LEIBNIZ AN GERHARD WOLTER MOLANUS FÜR ARNOLD ECKHARD

Quae de Domino Eccardo Professore Rintelensi narrasti, mirifice me delectavere. Gaudeo enim habere nos in vicin[i]a virum cui satis otii, voluntatis, atque ingenii sit ad recte philosophandum. Quare, licet per se currentem, tua tamen autoritate et nostris applausibus, animandum censeo, ut in tam praeclaro instituto pergat. Cum enim Mathematicarum scientiarum non perfunctoriam notitiam habere, et inprimis in parte generali quam analysin aliqui vocant egregie versatum intelligam, spes est earum exemplo in caeteris quoque Philosophiae partibus aliquid quod nosse intersit, invenire aut demonstrare posse. Neque vero displicet, quod Cartesium prae caeteris probat: illud enim negari non potest demto ex veteribus Archimede, ex novis autoribus Galileo, nullum facile alium extare, qui tam praeclara ratiocinando invenerit. Fateor tamen multa me in Cartesio desiderare etiam post multiplices atque accuratas meditationes, neque de summa rerum cum eo, tametsi vellem, convenire posse. Neque enim admitto corporis naturam consistere in extensione sola, neque illam ejus periculosam admodum sententiam probo, quod materia omnes formas quarum capax est, successive, suscipiat. Illud vero mihi videtur admodum incongrue dictum, quod divina voluntate factum sit ut triangulum habeat tres angulos duobus rectis aequales, aut ut circulus sit capacissima figura isoperimetrarum. Quasi Deus hoc velut privilegium circulo dederit, quod potuisset in quadratum transferre. Quae satis certe arguunt autorem nostrum in veritatis intimas rationes non penetrasse. Intelligere autem mihi videor quo argumento ad haec inductus sit. Statuerat ille veritatis criterium: claram distinctamque perceptionem nostram. Itaque quod verum est, circulum esse capacissimam figurarum ejusdem ambitus, non aliunde agnosci potest, quam quod hanc ejus esse proprietatem clare distincteque percipimus. Quod si jam Deus ita finxisset naturam nostram, ut contrarium a nobis clare distincteque perciperetur; contrarium fuisset verum. Haec ille, quae minime probo. Sed nec Metaphysicum ejus principium universim verum est, quod eorum omnium de quibus cogitamus atque ratiocinamur, necessario in nobis sit idea; exempli causa, figurae mille laterum, aut entis perfectissimi: quo ille velut achilleo clypeo munitus omnes illos qui de ejus demonstrationibus existentiae divinae dubitavere, non sine supercilio sprevit. Eodem profecto argumento facile effecisset, impossibilium quoque in nobis esse Ideam, exempli causa Motus celerrimi: quo in numero etiam ens perfectissimum esse dicent, qui ejus demonstrationibus resistere volent. Ego quidem scio aliam hic longe esse Entis perfectissimi, quam motus celerrimi rationem: Cartesii tamen ratiocinationes imperfectas esse arbitror; multaque alia de suo addere debere, qui eas absolvere velit.

De re morali praeclare admodum scripsisse judico, revocatis atque explanatis Epicteti et veterum aliorum sententiis: Nititur tota res distinctione eorum quae sunt in nobis, et quae in nostra potestate non sunt: nam si ea solum desideraverimus quae penes nos sunt, nunquam successu frustrati dolebimus. Ut autem alia non nisi leviter expetamus, partim meditatione partim assuetudine efficietur. Est tamen in illis difficultas, nam hic pro certo sumitur actiones saltem mentis in nostra esse potestate, quod tamen non usque adeo liquidum est, potest enim venenum, et canis rabidi morsus, et casus gravis, et morbus omnem animi statum ita immutare, ut homo ex forti et sapiente, meticulosus et querulus imo furiosus et ut verbo dicam ex beato miser fiat. Quare tametsi concedam, crebra exercitatione hominem efficere posse, ut contentus sit in praesens; illud tamen efficere non potest philosophia ista, ut de futuro securi simus. Quod vero Cartesianae vel si mavis, Stoicae philosophiae (nam in re morali eadem est) adimo, illud non ideo omni philosophiae denego: puto enim rationes superesse sublimiores, neque ideo minus certas, quibus ni fallor solis, effici potest, ne tranquillitas nostra ullo in futurum metu solicitetur.

In naturali Philosophia Cartesius meritissimo jure triumphat, et ubi a Galileo abieris non facile invenias qui ei non dicam praeferri sed comparari possit. Aliud enim longe est experimenta invenire, quod saepius casu quam ratione fit; aliud est abditas rerum causas eruere. Quanquam autem non diffitear pauca admodum a Cartesio in physicis allata esse plane certa: assero tamen pleraque esse ad miraculum usque ingeniosa. Ex quibus eminent explicatio Iridis, et Magnetis. Vellem autem omnes ejus contemplationes Medicas atque Anatomicas haberemus, quarum publicationem acerba literis viri mors intercepit. Ego Parisiis vidi et legi libellum adversarium manu Cartesii scriptum in quem nonnullas suas anatomicas observationes conjecerat, quarum aliquas excerpsi, et amicis communicare possum. Vidi etiam libellum ejus sed imperfectum de inquisitione veritatis, in quo omnes suas artes si initiis credimus, explanare decreverat. Multa in eo praeclara pro more: sed quae tamen in ea me sententia confirmavere, in quam dudum veni, a vera Methodo atque ultima analysi Cartesium non parum abfuisse. Totam Hypothesin ejus physicam in summa probare non possum. Prorsus enim a ratione abit quod asserit de materia tota in partes aequales divisa, quarum unaquaeque circa suum centrum gyratur, qua in re Hugenium habeo assentientem, qui vir unus omnium exactissime de his rebus judicat, et quem saepe hortor, ut animadversiones scribat in Cartesium quas dare nobis posset excellentes. Circa leges quoque motus certum plane est Cartesium fuisse deceptum, et quidem modis multis et miris; quod tamen eo minus miror, quod nemo hactenus per omnia satisfecit. Puto tamen rem plane in potestate esse.

Dixi supra Cartesio defuisse Methodum perfectam atque Analysin veram, nunc addo ingenium illi fuisse aptum inventionibus, sed causarum atque rationum non vero machinarum atque stratagematum vitae utilium. Nimirum sunt quidam velut limites ingeniorum, neque uni unquam omnia Deus dedit. Nam si exempli causa Cartesius Cardani copiam aut Cardanus Cartesii soliditatem habuisset, profecto habuissemus quicquid ab homine ad scientias excolendas expectari potest. Machina quam Cartesius dedit poliendis vitris Hyperbolicis, non est omnium optima: sed et de tota re Huddenii qui omnium exactissime ista scrutatus est, sententia est posse sphaericis praestari, quicquid in praxi ab Hyperbolicis sperari potest, idque se demonstrasse mihi dixit. Est tamen Huddenius magnus Cartesii aestimator. Caeterum ne Cartesio a me sine ratione veram atque ultimam analysin adimi putes, Geometriam ejus in exemplum citabo, qua ille merito maxime gloriabatur. Ait enim alicubi, Methodi suae praestantiam in physicis atque metaphysicis probabilem reddi, in Geometria autem omnino demonstrari. At nos hodie, temporum fateor beneficio, tantum certe Cartesium supergressi sumus, quantum ille Apollonium: neque ea tantum habemus quae ex Cartesii traditis ducuntur, sed longe alia ad quae ex ejus inventis nullus patebat aditus. Cartesius meo judicio partem tantum excoluit Geometriae eamque admodum arctam, quae scilicet illa problemata spectat in quibus non nisi rectarum longitudines dantur atque quaeruntur. Haec Geometria a me vocatur Apolloniana: tantum enim ad altiores gradus promovere docuit Cartesius, quae in inferioribus praestitit Apollonius, ostendendo, quomodo curvarum aptarum seu locorum, descriptione, solvi possint haec problemata. At Geometria in qua curvilineorum magnitudines dantur aut quaeruntur, alterius plane generis est, ego eam vocare soleo Archimedeam. Eam enim solus veterum intellexit Archimedes, reliqui omnes Apollonius, Pappus, Theodosius aliique, ne unicum quidem ejus specimen memorabile edidere. Artium Archimedearum partem aliquam tantum sed exiguam, resuscitavit Cavalerius, aliam Guldinus, aliam Gregorius a S. Vincentio. Nemo enim totam ejus vim hactenus animo complexus est. Nunc, si dicendum quod res est, habemus ad quae Archimedes ipse aspirare non fuisset ausus. Cartesius vero hoc argumentum non satis attigit quantum ex ejus scriptis judicari possit. Imo asserere ausus est lineam curvam non posse in rectam Geometrice commutari, quod postea felicitas seculi refutavit. Praeclara profecto sunt quae a Cartesii excessu Wallisius, Heuratius, Hugenius, Mercator aliique dedere aliis plane artibus quam quas Cartesius fuisset suspicatus. Inter caetera eminet mea sententia inventum serierum infinitarum quod pro Hyperbola ab Huddenio atque Mercatore aptatum, ego ad circulum feliciter transtuli. Est enim illa serierum infinitarum Methodus tam generalis ut ejus ope omnis quantitatis incognitae valor exprimi possit, analytice, pure, rationaliter per formulam tamen infinitam. Quanquam ejus Methodi generalitas forte paucis nota sit. Exemplo me explicabo. Sit centro R descriptus circulus cujus radius AR sit unitas sive 1, tangens vero AT, ipsius arcus circuli AC sit t, quae tamen non sit radio major; ajo ipsius arcus AC valorem analyticum purum, rationalem, sed infinitum esse hunc: arc. aequal. \frac{t}{1} - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + \frac{t^9}{9} - \frac{t^1^1}{11} etc. Valor iste est exacte verus si totam seriem infinitam consideres, et eatenus mentem illustrat; parte autem sumta ad usum idem mirifice aptus est, pone exempli causa AT esse quintam partem radii AR seu unitatis, sive, ipsam t esse $\frac{1}{5},$ erit arcus aequal. $\frac{1}{1,5}-\frac{1}{3,125}+\frac{1}{[5],3125}$ etc. ac proinde si duobus tantum hoc casu prioribus seriei terminis utare, habebis sufficienter ad usum valorem talis arcus nempe si ponatur esse arcus ille $\frac{1}{5}-[\frac{1}{3,125}]$ seu, $\frac{74}{375}$ erit quidem minor vero, sed error non erit $\frac{1}{15625}$ radii: quo autem pluribus terminis utere, hoc propius accedes. Si AT ponatur aequalis radio AR, id est si arcus AC sit semi quadrans, tunc erit arcus aequ. $\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11}$ etc. Unde sequitur illud mirum, circulum esse ad quadratum circumscriptum, ut series ista $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}$ etc. est ad unitatem, quae quidem series ita uti hic jacet non est apta ad appropinquationem promtam (: alias enim habemus longe velociores etiam in infinitum continuabiles :). Verum ad veram proportionem circuli ad quadratum, aut quadrantis ad diametrum, mente complectendam, nescio an quicquam aptius vel simplicius fingi possit. Magni momenti sunt hae expressiones per series infinitas, nam in eo differunt ab appropinquationibus, quod series aliquod theorema nobis exhibent valoris exacti, et simul ac semel appropinquationes praebent infinitas sine novo calculo. Cum aliae appropinquationes quales sunt Ludolphinae non nisi novo calculo longius produci possint. Atque hac arte quantitates illae quas Cartesius a sua Geometria exclusit, analytice tractari possunt: et efficere possumus, quod antea nemo, ut problemata trigonometrica aliquis sine instrumentis atque tabulis sinuum in casu quolibet oblato solvere possit modico admodum calculi labore. Cum antea opus fuerit Tabulas integras ordine calculare ad unicum aliquod oblatum exemplum Trigonometricum solvendum. Nunc vero ope aequationis superioris infinitae vel, ubi libet, finitae valorem arcus dati exprimentis, facile possumus in Triangulo ex datis lateribus invenire angulos imo et contra idque sine ullis Tabulis. Quod magni usus erit itinera suscipientibus qui libros et instrumenta perdere possunt, sed regulam usque adeo simplicem non facile obliviscentur. Ea autem ad observationes atque trigonometricas operationes in media barbarie sufficit, sine ulla librorum ope. Eadem Methodo possunt omnes lineae curvae mensurari, et omnia spatia quadrari, et omnia solida et superficies et centra gravitatum atque agitationum inveniri, aliaque innumera praestari quae alioqui vix in potestate esse videntur.

Fateor tamen non id esse ultimum quod in Analysi optamus, perfecti enim incognitarum quantitatum valores consistunt in quadam finita expressione quando ea haberi potest, aut quando non potest, demonstratione impossibilitatis. Et quidem semper illa haberi potest, quando problemata redeunt ad aequationem communi more expressam, gradus licet cujuscunque: Primus quidam Arabs, quem Mahometem vocant invenit aequationis generalis secundi gradus x² + px + q ^&.sc 0 (quam Vietae et Cartesii more facilitatis causa exprimo) radicem x habere valorem Am Rande: Generaliter sic exprimo non obstantibus signis, quae nos ut alibi ostendi morari non debent. ± $\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}-\frac{p}{2}.$ Primus Scipio Ferreus invenit aequationis generalis tertii gradus (cujus secundus terminus est sublatus) nempe x³* + px + q ^&.sc 0 radicem x valere $\sqrt[3]{[\frac{1}{2}q]+\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2+\frac{1}{27}{p}^3}}+\sqrt[3]{[\frac{1}{2}q]-\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2+\frac{1}{27}{p}^3}}.$ Primus Ludovicus Ferrarius Cardani aequalis invenit resolutionem aequationis quadrato-quadraticae interventu aequationis cubicae. Unde etiam radix ejus generali ejusmodi formula exprimi posset. His inventis mea sententia vere analyticis (quoniam valorem incognitae pure et absolute exhibent) nihil a Vieta aut Cartesio adjectum est quod ad hanc quidem rem pertineat: quin imo cum de progressu ad altiora et de analytica extractione radicum ex aequationibus, desperassent, studium alio flexere. Vieta inventum dedit, sane pulcherrimum extrahendi radices quantumlibet veris propinquas in numeris; at Cartesius eas construxit in lineis, itaque cum unus Arithmeticam alter Geometricam solutionem dedisset, vere analyticam, quae caeteras virtute continet, ambo declinavere. Hodie loco extractionis Vietaeae in numeris habemus longe commodiorem per series infinitas; et loco constructionum Cartesianarum per varias lineas curvas, inventum habeo instrumentum unicum, quod multiplicatis pro re nata partibus omnes aequationes construit. Itaque etiam in his duobus longe et Vietam et Cartesium hodie supergressi sumus. Analyticam vero aequationum omnium extractionem non Cartesio tantum sed et hodie maximis viris prope desperatam, videor mihi non ita pridem feliciter assecutus, Methodum scilicet cujus ope valor radicis incognitae cujusque aequationis generali (pro gradu suo) formula exprimi potest, quemadmodum Scipio Ferreus in cubica fecit quanquam in altioribus (ex. gr. quinto gradu) tantum absint hactenus a formula generali, ut ne unam quidem dederint particularem: demonstrationem methodi habeo, specimen vero in quinto gradu (quem hactenus omnes frustra attentavere) dabo ubi otium erit. Equidem certum est, vix quicquam in tota Analysi suscipi posse difficilius, et Methodus mea catena tam longe producta constat, ut satis appareat non me in illam obiter incidisse. Continetur vero in ea totius Algebrae (Algebram enim voco proprie aequationum resolutionem per se consideratam sine respectu ad numeros et lineas) perfectio, ubi enim semel omnium aequationum radices habebuntur, habebuntur omnium problematum ad aequationes revocabilium solutiones. Sed me arctissimum, quod superest chartae spatium admonet non opinatae prolixitatis. Finiam igitur ubi te rogavero, ut doctissimum Eccardum a me salutes, atque etiam si ita videtur, haec cum eo communices. Equidem et colloquium viri et cum eo commercium mihi gratissimum erit. Vale faveque.