Linea interminata.

Linea interminata ut CB etc. est aliquid. Linea interminata EB est aliquid. Linea interminata CB etc. constat ex linea interminata EB etc. et recta CE terminata in directum jacentibus, communeque punctum habentibus E. Recta CB etc. est totum, partes CE, EB etc. Recta CB major est, quam recta EB, etsi utraque sit interminata. Interminatam voco lineam rectam EB etc. versus B, maximam omnium ab E ductarum per B. Item illam, in qua nullum est punctum extremum. Extremum autem punctum voco in recta quod a puncto aliquo in eadem recta sumto magis quam alia omnia distat. Vel interminata est, in qua puncto quolibet aliud remotius a dato sumi potest. Videtur a data recta ex dato puncto alia, data minor, abscindi posse. Ideoque rectae EB etc., quae minor est recta CB etc., aequalis recta poterit assumi incipiens a C et tendens versus E. Itaque ex dato puncto C, duae versus E vel B sumi poterunt rectae interminatae, una CB etc., altera aequalis ipsi EB, minor priore. Quod est absurdum, ita enim ipsa CB etc., ipsa ex C versus E sumta, ipsi EB etc. aequali erit longior, adeoque punctum habebit, remotius quam aliquod prioris; adeoque minor non poterit esse interminata. Ergo si Linea aliqua interminata intelligi potest, non potest in qualibet recta majore assumi quaelibet ipsa minor, incipiens ab aliquo eius extremo; vel contra; si hoc potest semper fieri, linea interminata intelligi non potest. Recta interminata etiam utrinque minor est tribus ab una licet parte tantum interminatis. Sive recta utrinque interminata non nisi in duas ab una parte interminatas dividi potest. Linea etc. AB etc. divisa sit in duas partes etc. AE, et EB etc. Hae duae lineae vel sunt aequales vel inaequales, si aequales punctum E erit medium; si inaequales, erit altera altera major, esto major etc. AE, minor EB etc. Iam ajo duarum interminatarum ab una parte differentiam esse terminatam. Quod sic ostendam. Si etc. AE major EB etc., erit eius pars aliqua ut etc. AD aequalis ipsi EB etc., et differentia earum erit DE, quae erit terminata, nam si esset interminata, tunc tota utrinque interminata componeretur ex tribus interminatis, duabus scilicet una minore, altera parte majoris minori aequali, tertia differentia majoris a minori, ex tribus autem interminatis componi unam est absurdum, ergo differentia haec necessario terminata, DE. Haec bisecetur in puncto C, quod fieri utique potest si terminata est, eritque C necessario punctum rectae totius utrinque interminatae medium, seu recta CA etc. aequalis rectae CB etc., quia CD = CE, et DA etc. = EB etc. Invenimus ergo punctum medium in utrinque interminata. In recta ab una parte tantum terminata, punctum medium inveniri impossibile est; semper enim ab una pars interminata, altera terminata erit, impossibile est autem terminatam aequari interminatae. Recta terminata bisecari potest, quia si duo puncta ab utroque termino aequali celeritate ad se invicem ferantur, alicubi occurrent, et punctum occursus medium erit. Duae rectae interminatae ab una parte, unum habentes terminum communem, aliquando sunt inaequales, ut EA etc. et EB etc.; sunto enim aequales, tunc utique DB etc. DA etc. erunt inaequales; et habemus duas inaequales termini communis (D). Error ergo est, quod aliquando ratiocinabamur esse aequales, quia scilicet una semper ut EB etc., alteri EA etc. imposita intelligi seu in ea sumi possit, quod paulo ante impossibile ostendi. Porro ex his sequitur non posse rectam utrinque interminatam moveri circa centrum E, quod medium in ea non sit, ita enim poterit continuato motu pervenire EB etc. in locum EA etc. quod impossibile esse ostendimus. Diversa puncta media esse possunt in spatio interminato, ob diversas scilicet rectas utrinque interminatas. Sit scilicet recta FDG utrinque interminata, datam AB interminatam secans in puncto D, alio a puncto datae medio C, ajo punctum ipsius medium aliud esse a puncto datae medio C, nam punctum eius medium est vel D, vel aliud. Si D, utique est aliud a C, sin est aliud a D, utique erit extra rectam AB, duae enim rectae licet interminatae non nisi unum habent punctum commune; si autem hoc punctum est extra rectam AB, utique erit aliud a C, quod in ea est. Quodsi rectam sumamus in alio plano, quae ipsam AB ne secet quidem, adhuc manifestius est, punctum eius medium aliud esse a C, quia recta illa utrinque interminata, nullum cum ipsa AB habet punctum commune, adeoque nec punctum C. Illud tamen quaerendum est, an punctum C, medium unius interminatae, medium sit omnium aliarum interminatarum MCN, HCL ipsam in puncto C secantium. Sed hoc ita refutatur: possibile est unam rectam per duarum rectarum media puncta transire, recta enim per duo quaelibet data puncta transire potest, ergo alterutram (si non utramque) secat puncto sui non medio, non ergo necesse est rectam quae aliam secat, aliam in puncto sui medio secare. Hinc sequitur porro interminatam ne circa medium quidem suum moveri posse, quandocunque contingit, ut aliae in quarum locum motu transferri deberet, eam in mediis suis punctis non secent. Videndum an necesse sit omnium Parallelarum ejusdem plani media puncta esse in una recta (eaque ipsis normali). Hoc posito omnium datae parallelarum in aliis planis omnibus sumtarum puncta media cadent in planum ipsis normale. Unde sequitur planum aliquod dari quod bisecet universum. At vero planum aliquod dari quod bisecet universum aliunde facile probari potest, eadem plane methodo qua ostendimus rectam interminatam posse bisecari. Sed ut a lineis ad plana ascendamus nec per saltus ad solidum eamus videndum est an recta inveniri possit quae planum ubique interminatum quodlibet bisecet. Ubi quidem manifestum est, si concedimus interminatam suis vestigiis parallelam moveri posse, posse planum quodlibet bisecari. Cum nunc citra nunc ultra sit majus tandem eo pervenietur, ut cum paulo ante citra esset maius spatium, nunc fiat ultra, et ubi incipit, ibi bisecabitur. Quae ratiocinatio et divisioni rectae interminatae, per motum puncti accommodari potest, item et ista, si recta vel punctum assumitur, ab uno latere, similiter se per omnia habens ab alio latere assumi potest; nulla enim differentia inter formam, utrobique. Quae duo puncta, lineaeve ad se tendendo aliquando convenient, et ibi erit medium. Sed sine motu assumto idem evincetur, si scilicet cogitemus tantum alias atque alias duci posse parallelas, alias plus citra alias plus ultra relinquere, et semper accedendo ad se invicem, seu propiores semper parallelas ducendo, aliquo tempore futurum esse, ut sibi tam prope accedant quam velis, adeoque spatium interceptum longitudine licet, non tamen latitudine infinitum, fiat latitudinis quavis data minoris. Sed probandum adhuc restat planum inter duas parallelas interminatas interceptum, interminatae longitudinis sed terminatae latitudinis, esse bisecabile per aliquam rectam extremis parallelam. Equidem ubi maius et minus et omnia utrinque paria, videtur et aequale, sed sine assumto motu, probatio minus manifesta. Ex quo motu illud sequitur in plano cuilibet rectae aliam duci posse parallelam planum bisecantem, eamque non nisi unam. Hinc sequitur duas rectas idem planum bisecantes se secare. Haec de terminatis et interminatis vera, et in terminatis et de trisecantibus. Interminata quantitas in plures duabus partes aequales secari non potest. Videndum jam an non necesse sit, omnes planum bisecantes in eodem puncto se secare, adeoque aliquod totius plani medium esse punctum. Hoc videtur eodem probari argumento, quo centrum gravitatis in finitis. Videndum et an hoc punctum ita sit medium, ut omnes rectae ab ipso in omnes partes in plano ductae sint aequales. Et tale quidem punctum videtur esse unicum tantum in uno plano; quod scilicet omnes rectas per ipsum transeuntes bisecet. Porro planum interminatum si incedat parallelum sibi, bisecabit denique universum, et plura plana ejusmodi si in eodem se puncto secent, communis omnium sectio erit medium universi. Sed bisectio plani atque universi, et multo magis media eorum puncta non aeque certa. Videtur probari posse quod interminata AB parallela sibi normaliterque per EC moveri non possit. Posset enim eius motus EC intelligi compositus ex EF, EG, ita scilicet, ut unum movens rectum AB sibi parallelam ferens moveatur per EF, aliud per EG, motusque uterque sit aequalis. Ita enim reapse movebitur per EC. Quomodo autem poterit motus possibilis componi ex duobus impossibilibus? Hoc accurate examinandum. Ratio tamen cur LH interminata non possit ire in locum MN interminatae ex eo sumta quod ille motus compositus ex uno impossibili, ipsius LH per sua vestigia, et altero, per LP, videtur aliter enuntiari posse, scilicet punctum L, ab LP venisse in NQ, itemque de caeteris lineae LH punctis, adeoque totam versus aliquam sui partem vel plagam processisse, quod de AB non ita dici potest. Re exacte expensa, talium compositionum impossibilitas forte sic probatur, si scilicet in duos motus resolvi possit datus, unum possibilem, alterum impossibilem, erit datus impossibilis, ponamus enim uno ferri, ergo si simul et dato fertur, eo ipso et altero impossibili aliorsum feretur; sed si uterque sit impossibilis, videtur neuter necessario evenire, modo res aliter describi possit. Videndum, an angulus contingentiae possit per aliquam curvam bisecari. Examinandum quid per talem quaestionem intelligatur.