Idea libri cui titulus erit Elementa Nova Matheseos Universalis

 [Sommer 1683 (?)] Idea libri cui titulus erit Elementa Nova Matheseos Universalis

Haec Elementa Matheseos universalis, Am Rande: Elementa Matheseos Universalis talia esse debent ut prodesse possint etiam ad Cryptographemata interpretanda, ad ludum Schaccorum ludendum, et alia id genus. multo plus different a Speciosa hactenus cognita, quam ipsa Speciosa Vietae aut Cartesii differt a Symbolica veterum.

Ostendetur hic Methodus Calculum Geometricum ad illa quoque problemata porrigendi quae Algebram (hactenus receptam) transcendunt.

Tradetur et Synthesis et Analysis, sive tam Combinatoria, quam Algebra.

Mathesis Universalis tradere debet Methodum aliquid exacte determinandi per ea quae sub imaginationem cadunt, sive ut ita dicam Logicam imaginationis.

Itaque hic excluduntur Metaphysica circa res pure intelligibiles, cogitationem, actionem. Excluditur et Mathesis specialis circa Numeros, Situm, Motum.

Imaginatio generaliter circa duo versatur, Qualitatem et Quantitatem, sive magnitudinem et formam; secundum quae res dicuntur, similes aut dissimiles, aequales aut inaequales. Et vero similitudinis considerationem pertinere ad Mathesin generalem non minus quam aequalitatis, ex eo patet quod Mathesis specialis, qualis est Geometria, saepe investigat figurarum similitudines.

Similia sunt quae per se singulatim discerni non possunt; qualitates vero seu formae sunt quibus res per se discernuntur. Discernuntur tamen similia comparatione, quae fit tum compraesentia comparandorum, tum ipsius tertii compraesentia cum utroque.

Quando igitur res forma vel qualitate discerni non possunt, tunc si inter se discerni possunt (id est si plus quam numero differunt), discerni possunt Quantitate. Quae vero nec forma nec magnitudine discerni possunt, ea dici possunt Hypallela, quia unum alteri substitui potest, et si similitudo in sola extremorum consideratione consistit, dicuntur Congrua. Possunt enim nonnulla esse similia et convenientia secundum aliquam formam, quae non sunt secundum aliam, ut globus aureus et argenteus possunt esse congrui seu extremis convenientes id est et aequales, et respectu extremorum similes adeoque convenientes respectu corporeitatis in genere, sed non ideo per omnia similes sunt, cum differant qualitate materiae. Numero differunt quae ne quidem comparatione inter se discerni possunt, sed referenda sunt ad externa locum scilicet et tempus, an autem possibile sit dari res solo numero differentes in natura, hoc solo scilicet quod revera non sunt unum, sed plura, non est hujus loci, sed ad Metaphysicam pertinet; nobis sufficit talia reperiri posse, quae imaginatione, sive sensuum apparentia discerni non possint. Cum autem res ne numero quidem differunt, etsi forte ne differant expressione nostra seu diversae appareant diverso respectu, dicentur coincidentes. Ita coincidet Ellipsis secta ex cono, cuidam Ellipsi sectae ex cylindro; quod apparet scilicet cum conus et cylinder se oblique secare intelliguntur.

Patet autem quae sunt coincidentia ea multo magis esse Hypallela, et haec multo magis congrua, et congrua multo magis esse similia. Plura autem requiri ut aliqua demonstrentur coincidentia quam ut congrua, et plura ut demonstrentur congrua, quam ut demonstrentur tantum aequalia, vel tantum similia. Am Rande: Homogenea sunt quae vel sunt vel transformatione reddi possunt similia. Aequalia sunt quae vel sunt vel transformatione reddi possunt congrua vel quae si similia sint congrua sunt.

Quaecunque similibus et similiter determinantur, ea sunt similia. Et quae secundum unum determinandi modum similia, ea etiam secundum alium determinandi modum similia sunt. Determinata autem dicuntur, cum conditiones datae sunt, quibus aliqua ab aliis omnibus discerni possunt. Am Rande: Data aliqua possunt intelligi vel cognitione, ut si sciam orgyiam esse sex pedum; vel actu ipso ut si quis mihi filum vel lignum det, quod orgyiae magnitudinem habeat.

Si duo sint similia, tunc nulla alia in ipsis institui potest comparatio quam Ratio ipsorum inter se, et proportio sive eadem ratio, respondentium. Sunt autem respondentia, unum ex pluribus ab una parte, cum alio ex pluribus ab alia parte, si illud secundum quandam relationem eodem modo refertur ad sua complura, ut hoc ad sua complura, quae in Triangulis similibus dicuntur homologa latera. Responsus tamen potest esse et in dissimilibus, exempli causa si duae sint Ellipses dissimiles nihilominus peripheria, axis major axis minor, centrum, vertices, foci, unius, respondent iisdem alterius. Centrum centro, peripheria peripheriae.

Similitudines interdum cognosci possunt per Magnitudines; ita similes sunt figurae, cum anguli respondentes sunt aequales; item cum latera respondentia sunt proportionalia. Proportionalitas autem seu identitas duarum rationum intelligitur, cum numeri provenientes si antecedens dividatur per consequens, utrobique sunt aequales.

Contra Magnitudines vicissim inveniuntur per similitudines, ut Magnitudines Angulorum per similitudines figurarum, magnitudines numerorum, per identitates rationum. Et interdum evenit, ut quod prolixa indiget demonstratione secundum viam magnitudinis, facillime demonstretur secundum viam similitudinis, exempli causa, Triangula aequiangula habere latera Homologa, item circulos esse ut quadrata diametrorum.

Quod vulgo vocant comparationem Aequationum, nihil aliud est, quam cum supponitur duas formulas licet diverse expressas esse revera coincidentes, unde respondentes quoque magnitudines quae unamquamque determinant, debent inter se esse coincidentes. Hoc locum habet non tantum in aequationibus, sed et in formulis magnitudinum, imo non tantum in formulis magnitudinum, sed et in formulis quibusvis aliis, ut si literae desig- narent non magnitudines sed puncta. Combinatoria enim seu doctrina de formulis generalior est Logistica seu doctrina Magnitudinis.

Comparatio Am Rande:  yy + xx + 2xy aequ. bb  9014   aa   et * xy aequ. $\frac{bb-aa}{2}<tab/$ > et * y aequ. $\frac{bb-aa}{2x}<tab/$ > et  y aequ. b ─ x.  Ergo  bb ─ aa aequ. 2bx ─ 2xx   seu * xx - bx + $\frac{1}{4}$ bb aequ. $\frac{1}{2}$ aa ─ $\frac{1}{4}bb$   seu $xaequ{.}^2\sqrt{\frac{1}{2}{a}^2-\frac{1}{4}bb}+\frac{1}{2}b.$  Eodem modo statim certo scribere [bricht ab] Daneben gestrichen: a sit 6, b sit 4 Darunter gestrichen: sit a 6, et b sit 6 autem similium locum habet, etiam cum non sunt coincidentia, exempli causa si sit yy + xx aequ. aa seu 25 et y + x aequ. b seu 6, necesse est, quia tam x quam y similiter determinantur ex a et b etiam valores eorum [determinari] per formulam scilicet ambiguam seu duplicem. Qualis formula ambigua seu duplex est ${}^2\sqrt{4},$ significat enim tam +2 quam ─2, seu radix quadrata de 4 est tam +2 quam ─2, quia utraque in se ducta dat 2. Itaque si esset yy + xx aequ. aa et y + x aequ. b ut diximus calculo instituto fiet $xaequ{.}^2\sqrt{\frac{1}{2}aa-\frac{1}{4}bb}+\frac{1}{2}b.$ Unde statim dicere possumus,  etiam y esse aequal. ${}^2\sqrt{\frac{1}{2}aa-\frac{1}{4}bb}+\frac{1}{2}b.$ Cum tamen differant, discrimen apparebit explicatione ambiguitatis, nam ${}^2\sqrt{\frac{1}{2}aa-\frac{1}{4}bb}$ significat vel ${+}^2\sqrt{\frac{1}{2}aa-\frac{1}{4}bb}$ vel ─ ${}^2\sqrt{\frac{1}{2}aa-\frac{1}{4}bb},$ unde majus ex his duobus, x et y, dicemus valere $\frac{1}{2}b{+}^2\sqrt{\frac{1}{2}aa-\frac{1}{4}bb},$ minus dicemus valere $\frac{1}{2}b{-}^2\sqrt{\frac{1}{2}aa+\frac{1}{4}bb}.$ Ex consideratione autem similitudinis id commodum habemus, quod unius valore invento statim et alterius valorem scribere possumus, sine novo calculo. Constructio quoque quae circulo et recta fieri poterit, vide figuram circuli adjectam, nullum inter ipsa discrimen ostendet. Weiter oben am Rande:  AC sit   a  AE sit   b  AB   x  BC   y  A₁B aequ. ₂B₂C  A₂B aequ. ₁B₁C Darüber eine abgebrochene Rechnung: $\sqrt{2aa-bb}aequ./</Fn>$

Ita consideratio figurarum amphidextrarum quae qualibet diametro per centrum ducta semper in duas partes inter se aequales et similes secantur, utilis est in Geometria, Am Rande folgende Figur, wohl ein erster Ansatz zur vorangehenden Figur: nam de illis dubitari non potest habeantne centrum gravitatis an non. Cum centrum magnitudinis in illis sit ipsum centrum gravitatis, sed hinc demonstrari potest omnia etiam alia corpora habere tale centrum, omnia enim continue resolvi possunt in amphidextra.

Ostendemus etiam problemata homoeoptota ut ita dicam facilius solvi posse, tum calculo; quia una radice inventa inveniuntur omnes, et praeterea depressiones facilius apparent; tum vero et constructione, nam Circulus quoque est figura cujus aequatio est respectu incognitarum (ordinatarum et abscissarum) homoeoptota, cum Hyperbolae aequatio, quando ad quadrata incognitarum assurgit, talis non sit. Unde utile est problemata caetera reducere ad Homoeoptota. In calculando quoque et construendo, ut vias meliores inveniamus, utilissimum deprehendi observare regulam justitiae, quae jubet ut ea quae in problemate sunt eodem modo se habentia, etiam a nobis eodem modo tractentur, ne quid alteri sine ratione posthabeatur.

Notandum autem posse formulas esse similes, quibus duarum quantitatum inter se invicem relatio exprimitur, nec ideo tamen quantitatum eandem esse rationem, nec ideo ex ipsis aliquid compositum foret simile, exempli gratia sint tres magnitudines a, x, y, et aliae tres b, z, v, et sit aa aequ. xx + yy; item bb aequ. zz + vv. Verum non ideo a, x, y sunt proportionales ipsis b, z, v. Nec triangulum ex tribus rectis b, z, v foret simile triangulo ex tribus rectis a, x, y, licet aequatio pro illis sit similis aequationi pro his. Aliquid tamen convenientiae colligemus ex hac similitudine formularum, nimirum curvas quae sunt loca ipsarum x et y itemque ipsarum z et v esse ejusdem naturae, nempe circulos. Nam x et y sunt sinus rectus unus, complementi alter vel contra in circulo cujus radius sit a; at z et v in circulo cujus radius b.

Multum autem differunt ea quae eandem habent rationem, ab his quae eandem habent relationem. Ita in uno aliquo circulo sinus rectus anguli 45 gradu[u]m eandem habet relationem ad suum sinum complementi quam habet in alio angulo quolibet sinus rectus, ad suum sinum complementi, nam in quolibet angulo quadrata duorum sinuum, nempe sinus recti et sinus complementi simul addita faciunt quadratum radii. Sed non ideo sinus complementi et sinus recti sunt proportionales, seu eandem semper habent rationem. Nam in angulo 45 graduum sinus rectus et sinus complementi sunt aequales quod nuspiam alibi contingit. At diversos circulos comparando et sinus angulorum eorundem sunt proportionales.

Et hoc inprimis tirones notare debent, quibus solenne est relationes confundere cum rationibus. Est autem Ratio relationum simplicissima, cum scilicet ad duarum magnitudinum comparationem nullam quantitatem tertiam ipsis homogeneam assumi necesse est. Hoc, signum perutile inveniendi quae quibus proportionalia, ita hinc deduxi in balisticis celeritatibus proportionales resistentias mediorum. Ita applicatae et abscissae trianguli sunt proportionales. Sed sinus recti sinubus complementi non erant proportionales nam ad exprimendam unam illam relationem generalem sinus recti ad suum sinum complementi, assumenda erat quantitas nova, nempe radius cujus quadrato utebamur. Interdum assumendae ipsorum comparandorum potentiae, licet nulla alia nova quantitas assumitur, ut circuli sunt ut quadrata diametrorum, non vero ut ipsae diametri.

In Magnitudinum Calculo consideranda sunt Operationes et Usus ad problemata. Operationes constant additione et subtractione, Multiplicatione et Divisione, potentiae vel formulae constitutione et radicis extractione. Numeri absoluti et logarithmi inventione. Seriei vel Tabulae constructione, et clavis investigatione. Seriei differentia et summa. Et cum innumera supersint, ea his duobus comprehendi possunt generalibus, data proprietate aliqua rei, invenire ejus genesin seu constructionem; et data operatione per gradus invenire operationem per saltum, seu compendia.

Ex his patet operationes alias esse syntheses, ut additionem, multiplicationem, potentiae vel formulae vel Seriei vel Tabulae constructionem; alias esse analyses, nempe subtractionem, divisionem, extractionem radicum; inventionem geneseos seu clavis; et quidem quoad licet compendiosae.

Operationes aliae fiunt actu ipso, aliae fiunt per solam designationem, quae notat, quod actu ipso fieri debeat, cum licebit aut commode licebit, exempli gratia ^#6+a + b^#6- ^&.SB a signi[fi]cat a debere multiplicari per a + b, at operatione actu ipso peracta fiet aa + ab. Et utile est saepe operationes tantum designare, interdum enim in progressu continget, ut hoc ipsum aa + ab seu ^#6+a + b^#6- ^&.SB a iterum dividi debeat per a + b, quo facto redibit a, et proinde inutilis fuit tam multiplicatio actualis, quam divisio actualis ad eam iterum destruendam necessaria.

Interdum etiam operatio actu ipso facienda vel pro tempore vel omnino est impossibilis, saltem in nostris characteribus etsi construendo exhiberi possit aut a natura jam exhibita sit. Ita impossibile est subtrahi cum nihil adest, et tamen hoc in natura repraesentatur, cum quis plus debet, quam habet in bonis. Item numerum integrum primitivum impossibile est actu dividi per alium; unde fit fractio, quae repraesentat divisionem esse faciendam, re quae isto numero designatur divisa in partes ad eam divisionem exhibendam aptiores. Eodem modo oriuntur quantitates incommensurabiles, seu radices surdae ubi extractio non habet locum. Et quaedam extractiones tales sunt, ut radices illae surdae nec in natura rerum extent, tunc dicuntur imaginariae, et problema est impossibile, ut cum analysis ostendit punctum quaesitum debere exhiberi per intersectionem certi circuli et certae rectae, ubi fieri potest ut ille circulus ad illam rectam nullo modo perveniat, et tunc intersectio erit imaginaria; utile tamen est eam perinde considerari ad realem, quia radices imaginariae computandae cum realibus; ut integer numerus radicum alicujus aequationis habeatur; aliaque multa de ea utilia possint determinari. Quin imo deprehendi interdum necessario quantitatum realium valores exprimi debere per interventum quantitatum imaginariarum formulasque inde natas non minus utiles esse ad omnia analyseos opera quam formulas communes. Et has quantitates appello in speciem impossibiles; cum reapse sint reales, praeceptaque trado, quibus id agnosci possit.

Multum autem interest inter quantitates imaginarias, seu impossibiles per accidens, et impossibiles absolute quae involvunt contradictionem, ut cum invenitur ad problema solvendum opus esse, ut fit 3 aequ. 4 quod est absurdum. Imaginariae vero seu per accidens impossibiles, quae scilicet non possunt exhiberi ob defectum sufficientis constitutionis ad intersectionem necessariae, possunt comparari cum Quantitatibus infinitis et infinite parvis, quae eodem modo oriuntur. Nam sit recta indefinita AB transiens per punctum A ad quam sit perpendicularis CA. Et ex puncto C educta secare debet ipsam AB in aliquo puncto B, ut 1B, vel 2B, vel 3B, etc. Patet prout recta CB ad rectam AB angulum facit propiorem recto eo minorem esse AB, adeo ut in casu anguli recti 1B incidat in A, seu A1B sit infinite parva sive nulla. Contra quo angulus vel inclinatio rectae CB ad rectam AC magis accedit ad Parallelam eo major erit AB, ita A4B major quam A3B. Et quando recta CB fit omnino parallela ipsi AB, tunc punctum commune B, est imaginarium seu nullum, infinite scilicet hinc distans, et recta AB, est infinita. Am Rande: Discrimen tamen inter haec duo imaginaria, quod uno modo problema solubile, altero non; hoc tamen commune, quod saltem per angulum solubile non est, parallelismus enim revera non est angulus. Et tamen hujusmodi imaginaria egregium usum habent tum in Conicis, tum alibi passim; ad constructiones universales inveniendas; quod adeo verum est ut saepe calculus ad eas necessario ducat, ubi harum rerum nondum satis periti mire torquentur et in absurdum se incidisse putant. Intelligentes vero sciunt apparentem illam impossibilitatem tantum significare, ut loco rectae angulum quaesitum facientis ducatur parallela; hunc parallelismum esse angulum illum seu quasi angulum quaesitum.

Reales vero licet incommensurabiles quantitates possunt in natura exhiberi: eaeque sunt vel Algebraicae vel Transcendentes. Algebraicae cum inveniuntur extractione radicis certi gradus. At Transcendentes cum gradus aequationis aut est incertus, aut non est enuntiabilis. Et ad Transcendentes pertinent Logarithmi. Et varii sunt modi Quantitatem Transcendentem exprimendi, tum ad instar Logarithmorum, tum certis operationibus quae supponuntur in infinitum continuatae, eae finities actu ipso praestitae quantitati quaesitae quantumlibet accedere debent, unde oriuntur appropinquationes. Huc pertinent etiam calculus differentialis seu per maximas et minimas, cum data differentiarum seriei proprietate quaeritur ipsa seriei proprietas, et calculus replicatus, cum scilicet data proprietate seriei replicata, quaeritur proprietas seriei absoluta.

In quibus omnibus notandum est, plerumque ex eo oriri difficultatem problematum Transcendentium, quod non habentur rationes ad eas perveniendi, nisi justo ampliores, id est quae si succederent, plus darent quam quod quaerimus; ita viae quae ducunt ad quadraturam circuli, solent etiam ducere ad quadraturam cujuslibet sectoris generalem, quae algebraice est impossibilis, quemadmodum demonstrari potest. Itaque arte opus ~~est, ut* id quod quaerimus quaeramus via, quae ipsi soli sit propria. Haec* *eadem ratio est etiam in problematibus communibus seu Algebraicis cur aequationes altiorum graduum sunt difficiles resolutu, quia scilicet unam radicem forte quaerimus, qua essemus contenti si eam solam invenire daretur. Verum talis est natura problematis saltem ita ut a nobis concipitur ut non possit una inveniri, quin et reliquae habeantur. Eadem difficultas ab indeterminatione apparet in problematis Diophantaeis. Quin imo indeterminatio causa est incommensurabilitatis, nam cum quaesita quantitas non potest per naturam rerum exprimi quin simul et alia exprimatur eodem valore, necesse est exhiberi radices irrationales.

In his autem omnibus quantitatibus irregularibus quales sunt Nihilo minores, fracti, Irrationales, Transcendentes, Imaginarii, peculiares sunt observationes modo instituendi additionem, subtractionem, Multiplicationem, divisionem, extractionem radicum.

In omnibus operationibus utile est adhibere quasdam literas capitales, secundum quas formula ordinetur. Formulae rationales constant ex Formis sive terminis. Formulae sunt eodem modo compositae quae sunt completae respectu literarum; Formae ipsae quoque sunt vel completae vel incompletae, possunt tamen formae incompletae omnes in unam additae dare formulam completam. Dantur et formarum seu terminorum coefficientes (+ aliter alias utor voce formae +). Omnes formulae reduci possunt ad simplices, seu* non exaltatas, si loco potentiae ut aa, pro uno a ponatur sumi a, et separatim annotetur *aequatio a aequ. a. Ita enim per solam resolutionem omnium aequationum simplicium, habebitur resolutio omnium aliarum.

In resolutione problematum, habentur determinationes, aequalitates, rationes, relationes. Considerandum quando et quomodo ex pluribus determinationibus possit veniri ad veram aequalitatem; item agendum de mutatione analogiae in aequalitatem, et contra.

Methodus solvendi problema est vel synthetica, vel analytica. Utraque vel per saltum vel per gradum. Synthetica vel combinatoria est cum alia problemata percurrimus et incidimus tandem in nostrum, et huc pertinet Methodus eundi a simplicibus ad composita problemata. Analytica est, cum a nostro inchoantes regredimur ut perveniamus ad conditiones quae ad ipsum solvendum sufficiunt. Quanquam is ipse regressus sit saltem in partibus synthesis fictitia respectu incogniti; idque in analysi per saltum, cum ipsum problema solvere ordimur nullis aliis praesuppositis. Eodem modo et synthesis est per saltum cum a primis oriendo omnia necessaria percurrimus ad nostrum usque problema. Sed per gradum Analysis est, cum problema propositum revocamus ad facilius, et hoc rursus ad facilius, et ita porro, donec veniamus ad id quod est in potestate.

Ad hanc analysin pertinet solutio per loca cum scilicet incognitum debet reperiri in duabus seriebus vel locis, nam terminus communis vel intersectio dabit quaesitum.

Cum plures dantur conditiones seu aequationes, opus est reductione ad unam; quam in rem utile erit Tabulas condi ut compendium fiat operationum. Contra vicissim opus est arte unam aequationem utiliter dissuendi in plures constructionum causa. De problemate reducendo ad aliud facilius peculiariter meditandum est. Hoc enim nondum satis exa- ­minavi. Cum sit tamen inter potissima habendum. Utilissimum autem est problemata incompleta seu disquicomposita revocare ad completa seu aequicomposita.

Subjicienda: modus problema Geometricum revocandi ad Calculum, et contra Modus Calculum exprimendi tam demonstratione quam constructione.

Dicendum et de his quae demonstrari directe non possunt per aequalitatem, sed per duas determinationes hinc inde, cum ostenditur aliquid nec esse majus nec minus. Et talia sunt omnia Transcendentia sua natura.