Numeri infiniti

Si duo Numeri infiniti, sint homogenei, id est ut unus certo numero finito multiplicatus alterum superet; sive qui sint inter se, ut duae lineae designabiles; tunc si sint commensurabiles, erunt, ut numerus (finitus) ad numerum finitum. Sint duae lineae infinitae AB etc. CD etc. Utraque dividi posse intelligatur exacte in pedes AI, IF etc. vel CG, GH etc. sive intelligatur utramque ex multitudine pedum conflari ita, ut nulla pedis fractio supersit, tunc manifestum est has duas lineas, licet infinitas, esse commensurabiles, sive habere communem mensuram, pedem scilicet AI. Intelligatur jam has ipsas duas lineas, licet infinitas, esse finitae inter se invicem rationis, seu ut lineae finitae LM et NP sive homogeneas, id est tales, ut aliquoties repetita minor (aliquoties, finito scilicet repetitionum numero) majorem excedat; tunc manifestum est has duas lineas fore inter se, ut numerus finitus ad numerum finitum. Sunt enim ut duae lineae LM et NP, et ipsae sunt commensurabiles. Ergo hae duae lineae LM et NP sunt commensurabiles; duae autem lineae finitae commensurabiles sunt ut numerus finitus ad numerum finitum. Ergo et duae lineae propositae AB etc. et CD etc. Sint jam duae figurae, una rectilinea (QRST), altera curvilinea mixta QTVQ, eiusdem altitudinis QT. Ponatur curvilinea esse polygonum QTNBGO seu figura gradiformis, divisa in infinita Quadrata infinite exigua qualia ANB eodem modo figura rectilinea in quadrata aequalia prioribus qualia XQZ divisa intelligatur; hoc modo et altitudo QT divisa intelligetur in partes infinitas; et quaelibet ordinata tam figurae rectilineae, ut ZY, quam curvilineae, ut ZO. Ponatur autem quaelibet ordinata curvilineae, ut ZO, esse rationalis ad ordinatam respondentem rectilineae, ut ZY, quod fieri poterit, si ita ferat aequatio curvae; erit et numerus quadratorum infinitorum unius commensurabilis, numero quadratorum alterius, si una exhauritur, exhaurietur et altera repetitione quadratorum; cumque singulae ordinatae singulis hoc modo habeant communem figuram, etiam totae figurae habent communem mensuram, quadratum scilicet assumtum; si ordinatae hae omnes in rectum extendantur, seu quadrata in directum ponantur, erit eorum numerus ex figura rectilinea, ad numerum e curvilinea, ut linea quaedam infinita, commensurabilis, ad infinitam commensurabilem, adeoque ut supra ostendimus, ut numerus finitus ad numerum finitum. At ejusmodi curvilinea est circulari syllogos, ut alibi ostendi, ergo circulus ad quadratum, ut numerus finitus ad numerum finitum, quod est absurdum. Et jam video rationem erroris. Negandum duas lineas commensurabiles finitas esse ut numerus finitus ad numerum finitum. Possunt esse, ut numerus infinitus ad infinitum. Duo numeri infiniti commensurabiles possunt esse qui non sint ut duo numeri finiti; si scilicet maxima eorum communis mensura sit numerus finitus. Ut si ambo sint primi. Illud interea hic certum est, has duas figuras circulum et quadratum esse commensurabiles, seu habere mensuram communem, sive finitam et ordinariam (quo casu essent, ut numerus finitus ad numerum finitum, quod minime conciliabile arbitror cum appropinquationibus), sive infinite parvam; quod necessarium arbitror. Hinc jam tandem videtur aditus apertus ad mirabilem demonstrationem, quod quadratura circuli sit impossibilis, qualis quaeritur; quae scilicet aequatione aequabili exprimat relationem. Quod ut fiat ostendendum est, quod Diameter et latus, ne infinite quidem parvam habeant communem mensuram, et in genere linea quae sit ut radix irrationalis, sive quadratica, sive cubica; ut exempli causa, latus cubi dupli; alteriusve. Ecce hinc praeclarum usum demonstrationum, de incommensurabilibus linearium, possunt enim et ad infinite parva transferri, quod non possunt arithmeticae. Hoc posito, sequitur circuli magnitudinem non posse aequatione quadam ullius gradus exprimi. Eodem argumento evincitur ne ullam quidem circuli portionem hoc modo quadrari posse; idemque est de Logarithmis et Hyperbola. Circulus aliaque id genus, Entia ficta sunt; ut Polygonum, quolibet assignabili maius, quasi hoc esset possibile. Itaque cum aliquid de Circulo dicitur, intelligimus id verum esse de quolibet polygono, ita, ut aliquod sit polygonum, in quo error minor sit quovis assignato a, et aliud polygonum in quo error minor alio quolibet certo assignato b. Non vero erit polygonum, in quo is sit minor omnibus simul assignabilibus, a et b, etsi dici possit, ad tale ens quodammodo accedere polygona ordine; itaque si polygona certa quadam lege crescere possint; et de iis aliquid verum sit quo magis crescunt, mens nostra quiddam ultimum fingit; deque eo id quod in singulis magis magisque evenire videt, perfecte pronuntiat, quod etsi non sit in rerum natura, ferri tamen eius expressio potest; compendiosarum enuntiationum causa. Caeterum videndum est an non sint adhuc alia, infinite parva, ut anguli. Ecce enim angulus, nonne in puncto est. Nihil enim ad eum pertinet laterum longitudo, et manet etsi semper abscindas. Ergo quantitas in puncto, nam anguli quantitas est. Respondendum primum angulum in solo puncto nullum esse, nisi accedant lineae. Si jam eae lineae sint infinite parvae, lineae tamen, manebit difficultas, eodem enim modo ab illis resecabo. Porro non est angulus quantitas puncti. Posuimus enim punctum cuius pars nulla est, extremum scilicet; aliud enim inassignabile, nullum esse, jam ostendimus. Erit ergo anguli quantitas nihil aliud quam quantitas sinus proportionalis, quae utcunque producas eadem, ita ut ipse angulus videatur esse Ens fictitium. Si pro aliqua re in ipso puncto existente sumatur, scilicet si ponamus, Angulus est in puncto, seu linea quavis assignabili resecta subsistit, datur quantitas anguli. Idem est angulus, lateribus productis. His positis erit angulus, id quod est in lineis qualibet intersecta minoribus, seu spatium comprehensum duabus lineis concurrentibus, qualibet assignabili minoribus. At tale Ens fictitium est, quoniam lineae eiusmodi fictitiae. Etsi Entia ista sint fictitia, Geometria tamen reales exhibet veritates, quae aliter, et sine ipsis enuntiari possunt, sed Entia illa fictitia praeclara sunt enuntiationum compendia, vel ideo admodum utilia, quia imaginatio nobis Entia eiusmodi apparere facit id est polygona quorum latera non distincte apparent, unde nobis suspicio oritur postea Entis nulla latera habentis. Quid vero an non imago illa saltem nulla exprimit polygona? Ergo imago illa menti perfectum exprimit Circulum. Est hic quaedam difficultas mira et subtilis. Etsi enim falsa sit imago, in se tamen Ens est verum; adeoque sequitur in mente esse circulum perfectum, vel potius esse imaginem realem. Erunt ergo in mente et caetera omnia: et in ea omnia jam fient, fieri quae posse negabam. Sed dicendum est in mente esse cogitationem uniformitatis, nullam autem circuli perfecti imaginem, sed a nobis applicari uniformitatem postea ad hanc imaginem, quod nos sensisse inaequalitates, obliviscimur; consciine aliquando fuimus nos sensisse? hoc enim necesse ad oblivionem. Sed hoc non est. Dicendum ergo potius, cum circulum sentimus, vel polygonum, nunquam nos in eo sentire uniformitatem, sed saltem non sentire difformitatem, seu meminisse nos nihil in eo difforme sensisse; quoniam inaequalitas non statim percellebat oculos. Et ob hanc memoriam ipsi jam uniformitatis nomen tribuimus. Videndum an non multorum per exigua temporis intervalla conscii simus, quorum non meminimus, seu de quibus non possumus loqui, scribere, quae non possumus characteribus exprimere, ob eorum exiguitatem, cum parvam habeant ad talia relationem. Non ideo tamen minus sentiuntur a nobis consciis. Sed eorum, quemadmodum eorum quae somniamus, obliviscimur. Examinandum adhuc restat nonnihil de Lineis interminatis. Primum in linea interminata necesse est esse punctum medium. Sit in ea punctum C alicubi, jam sunt aut aequales aut inaequales lineae C1 etc. et C2 etc. Si aequales, punctum C erit medium. Si inaequales, alterutra earum erit major. Equidem posse videor statim assumere, ita licere lineam 1 etc. 2 etc. interminatam utrinque secare, ut partes duae sint aequales, in B scilicet, et tunc B erit medium, sed videndum an hoc amplius probari possit. Sit ergo major (2) etc., minor 1 etc.: ajo primum non posse esse unam alterius triplam. Quoniam in tres interminatas ab uno latere non resolvi potest interminata utrinque, sed in duas tantum; eademque ratione ostendi potest, nec rationem posse exprimi fractione numeris finitis assignabili media, inter 2 et 3 eandem ob causam. Itaque fractionis illius numerus infinite parva quantitate excedet 2. Sin linea interminata una C2 etc. alteram CA1 etc. finita excedet quantitate, qualis e. g. CB, ipsa ergo assignata et definita, erit B punctum medium. Hinc jam lineae ED per C transeuntes, non erunt in medio universi, sed FBG erit. Ponatur eodem modo et B punctum esse medium ipsius FG interminatae, et ipsius LH interminatae, aliarumque omnium inde ductarum, erit ergo punctum B medium universi. Videndum autem an necesse sit inveniri eiusmodi medium posse. Sed hinc videtur sequi difficultas; ducatur recta MN etc. interminata versus N; erit illa aequalis ipsi B2 etc., cum sit parallela, certum est enim illam infinitam sibi parallelam ferri posse angulo ad se ipsam recto seu in recta BF. Videndum jam an ipsi BH sit aequalis an inaequalis; major an minor. Si BH aequalis, seu si aliquod Medium universi, uti aliunde videtur judicari posse, dicendum erit BH aequari MN. Hinc jam patet, quomodo moveri possit linea infinita, seu transferri BH in MN, non continuo motu, id enim impossibile est, sed per saltus, si scilicet transcreetur. Est enim motus nihil aliud, quam transcreatio. Sed una restat magna difficultas. Sit linea infinita, vel utrinque, vel ut lubet, ab una parte, quae actu resoluta ponatur in suas partes; etc. AB, BC, CD, DE, etc. Potest enim intelligi innumera eiusmodi esse Entia. Unumquodque eorum moveri potest, unum ex AB in (ab,) alterum ex BC in bg, tertium ex CD in gd, quartum ex DE in de, quot cum in singulis sit possibile, singula translata intelligamus; dici poterit totam lineam paralleliter sibi et perpendiculariter promotam. Nec hic absurdum. Jam ponatur oblique AB, BC, CD, DE, etc. transferri in ab, bc, cd, de, etc., nonne dici poterit eodem modo totam lineam adhuc promotam. Unde sequitur magis progressam totam lineam in plagam DE; nam et motus eiusmodi obliquus, compositus ex perpendiculari et per sua vestigia eunte qui est si AB moveatur in BC, et BC in CD, quod fieri utique impossibile est, posito corpus eundem semper occupare locum; et certe nulla erit penetratio, semper enim unum excedit altero succedente. Hinc sequitur, vel lineam interminatam esse impossibilem, vel non posse sic moveri oblique, vel non posse appellari unum totum. Sed illud hinc concludi optime posse arbitror lineam eiusmodi materialem interminatam non-- interruptam implicare. Sed non video an interruptio nos salvet. Non enim ideo ad se propius accedent, quia uno accedente, alterum porro procedit. Revera ergo fatendum erit, Mundum esse finitum, si quantitas interminata totum sive unum est. Ita vicisset Aristoteles, et foret creaturarum quoque corporearum, numerus finitus; sed non incorporearum, ob memoriam mentium. Infinitas autem competeret Deo, ob aeternitatem, item ob alia creaturarum genera. Una responsio adhuc supererit, scilicet quod translatio ejusmodi obliqua etiam in singulis sit impossibilis, neque a nobis perfecte intelligi, quia possibilia non possunt intelligi in singulis, nisi intellecto ordine universi, quod hic rursus illustri admodum exemplo patet. Nam alioquin ut infinitum esse posse creaturarum numerum probem, fingam similiter inde ab aeternitate, quavis hora novum positum fuisse corpus, in eadem semper recta; manifestum est, cum in singulis possibile ponam, fore tunc eiusmodi infinitum. Itaque non aliter quis respondere poterit, quam negando in singulis possibile. Et si ita fingi posse videatur, quidni ergo idem respondeam statim ab initio. Unum adhuc considerandum, etsi quis neget interminatam quandam esse lineam, tamen non videtur concedi posse (posito nullam esse finem materiae seu ad lineam productam semper materiam (inveniri) ) quod AB in locum BC, et BC in locum CD, etc. semper simul moveri possint. Ponamus enim id fieri, et nova adhuc addatur, aliunde assumta, quae in locum ipsius AB primae succedat; reddita quiete, omnia erunt ut ante, et tamen facta mutatio est. Certe locum aliquem deseri, pluribus motis, successive, nec novum acquiri, impossibile. Breviter, quae sunt multa, eorum multitudo, et totum et pars etc. Ergo vel negandum est, infinitum actu esse possibile, vel recurrendum ad nostra, quod impossibilis sit dicendus singulorum motus, etsi in ipsis per se consideratis non appareat absurditas, quia ut perfecte considerentur, Mens consideranda, quae in ipsis, et relatio facienda ad totum universum. Et ita habendum est, si in omnibus eodem modo cuncta referre possemus ad universum, appariturum nobis, quomodo revera certus tantum determinatusque rerum status sit possibilis et multa excludantur a possibilium numero in quibus nos nullam impossibilitatem invenimus, quoniam fallimur notione materiae, eamque ut extensam tantum consideramus, quod non est. Ratio cur interminatum, seu quolibet finito maius sit aliquid, non vero infinite parvum, haec est, quod Maximum in continuo est aliquid, non vero Minimum; perfectissimum est quiddam(,) non vero Minimum, Deus est aliquid, nihilum non est aliquid. Totum in continuo est prius partibus. Absolutum prius limitato. Adeoque interminatum, habente terminum, cum terminus sit accessio quaedam. Nullus est numerus maximus, et nulla est linea minima. Excutiendum adhuc, an et quatenus vera haec, v. g. quadratum est ad circulum, ut 1 ad 1 / 1 - 1 / 3 1 / 5 - 1 / 7 1 / 9 - 1 / 11 etc. Nam cum dicitur etc. in infinitum, intelligitur ultimus numerus non esse quidem numerorum maximus, is enim nullus, sed esse tamen infinitus. Sed quoniam non determinatur quomodo? Adjiciendum enim aliquid, etiamsi numerus infinitus sumatur, ideo dicendum id non esse rigorose verum. Et quoniam circulus est nihil; utique et series ista nihil erit. Interea superest haec difficultas. Diagonalis ad Quadratum est ratio quaedam, est enim diagonalis linea, quantitas realis, et latus itidem. Quae si numeris explicanda sit, opus etiam erit numeris infinitis. Imo in universum numeris omnibus. Dicere autem numeros omnes est nihil dicere; quare et ratio illa nihil dicit, nisi aliquid quantumvis propinquum. Non ideo tamen tollitur ratio harum duarum linearum, etiamsi nulla assignetur mensura. Nisi dicas (sine Mensura), quod de angulo, id et de ratione, ipsam per se nihil esse, sed ipsum consensum divisionum; semper manentem, ut supra sinus. Imo videtur ratio semper subsistere, est enim ea ratio, per quam duae figurae sunt similes. Itaque in duabus quantitatibus similibus, id est sola magnitudine, non vero modis magnitudinis differentibus; si scilicet (ipsae) in se sine aliis considerentur; ratio est quantitas unius determinata per relationem ad aliud. Sine similitudine non possemus intelligere rationem. Magnitudo est rei constitutio, qua cognita, ipsa tota haberi potest. Videtur Totum esse etiam quod non habet partes modo habere possit. Totum est, cum ex uno fieri possunt plura. Ex uno autem fieri, est aliquid manere. Quod reapse divisum est seu Aggregatum, nescio an dici possit unum. Videtur tamen, cum sint nomina ad hoc inventa. Sed haec omnia accuratissime excutienda. Ex aliquo fieri aliud, est aliquid restare, quod ad ipsa potius quam ad aliud pertinet. Sed hoc non semper est materia. Potest esse ipsa Mens relationem quandam intelligens, ut in transproductione, etsi omnia nova, tamen hoc ipso quod certa lege fit haec transproductio, imitatur quodammodo motum continuum, ut polygona circulum. Et hinc dicitur unum ex alio fieri, simili quasi abusu imaginationis. Quandocunque dicitur seriei cuiusdam infinitae numerorum dari summam, nihil aliud dici arbitror, quam seriei finitae cuiuslibet eadem regula summam dari, et semper decrescere errorem, crescente serie, ut fiat tam parvus quam velimus. Nam ipsi per se absolute numeri in infinitum non eunt, daretur enim numerus maximus. Sed in infinitum eunt applicati certo spatio, seu lineae interminatae in partes divisae. Hic jam ecce nova difficultas. Estne ultimus eiusmodi seriei ultimus, quae scilicet ascriberetur divisionibus lineae interminatae? non est(,) alioqui et ultimum in serie interminata daretur. Imo videtur dari, quia scilicet Numerus terminorum seriei, utique erit numerus ultimus, pone puncto divisionis ascribi numerum unitate majorem semper praecedente, utique Numerus terminorum erit ultimus seriei, at vero non datur seriei ultimus, quia est interminata; inprimis si series sit utrinque interminata; ergo concludemus tandem quod nulla sit multitudo infinita. Unde sequeretur nec infinitas res esse. Vel dicendum infinitas res non esse unum totum, seu non esse earum aggregatum. Si res infinitae esse non possent, foret mundus necessario tempore et loco finitus, sed mundum tempore finitum esse, non videtur possibile. Imo sequeretur, et aliquando res cessaturas, omniaque in nihilum reditura, nam alioqui omnia futura essent infinita. Itaque si dicas in (linea interminata) non dari ultimum finitum numerum inscriptibilem, posse tamen infinitum dari: Respondeo(,) ne hunc quidem dari posse, si nullum sit ultimum. Ad hanc ratiocinationem non aliud habeo quod respondeam, quam numerum Terminorum non semper esse ultimum seriei. Patet scilicet etsi in infinitum augeantur numeri finiti, nunquam nisi finita aeternitate, id est nunquam, pervenire ad infinitos. Subtilis admodum haec consideratio est.