LEIBNIZ FÜR OTTO MENCKE ZU JOHANN CHRISTOPH STURM

[L¹ ]

Ad p. 181 seq. Mathesis enucleata Cl. Sturmii

Ad Sturmianam objectionem mihi hactenus ignoratam non difficilis responsio est. Res huc redit:

1) Probat Clarissimus objectionis autor, quod et per se patet, circuli aream posse concipi ut summam infinitarum ordinatarum irrationalium.

2) Inde consequi circulum esse incommensurabilem quadrato, vel circumferentiam esse incommensurabilem diametro.

3) Ego vero dixeram quadrato circumscripto existente 1, circulum esse 1 ─ $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}$ etc.

4) Quod ille miratus subjicit subdubitans tamen: posset videri hanc summam esse uno numero effabilem,

5) quandoquidem partes omnes sunt fractiones ad communem denominatorem ­revocabiles.

6) Et tamen notat meipsum fateri circulum non esse quadrato commensurabilem.

7) Ad haec respondeo ad primum id a me concedi,

8) sed negari a me secundum. Etsi enim putem circulum esse quadrato incommensurabilem, non tamen id puto tali argumento posse probari.

9) Nam ratiocinia de communi mensura vim concludendi habent solum in expressionibus finitis.

10) Et instantiae dantur innumerae. Exempli causa pari argumento conficeretur parabolam esse rectangulo circumscripto incommensurabilem, nam et ipsa conflatur ex ordinatis irrationalibus, et tamen constat eam duabus circumscripti rectanguli tertiis constare.

11) Quoad tertium assertio mea de serie 1 ─ $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}$ etc. demonstrata est et a primariis Geometris approbata.

12) Quoad quartum fateor id posse videri rem obiter aspicienti, uti etiam nonnullis in Gallia visum fuit, sed rem accuratius meditanti aliud appariturum.

13) Nam non omne quicquid per seriem infinitam numerorum rationalium exprimi potest, id ipsum est rationale.

14) Imo nulla est quantitas irrationalis, quam non possim tali serie exprimere.

15) Nec possibile est hoc loco (quod num. 5 dicitur) fractiones omnes ad communem denominatorem revocare, cum sint infinitae.

16) Quae etiam causa est, cur irrationalia per tales series exprimi possunt; neque enim reperitur sic communis mensura nisi infinite parva.

17) Itaque quoad sextum cum viderit doctissimus Sturmius me ipsum agnovisse quod illi materiam objectionis praebuit, mallem dubitationem suam mihi privatim proposuisset vel saltem in actis eruditorum ne in libro alioqui perutili scrupulus sine causa justa discentibus injiceretur.

18) Potuisset etiam experientiae judicio rem summittere quod fecit Dominus Ozannam in Gallia qui etiam dubitaverat de veritate mei theorematis, sed calculo ad magnos usque numeros subducto omnia quadrare deprehendit.

19) Et cum mea haec propositio sit tantum corollarium generalioris itidem a me repertae, poterat commodius adhuc generalior propositio experientiae testimonio comprobari. Nimirum si radius sit Unitas, et tangens arcus circuli sit t, erit arcus ipse $\frac{t}{1}-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}<+4>-\frac{t^7}{7}$ etc. modo t sit minor radio. Ita sine tabulis sinuum, ex data tangente licet invenire arcum, quod etiam experimentis comprobatum est. Ita si tangens sit pars decima radii, arcus ei respondens erit $\frac{1}{1[0]} - \frac{1}{3000} + \frac{1}{500 000} - \frac{1}{70 000 000}$ etc. Unde sequitur $\frac{[299]}{3000}<+4>$ exprimere arcum tam prope, ut defectus sit minor parte 500 000 ^ma radii.

[L² ] G. G. L. *Am Kopf der Seite von Leibniz' Hand: nicht abgangen De commensurabilitate et incommensurabilitate ex seriebus* *infinitis colligenda occasione objectionis V. Cl. Joh. Chr. Sturmii~~

~~Ignota mihi fuit objectio Sturmiana extans p. 181. Matheseos enucleatae, donec a celeberrimo* *Guglielmino per communem amicum doctissimum et officii plenissimum, Antonium Magliabecchium indicaretur. Dixeram ego quadrato circumscripto existente 1, Circulum fore 1 ─ $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}$ etc. Hic celeberrimus Sturmius, (subdubitans tamen), objicit: ~~posse videri* hanc summam esse uno numero effabilem, quandoquidem partes omnes sint fractiones ad communem denominatorem revocabiles. Et tamen notat me ipsum fateri circulum non esse commensurabilem quadrato. Idque ipse etiam ex eo probari putat, quod Circuli area possit concipi, ut summa infinitarum ordinatarum irrationalium.

Ad haec respondeo duo assumsisse virum egregium quod non sunt admittenda; primo omne aggregatum terminorum rationalium multitudine infinitorum esse rationale, secundo omne agregatum terminorum irrationalium multitudine infinitorum esse irrationale. Utrumque instantias contrarias patitur; nam dari possunt series infinitae rationales cuivis numero finito irrationali dato aequales, exempli causa si quadrati latus sit 1, poterit diagonii valor $\sqrt{2},$ exprimi tali serie: $\sqrt{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{1\cdot 2;4}+\frac{1\cdot 3}{1\cdot 2\cdot 3;8}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4;16}+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5;32}-\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6;64}$ etc. seu Am Rande hat Leibniz die im folgenden Reihenausdruck verwendeten Werte für die Nenner berechnet: 16·8=128, 128·2=256; 256·2=512; 512·6=3072. $\sqrt{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{5}{128}+\frac{7}{256}-\frac{[63]}{3072}$ etc. ubi si series continuetur aliquousque, error semper erit minor proximo termino, seu primo omissorum, nam ipsa series est alternatim justo major vel justo minor; et ita continuata serie error erit minor dato quovis, ut experienti patebit. Adeoque tota series rationalium aequatur hic quantitati irrationali; nec, licet terminos continue addas, revocando fractiones ad communem denominatorem, totam seriem unquam absolves. Nec proinde colligi hac ratione potest totam seriem esse rationalem, etsi a rationali quantitate ad eam quantumvis accedi possit.

Auf der Rückseite des Manuskripts unten rechts, quergeschrieben, hierzu die folgende allgemeine Vorberechnung:

ⁿ ^&!k0 ^&!=(v6,v7,2) ^@+ a + b   = aⁿ + \frac{n}{1} aⁿ⁻^1b^1 + \frac{n·n-1}{1·2} aⁿ⁻^2b^2 + \frac{n·n-1·n-2}{1·2·3} aⁿ⁻^3b^3 etc.

n = 2 fiet a² + 2ab + b²

n = 3 fiet a³ + 3a²b + 3ab² + b³

sit n = $\frac{1}{2}$ et a = b = 1 et ⁿ ^&!k0 ^&!=(v6,v7,2) ^@+ a + b   = $\sqrt{2}$ fiet Dazu am oberen Rand die Vorberechnung: <+6> $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}[-]\frac{3}{2}[-]\frac{5}{2}<+4>$ n n-1 n-2

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{1;2}-\frac{1}{1\cdot 2;4}+\frac{1\cdot 3}{1\cdot 2\cdot 3;8}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3[\cdot 4];16}+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4[\cdot 5];32}$ etc.

Vicissim dari possunt infinitae ordinatae irrationales, componentes aream rationalem. Exemplo sit parabola cujus parametro existente rationali, et partibus axis seu abscissis infinite parvo intervallo semper aequali differentibus, tunc ordinatae regulariter (hoc est certis tantum exceptis) erunt irrationales, et tamen ex iis componetur area rationalis, quippe quae constat duabus tertiis rectanguli circumscripti, quod erit rationale si ultima ordinata, sit suae abscissae commensurabilis. Idem in infinitis aliis paraboloeidibus aliisque figuris locum habet. Etsi igitur concedam circulum esse quadrato diametri incommensurabilem (quod verum est non obstante mea serie infinita rationali circulum aequante) demonstrationi tamen Sturmianae assentiri non possum.

Itaque mallem Vir doctissimus et humanissimus mihi dubitationem suam ante editionem communicasset quam lectoribus non satis in haec mysteria admissis sequius aliquid de meo theoremate suspicandi occasionem praebuisset. Quamquam illud a tot magnis geometris probatum, extra aleam positum sit, atque indubitata demonstratione nitatur, de qua duarum Regiarum societatum Mathematicis insignibus satis constat; cum praeterea dominus Osannam calculo satis longe producto rem experimento comprobarit. Libenter tamen excuso virum doctissimum, in re praesertim tam perplexa, cum doctrina infiniti nondum satis explicata publice extet. Et simile quid contigisse video ei qui relationem de Geometria practica domini Osannam Diario Gallico insertam composuit. Is enim cum retulisset quae de theoremate meo d. Osannam (dissimulato licet nomine meo) suo illi libro inseruerat, subjecit hinc constare posse etiam pertinacissimo cuivis circulum quadrato diametri, esse commensurabilem. Quod tamen minime sequi, ex dictis manifestum est.