De constructione

De constructione Ex quo Algebram ad lineas accommodare Vieta inprimis et Cartesius seculum docuere, agnitum est a plerisque omnibus, ad solvenda in Numeris problemata in quibus rectarum quarundam comparatione cum aliis rectis designatarum, valor ac descriptio quaeritur, nihil fingi posse praestantius; cum omnis difficultas problematis una aequatione inclusa sit, cuius tantum radices quaeruntur; sed illud tamen semper a praestantibus Geometris objectum est, constructiones Geometricas calculi vestigiis nixas plerumque ab illa simplicitate atque elegantia longe abesse, qua veteres implicata saepe problemata per synthesin absolvere. Exemplo nobis esse potest constructio problematum solidorum, ope Circuli et Parabolae quam Cartesius tradidit, ubi aequationis quadrato-quadraticae aut cubicae secundum terminum tolli postulat, quo facto constat non mediocriter intumescere aequationem etiam suapte natura simplicissimam. Et ea tamen formula construendi Cartesio tantopere placuit ut omnium quas quis exoptare possit perfectissimam et generalissimam affirmaverit. Haec cum inter veteres novosque Geometras studio partium calentes agitarentur, moderatiores quanquam imperfectionem cognitae analyseos literalis in constructionibus apparere agnoscerent, non ideo tamen repudiandam putavere, tum ob ingentia commoda in ipsa inveniendi arte, quae nullis veterum Datis supplerentur, tum quod spes esset posse aliquando ex ipsa Analysi aditum reperiri ad artem syntheseos, qua constructiones elegantes et veteribus dignae, redderentur. Mihi quaenam in hoc quoque argumentum incumbendi fuerit ratio, dicam vel ideo, quod plurimum inde lucis instituto meo accessurum arbitrer. Desarguesius et Pascalius filius, praestantes omnium consensu Geometrae, rem veteribus, quantum ex servatis eorum scriptis judicari possit, intactam aggressi erant, universalia Conicorum demonstratione complecti, qua et harmonia sectionum Coni appareret, et proprietates communes observarentur, et constructiones problematum quae in his lineis efficienda proponerentur, fierent universales. Hoc illi institutum si absolvissent, totam nobis Geometriam solidorum sive secundi gradus perfectam insigni compendio dedissent, sed quoniam synthetica methodo per theoremata praedemonstrata ad propositum eniti voluerant; mirum non est, aditum ad problemata difficiliora reperisse nullum, destituente eos patientia in ea itineris asperitate, et anfractuum multitudine, quae schemata contemplantes, et Conum mente versantes, fatigabat. Quanquam autem opus imperfectum reliquissent, inimitabile tamen reddidisse visi sunt multis. Nam quas ipsi in solido et per synthesin generaliter demonstraverant Conicarum Linearum Harmonias, eas Analytici postea secuti re in planum traducta (quod fateor ingenti labore imaginationem absolvit) nondum exhibuere, ne ipso quidem summo Viro Johanne Wittio excepto, qui tamen Analysin Conicam omnium longissime promovisse videtur. Hoc cum mihi de Analyseos ac Syntheseos comparatione sententiam dicenti nuper illustris Carcavius objecisset, agnoscentem vera dici ad tentandum excitavit, qua ratione eousque produci posset Analysis, quo Synthesin perventuram pro desperato habebatur. Aggressus negotium vidi novis quibusdam characteribus opus esse, quibus variae signorum ambiguitates exprimerentur; vidi indivisibile atque infinitum calculo analytico misceri debere, quod unum non satis observasse videtur profundissimus caetera Cartesius; denique modum reperi analyticum, quo sectiones Conicae perinde tractari possint, ac si unicum extaret figurae cujusdam genus sectionis Conicae nomine; cujus figurae natura aequatione universali explicata, centra, axes, vertices, focos, abscissas, ordinatas, tangentes, perpendiculares; nulla specierum, Hyperbolae, Parabolae, Ellipseos, Circuli, Rectae, mentione, statim prodat, unde theoremata universalia innumerabilia in promtu fuere, et ad omnium problematum Conicorum aequationibus comprehensibilium solutionem communem mihi strata est via. Restabat fastigium operis, problema scilicet problematum id genus omnium generale: Formulam reperire, unam sectionibus Conicis et Aequationum formis Omnibus, communem construendi problema solidum quodlibet, ope Sectionis Conicae datae, et Circuli. Hac enim formula reperta problemata Conica omnia (modo sursolida non sint) solo Circulo et recta planorum instar construi, et quod non minoris est momenti solutione Conicis omnibus communi comprehendi possunt. Sin desideretur, nec Universalia Conica ad finem perducta censeri possunt. Quod ut appareat exemplum afferri utile est: Esto problema propositum: ex puncto dato D minimam sive perpendicularem DY ducere ad Conicam datam AY. Patet hoc problema multos complecti casus, nam et quinque sunt Linearum Conicarum genera, Recta, Circularis, Ellipsis, Hyperbola et Parabola, et in qualibet trium inprimis posteriorum linearum specie, quinque aut minimum quatuor habentur subdistinctiones, pro vario situ puncti dati D, unde si quis problema plene solvere volet, in omnibus linearum specierum generibus et punctorum datorum casibus, ei novem minimum calculis constructionibusque separatis opus erit; et frustra sperabit absoluto uno calculo supplere caeteros conjectura: cum a me quidem calculo non magis operoso, quam si in uno tantum ex casibus difficilioribus fuisset laboratum, unica communis omnibus lineis casibusque aequatio reperta sit; hanc jam aequationem communem, quae generaliter loquendo quadrato-quadratica est, fingamus esse: y ly amy an ap = 0 valore scilicet linearum l, m, n, p, ambiguo, ut alibi a me docebitur, patet opus esse formula construendi hanc aequationem generali, quae neque signa, neque valores terminorum moretur, adeo ut quivis ex terminis cognitis l, m, n, p, possit intelligi major minorve alio, vel etiam nihilo aequalis; alioquin formula non esset omnibus problematis casibus communis; praeterea formula opus est, quae sit omnibus Conicis communis, ita ut ope eius centrum radiusque circuli, cuius intersectione cum Conica data solvi debet problema, una eademque methodo investigetur, qualiscunque etiam Sectio Conica in problemate data sit. Formulam autem hujusmodi si dicendum quod res est hactenus prodidit nemo. Cartesiana enim formula Parabolae propria est: Amplissimus Huddenius aliam pro Hyperbola dedit, non minus elegantem; uterque tamen opus habet praeparatione aequationis, quod calculos plerumque reddit prolixos: inter eos quorum extant in hanc rem meditationes, longissime omnium progressus est Illustris Slusius, cui si in mentem venisset quaerere, quod ego mihi hoc loco proposueram, utique elegantius multo absolvisset; is ergo unam dedit formulam omnibus aequationum formis communem, nec praeparatione indigentem, sed non omnibus Conicarum speciebus: coarctatur enim ad intersectionem parabolae datae et circuli cuiusdam inventi. Unde intelligi potest rem constructionum non ita perfectam esse, uti nonnullis auditu potius aut superficiaria lectione, quam attenta meditatione talia aestimantibus videri posset. Mihi ergo necessarium visum est rem de integro red-ordiri; quod dum facio, novisque artibus Characterum ambiguorum usus institutum urgeo, primum in vias incidi, jam impeditas, ut pene de exitu desperarem; formulas enim prolixiores pro nihilo ducebam, nec nisi simplicibus atque elegantibus uti decreveram. Hoc me admonuit, non esse statim irrumpendum in calculum; sed accurata meditatione digerenda primum subsidia esse, unde aptiora eligi possint; alioquin evenit, ut in ipso limine superando defatigati, aut resiliamus irriti coeptorum, aut non nisi recollecta mente novis viribus sumtis, sero ad exitum perducamur. Nolo errationum mearum vestigia describere, quanquam id quoque profecto usus habiturum esset non contemnendos, nisi prolixitas deterreret, suffecerit hoc loco itinerarium dare cogitationum mearum, ex quo in veram viam coorta subito luce redierant. Constructio est determinatio puncti quaesiti ductu linearum: Ergo constructio eo censeri debet elegantior quo lineae quas ducere necesse est, simpliciores paucioresque sunt. Simpliciores autem censentur Geometricae mechanicis, et inter Geometricas eae quae gradus sunt inferioris, superioribus. Si duae sint ejusdem problematis constructiones; quarum altera paucioribus, altera simplicioribus lineis utatur, posterior praeferenda plerumque est, malim enim profecto decem describere circulos, quam Conchoeidem unam; cum re accurate considerata ad descriptionem Conchoeidis infinitis Circulis, id est motu circuli integri per spatium, opus sit, cujus infinita vestigia pro totidem descriptis circulis haberi possunt. Hinc patet non esse utendum linea superiore, ad problema inferius, nisi ea linea superior jam tum adsit, sive quod data sit in problemate, sive quod alia ex causa describenda fuerit. Exempli causa, si quaestio sit de ratione inveniendi punctum flexus contrarii in Conchoeide, constat problema sua natura esse solidum, sive sectionibus Conicis efficiendum; quia tamen omnia problemata inferiora lineis superioribus solvi possunt; ideo rectius solvetur per conchoeidem datam et circulum; satius enim Conchoeide jam descripta uti, quam novam curvam conicam describere. Ex his intelligi potest, regulas constructionum elegantium easdem esse cum praeceptis parsimoniae ex arte Oeconomica petitis, ne scilicet inutilibus utamur, aut ne quibusdam utilibus in nostra potestate sitis non utamur. Unde intelligitur data omnia minutim examinanda, ut appareat quid inde erui possit in rem nostram; datae autem sunt tum figurae sive lineae, tum quantitates sive valores quaesitarum linearum earumve potestatum. In datis lineis utique mutari potest nihil; sed quoniam constat, ad eandem lineam quaesitam dati valoris, variis modis posse deveniri, pro vario datarum linearum usu, ideo quaeritur electio modi cujusdam prae caeteris facilis, atque elegantis, id est valor simplicior dato factus ex dato linearum datarum facili in alias transmutatione. Sed quoniam ad ista non ante veniendum est, quam valor linearum pure habeatur, et vero saepe non ipsius Lineae, sed potestatis eius potestatumve diversarum aggregati, valor habetur, ideo aequationis inde natae quaerendae sunt radices, id est valores unus pluresve, qui lineae quaesitae tribuendi sunt ut aequationi datae respondere possit, iisque valoribus inventis tum demum de ratione cogitandum est, qua reddi queant simplices. Verum quia saepe valores linearum quaesitarum puri per calculum exacte haberi non possunt, Geometria succurrit defectui Analyseos, et quod ista nominare non potest, efficit intersectione quarundam linearum. Hinc apparet duo esse summa genera constructionum in Geometria, quemadmodum duo sunt genera operationum in Arithmetica; Algorithmum, quem vocant quatuor specierum (qui additionem, subtractionem, multiplicationem, divisionem, et horum combinationes varias complectitur), et extractionem Radicum. Nam si sit x = a - b bc / a a Rq da patet ad habendam x additione quatuor quantitatum, subtractione unius b, multiplicatione ipsius b per c, et divisione producti per a, ac denique radice ex da opus esse. Quae ut quam compendiosissime fiant, variae artes tum ab ipso calculo, tum a Geometria suppeditantur; a calculo, ut si addenda sint 1a 2a 3a 4a 5a = x, ponendo numerum terminorum 5 = d, et proxime majorem 6 = d1, fiet summa (ad**2 da) / 2 = x seu 15a; a Geometria, ut si addenda sint b c tantum rectae b extremo uno, altera c, normaliter imponatur, junctisque reliquis duobus extremis alterius cuiusdam lineae ductu, erit huius lineae quadratum aequale duorum quadratorum datorum summae: quam sane praxin non calculus, sed Geometriae pars a calculo independens docet, sed artis foret. Ex quo intelligi potest Geometriam quanquam calculo Algebraico subordinata sit scientia, suam tamen quandam peculiarem analysin habere, qua theoremata ipsi propria demonstrentur, et constructiones ultimae calculo quantum licet, contracto, tandem in lineis efficiantur. Hanc Analysin Geometriae propriam videntur agnovisse ac tenuisse veteres, cuius in eorum scriptis agnoscere mihi videor vestigia quaedam, Algebrae praeterquam ubi de numeris agebatur, nulla. Et vero quas illi hac arte detexere propositiones, nisi dudum haberemus, aegre quibus nunc utimur methodis inveniremus. Eius artis prima lineamenta mihi videor assecutus rationemque reperisse, qua inventis Symbolis aptis, constitutisque principiis quibusdam, caetera quadam calculi imitatione fieri possint, ne lineas imaginatione persequi necesse sit, quod nescio an habuerint veteres. Intelligo Clarissimum Aleaumium, Vietae aequalem, peculiarem quandam sibi fecisse Characteristicam, qua amici ab eo mira praestari agnoscebant; sed cuius post eius mortem vestigia superfuere nulla. Ego cum Euclidis Elementa nuper attente legerem, quod fateor a me fieri perraro, aut potius si de integro libro quaestio sit, factum hactenus nunquam; tria esse vidi propositionum genera; aut enim ex calculo pendent, quales sunt quae de rationibus ab eo demonstrantur, ac de quadratis, atque incommensurabilibus nonnullae; aut ex linearum ductu, quales sunt quae prioribus libris habentur pleraeque, de angulis, de perpendicularibus, de parallelis; aliae denique ex utrisque subsidiis inter se junctis. Hae propositiones aut Theoremata aut problemata sunt: Theorematum elegantium calculi pariter ac Geometriae haec est natura, ut non possint nisi casu inveniri; nisi quis omnes ordine combinationes notionum (delectu tamen aliquo fateor habito, quod peculiaris quoque artificii est) instituere velit, quo facto eum in theoremata insignia omnia incidere necesse est. At Problematum diversa est ratio: dato enim problemate desideratur ars quaedam solvendi certa, ita ut semper in nostra potestate sit, exitum reperire: sin minus, nota est scientiae imperfectae. Animadverti autem, multa problematum calculi genera esse in nostra potestate, at problematum Geometriae purae nulla: nam exempli causa problema illud simplicissimum, rectam lineam invenire, cuius quadratum datarum duarum linearum rectarum quadratis sit aequale; quis solveret quaeso, nisi theorema Pythagoreum jam extaret. Unde intelligitur, horum aliorumque multorum Geometriae purae problematum, solutionem non arti ac methodo, sed memoriae nostrae deberi, veterum autem ingenio ac felicitati; nam forte nec illis methodus fuit. Ingenium autem et felicitatem jungenda esse constat, quando methodus deest; methodus enim hominem mediocrem, quantum ad exitus certitudinem, aequat ingenioso, qui de suo invenire possit, aut experto, qui memoria ab aliis inventorum polleat; etsi tempore semper distinguantur, quod inexercitatus ac hebes, sed methodo instructus, sibi maius suo quodam jure postulat. Fatendum est ergo Analysin Geometriae hactenus perfectam non esse, cum sint problemata quorum solutio non nisi per synthesin habetur. Fortasse nulla sunt problemata (de iis semper loquor, quae possunt aequatione comprehendi), quae ex iis quae per synthesin habentur in Geometria pura, accedente Analysi Calculi, solvi non possint; sed elegantissimas omnium constructiones eligere ex calculo dato, res est non nisi ab illa quam supra tetigi, arte symbolica, Geometriae peculiari, expectanda. Hoc loco vero Symbolicam illam novam non attingemus, cum peculiaris sit operae speculatio, nec valores calculo invenire, nec inventos contrahere docebimus: sed unum nunc explicabimus, quomodo radices aequationum, etiamsi analytice extrahi non possint, Geometrica constructione commode definiantur; eiusque artis specimen dabimus, prodita methodo generali construendi problema solidum quodlibet utcunque affectum, sectione Conica data, circuloque invento, quam eo pluris faciendam arbitror, quo rariore connubio, universalitatem junxit elegantiae ac brevitati.