De rebus in scientia mathematica tractandis

 [1680 bis 1682 (?)]

Veteres omnem cognitionem accuratam ac demonstratam vocabant Mathematicam, unde Sextus libros suos quibus certitudinem tollere conatur inscripsit contra Mathematicos, id est Dogmaticos; Mathesis enim idem est quod doctrina, et Mathematici si vim vocis spectes sunt iidem qui docti quibus Empirici opponuntur qui non ratione nituntur, sed sola Experientia. Docere enim est efficere rationibus ut discipulus dogmatum veritatem clare comprehendat. Quod et Pythagoras observasse scribitur, discipulis enim veritates non vagas sed determinatas, nec tantum quid sed et quale et quantum in unoquoque tenendum esset, complexas, tradebat, additis rationibus. Cum ad auditores promiscuos tantum discipuli ejus autoritate magistri et popularibus argumentis uterentur. Itaque vulgo quae in Logicis, in Metaphysicis, imo in ipsa scientia civili infallibilibus demonstrationibus cognoscuntur Mathematicam certitudinem habere dicimus. Mathematica tamen scientia ea demum hodie dici solet, quae agit de rebus quatenus habent magnitudinem seu possunt aestimari sive mensurari.

Ut autem sciamus quid sit Magnitudo, altius ordiendum est. Magnitudo autem cognoscitur mensura quadam, sive re actu ipso data, exempli causa pede AB in aere inciso; cui quicquid longitudine congruum est pedale dicitur; quod pedi ter repetito congruum est tripedale EF, et pes rem tripedalem dicitur metiri. Sed si in re mensuranda GH praeter tres pedes GK sit particula aliqua KH pede minor, quae negligenda non videtur; utile est assumi pro me[n]sura partem aliquam pedis, satis parvam, exempli gratia pollicem, qui duodecies repetitus, metitur pedem; si quadragesies rem mensurandam metiatur dicemus eam rem esse quadraginta [pollicum], sive quod idem est trium pedum GK, et quatuor pollicum KH. Si vero iterum supersit portio aliqua exigua pollice minor, vel eam negligemus, vel si omnino exacti esse volumus, sumemus rursus partem pollice minorem, quam vocant lineam; atque ita continuabimus, donec vel mensura rem mensurandam accurate metiatur, vel error qui superest insensibilis fiat, aut negligendus videatur. Vel si omnino eum cognoscere volumus quoad ejus fieri potest cognoscatur saltem, quanam progressione in infinitum ille semper decrescat, ut fiat tam parvus, quam volumus, quod unum superest, quoties constat, rem cum pede seu mensura assumta non esse commensurabilem, seu nullam posse reperiri particulam, quae pedem simul et rem metiendam accurate metiatur. Idque non tantum in lineis, sed et temporibus, et ponderibus, et potentiis machinarum, et gradibus qualitatum locum habet, nec minus hora horae congrua est, quam pes pedi. Ex quibus manifestum est cum Magnitudinem alicujus rei accurate quaerimus a nobis desiderari modum determinandi numerum partium ejus datae cuidam mensurae (aut parti ipsam accurate metienti) aequalium. Unde omnis magnitudo concipi potest ut numerus partium, et ideo scientia calculi, seu de numero vel indefinito quem tractat Logistica sive Algebra, vel definito, quem tractat Arithmetica, nihilo differt a scientia Magnitudinis per se consideratae et a rebus quantitatem habentibus abstractae.

Solet quidem in Mathematicis praeter quantitatum comparationem saepe agi de comparatione qualitatum, sive de similitudine ut cum duos quoslibet circulos dicimus esse similes inter se et saepe ope similitudinis compendiose investigantur, quae per solam magnitudinem, id est per solam sectionem rerum in partes partiumque inter se congruentiam difficilius demonstrantur, exempli causa duos circulos esse inter se, ut quadrata circumscripta, ex definitione similitudinis facillime ostenditur, cum tamen demonstratio Euclidis sit una difficillimarum, quia sola magnitudinis consideratione usus est. Verum licet similia sint qualitate quadam con- venientia, qualitates tamen quae in Mathematicis considerantur, mensuris determinantur, ut figurae, et potentiae, itaque manet quod diximus, quicquid in Mathematicis tractatur esse mensurabile. Caeterum quia definitionem dedi Magnitudinis, danda erit et definitio Similitudinis, quae ut intelligatur exemplo utendum erit, nempe fingamus duas esse naves unam altera paulo majorem, sed ita structas, ut qui non ambas simul videat, eas discernere nullo modo possit; nisi forte mensuret aliquid ut altitudinem cujusdam portae, hanc enim mensuram retinens, posteaque iterum in aliquam navium ductus, et utra sit interrogatus, mensura denuo applicata facile pronuntiabit. Hae duae naves dicentur esse similes; et ita duo similia non per sensum unius, et memoriam alterius ut alia dissimilia, sed per sensum duorum, ut hoc loco navis praesentis, et [mensurae] actu nobiscum [allatae] ex navi altera, et huic navi [applicandae], discerni debent. Eodem modo quamdiu quis unum Circulum contemplabitur, quicquid in eo metiatur, nihil reperiet quo possit eum discernere ab alio circulo, nisi quicquam extrinsecum assumserit, ducat diametrum, inscribat chordas, comparet eas inter se vel cum circumferentia, mensuret quoties una chorda alteram contineat; et quae fecit notet; postea tentet eadem omnia in altero aliquo Circulo, reperiet, eadem succedere nullumque inde principium reperiet unum circulum ab alio discernendi. Idque demonstrari potest ex circuli generatione, quae est similis, nam tantum opus est rectam in aliquo plano moveri circa punctum aliquod immotum, unde nullum discrimen reperiri potest, inter duos circulos, quam quod diversa puncta, diversa plana, et diversae rectae assumi possunt, sed punctum puncto, recta rectae, planum plano indefinite simile; sive per se ab altero indiscernibile, est.

Dicendum de coincidentibus quae per omnia eadem sunt, de congruis, quae etiam collata discerni non possunt; de similibus, quae discerni non possunt sine applicatione quadam seu collatione. Aequalia sunt quae in congrua transmutari possunt, similia sunt quae in homogenea transmutari possunt.

Mathematica Scientia ea demum hodie dicitur quae agit de rebus quatenus earum magnitudo consideratur. Nulla intelligi potest magnitudo sine aliqua varietate seu diversitate in rebus quibus tribuitur, et quidem rerum diversitas, si specialis earum natura non consideretur, si spectata tantum prout cogitatur, multitudinem rerum seu numeros parit, si ponatur non cogitari tantum, sed et simul percipi, hinc oritur situs atque extensio. Am Rande: Discrimen aut cogitatione assequi possumus, quod est qualitatis seu formae, aut sola perceptione, quod est quantitatis seu materiae. Denique si diversitas percipiatur in eodem diverso tempore, oritur mutatio sive successio.

Si duo per se nullo modo discerni possint, ea dicuntur congrua, ut hora ab hora, pes a pede, locus unus corporis ab alio loco ejusdem corporis. Si discerni non possint, nisi per applicationem quandam, seu perceptionem simultaneam, dicuntur Similia. Dissimilia enim discerni possunt, perceptione unius, et cogitatione alterius; similia non nisi utrumque immediate discernendorum percipiatur, possunt tamen duo mediate discerni, interventu tertii, quod successive utrique applicatur.