Aus und zu Galileis Discorsi

Gal. Dial. 2. Mechan. p. 82. 83. ed. Bol. 1656. Si pondera sint in reciproca ratione distantiarum aequiponderare probat methodo, ut mihi videtur obscura, et male secura, cum sint aliae in promtu. p. 102. Inquirit eaedem vis minusne an plus, an idem agant in rumpendum v.g. super genu lignum, si genu non in medio, sed in extremis locetur. Id ille intricatus, ego ita persequor. Esto medium a extremitates b c in quibus pondera applicata, aequalia, sufficientia praecise ad rupturam. Supponatur genu poni in extremo b applicatis iisdem viribus c tantum, omissis b. Patet duplicari distantiam ac. Ergo duplicari quoque vires, et ideo rem eodem recidere, sive genu in medio, sive quam remotissime a medio ponas. Sed nunc mutemus calculum, supponamusque non pondere appenso in c et b sed proprio trabis pondere rumpi debere, ibi vero alius orietur calculus. Nimirum posito genu sub b Trabis seu prismatis bc longitudo erit duplicata, ergo vis quadruplicata. Cum antea retento b fuerit tantum duplicata. Hinc colligo statim, regulam quandam generalem notabilem omne prisma sustentatum in medio ad seipsum sustentatum in altero extremorum, quadruplam habere rationem firmitatis, seu posse esse quadruplo gravius, ut non rumpatur. Quod si in utroque extremo suffulta sit trabs, sed non in medio, suffulta inquam, sed libere seu non infixa, ita scilicet ut scissa in a, casura sit pars ba circa centrum b et ac circa centrum c, ajo eam esse rationem resistentiae Trabis in utroque extremo suffultae ad suffultam in medio, quae est resistentiae absolutae seu liberae in data sectione a ad centralem. At si b et c fixae sint in extremis, tunc duplicanda est centralis eique addenda absoluta, productum erit resistentia quaesita. Supponamus brachium ac vel ab quod est ut 3 habere vires ut 9 utrumque simul ut 18 posito genu vel fulcro in a ponatur postea in aa, manifestum est brachium aac habere vires ut 16 et brachium baa ut 4 summa 20. En vires rumpentes auctas; seu minorem resistentiam ad proprium pondus. Galilaeus in his calculandis erravit, ni fallor, quod remoto proprio pondere si simpliciter super genu frangatur muteturve genu locus alium calculum fore putat, quod non est. Summae quadratorum duorum numerorum eundem numerum totalem constituentium majores sunt, quando differentia duorum numerorum partialium major est ut 5 et 5 = 10 25 25 = 50 Jam 4 6 = 10 16 36 = 52 Hoc ita generaliter demonstrabitur: a a a a = 2a a - b a b. Quadrata sunt: a b - 2ab a b 2ab. Summa 2a 2b. Regula ergo generalis ita concipietur: accedere potentiae rumpenti (seu decedere resistentiae) tantum, ut accessio sit ad dimidium potentiae prioris, ut est quadratum differentiae linearum ad lineam dimidiam. Et inquiri poterit figura, in qua resistentia ubique sit eadem, ubicunque fulcrum supponas. Item inveniri potest punctum fulcri, ut potentia rumpens tantum augeatur vel minuatur, dummodo non ultra quadruplum. Potest enim progressio esse incrementi in infinitum, ut tamen maximum sit quadruplum. Ponatur b esse = a, erit a - b = 0 et a b = 2a. Cuius quadratum 4a. Galilaeus qui supponit non de proprio Trabis pondere sed de ponderibus seu potentiis applicatis simpliciter, verum esse, ut augeatur vis, remota manu a fulcro, mihi videtur errare valde. Et hinc corruere problema quod habet p. 103 invenire punctum in cylindro ex quo suspensum pondus datum eo maius quod in medio rumperet, sit sufficiens minimum ad rumpendum. Consideratio talis est, mutata jam sentiens tota a fulcro medio ad pondus medium, nescio quo saltu, sine admonitione: Si Trabs acb ita fixa sit in utroque extremo a, b, ajo pondus appensum in medio c debere superare resistentiam centralem primum in ad quasi abesset totum cbe et solum esset brachium adc fixum in ad, deinde eodem modo resistentiam be et proinde si c sit in medio priorem ad duplicatam, et quidem has contra has resistentias calculari debet pondus c, quasi ex vecte dc vel ec sed denique etiam vincere debet resistentiam, quae est in cf. Quaestio est jam an resistentia in cf sit absoluta an centralis. Hoc jam dependet a longitudine ac vel cb si enim c parum distet a centro, et ideo pondus in c sit magnum, centralis conatus parum augebit eius vires, imo revera nunquam auget; an dicemus rectam quidem conari, sed effectum esse centralem, esset, si in medio tanta sit crassities vel potius grossities, ut resistentia absoluta vincat centralem in extremis quod et aliter per maximam variationem obtineri potest. Sed supponamus saltem eandem connexionem in extremis quae est in medio, vel saltem non minorem. Hoc casu non recta perfringet potius, quam centrali conatu. Et potest ea fingi figura, quasi dolii vinarii in fine se contrahentis vel aliter, ut semper cogatur pondus impositum eligere rupturam centralem. Sed nondum propterea tamen invenio modum efficiendi, ut pondus quocunque in loco imponatur eandem semper resistentiam inveniat, nisi non sit trabs transversa, sed pavimentum planum vel curvilineum circumcirca fultum, in quo id per calculum obtineri posset. Prisma est aequiresistens si conatus non sit centralis. Si sit centralis, nullo modo potest esse resistentia aequalis ad idem pondus. Quare fateor me nondum intelligere hunc locum Galilaei, ut nec Dn. B. satis intelligere fatetur. Si sermo est de ipsius corporis proprio pondere tale quid calculari posset, sed quo usu? Galilaeus putabat in Dial. 1. non assurgere aquam ultra 18 ulnas quia scilicet pondus eius ipsiusmet cohaesionem superaret. Aquam autem cohaerere ait, idque a se demonstratum, nullo alio vinculo, nisi vacui. Hinc calculari ait posse et reliquorum resistentiam an a fuga vacui, aut quantum ultra, quatenus scilicet maioris chordae pondus sustineat. Galilaeus ex principio indivisibilium suppositorum explicare conatur volutionem circulorum. Gal. dial. 1. p. 22. Edit. 1656. Ital. dicit definitiones Geometricas non esse nisi compendia loquendi. Adde quae Pascal. in Triang. Arithm. de variandis enunciandi modis. Galil. dial. 1. p. 21. egregie demonstrat punctum quoddam cuidam lineae, nempe circumferentiae cujusdam circuli aequale esse. Si rectangulum ABED, semicirculus AFB, Triangulum CDE circumagantur circa CF, rectangulum generabit Cylindrum, semicirculus hemisphaerium, Triangulum conum. Auferatur Hemisphaerium ex cylindro, restabit locus hemisphaerii vacuus, inter conum et scutellam quandam ex cylindro residuam, quae erit cono aequalis, et eodem modo conus HCL plano utcunque alto GN abscissus, et idem est quantacunque sit linea CA. Iam si GN sit summae ACB ita propinqua, ut differentia sit minor quolibet dato, conus iste CHL evanescet in punctum, et scutella ex cylindro relicta evanescet in Circulum. Erit ergo ultimus conus aequalis ultimae scutellae, seu punctum circulo. Haec satis demonstrant, puncta nihil esse, nec utendum nisi corporibus minoribus quolibet dato, ex quibus infinitum latitudine, sed angustissimum instar scutellae, potest esse aequale, alteri et latitudine et longitudine minore quovis dato, infinitum aequale indivisibili. Hoc etiam esse demonstratum a Luca Valerio fatetur. Gal. Dial. 1. p. 23. Bologn. 1656. Lucae Valerii tract. de centro gravitatis solidorum, mire laudat, vocat alterum Archimedem seculi nostri. p. 24. Indivisibile additum indivisibili nil efficere nisi addantur infinita indivisibilia. In infinito non esse nec maius nec minus ait p. 25. quod mihi videtur contra ea esse, quae ait ipse Galilaeus. Putat infinitum non tantum non esse maius alio infinito, sed nec finito. Et demonstratio est notanda: In Numeris infinitae sunt radices, infinita quadrata, infiniti cubi. Porro tot sunt radices quot numeri. Et tot sunt quadrata quot radices. Ergo tot sunt quadrata quot numeri, seu tot numeri quadrati quot numeri in universum. Quod est impossibile. Hinc sequitur aut totum non esse maius parte in infinito, quae est sententia Galilaei et Gregorii a S. Vincentio quam probare non possum, aut ipsum infinitum esse nihil, seu non esse Unum nec totum. An dicemus: distinguendo inter infinita, scilicet infinitissimum, seu Omnes numeros esse quiddam implicans contradictionem, nam si totum sit, intelligi potest factus ex numeris omnibus continue in infinitum, qui erit longe major omnibus numeris seu numero maximo. An dicemus non debere dici aliquid de infinito, ut de toto, nisi ubi adest demonstratio. Galilaeus addit nec infinitum esse maius finito, quia in millione numerus quadratorum non est centesima pars millionis, at in denario numerus quadratorum (1. 4. 9.) est pene tertia, in novenario tertia pars; radicum, in unitate aequatur numerus radicum et quadratorum. Hinc millio magis abit ab infinito, quam denarius, cum in infinito aequalis sit numerus radicum et quadratorum. Ad quaestionem an partes continui sint finitae, an infinitae respondet Galilaeus neutrum esse, sed tales ut respondeant cuilibet numero dato ( seu indefinitas ).