De demonstratione axiomatum non identicorum

 [Mai 1682 bis Dezember 1684 (?)]

Demonstrari possunt, non tantum theoremata, sed etiam ipsa Axiomata quae identica non sunt. Ita demonstravi Axioma Euclideum: Quod aequalia uni tertio, sunt ~~aequalia inter se*, per definitionem Aequalitatis. Talem autem assigno definitionem* *Aequalitatis: Aequalia sunt quorum unum alteri substitui potest, salva circa magnitudinem~~ ~~veritate. Demonstrandum jam esto Axioma, de aequalibus uni tertio etiam aequalibus inter se, quod sic exponi potest more Geometrarum: Esto a aequale ipsi b, et* rursus esto c aequale ipsi b, ajo fore a et c aequalia inter se. Nam (primo) quia a = b ex hypothesi, et (2do) c = b, itidem ex hypothesi, ergo in aequatione prima in locum b, *poterit substitui c, et fiet a = c. Quod erat dem.

*Definitio. Aequalia sunt quae sibi substitui possunt salva magnitudine.

~~~~Axioma identicum~~. Unumquodque sibi ipsi aequale est. Axioma demonstrabile reductum ad Theorema Si aequalibus addas aequalia, proveniunt aequalia. Ecthesis Esto 1) a = l et (2do) esto b = m. Dico fore a + b = l + m. Demonstratio Nam quia (3tio) a + b = a + b per Axiom. ident. Ergo in dextro latere hujus aequalitatis* pro a substituendo l (ob aequ. 1), et pro b substituendo m (per aequ. 2) quod fieri potest *(per definit. Aequalium) habebimus a + b = l + m. Quod erat demonstrandum.

*Simili ratione aliquando ostendi Logicas consequentias commode demonstrari per veritates identicas. Exempli gratia haec consequentia: *Omnis homo est animal. Ergo quidam homo est animal*, est Enthymema, quod perficitur et transit in syllogismum ope* *suppletae propositionis identicae: *Omnis homo est animal. Quidam homo est homo. Ergo quidam homo est animal.* Fateor nos non habere opus his demonstrationibus, sed tamen* *utiles eas arbitror ad [bricht ab]