii adjecti. Omnis homo est seu existit peccato obnoxius, haec scilicet est propositio existentialis seu contingens. ~~Propositio existentialis secundi adjecti*: Homo peccato obnoxius est seu existit, seu est ens actu.

*145) Ex omni propositione tertii adjecti fieri potest propositio [secundi] adjecti, si praedicatum cum subjecto componatur in unum terminum, isque dicatur esse vel existere, hoc est dicatur esse res sive utcunque, sive actu existens.

146) Propositio particularis affirmativa, Quoddam A est B transformata in propositionem* secundi sic stabit: AB est, hoc est, AB est res nempe vel possibilis vel actualis, *prout propositio est essentialis vel existentialis.

147) Propositio Universalis Affirmativa in propositionem secundi adjecti hoc quidem modo non aeque commode transformatur, nam ex Omne A est B non licet commode* *facere: Omne AB, est. Cum enim AB sit idem quod BA, pari jure dicere liceret *Omne BA, est*; et proinde etiam Omne B est A. Itaque sic dicendum erit Omne A continens B, est.* *Quomodo autem alia ratione propositio universalis affirmativa ad secundi adjecti enuntiationem reducatur mox patebit.

148) Propositio particularis Negativa Quoddam A, non est B, sic transformabitur in* propositionem secundi adjecti: A, non-B; est, hoc est A quod non est B est res quaedam; *possibilis vel actualis, prout propositio est essentialis vel [existentialis].

*149) Universalis negativa transformatur in propositionem secundi adjecti per negationem particularis affirmativae. Verbi gratia Nullum A est B, hoc est AB non est, seu *AB non est res*. Posses etiam sic enuntiare: Nullum A est B, id est: *Omne A continens non-B est*.

*150) Universalis affirmativa transformatur in propositionem secundi adjecti per negationem particularis negativae, ita ut Omne A est B, idem sit quod: A non-B non est* seu non est res, vel etiam (ut dixi n. 147) A continens B est res. Quod tamen posterius ut jam dixi minus aptum est, etsi verum sit, quia est superfluum, jam enim B in A continetur, *sed si non omne A sit B, ex AB fit nova res.

*151) Habemus ergo propositiones tertii adjecti sic reductas ad propositiones secundi adjecti: Quoddam A est B  dat:  AB est res. Quoddam A non est B  dat:  A non-B est res. Omne A est B  dat:  A non-B non est res. Nullum A est B  dat:  AB non est res.

*152) Et cum ipsis identicis propositionibus tantum fidi possit in notionibus realibus, adeo ut veritas nulla sine metu oppositi asseri possit nisi de ipsarum notionum realitate saltem essentiali, licet non existentiali, constet; ideo licebit propositionum Categoricarum Species quatuor etiam sic exprimere: Part. Aff.  AB = AB (seu AB et AB coincidunt, hoc est AB est res). Part. Neg.  A non-B = A non-B (seu A non-B est res). Univ. Aff.  A non-B non = A non-B (seu A non-B non est res). Univ. Neg.  AB non = AB (seu AB non est res).

*153) Hoc autem praesupponit negari omnem propositionem, quam ingreditur Terminus qui non est res. Ut scilicet maneat omnem propositionem vel veram vel falsam esse; falsam autem omnem esse cui deest Constantia Subjecti, seu terminus realis. Hoc tamen nonnihil ab usu loquendi remotum est in propositionibus existentialibus. Sed hoc ego non est cur curem, quia propria signa quaero, non recepta nomina his applicare constituo.

154) Quod si quis malit signa sic adhiberi, ut AB sit = AB, sive AB sit res sive non, et* ut eo casu quo AB non est res possint coincidere B et non-B, scilicet per impossibile, non *equidem repugno. Et ita distinguendum erit inter Terminum et Rem seu Ens.

155) Omnibus ergo expensis fortasse melius erit, ut dicamus semper in characteribus quidem poni posse A = A, licet quando A non est res, nihil inde utiliter concludatur.* Itaque si AB sit res poterit inde fieri YA = ZB. Nam AB = R, et AB = RB. Sit B = Y et *R = Z, fiet YA = ZB. Et contra YA = ZB. Ergo YAB = ZB. Jam A = R et B =(R) (seu A et B* *sunt res). Ergo YAB = Z(R). Ergo AB = ( (R) ).

*156)  A = A.  A non = non-A.  AA = A.

157) A = B est universalis affirmativa reciproca, quae est simplicissima. Coincidit *cum non-A = non-B, et si negetur dici poterit A non = B.

*158) D = ZC est Univ. Aff.

*159) YA = ZC est Partic. Aff.

*160) D = non-E Universalis negativa.

*161) XE = non-F particularis negativa.

*162) Supersunt termini quos ingrediuntur [non ^#6+YA^#6- ], hoc est non tale A (seu *quoddam A non*) qui differunt a non quoddam. Nempe aliud est dicere *falsum esse, quoddam A esse B*. Aliud est dicere falsum esse tale A esse B. Unde cum hic oriatur aequivocatio* *aliqua, satius erit literas Y prorsus eliminare, et hinc orientur tales propositiones.

*163) A = B idem non-A = non-B simplicissimae.

*164) A = AB universalis affirmativa.

*165) AB = AB posito AB esse rem, particularis Affirmativa, seu YA = ZB.

*166) A = [A] non-B universalis [negativa].

*167) A non-B = A non-B, posito A non-B esse rem, particularis negativa.

*168) Si A non = B tunc vel A non-B erit res, vel B non-A erit res.

*169)  AB est res aequivalet Quoddam A est B, et Quoddam B est A.  A non-B est res aequivalet Quoddam A non est B vel Quoddam A est non-B.  A non-B est non res aequivalet Universali Affirmativae: Omne A est B.  AB  est non res aequivalet Universali Negativae: Nullum A est B, vel *Nullum B est A*.

170) Interim opus est tamen, ut propositionem Quoddam A est B discernamus a *propositione: Quoddam B est A, et similiter Nullum A est B, a propositione nullum B est A.

*171) Principia su nt:

Primo  A = A.

*Secundo  non-A = non-A.

*Tertio  AA = A.

*Quarto  non-non = omissioni ipsius non, ut non-non-A = A.

*Quinto  Si A = B erit AC = BC.

*Sexto  Si A = B erit non-A = non-B.

*Septimo  Si A = B, non erit A = non-B.

*Octavo  A non-A non est res.

172) Si A = B erit AB = B. Nam A = B ex hypothesi, ergo AB = BB per princip. *quintum, id est per princip. 3 AB = B.

173) Si A = BC erit AB = BC. Nam A = BC ex hyp. Ergo AB = BBC per princip. *quintum, id est per princip. 3 AB = BC.

174) Si non-A = B erit non-B = A. Nam sit non-A = B ex hyp. erit non-non-A = non-B *per princip. sext. Jam non-non-A = A per princip. 4. Ergo A = non-B.

175) Si A = non-B non erit A = B. Nam sit A = non-B ex hyp. non erit A = non-non-B *per princip. [7]. Ergo per princip. 4 non erit A = B.

176) Si A = BC erit A = AC. Nam sit A = BC (per hyp.) erit *A = ABC = BCBC = BCC = AC.

*177) Si A = YC erit A = AC, ut ante.

178) Si A = YC erit ZA = VC. Nam A = YC ex hyp. Ergo ZA = ZYC, sit ZY = V, fiet *ZA=VC.

179) Si A = YC erit VC = ZA, patet ex praecedenti.

180) Am Rande: NB. Si A = [non ^#6+AC^#6-] erit A = non-C. (Scilicet si A est res.) Hoc accurate *demonstrandum.

181) [non ^#6+AC^#6-] = Y non-C (= Z non-A).  203

*182) Si Y non-C = Z non-A, erit = [non ^#6+AC^#6-].  haec demonstranda

*183) non-A non-C = [Y non ^#6+AC^#6-].

*184) Omnis propositio in sermone usitata huc redit, ut dicatur quis terminus quem contineat, et quidem inspicitur [terminus continens], vel absolutus, vel cum addito, et is dicitur continere contentum absolutum.

185) Non debet in propositionibus proprie occurrere: non omnis, non quidam; haec* enim tantum negant propositionem signo omnis aut quidam affectam, non faciunt novum signum non-omnis, vel non-quidam; sic si dicam non, quidam homo est animal idem est *quod falsum est, quendam hominem esse animal.

186) Quidam homo non est lapis significat: quidam homo est non-lapis, istud: Omnis homo non est lapis videtur significare Omnis homo est non-lapis; itaque generaliter sic interpretabimur non ante est quasi praedicatum negativum, sed si tò non *praeponitur signo, intelligemus propositionem negari.

187) Jam supra monui quae ad propositiones pertinent sic posse illustrari et quasi ad numeros revocari, ut concipiamus Terminum seu Notionem instar fractionis verbi gratia ab non-l non-m = H quod significat H continere a, et b, sed idem H continere non-l et* non-m; observando tantum ut aa idem sit quod a, et non-a non-a idem quod non-a et non-non-a idem quod a, et ut nunquam idem terminus contineat simul a et non-a, seu ut terminus qui continet a non dicatur continere non-a vel contra. Denique qui continet ab *continere etiam a, et qui continet non-a continere etiam [non ^#6+al^#6-]. Am Rande neben der gestrichenen Nr. 188: Si a non sit = a, terminus a est falsus.

*189) Principia ergo haec erunt: Primo aa = a   (unde patet etiam non-b [non-b] = non-b, si ponamus non-b = a). Secundo non-non-a = a. Tertio non idem terminus continet a et non-a seu si unum est verum alterum est falsum,* *aut certe terminus ipse talis dicetur non verus sed falsus. Quarto A continere l idem est quod A esse = xl. Quinto non-a continet non ^#6+ab^#6-, seu si l continet a, non-a continebit non-l. Sexto Quaecunque dicuntur de Termino continente terminum, etiam dici possunt de* *propositione ex qua sequitur alia propositio. Septimo Quicquid ex his principiis demonstrari non potest, id non sequitur vi formae.

190) Universalis Affirmativa Omne A est L idem est quod A continere L seu* *A = XL.

Particularis Affirmativa: quoddam A est L, idem est quod A cum aliquo *addito sumtum continere L, verbi gratia AB continere L posito B = LX, vel *AN continere L*, posito esse L = MN, et A = BM, nam ita fiet AN = BMN = BL. Proinde etiam *quoddam A est L* idem est quod AL continet L, seu AL = AL; posito scilicet AL esse rem seu* *terminum verum qui non implicat opposita ut X non-X.

Universalis Negativa Omne A est non-B seu A continet non-B seu *A = X non-B.

Particularis Negativa Quoddam A est non L seu AX continet non-L seu AX = Z non-L seu et A non-L continet non-L, seu A non-L = A non-L, posito A non-L esse *terminum verum qui non implicat opposita.

191) Si vera est Universalis Affirmativa, vera etiam est Particularis Affirmativa, seu si A continet B, etiam quoddam A continet B. Nam A = XB per princip. 4. Ergo ZA = ZXB* *(ex natura coincidentium). Sit ZX = V (ex arbitrio) fiet ZA = VB.

*192) In terminis veris propositio Universalis Affirmativa et particularis negativa non possunt esse simul verae, sit enim A = XL et VA = Z non-L, fiet AVA seu VA = AZ non-L = XLZ non-L,* *qui terminus est falsus.

193) Eaedem non possunt simul esse falsae. Sit A non = AL, et *A non-L non = A non-L*, erit A non-L terminus falsus, ergo A = AL.

*194) Terminus falsus est qui continet oppositos A non-A. Terminus verus est non-falsus.

*195) Propositio est quae pronuntiat quis terminus in alio contineatur aut non contineatur. Unde etiam propositio affirmare potest terminum aliquem esse falsum, si dicat in eo contineri Y non-Y; et verum si neget. Propositio etiam est quae dicit utrum aliquid* *alteri coincidat aut non coincidat, nam quae coincidunt in se invicem continentur.

196) Propositio falsa est, quae continet oppositas, ut ^&.SD et non ^&.SD .

*197) Ipsa propositio concipi potest instar termini, sic quoddam A esse B, seu *AB esse terminum verum*, est terminus, nempe AB verum. Sic Omne A esse B, seu *A non-B esse falsum*, seu A non-B falsum est terminus novus. Sic Nullum A esse B seu AB esse falsum* *est terminus novus.

198) Principia:

1^o. Coincidentia sibi substitui possunt.

2^do. AA = A.

*3^o. non-non-A = A.

*4^o. Falsus   seu non verus est terminus qui continet A non-A; verus qui non continet.

5^o. Propositio est   quae termino addit quod sit verus vel falsus, ut: si A sit terminus eique ascribatur A verum esse, A non verum esse, solet etiam simpliciter dici A esse, *A non esse.

6^o. Veri seu toỹ esse   adjectio relinquit, at falsi seu toỹ non esse in oppositum mutat; *itaque si verum aut falsum quid esse verum dicatur, manet verum aut falsum; sin verum aut falsum esse falsum dicatur, fit ex vero falsum, ex falso verum.

7^o. Propositio ipsa fit Terminus   si termino ipsi adjiciatur verum aut falsum; ut sit A* *terminus, et A est vel A verum est, sit propositio, A verum, seu A verum esse, seu *A esse* erit terminus novus, de quo rursus fieri potest propositio.

*8^o. Propositionem   ex propositione sequi nihil aliud est quam consequens in antecedenti contineri ut terminum in termino, atque hac methodo reducimus consequentias ad propositiones, et propositiones ad terminos.

9^o. A continere l idem est quod A = xl. Am Rande zu den folgenden Absätzen: Omne B est C.  B non-C non est. Omne A est B.  A non-B non est. Omne A est C.  A non-C non est. Sed haec consequentia ex meris negativis etsi proba sit, non tamen apparet, nisi re reducta ad affirmativas. Unde apparet hanc reductionem universalium ad negativas non esse adeo naturalem. Quemadmodum A continet B et B continet C etiam A continet C, ita si A excludit non-B, ergo includit B, et B excludit non-C, ergo B includit C, itaque denique A includit C. Si adhibeamus AB est, A non-B est pro particularibus, et A continet B, vel A continet non-B pro universalibus, poterimus carere propositionibus negativis. Sane negativa non afficit copulam nisi quando dicitur propositio esse falsa, alioqui afficit praedicatum.

*199)  Propositio, particularis affirmativa: AB est.

* Particularis negativa A non-B, est.

* Et posito A et B esse Universalis affirmativa A non-B non est.

* Universalis Negativa: AB non est. Am Rande gestr.: Si A non continet B, A non-B est verus.

*Hinc statim patet nec numero plures dari, et quaenam earum sint oppositiones et conversiones. Nam P. A. et U. N. opponuntur, item P. N. et U. A. Patet etiam in propositione AB est vel AB non est utrumque terminum eodem modo se habere, et ideo* *locum habere conversionem simpliciter. Addi posset: non-A non-B est, vel *non-A non-B non est*; sed nihil differt a LM est, vel LM non est, posito non-A esse L et non-B esse M.

U. A. seu A non-B non est, idem est quod A continet B, nam A non continere B est *idem quod A non-B esse verum. Ergo A continere B idem quod A non-B esse non verum.

*200) Si dicam AB non est, idem est ac si dicam A continet non-B, vel *B continet non-A*, seu A et B sunt inconsistentia. Similiter si dicam A non-B non est, idem est ac si* *dicam A continet non-non-B seu A continet B, et similiter non-B continet non-A.

His ergo paucis formae fundamenta continentur.