Specimen ratiocinationum mathematicarum, sine calculo et figuris

FIGURIS  [Sommer 1680 bis Sommer 1684 (?)] Specimen Ratiocinationum Mathematicarum, sine calculo et figuris

Possumus Quantitatem rei definire affectionem totius quatenus habet omnes suas partes. Saepe autem res ipsae secundum hanc affectionem consideratae dicuntur quantitates.

Rationem vero dicere possumus formam comparationis duarum rerum secundum suam quantitatem.

Coincidentia sunt, eadem diversimode enuntiata, ut via recta ab A ad B et via recta a B ad A.

Determinantia sunt, quae simul uni soli competunt.

Itaque quorum determinantia sunt eadem, ea licet diversimode enuntiata coincidunt.

Quorum determinantia coincidunt, ea inter se coincidunt (ut duae rectae quarum extrema coincidunt, duo arcus circuli quorum tria puncta coincidunt).

Congrua sunt quae per se discerni non possunt.

Congrua per se spectata sibi substitui possunt quasi essent coincidentia.

Quorum determinantia congruunt, ea inter se congruunt (ut quia datis tribus lateribus datur Triangulum, ideo si congruunt AB, BC, CD ipsis FG, GH, FH congruet triangulum ABC triangulo FGH).

Aequalia sunt quae resolvi possunt in partes suas diversas singulas singulis diversis alterius congruentes.

Corollar. Hinc quae congruunt aequalia sunt, nam et eorum partes congruunt.

Corollar. Omnia aequalia transformari possunt in congrua. Et quae in congrua transformari possunt, aequalia sunt.

Corollar. Aequalia eodem modo secundum quantitatem tractata exhibent aequalia.

Similia sunt quae sola magnitudine discerni possunt.

Corollar. Quae similia et aequalia sunt congrua sunt. Et contra.

Corollar. Omnia congrua sunt similia.

Corollar. Similia similiter tractata exhibent similia.

Corollar. Quae similiter determinantur similia sunt.

Homogenea sunt quae in eo conveniunt in quo pars eorum quaelibet cum toto convenit.

Corollar. Omnia similia sunt homogenea.

Corollar. Omnia homogenea transformari possunt in similia. Et omnia quae in similia transformari possunt, homogenea sunt.

Minus est quod parti alterius (Majoris) aequale est.

Corollar. Minus minore est minus majore, quia pars partis est pars totius.

Corollar. Totum est majus sua parte.

Corollar. Duo homogenea quorum unum altero nec majus nec minus est, aequalia sunt.

Partes cointegrantes sunt omnes partes in quas totum simul resolvi potest.

Corollar. Totum est aequale omnibus partibus cointegrantibus. Den vorangehenden Text einschließlich Überschrift hat Leibniz durch Umrandung hervorgehoben.

Summa quarundam quantitatum est totum, cujus illae quantitates sunt partes cointegrantes.

Summa summarum est summa quantitatum ex omnibus summis.

Si eaedem sint quantitates, diversae summae, tamen eadem est summa summarum.

Differentia Am Rande:  +a─b ─ b+c  +c─d a─b─c+d duarum quantitatum est ea pars majoris, cujus altera cointegrans aequalis est minori.

Corollar. Differentia aequalium est Nihil.

Summa ex aliqua quantitate, et differentia quantitatum quarumcunque aequalium aequalis est priori quantitati. Sequitur ex praecedenti.

Si summa duarum quantitatum, et differentia duarum quarumcunque quantitatum colligantur in unam summam, ea aequalis erit summae ex quantitate majore duarum posteriorum, et differentia inter summam duarum priorum, et minorem duarum posteriorum.

Hinc summa summae et differentiae duarum earundem quantitatum aequalis est duplo majoris.

Differentia summae et differentiae duarum earundem quantitatum aequalis est duplo minoris.

Summa duarum differentiarum est differentia inter summam majorum et summam minorum.

Differentia duarum differentiarum est differentia inter duas summas collectas ex quantitate majori unius et minori alterius differentiae.

Differentias voco continuas, cum quantitas minor differentiae unius est quantitas major differentiae alterius.

Summa quotcunque differentiarum continuarum, est differentia quantitatis maximae et minimae.

Progressio Arithmetica est series quantitatum ex quibus duae quaelibet proximae sunt aequidifferentes.

Hinc in progressione Arithmetica duae quaelibet eodem intervallo distantes sunt aequidifferentes, et contra aequidifferentes sunt aequidistantes.

Hinc series quantitatum aequidistantium ex progressione arithmetica sumtarum, est progressio Arithmetica (adeoque et ex Geometrica sumtarum Geometrica).

Si sint tres quantitates proximae progressionis Arithmeticae, summa extremarum est duplum intermediae.

Si sint tres quantitates progressionis arithmeticae, et media aequidistet ab extremis, summa extremarum aequalis est duplo mediae.

Si sint quatuor quantitates progressionis arithmeticae, et tantum distet secunda a prima, quantum quarta a tertia, summa extremarum aequalis est summae intermediarum.

Si sint quotcunque quantitates progressionis Arithmeticae, duplum mediae vel (si numerus quantitatum par est adeoque duae sunt mediae) dimidium summae duarum mediarum toties sumta, quot sunt termini reliqui, aequale est summae omnium.

Comparare *Die folgenden vier Absätze hat Leibniz durch Umrandung hervorgehoben. duas quantitates per se~~ (sine extrinseca mensura assumta) est~~ ~~subtrahere minorem a majore quoties fieri potest, et residuum a minore etiam quoties fieri potest, et residuum secundum a primo, idque continuare, donec vel nullum supersit residuum, vel appareat quae sit futura progressio quotientium seu numerorum subtractionis cuique in infinitum. Quam voco seriem quotientium comparationis.

~~~~Proportionales~~ sunt duae quantitates duabus quantitatibus, cum utrobique eadem~~ ~~ratio est majoris ad minorem.

Proportionales quantitates eandem habent seriem quotientium comparationis. (Nam eadem est forma comparationis, ita ut comparatio una ab alia nequeat discerni. Ergo eadem forma quoque erit comparationis per se in specie.)

Data quantitate reperiri potest alia homogenea quae sit ad ipsam in data ratione.

Pars aliquota rei est, qualium inter se aequalium summa est ipsa res, quae dicitur~~ ~~~~dividenda~~, item Multipla.

~~~~Mensura~~ autem extra rem sumta est, quae parti rei aliquotae aequalis est. Dicitur et~~ ~~rem metiri. Partium aliquotarum maxima est dimidia.

Commensurabilia sunt quae habent mensuram communem.

~~~~Numerus~~ est homogeneum unitatis.

~~~~Numerus integer~~ est cujus pars aliquota est unitas, seu summa unitatum.

~~~~Numerus fractus~~ est summa partium aliquotarum unitatis.

~~~~Numerus rationalis~~ est Unitati commensurabilis; alias dicitur Surdus.

~~Omnis integer et omnis fractus sunt rationales.

Dantur numeri surdi.

Omnes numeri rationales sunt commensurabiles inter se.

Omnis mensura numeri rationalis est rationalis.

Omnis mensura numeri surdi est surdus.

Itaque numerus rationalis et surdus sunt incommensurabiles.

Mensura falsa est quae subtracta quoties fieri potest, aliquid relinquit quod~~ ~~dicitur Residuum.

~~Numerus subtractionum dicitur Quotiens falsus.

~~Mensura vera vel falsa dicitur Divisor, res autem mensuranda Dividendus, sive mensura sit vera sive falsa.

Quotiens falsus est integer numerus, ut et residuum.

Residuum est minus mensura falsa.

Mensura communis partium cointegrantium, est mensura communis summae.

Mensura communis differentium est mensura communis differentiae.

Mensura mensurae vel partis aliquotae est mensura mensurati vel totius.

Dividendum est summa ex multiplo mensurae falsae per quotientem, et residuo.

Quotiens verus est compositum ex quotiente falso, et residuo per mensuram falsam diviso.

Mensura communis maxima residui et mensurae falsae est mensura communis maxima mensurae falsae et quantitatis Mensuratae seu dividendi. Patet ex praecedentibus; nam eadem est mensura et residui, et mensurae falsae, ergo et multipli mensurae falsae per quotientem, ergo et summae residui et hujus multipli, ergo et dividendi. Eadem vero et maxima est. Ponatur enim dari communis mensura divisoris et dividendi, major quam maxima divisoris et residui. Ea cum sit dividendi, sitque etiam partis ejus, nempe multipli divisoris (quia ipsius divisoris), ergo et reliquae partis seu residui. Erit ergo divisoris et residui communis, major ea quam posuimus maximam.

Si ex divisore fiat dividendus, et ex residuo divisor, maxima mensura communis secundi divisoris et secundi dividendi, erit eadem quae praecedentis divisoris et praecedentis dividendi; nam maxima mensura communis secundi divisoris et secundi dividendi est residui et divisoris praecedentis divisionis, (ergo per prop. proxime positam) divisoris et dividendi ejusdem praecedentis divisionis.

Si ex divisore fiat dividendus et ex residuo divisor, idque aliquandiu continuetur, maxima communis mensura ultimi divisoris et ultimi dividendi erit eadem quae primi divisoris et primi dividendi, quia semper in sequente eadem mensura quae in antecedente, et in antecedente quae in antecedente antecedentis; et ita porro.

Divisor exactus est maxima communis mensura sui et dividendi, neque enim partem aliquotam habere potest majorem ipso toto.

Si continuata divisione divisoris per residuum, denique nullum supersit residuum, ultimus divisor erit maxima communis mensura primi dividendi et primi divisoris.

Ergo comparatione duarum quantitatum per se invenitur earum maxima communis mensura si quam habent.