De combinatoria et usu serierum

 [Sommer 1680 bis Sommer 1684 (?)]

Combinatoria de formis; variationibus; simili et dissimili, ordinato et perturbato. Inverso, reciproco; unico seu determinato. De seriebus seu Tabulis. Axiomata varia egregiae utilitatis. Quae similiter determinantur similia sunt. Datis ordinatis etiam quaesita sunt ordinata. Sive si ordo est in determinantibus erit et in determinatis. Si determinantia coeunt, etiam determinata respondentia coibunt. Utile est ad rerum naturas investigandas eas in seriebus quaerere; et, si eadem res in pluribus seriebus reperiri queat, et sit quasi in nodo seu intersectione diversarum serierum, eo melius cognoscetur. Ex. gr. quaeritur quadratura ^&.SD = \sqrt{^#6+x + a^#6- · ^#6+x + b^#6- : x}, erit in serie \sqrt{^#6+x + a^#6- · ^#6+x + b^#6- : x}, ^#6+x + a^#6- · ^#6+x + b^#6- : x , ^#6+x + a^#6- · ^#6+ x + b^#6- , : x , etc. ut exponentes sint progressionis Geometricae, $\frac{1}{2},$ 1, 2, etc., ubi patet de omnibus terminis seriei excepto primo, ^&.SD , nobis ignoto, pendere ex quadratura Hyperbolae, unde colligi potest, etiam, ^&.SD seu terminum primum influens quadraturam Hyperbolae, nec pure aut ex sola circuli quadratura haberi. Potest fieri ut serie hac per certam numerorum seriem ordinatim respective multiplicata fiat nova series, cujus differentiae sint quantitates ordinariae, evanescentibus Hyperbolicis, et ita habita lege ista haberetur et ^&.SD .

Quando obtineri potest ut tota series habeatur, praeter unum terminum quaesitum, tunc major spes; interdum vero non tantum quaesitus non habetur, sed et integra series, interpolanda ei quae habetur, ut si sit series

 ^&.SD , ^&.SD \sqrt{x}, \quad ^&.SD x, ^&.SD <Leibniz special character>x\sqrt{x}, \quad ^&.SD x², ^&.SD <Leibniz special $character>x^2\sqrt{x}$ etc.

 *  *  * ubi termini stella subnotati omnes quaeruntur quadrari. Interim hoc modo ^&.SD habemus in* *seriebus diversis. Series plana (qualis Wallisiana), utilior est Lineari. Nempe in serie plana compositum est ex pluribus seriebus in unam seu est series serierum, ut in Triangulo Pascalii Arithmetico, in meo Harmonico. Utiliores sunt series quae minus procedunt per saltus, etsi enim minus progrediamur, tamen facilius ad regulam generalem pervenimus. Ex. g. melius est quaerere quomodo aequatio simplex x + ... = 0, conjungatur* cum x² + ... x + ... = 0 seu plana, cum cubica, cum quadrato-quadratica, etc. et similiter quomodo x² + ... x + ... = 0 conjungatur cum simplici, quadratica, cubica, quadrato-quadratica, etc. «Et» porro deinde quomodo x³ + ... x² + ... x + ... = 0 conjungatur cum *omnibus reliquis; et deinde quomodo x⁴ + ... x³ + ... x² + ... x + ... = 0 etiam cum omnibus reliquis, et ita porro, quam investigare solum progressionem hanc unicam, conjungere binas quadraticas, binas cubicas, binas quadrato-quadraticas, etc. Etsi cum priore modo initio major su«sci»piendus labor; facilius tamen aperitur progressio; quae reperta cum in infinitum «valeat», laborem abunde compensat.

Multum interest inter series seu Tabulas numerorum quales sunt sinuum aut similes, quae progressionis naturam non produnt; et inter Tabulas analyticas vel etiam numerales dyadicas, ex quibus natura seriei experimento quodam eruitur. Uti Jungius habet Geometriam quandam Empiricam, ita hoc modo obtinetur Analysis quaedam Empirica, ope serierum. Utile tamen est quaeri demonstrationes theorematum quae inductione serierum inveniuntur.