LEIBNIZ AN NICOLAS MALEBRANCHE

Au R.P. Malebranche 4 Aoust 1679.

Mon Reverend Pere

Je ne sçavois rien de la retraite de Messieurs Arnauld et Nicole, et je vous supplie de m'en faire sçavoir les particularités quand vous les sçaurés.

Les Conversations Chrestiennes de M. l'Abbé Castelet, et les Meditations Metaphysiques de M. l'Abbé de Lanion ont tant de rapport à vos pensées de la recherche de la verité, que je ne croy pas m'estre fort trompé en vous joignant. Je vous supplie de me faire sçavoir un peu plus de particularités de ces Messieurs et de leurs semblables, car je prends grand plaisir à connoistre des personnes de cette force. Je suis bien aise que des gens d'esprit et de merite s'appliquent à la metaphysique, car il y a encor des choses importantes à découvrir. Vous passés finement tout ce que j'avois mis en avant pour entrer en cette matiere.

A l'egard des racines des Equations voicy mon opinion: Je tiens pour impossible de resoudre toutes les equations geometriquement, par la seule invention des moyennes proportionnelles. Mais je ne tiens pas pour impossible d'exprimer la valeur de l'inconnue de l'equation generale de chaque degré, par une formule irrationnelle à l'exemple des racines de Cardan. Car je croy que les racines de Cardan sont generales pour l'equation Cubique non obstant l'imaginaire qui entre quelques fois dans l'expression: et je croy de vous en avoir dit quelque chose de vive voix. Je distingue l'Analyse (c'est à dire l'expression des valeurs) de la Geometrie, c'est à dire des moyens de construire. Je tiens la valeur de l'inconnue, trouvée analytiquement, lors que je la puis exprimer absolument et purement par une formule veritable, car quoyque cette formule ne soit pas tousjours propre à la construction, elle ne laisse pas d'estre tousjours le but de l'Algebre, qui cherche les valeurs pures, et on n'est jamais arrivé à la connoissance parfaite de l'inconnue qu'on cherche (faisant abstraction des lignes et nombres) que lors qu'on a eu cette valeur, par exemple: x³ * + px aequ. q. equation generale, dont la* *racine est: x aequ. + $\sqrt[3]{\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2+\frac{1}{27}{p}^3}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}q-\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2+\frac{1}{27}{p}^3}}$ qui est la veritable valeur de l'inconnue en tous les cas, non obstant la variation des signes. Et il faut bien qu'elle soit la racine, puisqu'elle satisfait tousjours à l'equation. Leibniz fährt zunächst, wie in Kleindruck wiedergegeben, fort: il faut donc qu'elle en soit la racine, analytiquement enoncée. Mais à fin de venir au detail, et de vous faire voir* *comment les formules imaginaires qui entrent quelquesfois dans l'expression, ne nuisent point à la verité de la valeur generale, prenons x³* ─ 7x + 6 aequ. 0. c'est à dire faisons p aequ. -7. et q aequ. -6. et nous aurons

x aequ. + $\sqrt[3]{-3+\frac{10}{3}\sqrt{-\frac{1}{3}}}+\sqrt[3]{-3-\frac{10}{3}\sqrt{-\frac{1}{3}.}}</petit>$

Mais pour le vous prouver à priori: N'est il pas vray que 2 + $\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}$ est une grandeur veritable? ouy sans doute car elle vaut autant que 4. Or le cube de 2 + $\sqrt{-1}$ est $+2+11\sqrt{-1},$ donc $\sqrt[3]{+2+11\sqrt{-1}}$ est autant que 2 + $\sqrt{-1}.$ Tout de même $\sqrt[3]{+2-11\sqrt{-1}}$ est autant que 2 ─ $\sqrt{-1}$ donc $\sqrt[3]{+2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{+2-11\sqrt{-1}}$ est autant que 4. Ainsi si la racine de Cardan vous avoit donné cette formule x aequ. $\sqrt[3]{+2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{+2-11\sqrt{-1}},$ vous tireriés la racine cubique de $+2+11\sqrt{-1}$ et vous auriés + 2 + $\sqrt{-1}$ et de même de + 2 ─ $11\sqrt{-1}$ vous auriés + 2 ─ $\sqrt{-1}$ et joignant ensemble ces deux racines vous auriés x egal à

faut prendre garde que le quarré de $\sqrt{-1}$ est ─ 1 et le cube en est $-1\sqrt{-1}).$ Mais pour tirer la racine cubique ou autre d'un tel binome, comme $2+11\sqrt{-1},$ la regle de Schoten qui est à la fin de son commentaire, ne suffit pas, et il faut une autre que j'ay trouvée, et qui est sans comparaison plus generale et plus belle. Mais lors que la racine ne se peut tirer d'un tel binome imaginaire, la somme composée des racines des deux binomes imaginaires $\sqrt[3]{+a+\sqrt{-b}}+\sqrt[3]{+a-\sqrt{-b}}$ ne laisse pas d'estre tousjours une grandeur veritable, et la destruction de l'imaginaire se fait en effect virtuellement, quoyqu'on ne le puisse faire voir en nombres: mais ma regle d'extraction le fait voir au moins par une appropinquation aussi exacte que l'on veut.

Cela estant bien entendu vous ne trouverés plus etrange si je vous dis qu'on pourra trouver des racines generales pour les degrés superieurs, comme par exemple pour le cinquiême. En effect j'ay trouvé des essais en certains cas, et je puis donner les racines irration[n]elles de quelques equations indeprimables du cinquiême septiême neuviême degré etc. à l'infini. Par là j'ay reconnu une voye infallible pour arriver aux racines generales de quelque degré que ce soit. Mais pour en rendre le calcul aisé, il faudroit premierement se faire certaines Tables, que je n'ay pas encor eu le loisir de dresser.

J'avois toutes ces choses estant encor à Paris, où estoit aussi alors ce gentilhomme Allemand, dont vous avés entendu parler et dont je fais grand cas. Il est allé depuis en Italie, et revenu à Paris. Je les luy ay communiquées: et je l'ay encouragé à les pousser. Il avoit esperé auparavant de trouver des racines particulieres pour toutes sortes d'equations d'un même degré, trompé par nos auteurs qui asseuroient que les racines de Cardan n'estoient que particulieres dans le troisiême: mais je luy fis voir qu'elles sont veritablement generales, et qu'il est impossible d'en trouver d'autres pour les autres cas. Depuis ce temps-la il y a fort travaillé, et il m'en a fait rapport de temps en temps. Mais jusqu'icy il n'est pas encor venu à bout du cinquiême comme j'ay jugé par la lettre tres ample qu'il m'a écrit il y à quelque temps, à la quelle j'ay répondu en luy marquant ce qui empecheroit encor l'execution de son projet. La chose est plus difficile qu'on ne pense. Cependant j'ay demonstration du succés; mais il sera necessaire de faire certaines tables d'Algebre, autrement il faudroit trop de calcul. Ces tables que j'ay projettées seroient d'un secours merveilleux pour toute l'Algebre. Mais en voila assés. Je voudrois bien sçavoir si apresent M. le Duc de Roannez est à Paris; item si M. des Billettes se porte mieux ce que je souhaitte fort.