De methodo synthetica aut anagogica applicanda in algebra

 [Frühjahr 1680 (?)]

Methodus synthetica est, cum problema difficile soluturi incipimus a facilioribus. In synthesi per se facili observandum, ut tentemus obtinere elegantes progressiones, quibus Tabularum calculandarum compendia contineantur. Algebra, qua scilicet incognitum pro cognito sumimus, est synthesis quaedam peculiaris problematis propositi, fictitia. Synthesis fictitia generalis, cum generalis expressio habetur rei quae quaeritur, ut in curvis communibus.

Analysis pura quae nihil syntheseos habet, est Anagogica, in qua semper procedimus per incognita retro, nempe reducendo problema propositum ad aliud facilius, et hoc iterum ad aliud. Talis est Methodus mea qua utor cum alias aequationes reduco ad aequicompositas, item cum formulas in quibus potentiae, reduco ad illas in quibus sola rectangula. Item cum curvarum ordinatas resolvo in partes seu in duas pluresve ordinatas aliarum curvarum simpliciorum; vel terminos seriei, in plurium serierum terminos, quo facto summam vel dimensionem illarum reduco ad has simpliciores. Eademque methodo pervenio ad seriem summatricem quando aliqua per formulam communem exprimibilis datur, quando scilicet formula resolvitur in differentiam duorum terminorum vicinorum ejusdem seriei.

Methodus procedendi per meras cognitas est pure synthetica. Mixtas mixta. Zetetica Vietae pertinent ad Synthesin, est enim percurrere pulchriora problemata. Huc pertinent et factiones Canonicae, seu constructiones quaedam crebro utiles, nam quando forte incidimus in elegantem constructionem, hanc notamus, ut postea jam ad alia applicemus. Est tamen his mixta quaedam Anagogica, dum alia problemata ad ista solennia reducuntur.

Data veterum pertinent ad Anagogicam, ut appareat ex problematis recessibus, ex datis quaenam sequantur; et ita problema reducemus ad aliud. Exemplum elegans praebet solutio problematum quorundam quae Batavus proposuit, Monfortius Neapolitanus solvit numerice, ego reduxi ad problemata alia jam constructa. Eadem Methodo tractabitur utiliter problema quod mihi proposuit Fergusonius. Ex duobus punctis A, B datis duas [rectas] ad idem punctum circuli C ita ducere ut comprehensae intra circulum sint aequales. Nam si CD, et CE aequales erit triangulum CDE isosceles. Per punctum C ducatur parallela ipsi DE, nempe FCG, ea circulum tanget, ergo problema habemus simplicius, nam omissa ipsarum CD, CE mentione, tantum quaeritur punctum circuli C tale, ut ex datis punctis A, B ad ipsum ductae rectae faciant angulos ad tangentem aequales, nam ut angulus D aequ. angulo E, ita et angulus ACF aequ. angulo BCG. Itaque res reducta ad hoc problema Catoptricum jam ab aliis solutum. Invenire punctum circuli C quod radium a dato puncto C venientem, ad aliud datum B reflectat. Vel quod eodem redit datis duobus focis A, B describere Ellipsin quae datum circulum CDE tangat et invenire punctum contactus.

Notandum quod problemata ideo fiunt difficilia, quod non satis determinata, haec etiam causa irrationalitatis, nam semper in irrationali plures radices.