De imperfectione analyseos

P. Fabri in Methodo: inventum Analyticorum priorum Aristotelis nulli Algebrae postponendum. P. Fabri in Methodo ait regulam Galilaei (aequali tempore acquiri motu naturaliter accelerato spatium idem quod acquiritur motu aequabili, cuius velocitas sit dupla maximae et minimae prioris) accidere etiam si spatium acquisitum sit summa terminorum progressionis Arithmeticae simplicis, non 1. 3. 5. 7. etc. sed 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. etc. At vero hoc mihi videtur adeo non obstare Galilaeo, ut ex eius sententia sequatur, nam, si Triangulum illud ex velocitatibus continue crescentibus in altitudinem ductis descriptum resolvas in lineas usque basi parallelas et altitudinem in partes minimas seu puncta, lineae crescent, ut numeri progressionis Arithmeticae simplicis. At si dividas altitudinem in lineas aequales seu partes aequales finitas, spatia ab applicatis seu basi parallelis abscissa crescent ut numeri progressionis Arithmeticae simplicis. Quare velocitates quolibet momento crescent, ut numeri progressionis Arithmeticae simplicis, at non spatia aequalibus temporibus absoluta. P. Fabri ait Savotium esse suo judicio optimum eorum qui de Coloribus scripsere. De Imperfectione Analyseos, deque eius supplemento per Synthesin. Inventio fit per analysin, ubicunque ad inveniendum nihil aliud assumitur quam ipsum problema aut theorema datum, quod in prima sua Elementa resolutum praebet nobis solutionem. Inventio per synthesin est cum alia praecognita requiruntur. Cognitio perfecta omnium rerum per analysin non nisi eius est cui omnium rerum synthesis debetur, id est Dei. Analysis impeditur in rebus Physicis, quia experimenta ignoramus, nec nisi aut casu aut multo impenso tempore invenimus. Quare in physicis nihil nobis ita datum est, ut clare distincteque cognosci sit in nostra potestate. Adde idiosyncrasias et varietates subjectorum. In agendis omnibus generaliter Analysis plerumque non potest adhiberi, quia multi nimis temporis res est, et infinita sunt quae in calculum adhiberi debent, adde aliud malum, quod rigore methodi analyticae multa adhiberemus in calculum quae res postea ostenderet esse aliena, haec autem ab homine promto et ingenioso statim ab initio rejiciuntur. Imaginatione quoque forti, seu memoria opus est, sed maxime reminiscentia quae rerum similium admoneat. Alioqui semper libris seu catalogis opus foret. In quaestionibus politicis generalibus, sed omnium maxime in Iuris quaestionibus certissima perfectissimaque est analysis, item in quibusdam Metaphysicis. Quod ad Arithmeticam et Geometriam in iis sunt quaedam analysis impatientia, in illa ob multitudinem, in hac ob infinitatem rerum considerandarum, est enim in Geometria, Arithmetica infiniti. In primis autem scientia serierum seu progressionum analysin recusat. In Geometria analysi non invenientur nisi forte per Arithmeticam infinitorum prima Elementa, ut 47. Euclidis, item 3 Angulos esse 2 rectis aequales in triangulo nemo opinor per analysin seu calculum, sed par un hasard quasi, conjectis in hunc ducendarum linearum modum oculis invenerit. Hoc ergo inveniendum ad definitionem Analyseos supra positam, ut in ea nihil inveniatur casu. In ipsa Analysi Geometrarum defectus hi sunt, primum in ipsis speciebus defectus est in divisione per binomia, malum enim est quod si multiplices per binomia multiplicatio fieri potest per quodlibet separatim, at non si dividas, v.g. a / (b c) nunquam finito numero quantitatum, ubi tantum simplex divisor exprimes. Alterum malum est quod nulla potest fieri additio et subtractio inter surda et integra, vel surda et surda, v.g. 1 - Rq2, vel Rq3 - Rq2; si inde fieri posset Rq ex binomio educenda, id saltem bonum foret, v.g. si ex Rqa - Rqb fieri posset Rq, c - d. Ita enim statim quadrando ipsum et alterum terminum aequationis eliminarentur omnes quantitates surdae, cum alias ex Rq3 - Rq2 non possint eliminari surdae, si enim ducantur in se fiet 3 2 - 2Rq6. Quae si rursus quadrentur, fiet 25 24 - 4Rq150 et si rursus quadrentur, fiet 2401 2400 - 8Rq, 2401 x 150. Quodsi aliquando contingeret multis istis multiplicationibus perveniri aliquando casu ad numerum exacte quadratum, tunc poterit ex radicibus pluribus surdis fieri una, sed ea multorum (graduum) v.g. quadrato-quadrata etc. Et hoc secretum Analyseos foret definire, quando hoc fieri possit, et forte datis quibusdam radicibus surdis adjungere tertiam ita comparatam, ut omnes simul fiant summabiles, ita restabit solum una Radix surda addita in altera parte aequationis. Observatio est maximi momenti. Dicamus: Rq9 - Rq4; inde fieri potest Rq, 4 9 - 2Rq36 = Rq, 13 - 2Rq36. Caeterum exemplum alibi exhibui occasione circuli, ubi duae Radices simul una sola exhibentur, ipsis aequivalente, etsi alioquin sint irreducibiles, et occasione talium exemplorum methodos ejusmodi cogitare opus est. Quod dixi de divisione per binomia non procedente etiam sic exprimi potest, quod scilicet ex data ratione partium non potest colligi ratio totorum. At ille in Analysi quoque defectus est insignis quod saepe scire non possumus an non eo usque variari queat aequatio, additione, abjectione, multiplicatione etc. ut plene fiat reducibilis seu divisibilis. Et fortasse omnis aequatio in rei veritate est reducibilis ad planam, si nos sciremus quousque ^nexaltariö variarique necesse sit in eum finem. Denique multa sunt problemata infinitorum quae cognita hactenus analysi solvi non possunt, ut summam invenire infinitarum linearum crescentium, ut Rq1, Rq2, Rq3, etc., at tales summas invenire possumus per lineas, ita illam quoque differentiam inter has lineas, etc. Ita quadrans quoque circuli certo modo linearum ejusmodi summa est. Ita ipsae curvae lineae; ut alibi observavi. Talium propositionum quae non analysi sed sola synthesi Geometrica condi possunt, fieri debet catalogus, ut appareat quomodo interim saltem per lineas ista possint solvi, quemadmodum plures duabus medias proportionales, quando problema planum non est, itidem per lineas non pure Geometricas, id est ut ratio illa seu constructio ad rectam pura non detur, exhibemus. Ut continuis quas supra dixi quadrationibus etc. perveniatur ad numerum exacte quadratum, necesse est tandem ita fieri ut alter alterum, vel uti est, vel divisus, vel etiam per fractionem aliquam multiplicatus, metiatur. Nam si per numerum simplicem multiplicatus metitur, jam tum metitur. Observavi enim Theorema notabile: Si duo numeri in se invicem ducti faciunt quadratum, etiam se dividentes faciunt quadratos. Quodsi jam ipsi non sunt quadrati, ut 18 et 2 qui faciunt 18 x 2 = 36: Non poterunt esse quadrati dividentes 18 / 2 nisi se exacte metiantur. Sumamus tamen exemplum 9 x 16, est quadratum = 144: Possunt dividentes facere quadratum etsi se non metiantur, ut 18 / 32 (facit) 9 / 16. Si posset ergo in casu aliquo qualis propositus 3 2 ita dividi vel multiplicari per numerum quendam aliosque plures, integros vel fractos, ut producti eius quadratum multiplicatum per 6 faciat quadratum, habebimus propositum, et poterunt eliminari Radices surdae. Ergo opus est solutione huius problematis: Datis duobus numeris, alium, unius eorum multiplicem reperire, cuius quadratum in alterum ductum faciat quadratum. At malum in eo est, quod nunquam quadratus ductus in non quadratum, facit quadratum. Imo non opus est quadratum unius in alterum ductum facere quadratum, sufficit ipsum simpliciter in alterum ductum facere quadratum. Ergo datis 3 2 - 2Rq6 quaeratur multiplex de 5 vel cuius multiplex sit ipse 5 integer vel fractus, qui ductus in 6 producat quadratum. Talis est ipse 6, ergo pro 5 substituatur 6, fiet 6 - 2Rq6. Imo error, antequam debeat duci in 6 debet reddi quadratus. Recte ergo supra, et redit difficultas prior. Ubi ergo numerus cuius quadratum ductum in 6 faciat quadratum, is numerus non potest integer, nec potest esse quadratum, nisi per reductionem, v.g. 6 / 54 est quadratum etsi non appareat, si ducas in 6 producetur 36 / 54, sed hoc pacto inferior postea non est quadratum. Nunquam tota fractio est quadratum, nisi vel uterque vel neuter terminorum sit quadratum. Ergo 6 multiplicetur per 1 / 54. Sed hoc non est quadratum, etsi productum fiat quadratum. Ideo necesse est ut fractio data tam ante multiplicationem quam post multiplicationem reduci possit ad quadratum, quod fortasse impossibile. Huc ergo breviter reducitur problema: Dato numero non quadrato, invenire alium quadratum, ita comparatum, ut his duobus numeris in se invicem ductis (vel per se invicem divisis) productus sit quadratus. Si tale problema solvi posset, universaliter, possemus semper plures radices surdas reducere in unam, et per consequens eliminare omnino radices surdas.