LEIBNIZ AN ANTOINE ARNAULD

Monsieur

Voicy la reponse à vos dernieres objections. Je me flatte d'avoir entierement satisfait à vos doutes, qui estoient venus pour la plus part de ce que je ne m'estois pas encor assez expliqué. J'ay inseré souvent vos propres paroles, ce qui a grossi la reponse. J'espere que vous reconnoistrés au moins que je ne decline pas les objections. Comme j'avois establi ces choses il y a long temps, et prevenu si j'ose dire la plus grande partie des difficultés, je n'y ay pas employé beaucoup de temps. Ce que je dis, Monsieur, à fin que vous ne me croyiés pas trop enfoncé en ces matieres au depens d'autres occupations necessaires. J'ay esté occupé presque toute cette année à voir des Archifs et des vieux papiers. Ce qui n'a pas trop rapport avec les recherches de la nature.

J'ay trouvé des grands supplemens qui manquoient dans les editions de l'Histoire de Ditmar Evesque de Mersbourg qui vivoit du temps de l'Empereur Henry surnommé le saint; j'ay trouvé aussi un monument tres remarquable, qui prouve que nos Archevesques Electeurs estoient autresfois censés Cardinaux nés. Et je m'estonne qu'un droit de cette consideration se soit perdu. Pour ne rien dire de mes meditations en jurisprudence, où je pretends de mettre un jour au net la doctrine des preuves et des indices; et sur tout de monstrer comment on doit estimer les degrés de probabilité que je ne considere pas comme Aristote et quelques Casuistes qui ne la definissent que par rapport à l'autorité; mais je la considere à peu prés comme ceux qui ont êcrit geometriquement de Alea.

Mais je ne sçay si je vous ay jamais parlé d'un dessein que j'ay dés ma jeunesse, et au quel j'ay tousjours travaillé sous main sçavoir d'une nouvelle Characteristique par le moyen de la quelle tout raisonnement seroit reduit à une maniere de calcul. J'en ay déja des essais surprenans, et je pretends que cela doit reussir en metaphysique et en morale aussi bien qu'en Geometrie. Mais dans la Geometrie même je vous diray que j'y forge une façon de calcul tout à fait different de l'Algebre, et qui a sur elle des grands avantages. Car les lettres que j'employe dans ce calcul me signifient non les grandeurs, mais les points, et il exprime proprement et immediatement non magnitudinem sed situm. Et au lieu qu'en reduisant les signes au calcul d'Algebre, on passe des situations aux nombres, et lors qu'on a trouvé une solution ou equation on repasse des nombres à la situation, et on est souvent encor bien eloigné de la construction, parce qu'on force en quelque façon la nature par l'Algebre en reduisant tout à l'Arithmetique et perdant par là les avantages que la Geometrie en elle même pourroit fournir. Cela fait que l'Algebre nous mene souvent à des grands detours. De plus l'analyse Geometrique usitée jusqu'icy suppose les Elemens, et par consequent la resolution n'est pas poussée à bout comme dans la mienne, dont le calcul demonstre les Elemens mêmes; et en calculant je me represente à tout moment si je veux des figures ou mouvemens, comme si je tirois autant de lignes et faisois autant de modelles, qui sont comme peints et representés par le moyen de ces caracteres. Et lors que je trouve une solution, la construction s'exprime par là même. Comme c'est là le vray moyen de menager l'imagination, je croy que c'est par là, ou jamais, qu'on entrera dans la structure interieure des corps naturels.

Au lieu d'equations et des proportions je me sers de[s] congruences, des determinations, et des similitudes. Et je me fais de nouveaux axiomes. Par exemple Similia quorum determinantia congrua sunt, inter se congrua sunt. J'ay une plaisante definition de la similitude, telle qu'on l'entend chez les Geometres et par le moyen [Textverlust einer Zeile]

Je demonstre d'abord, que les Triangles qui ont les angles egaux ont les costés proportionnels en supposant seulement que la somme des angles de tout triangle est la même (sçavoir egale à 2 droits) ce qu'Euclide ayant demonstré en premier livre, il en auroit pû inferer d'abord cette proposition qu'il a differée jusqu'au sixieme. Mais le principal est que les operations de mon calcul [representent] les mouvemens et les aspects pour ainsi dire, et on pourra par là exprimer exactement des machines fort composées et toutes leur fonctions. Enfin c'est une chose surprenante, dont je croy que jamais homme s'est avisé.

Pour ce qui est de l'Analyse commune, où les lettres signifient les grandeurs, j'ay encor des grands avancemens. Car j'employe des Equations où l'exposant est luy même une inconnue, comme lorsque je dis x^x + x = 30, car 3³ + 3 = 27 + 3 = 30. J'exprime encor par ces Equations les lignes propres à donner le tetragonisme du Cercle. J'ay encor d'autres Equations, que j'appelle differentielles, dont j'ay donné un essai dans les Actes de Leipzig, en exprimant par une equation la nature de la cycloide et suivant cette equation je demonstre toutes ses proprietés par un calcul et j'ay tiré de cette façon de calculer une methode de trouver les touchantes qui passe infiniment toutes les autres, même celles de M. Slusius et de M. Hudde. Car les irrationelles et fractions ne m'arrestent point au lieu qu'ils sont obligés de les oster premierement. Ce qui fait souvent monter le calcul à des prolixités epouventables. Or les lignes qui ne peuvent estre exprimées que par le calcul extraordinaire que j'introduis ce sont celles que j'appelle Transcendentes; parce qu'il est impossible d'exprimer leur nature par une equation d'un certain degré. Et c'est par ces lignes qu'il faut construire les problemes qui sont nullius certi gradus, par exemple x^x + x = 20, ou trouver un nombre, qui augmenté par sa puissance denominée par luy même fasse 20. Ce nombre non seulement n'est pas rationel, mais encor il n'est pas algebrique, c'est à dire on ne le sçauroit exprimer par aucune equation de quel degré qu'elle soit et cependant, on le peut donner par une construction geometrique en se servant des lignes que M. des Cartes appelleroit mecaniques mais que j'appelle Geometriques. Transcendantes parce qu'on les peut construire exactement par points aussi bien que par le mouvement qui leur est propre.

J'ay trouvé dernierement parmy mes vieux papiers une lettre de M. Hugens, où il approuve ma Quadrature Arithmetique et ne nie pas qu'elle ne soit exacte si on prend toute la progression. Ainsi je croy que dans le fond, il ne s'eloignera pas du jugement que vous me fistes l'honneur de m'envoyer, et qui estoit tres solide. Je ne sçay si on trouvera jamais une expression plus simple. Cependant j'appelle cette quadrature Arithmetique, par ce qu'elle ne donne point de construction exacte mais seulement une connoissance ou expression, qui éclaire l'esprit.

Dans la reponse cyjointe à M. Catelan j'ay adjouté un probleme de mecanique assez simple, dont pourtant les Analystes communs auront assez de la peine à venir à bout. La ligne qu'on demande n'est pas Transcendent mais au commencement on ne sçait pas encor si elle ne l'est pas, et à moins d'avoir une methode approchante à la mienne (dont j'ay donné les ouvertures dans les Actes de Leipzig) il faut estre bien habile pour le resoudre. Nous verrons si M. Catelan y osera mordre, et s'il trouvera aisement des gens qui luy en pourront fournir la solution. J'excepte tousjours les principaux Geometres comme Mrs Hugens, Hudde, Slusius et leur semblables. Car il[s] en sçavent un peu plus que ceux qui croyent que tout le secret de l'Analyse consiste dans des Methodes celles que Bartholin ou les Elemens de Mathematique que le P. Malebranche fit publier, enseignent. Ou je me trompe fort, ou il me semble que les Cartesiens n'avancent gueres aujourdhuy ny en Physique, ny en Geometrie, parce qu'après avoir entendu legerement les ecrits de leur maistre qui estoit sans doute un Grand homme, mais qui pourtant estoit bien loin de ses pretensions tant en Geometrie, qu'en Physique, ils s'imaginent de tenir toute la science par les deux bouts. Un peu de paresse et de vanité se mesle de ce faux jugement et fait grand tort aux progrès des sciences. J'estime infiniment M. des Cartes, et peutestre avec plus de connoissance de cause que beaucoup de ses disciples, mais le temps nous a appris de quoy aller plus loin outre que luy même ne dissimule pas de n'avoir pas publié sa methode ny ses meilleures adresses. C'est pourquoy ceux qui se contentent de ce qu'il a donné si ce sont des gens, qui font profession de ces sciences, et les doivent approfondir, se trompent fort. Et il ne faut qu'un probleme tel que le mien pour les desabuser. Pour reveiller ces Messieurs de leur Lethargie si prejudiciable aux avancemens des sciences, j'avois donné mon objection contre leur grande loy de la nature. M. Catelan a [peine] pour la defendre, mais il n'a pas encor compris pourtant ou bien il a dissimulé la force de l'objection qui est pourtant simple.

Je souhaiterois fort, Monsieur, que vous puissies avoir un moment de loisir, à fin de pouvoir juger exactement de mon objection, et je la sousmettray volontiers à vostre jugement. J'ose même vous en supplier pour l'amour de la verité parce que je sçay que vous la comprendrés aisement et la matiere est assez importante. Es folgt unmittelbar der wieder gestrichene Ansatz einer neuen Fassung:

Monsieur

Vous aviés receu ma reponse [bricht ab]