De demonstratione axiomatum non identicorum

 [Mai 1682 bis Dezember 1684 (?)]

Demonstrari possunt, non tantum theoremata, sed etiam ipsa Axiomata quae identica non sunt. Ita demonstravi Axioma Euclideum: Quod aequalia uni tertio, sunt aequalia inter se, per definitionem Aequalitatis. Talem autem assigno definitionem Aequalitatis: Aequalia sunt quorum unum alteri substitui potest, salva circa magnitudinem veritate. Demonstrandum jam esto Axioma, de aequalibus uni tertio etiam aequalibus inter se, quod sic exponi potest more Geometrarum: Esto a aequale ipsi b, et rursus esto c aequale ipsi b, ajo fore a et c aequalia inter se. Nam (primo) quia a = b ex hypothesi, et (2do) c = b, itidem ex hypothesi, ergo in aequatione prima in locum b, poterit substitui c, et fiet a = c. Quod erat dem.

Definitio. Aequalia sunt quae sibi substitui possunt salva magnitudine.

Axioma identicum. Unumquodque sibi ipsi aequale est. Axioma demonstrabile reductum ad Theorema Si aequalibus addas aequalia, proveniunt aequalia. Ecthesis Esto 1) a = l et (2do) esto b = m. Dico fore a + b = l + m. Demonstratio Nam quia (3tio) a + b = a + b per Axiom. ident. Ergo in dextro latere hujus aequalitatis pro a substituendo l (ob aequ. 1), et pro b substituendo m (per aequ. 2) quod fieri potest (per definit. Aequalium) habebimus a + b = l + m. Quod erat demonstrandum.

Simili ratione aliquando ostendi Logicas consequentias commode demonstrari per veritates identicas. Exempli gratia haec consequentia: Omnis homo est animal. Ergo quidam homo est animal, est Enthymema, quod perficitur et transit in syllogismum ope suppletae propositionis identicae: Omnis homo est animal. Quidam homo est homo. Ergo quidam homo est animal. Fateor nos non habere opus his demonstrationibus, sed tamen utiles eas arbitror ad [bricht ab]