De calculi geometrici elementis

 [Februar bis Oktober 1685 (?)] [A]

Si quid ego judicare possum, vera Geometriae Analysis nondum tradita est, et Calculus qui habetur potius numericus est quam Geometricus, literis enim inter calculandum denotari solent non puncta, quemadmodum opus esset in calculo Geometrico, sed magnitudines, hoc est numeri indefiniti. Itaque magnitudo directe calculo illo repraesentatur, situs vero sive figura tantum indirecte et per circuitus. Quae res facit ut ex brevibus delineationibus Geometricis prolixissimi saepe exurgant calculi Algebraici, et contra ut difficile sit ex calculo Algebraico eruere commodas constructiones. At in calculo vere Geometrico per puncta, ipsa formula calculo designata vel reperta debet esse ipsius delineationis et constructionis expressio. Manifestum etiam est Calculum Algebraicum non exprimere totum id quod considerandum est, sed pleraque ex Elementaribus propositionibus, aut inspectione figurae supponere, unde fit, ut analysis in medio itinere quasi abrupta obhaerescat nec ad finem usque perducatur, ac proinde nec omnium transformationum sit capax, quas natura rei suppeditat. Quodsi vero Analysis ad situm directe exprimendum accommodetur et ad prima principia usque perducatur, unde ipsa Geometriae Elementa demonstrantur, omnia per eam delineari atque inveniri directe poterunt, quodam calculi combinationumque genere, quae nunc vix magno figurarum apparatu, et imaginationis fatigatione reperiuntur. Quo vix quicquam in inquisitionibus Physicis et Mechanicis utilius praestari posset ad mentem sublevandam ac rerum naturam quae mathematice operatur in penitissimas usque latebras prosequendam. [B]

In rerum situ atque extensione consideranda menti ante omnia occurrit plura simul percipi, sed hoc non sufficit, nam si simul frigus et dulcedinem percipiam non ideo noto extensionem. Itaque opus est ut percipiam etiam quandam relationem inter ea quae simul percipio; et quidem relationem cujusdam uniformitatis, ut si simul percipiam chartam albam, et murum album. Quin etsi charta sit alba, et murus niger attamen uniformitatem quandam percipio, quae consistit in aliquo quod albo et nigro commune est, et quo manente concipio, album ex nigro fieri posse. Praeterea percipio quandam distinctionem uniformium (ut duarum partium chartae albae) quatenus duo aliter percipio cum eodem tertio, seu aliter A cum C quam B cum C. Percipio tamen me similia omnia percipere posse in uno, quae in alio.

Si quid percipio, et ideo plura alia simul percipere supponor quae aliquam habent inter se et cum priore uniformitatem [bricht ab]

Den gesamten vorangehenden Text von [B] hat Leibniz umrandet. Es folgenden in Kleindruck drei weiterführende Ansätze, die Leibniz wieder verworfen hat:

Assumimus autem esse spatium, seu quoddam extensum infinitum, ubique sibi simile in [bricht ab]

Assumimus autem ante omnia esse quoddam extensum absolutum, in quo per se spectato nihil aliud est quam extensio, et in quo sunt omnia situm habentia. Hoc solet appellari spatium universum. Id per se ubique sibi simile est, ac proinde procurrit in infinitum, et quod in eo ponitur, continue in eo mutare situm potest, et quod in [bricht ab]

Si quia percipitur A eo ipso percipi supponatur B, tunc dicitur B esse in A. [C]

Punctum intelligimus quod omnium eorum quae situm habent simplicissimum est atque adeo extensione caret, sive in quo nihil aliud est situm habens quam ipsummet. Itaque si ideo quia ^&.za est in ^&.SD , coincidere necesse sit ^&.za et ^&.SD , erit ^&.za vel ^&.SD punctum. Quod sic exprimo si ^&.za est in ^&.SD et ideo ^&.za ^&.SH ^&.SD erit ^&.za vel ^&.SD punctum. Et, si ^&.za ^&.SH ^&.SD locus omnium ^&.za (seu ^#6+^&.za ^#6-) erit punctum. Sequitur et punctum puncto esse simile, seu esse A ^&.sw B, soleo enim per literas designare puncta, nisi aliud admoneatur. Item punctum esse puncto congruum, seu esse A ^&.SE B.

Spatium intelligimus quod in extensione absolutissimum est, adeoque situ caret, atque ideo in eo sunt omnia alia situm aut extensionem habentia, et proinde plura quaecunque simul existentia et situm habentia habent et situm inter se. Et dato quocunque aliud simile vel congruum constitui potest ad datum punctum. Hinc si Y ^&.SE A, locus omnium Y seu ^#6+Y^#6- erit spatium infinitum.

Duorum statuum diversorum unus ex alio fieri potest per mutationem continuam. Si diversi illi status sint similes inter se, mutatio continua talis esse poterit ut transeat per meros status similes extremis, et ea transibit per omnes status similes intermedios, seu minus diversos ab extremis quam extremi sunt inter se; et quidem si simplicissima est non nisi per solos intermedios, alioqui transibit plus semel per eundem. Quod non esse opus mox patebit. Mutatio continua potest esse et similis, etsi sit per non similia; quod fit, si transitus ab A ad E per C similis transitioni ab A ad C per B et a C ad E per D et ita porro subdividendo, quo posito necessarium est status per quos transitur esse intermedios seu minus diversos ab extremis quam extremi inter se, alioqui nunquam absolvetur transitus. Si mutatio continua sit similis secundum unam assumtionem, erit et similis secundum aliam assumtionem, ut si sit mutatio ABCDEFGHL et sit AEL ^&.sw ACE ^&.sw ABC et ita porro erit et ABC ^&.sw BCD.

Mutatio similis seu uniformis, et similium si praeter extrema adhuc per unum transit simile, transit per mera similia intermedia, intermedia inquam seu minus distantia ab extremis quam haec inter se, hoc enim praestat omnis mutatio uniformis. Mutatio determinata inter similia est uniformis per similia, ac proinde vicissim mutatio uniformis per similia est unica seu determinata. In dissimilibus non semper datur determinata mutatio, v.g. ex quadrato in circulum concentricum; imo nec uniformis. Datur tamen determinata mutatio in dissimilibus, si omnia determinantia in statu a quo et in statu ad quem singula singulis sint similia et respondentia in respondentia mutentur mutatione uniformi per similia, sic ut eadem utrobique proportio servetur. Ita circuli determinata est mutatio in Ellipsin datam. Determinatam voco mutationem cum determinata sunt per quae fit transitus.