De formis syllogismorum Mathematice definiendis

 [Mai 1682 bis Dezember 1684 (?)] De formis syllogismorum Mathematice definiendis

Neminem harum rerum intelligentem dubitare arbitror, quin Logicae pars quae de figuris et modis syllogismorum agit, ad geometricum rigorem revocari possit. Et sane non pauci homines ingeniosi jam in eo ostendendo studium posuere; mirum tamen est verum modorum utilium numerum nondum determinatum haberi, quod nunc facere aggredimur, nec indignum Geometra putamus. Nam si laudantur qui corporum regularium numerum definiere, quorum nisi ad contemplandi jucunditatem usus nullus est, si Conchoeidis aut Cissoeidis alteriusve figurae raro usum habentis proprietates elegantiores eruisse dignum ingenio mathematici exercitium videtur, quanto potius erit ratiocinationem humanam qua neque praestantius neque utilius quicquam habemus, sub Mathematicas leges cogere. Nec proinde culpandi sunt Logici quod ista sunt prosecuti, sed quod istis pueros fatigarunt. Nos autem non tantum pro contemplandi exactitudine ostendemus cur tres tantum sint figurae directae, quarta vero indirecta; et in unaquaque directarum modi sex, in indirecta autem novem; sed et juvandis discentium ingeniis Canonem Logicum subjiciemus mirifici usus ad agnoscendum e vestigio solis tribus lineis rectis ductis, utrum propositus aliquis modus sit concludens, sine ullo figurarum et regularum logicarum respectu.

Fundamentum Syllogisticum hoc est: Si totum aliquod C cadat intra aliquod D, vel si totum C cadat extra aliquod D, tunc etiam id quod inest ipsi C priore quidem casu cadet intra D, posteriore vero casu cadet extra D. Et hoc est quod vulgo vocant dictum de omni et nullo.

Hinc statim nascuntur modi illi primitivi: Omne C est D. Omne B est C. Ergo omne B est D (hoc est totum aggregatum individuorum ipsius C comprehenditur sub individuis ipsius D, jam omnia individua ipsius B comprehenduntur sub individuis ipsius C, ergo et sub individuis ipsius D) vel si mavis Omne B est C. Omne C est D. Ergo omne B est D (hoc est individua ipsius B continentur in individuis ipsius C, et individua ipsius C continentur in individuis ipsius D. Ergo individua ipsius B continentur in individuis ipsius D). Omne C est D. Quoddam B est C. Ergo quoddam B est D vel Quoddam B est C. Omne C est D. Ergo quoddam B est D (hoc est quaedam individua ipsius B continentur in individuis ipsius C, omnia individua ipsius C continentur sub individuis ipsius D. Ergo quaedam individua ipsius B continentur sub individuis ipsius D). Brevius ambos modos comprehendendo: B vel ex toto vel parte, sive respectu vel omnium vel quorundam individuorum, inest ipsi C, jam totum C inest ipsi D, ergo et B vel ex toto vel ex parte inerit ipsi D. Nullum C est D. Omne B est C. Ergo Nullum B est D. Item Nullum C est D. Quoddam B est C. Ergo quoddam B non est [D]. (Hoc est: B vel ex toto vel ex parte inest ipsi C; jam totum C cadit extra D, ergo et B vel ex toto vel ex parte cadet extra D.) Haec autem non minus geometricae certitudinis sunt, quam si dicatur cui inest totum ei et inest pars, vel a quo removetur totum, ab eo et removetur pars.

Ex his jam paucis caeteros modos omnes demonstrabimus, usi tum subalternatione, tum regressu, tum conversione; et quidem per subalternationem seu argumentum ab universali ad particulare ostendemus modos duos primae figurae derivativos vulgo non usitatos; per regressum ostendemus ex primis omnes modos figurae secundae et tertiae ac per hos ipsam conversionem; denique accedente prioribus mediis (subalternationi et regressui) conversione, ostendemus modos figurae Quartae seu indirectae. Brevitatis autem causa morem Logicorum secuti imposterum Universalem affirmativam exprimemus per A, universalem Negativam per E, particularem affirmativam per I, particularem Negativam per O, et scribemus ABC, EBC, IBC, OBC pro exprimenda propositione, et AAA, AEE, etc. pro exprimendo modo.

Hinc quatuor primi modi primae figurae, quos primitivos seu ab aliis independentes esse diximus, ita enuntiabuntur, Barbara: ACD. ABC. ABD. Celarent: ECD. ABC. EBD. Darii: ACD. IBC. IBD. Ferio: ECD. IBC. OBD. Ubi A,E,I,O significant formam, B,C,D materiam, nempe B minorem, C medium, D majorem terminum. V.g. ACD significat omne C est D, ECD significat Nullum C est D, IBC significat quoddam B est C, OBD significat quoddam [B] non est D. Subalternatio autem (cujus ope ex his quatuor modis alii duo modi primae figurae ducuntur), ita demonstratur: Omne A est B. Quoddam A est A. ~~Ergo quoddam A est B. Quod est argumentum~~ ~~in Darii. Similiter: Nullum A est B. Quoddam A est A. ~~Ergo quoddam A non est B. Quod est argumentum in Ferio. Hinc ex Barbara ducitur Barbari, pro conclusione ABD scribendo IBD, quod ex ea sequitur; et ex Celarent ducitur Celaro, pro conclusione EBD scribendo OBD quod ex ea sequitur, habemus ergo duos modos novos eosque derivativos, primae figurae*: Barbari: ACD. ABC. IBD. Celaro:* ~~ECD. ABC. OBD. Horum modorum utilitas apparebit in progressu ad omnes alios modos *aliarum figurarum Methodo nostra constanti ex prima deducendos. Apparebit etiam tres figuras directas, primam, secundam et tertiam, habere numerum modorum aequalem, nempe senarium, et ex unoquoque modo primae, methodo regressus quae nunc sequetur demonstrari unum modum secundae et unum modum tertiae. Hinc secundae figurae etiam duos novos modos adjicio, tertia autem jam vulgo plena habetur.

In Regressu utimur hoc principio, quod conclusione existente falsa (hoc est~~ ~~contradictoria ejus existente vera), et una praemissarum existente vera, altera praemissarum necessario debeat esse falsa, seu contradictoria ejus debeat existere vera. Supponit ergo Regressus principium contradictionis, est autem Contradictio inter Universalem~~ ~~affirmativam et particularem negativam, seu si falsa sit A vera est O, et contra; item inter* Universalem negativam et particularem affirmativam, seu si falsa sit E, vera erit [I] et *contra.

Jam ex sex Modis primae figurae ducemus modos secundae et tertiae per Regressum,~~ ~~incipiendo a Barbara, ibique rem trademus ita explicate, ut in sequentibus breviores esse possimus. In Barbara primae: Omne C est D, omne B est C, ergo omne B est D.* Itaque si ponatur major esse vera (omne C est D) et falsa conclusio ac proinde vera ejus contradictoria (quoddam B non est D) falsa erit minor (seu quoddam B non erit C). Jam argumentum tale: Omne C est D, quoddam B non est D, Ergo quoddam B non est C, est in *Baroco secundae, oritur ergo ac demonstratur hic modus per regressum ex Barbara~~ ~~primae, supponendo conclusionem modi hujus primae falsam, et majorem veram. Sin ponatur in Barbara conclusio falsa (seu quoddam B non esse D) minor vera (seu *omne B esse C*), erit major falsa (seu quoddam C non erit D), quod est in Bocardo tertiae.*~~ ~~*Sed ut brevioribus notis totum hoc exprimamus:

Es folgt ein verworfener Ansatz zur folgenden Tabelle:

^&.bb  Id exponamus  Hinc   Regressus posterior  Ergo  ACD  Ergo  ABC  ABD^&.b  Id exponamus:  Barbara:  ACD  ABC  ABD  Barbara primae:  ACD  ABC  ABD  Regressus prior  ACD  OBD  Ergo  OBC

~~ Hinc  Baroco secundae  ACD  OBD  OBC  Regressus posterior  ABC  OBD  Ergo  OCD

 Hinc  Bocardo Tertiae  OBD  ABC  OCD

Die nachfolgende Tabelle ist aus Raumgründen ebenfalls in Kleindruck gesetzt: ^&.bb Hinc  Camest res secundae  ACD  ABC  ABD Hinc  Camest res primae  ACD  ABC  ABD^&.b*  Barbara primae  ACD  ABC  ABD  Barbara primae  ACD  ABC  ABD  Regressus  ACD  OBD  Regressus  ABC  OBD   Ergo  OBC   Ergo  OCD Hinc Baroco secundae  ACD  OBD  OBC Hinc Bocardo tertiae  OBD  ABC  OCD* * Celarent primae  ECD  ABC  EBD  Celarent primae  ECD  ABC  EBD  Regressus  ECD  IBD  Regressus  ABC  IBD   Ergo  OBC   Ergo  ICD Hinc Festino secundae  ECD  IBD  OBC Hinc Disamis tertiae  IBD  ABC  ICD* * Darii primae  ACD  IBC  IBD  Darii primae  ACD  IBC  IBD  Regressus  ACD  EBD  Regressus  IBC  EBD   Ergo  EBC   Ergo  OCD Hinc Camestres secundae  ACD  EBD  EBC Hinc Ferison tertiae  EBD  IBC  OCD* * Ferio primae  ECD  IBC  OBD  Ferio primae  ECD  IBC  OBD  Regressus  ECD  ABD  Regressus  IBC  ABD   Ergo  EBC   Ergo  ICD Hinc Cesare secundae  ECD  ABD  EBC Hinc Datisi tertiae  ABD  IBC  ICD* * Barbari primae  ACD  ABC  IBD  Barbari primae  ACD  ABC  IBD  Regressus  ACD  EBD  Regressus  ABC  EBD   Ergo  OBC   Ergo  OCD Hinc Camestros secundae  ACD  EBD  OBC Hinc Felapton tertiae  EBD  ABC  OCD* * Celaro primae  ECD  ABC  OBD  Celaro primae  ECD  ABC  OBD  Regressus  ECD  ABD  Regressus  ABC  ABD   Ergo  OBC   Ergo  ICD Hinc Cesaro secundae  ECD  ABD  OBC Hinc Darapti tertiae  ABD  ABC  ICD

*Patet ex hoc schemate, dum ex Modo figurae primae ducitur per regressum modus respondens figurae secundae vel tertiae, majorem in prima manere etiam majorem in secunda; at minorem in prima manere minorem in tertia. Conclusio vero et minor in prima et secunda; item conclusio et major in prima et tertia prius in contradictorias mutatae inter se permutantur, hoc est conclusio primae per contradictoriam suam in secunda facit minorem, et minor primae in secunda facit conclusionem; vel contra. At conclusio primae in tertia facit majorem, et major primae in tertia facit conclusionem. Modi etiam secundae et tertiae figurae inter se respondentes seu ex eodem Modo primae ducti, eandem habent propositionem communem, quae minor est in secunda, major in tertia, caeteras (in suas contradictorias prius mutatas) etiam permutant. Hinc sequitur si quis modos secundae vel tertiae inventos eadem ratione per regressum tractet, ut modos primae tractavimus, non prodire novos modos, sed eosdem quos jam determinavimus. Nam si in secunda majorem servemus reditur ad modum primae (eandem majorem habentem) ex quo is modus secundae ductus erat, sin minorem servemus reditur ad modum tertiae (minorem servatam pro sua majore habentem) qui ex eodem modo primae ductus erat. Idem est in tertia, ubi si minorem servemus reditur ad modum primae (ejusdem minoris) unde is modus tertiae ductus erat; sin majorem servemus reditur ad modum [secundae] (majorem servatam pro sua minore habentem) ex eodem primae ductum. Ita ex Cesare per regressum servata majore fit pater Ferio, servata minore frater Datisi; similiter ex Datisi per regressum fit pater Ferio, aut frater Cesare. Hinc facile etiam sciri potest ad quem primae modum datus aliquis secundae tertiaeve modus reducatur hoc disticho observato  *Altera majorem sed tertia forma minorem  Ex prima servat quando regressus erit.* Ut jam amplius barbaris vocabulis Cesare, Camestres, etc. reductionis causa inventis* *opus non sit, modo quis intelligat nihil aliud hic regressum appellari, quam supposita falsitate conclusionis et veritate unius praemissae concludere falsitatem alterius praemissae. Res generaliter ita patet, dissimulando qualitatem et quantitatem

^&.bb Hinc  Regressus  CD  BC  BD^&.b*  in prima  CD  BC  BD  Regressus  CD  BD  Ergo  BC

Hinc in secunda  CD  BD  BC  in prima  CD  BC  BD  Regressus  BC  BD  Ergo  CD

Hinc in tertia  BD  BC  CD

Haec secundae tertiaeque figurae demonstratio simul continet earum originem a priori, seu modum quo potuere inveniri, quae demonstrandi ratio optima est; synthetica enim est sive combinatoria, non vero analytica quae figuras istas jam datas assumit. Praevideri etiam hac methodo potest quot modi et figurae oriantur, nam unus modus figurae primae unum dat secundae unumque tertiae. Fecit autem, credo, neglectus novorum a me additorum modorum primae et secundae figurae, ut haec methodus non observaretur; alias enim non apparet ejus universalitas in modis tertiae ex prima derivandis. Unde Logici communiter utuntur conversionibus ad demonstrandos secundae et tertiae figurae modos; sed ita simul incidere in modos quartae. Haec vero nostra Methodus figuras directas, secundam nempe et tertiam ex prima ducit per regressum, at modos indirectos, figurae scilicet quartae per regressum solum obtinere non licet, sed conversiones sunt adhibendae, quae tamen ipsae per secundam tertiamque figuram debent demonstrari, ut nunc ostendam. Unde hac methodo vera ratio apparet, cur quarta figura a figurarum directarum numero excludatur, et secundae tertiaeque sit postponenda, quandoquidem non nisi per illas demonstratur.

Ut autem ad quartam figuram accedamus, praedemonstrandae erunt conversiones:

1) In Cesare secundae demonstratur Universalem Negativam posse converti simpliciter, nempe: Nullum A est B, Omne B est B. Ergo Nullum B est A.

2) In Darapti tertiae demonstratur Universalem Affirmativam posse converti per accidens, nempe: Omne A est A, Omne A est B. Ergo quoddam B est A.

3) In Festino secundae demonstratur universalem negativam posse converti per accidens, nempe: Nullum A est B, quoddam B est B. Ergo quoddam B non est A.

4) In Datisi tertiae demonstratur particularem affirmativam posse converti simpliciter, nempe: Omne A est A, quoddam A est B. Ergo quoddam B est A.

Hoc modo enim (ut et in demonstranda subalternatione apparuit) consequentiae biterminae, adhibitis propositionibus identicis eundem terminum bis ponentibus, praebent syllogismos triterminos. Conversio per contrapositionem huc non pertinet, in contrapositione enim ipsi termini mutantur translata mutatione a copula seu forma in ipsum terminum seu materiam. Licet autem identicae aliis etiam in modis adhibeantur, tamen nullas novas conversiones obtinebimus, sed plerumque in conclusionem praemissae repetitricem incidemus. Cui accedit quod solae propositiones affirmativae identicae esse possunt, et pro negativis veniendum est ad contrapositionem. Ut enim dicere possum, Omnis homo est homo, ita dicere etiam possum Nullus non-homo est homo. Sed contrapositio ut dixi hujus loci non est. Unten auf der Seite der Kustos: Figura Quarta.

[Additamentum marginale respiciens modos Fabrii]

~~Habet Fabrius modos tertiae figurae utiles 14 [p. 210: schol. post theor. 307], sed multiplicat modos praeter rem, ita [AAI] ipsi in tertia figura dat 4 modos tertiae: Omnis Homo est Animal. Omnis homo est substantia. Ergo quaedam substantia est Animal. Item si transponantur praemissae sine conversione conclusionis (quod revera non dat novum modum), item si convertatur conclusio sine transpositione praemissarum, Omnis Homo est animal. Omnis Homo est substantia. Ergo quoddam Animal est substantia (hic modus non differt a sequente, quia est ejus transpositus tantum). Denique si convertatur conclusio et transponantur praemissae, Omnis Homo est substantia. Omnis Homo est animal. Ergo quoddam animal est substantia. (Hic modus revera est [tertiae] figurae.)

Displicet etiam methodus P. Fabri percurrendo omnes possibiles et excludendo inutiles, nam brevior methodus debet directe incidere in legitimos, non exclusis falsis et his solis retentis, quae via est tantum subsidiaria, cum melior non datur.

Ait Fabrius Baroco, et Bocardo non posse reduci ad primam figuram nec mediate nec immediate, seu ad dictum de omni et nullo. Intelligit opinor per regulas conversionum. Sic ergo ille instituit probationem in Baroco. Omnis homo est animal. Quoddam corpus non est animal. Ergo quoddam corpus non est homo. Hoc probat sic: quia cum animal praedicetur universe de homine (per prop. 1) erit terminus superior et homo inferior. Sed negatur animal de aliquo corpore per secundam propositionem, igitur~~ ~~de aliquo corpore debet negari homo quae est conclusio, consequentiam probat per axioma: de quo negatur superius ut animal de eo et negari debet inferius ut homo.~~ ~~[p. 205: lib. III, theor. 205 u. schol.; vgl. p. 183: lib. III, ax. 3]

Similiter probat hunc modum tertiae: aliquod animal non est homo, omne animal est corpus, ergo aliquod corpus non est homo. Cum enim corpus sit [superius] et animal [inferius] (per prop. minorem), et negetur homo de aliquo animali (per majorem), debebit et negari de [corpore] quae est conclusio, per axioma: quicquid negatur de inferiori particulari, negabitur et de superiori particulari. Putat ergo Fabrius haec duo axiomata debere addi ad dictum de omni, et ad dictum de nullo. [p. 208 sq.: lib. III, theor. 287 u. schol.; vgl. p. 183: lib. III, ax. 4]

Habet Fabrius modos 50 utiles hoc est revera 25. [p. 210: lib. III, schol. post theor. 307] Ego habeo modos utiles tantum 24.

NB. P. Fabry meminit etiam modorum Barbari, Celaro, nam lib. 3 logicae schol. post th. 147 [p. 198] ait sex modos qui immediate probantur per dictum de omni et dictum de nullo, vulgo vocari Barbara, Barbari, Darii, Celarent, Celaro, Ferio; et similiter sex indirectos ad hos ait vulgo nominari Baralip, Dabitis, Celantes, Celantos, Fapesmo, Frisesom. Vellem nosse quinam sint illi qui Barbari, Celaro, et Celantos nominant, ego non memini «me videre». Interea miror coincidere haec cum iis quae de meo in arte combinatoria dixeram. Nominat etiam Cesaro, Camestro. [p. 211: lib. III, schol. post theor. 307] Sed in eo peccat Fabrius cum Scholasticis, quod v.g. Frisesom ita disponit: Aliquis homo est albus, Nullus lapis est homo, igitur aliquod album non est lapis. [p. 195 sq.: lib. III, theor. 98 u. 99] In quo peccant omnes Scholastici agentes de modis indirectis primae figurae. Nam servanda generaliter regula elata ut major propositio praeponatur (vel si mavis postponatur) quia trajectio simplex non mutat modum, cum sufficiat semel dicere, trajectione numeros modorum duplicatum iri, si quis eam quaereret. Hinc male postea idem Fabrius quartam Galeni concipit, quae nihil aliud est quam Aristotelica transposita, et facit eam tum ex directis tum ex indirectis transpositis. Sed quas ille vocat indirectas Aristotelicas transpositas, sunt verae Galeni, nempe vere ad quartam Galeni pertinet ista: Nullus lapis est homo, aliquis homo est albus, Ergo aliquod album non est lapis. [p. 204: lib. III, schol. post theor. 243] Servatur enim ita lex de praeponenda semper majore. Ait transpositas Aristotelicas directas vocari vulgo Gargara, Gargari, Dirai, Calerem, Calero, Fireo, at transpositas indirectas vocari Garalip, Dibatis, Calentes, Calentos, Fesapo, Fresisom. [p. 204: lib. III, schol. post theor. 243; vgl. p. 198: lib. III, schol. post theor. 147; p. 202: lib. III, theor. 200 u. 201] Hi ergo novissimi sunt veri modi Galeni. Arnaldus qui recte quod dixi notat exprimit Barbari, Calentes, Dibatis, Fespamo, Frisesom. Miror interim Arnaldum non considerasse modos sex posse esse in prima et secunda, et [non solum] quinque in quarta.

Origo erroris in Fabrio, quod duplicatos illos modos obtinet per conversionem conclusionis quando ea est possibilis, retento [bricht ab]