De arithmetica infinitorum perficienda

Ad Arithmeticam infinitorum multa pertinent, hactenus fortasse, ac ne a Wallisio 1 quidem satis considerata. Ut quomodo ex complicatione duorum infinitorum fiat finitum. Per exemplum, si eadem res augeatur in infinitum, et minuatur quoque in infinitum, sed alio quodam proportionis genere, quanta futura sit, v.g. si eadem res in infinitum duplicetur, sed productum etiam in infinitum dimidietur, manebit eadem. Si eadem res in infinitum duplicetur, et eadem in infinitum trisecetur, productum erit minus, seu ut 2 ad 3. Et revera tale contingit in Circumferentia Circuli indaganda sine polygonis circumscriptis per sola inscripta vel contra. Exempli gratia, Hexagoni latera sunt 6 postea fiunt 12, postea 24, etc. et sic in infinitum, in fine ergo sunt latera infinita, ac proinde produceretur linea infinita, si lateribus multiplicatis, eorum quantitas non diminueretur, sed diminuitur quoque in infinitum eorum quantitas, uti in infinitum augetur numerus. Et haec proportio quid efficiat determinandum. Nihilominus enim majus semper augmentum diminutione. Progressio augendi numeros est dupla, inde a 6 progressio. Si progressio diminuendi exprimi posset numeris vel surdis, vel fractis, rem determinatam haberemus, sed est replicata in se ipsam. Hic ergo artis, invenire quanto minor diminutio augmento ut determinetur praecise quantitas concursus. Haec methodus si succedet, poterunt quadrari figurae omnes, et secari omnes arcus, ut rectae, et inveniri omnes mediae proportionales, et Geometria perfici. Et tota res a scientia progressionum recte cognita pendet. Et haberetur proba harum ratiocinationum admirabilis, quod diversis calculis produci deberet idem, v.g. per circumscripta, ubi aucto continuo numero laterum minuitur quantitas, sed magis minuitur quantitas quam augetur numerus, et ideo contrarium contingit inscriptorum, id est productum est minus. Hic debet esse usus maximus scientiae progressionum, quia ita invenitur ratio addendi progressiones, demendi sibi progressiones, multiplicandi etc. Si non procedit determinatio ejusmodi Terminationum seu linearum et figurarum per complicatas progressiones, at contra poterit usus esse ipsarum figurarum ad inveniendas tales progressiones earumve terminos aut terminationes. Uti Hyperbolae ope inveniri possunt Logarithmi, et contra Logarithmorum ope Hyperbolae. Ita poterit inveniri figura quaedam pro omni progressionis genere; utrumque maximi est momenti, et nescio an hactenus consideratum. Pour un Contepas potest servire Spira, praesertim cum non nimis diu res duratura est. Ideo id applicandum Horologiis, aliisque id genus rebus, ubi distincte numerandum. Circa vim Elasticam cogitandum, an duorum Elateriorum spatia aequalibus temporibus decursa, vel etiam si placet vires, sint proportionales. Exempli causa, sit Elasticum quod libram summe tensum projicit, et spatium datum describit, videndum, an aliud quod semilibram projicit, spatium dimidium percurrat, supposita scilicet homogeneitate materiae et latitudinis. Imo non videtur, quia idem Elaterium duplo amplius tensum est plus duplo fortius. Sed quid fiet, si ipse tensionis gradus immutetur naturaliter, ut in eandem partem tensum, sit debilius quam ante, videndum an spatia iisdem temporibus decursa, proportionalia. Si conjungantur haec duo: scientia progressionum, et motus seu ea quae alibi dixi de ratione tentandi seu per motum eundi per omnes casus possibiles, donec eveniat datus, hoc, inquam, agendo, perfici potest Geometria.