DISSERTATIO De ARTE COMBINATORIA
[Widmung]
VIRO
SUMMO, MAGNIFICO, MAXIME
REVERENDO
DNO
MARTINO GEIERO
S. Stae. Theol. Doct. Serenissimi Electoris Saxoniae Supremo
Concionatori Aulico, Supremi Dresdensis Consistorii
Assessori, et Consiliario Ecclesiastico,
Theologo Incomparabili:
Suo vero, praeter susceptionis beneficium, Patrono et Maecenati maximo;
rationem studiorum suorum constare voluit
AUTOR.
Synopsis Dissertationis
De
ARTE COMBINATORIA.
Sedes Doctrinae istius Arithmetica. Hujus origo. Complexiones autem sunt Arithmeticae purae, situs figuratae. Definitiones novorum terminorum. Quid aliis debeamus. Problema I. dato numero et exponente Complexiones et in specie Combinationes invenire. Probl. II. dato numero complexiones simpliciter invenire. Horum usus (1.) in divisionis inveniendis speciebus: v.g. mandati, Elementorum, Numeri, Registrorum Organi Musici, Modorum Syllogismi categorici, qui in universum sunt 512. juxta Hospinianum, utiles 88 juxta nos. Novi Modi figurarum ex Hospiniano: Barbari, Celaro, Cesaro, Camestres, et nostri Figurae IVtae Galenicae: Fresismo, Ditabis, Celanto, Colanto. Sturmii modi novi ex terminis infinitis, Daropti. Demonstratio Conversionum. De Complicationibus Figurarum in Geometria, congruis, hiantibus, texturis. Ars casus formandi in Jurisprudentia. Theologia autem quasi species est Jurisprudentiae, de Jure nempe Publico in republica DEI super homines; (2.) in inveniendis datarum specierum generibus subalternis, de modo probandi sufficientiam datae divisionis. (3.) Usus in inveniendis propositionibus et argumentis. De arte Combinatoria Lullii, Athanasii Kircheri, nostra, de qua sequentia: Duae sunt copulae in propositionibus: Revera et Non, seu + et -. De formandis praedicamentis artis Com2natoriae. Invenire: dato definito vel termino, definitiones vel terminos aequipollentes: Dato subjecto, praedicata in propositione UA, item PA, item N; Numerum Classium, Numerum Terminorum
in Classibus: Dato capite, complexiones; dato praedicato, subjecta in propositione UA, PA et N. Datis duobus terminis in propositione necessaria UA et UN argumenta seu medios terminos invenire. De Locis Topicis, seu modo efficiendi et probandi propositiones contingentes. Specimen mirabile Praedicamentorum artis com2natoriae ex Geometria. Porisma de Scriptura Universali cuicunque legenti cujuscunque linguae perito intelligibili. Dni. de Breissac specimen artis com2natoriae seu meditandi in re bellica, cujus beneficio omnia consideratione digna Imperatori in mentem veniant. De Usu rotarum concentricarum Chartacearum in arte hac. Serae hac arte constructae sine clavibus aperiendae, Mahl-Schlösser, Mixturae Colorum. Probl. III. Dato numero Classium et rerum in singulis, complexiones classium invenire. Divisionem in divisionem ducere, de vulgari Conscientiae divisione. Numerus sectarum de summo Bono e Varrone apud Augustinum. Ejus examen. In dato gradu Consanguinitatis numerus (1.) cognationum juxta l. 1 et 3. D de Grad. et Aff. (2.) personarum juxta l. 10. D. eod. singulari artificio inventus. Probl. IV. Dato numero rerum variationes ordinis invenire. Uti hospitum in mensa 6. Drexelio, 7. Harsdörffero, 12. Henischio. Versus Protei, v.g. Bauhusii, Lansii, Ebelii, Riccioli, Harsdörfferi. Variationes literarum Alphabeti, comparatarum Atomis; Tesserae Grammaticae. Probl. V. Dato numero rerum variationem vicinitatis invenire. Locus honoratissimus in rotundo. Circulus Syllogisticus. Probl. VI. Dato numero rerum variandarum, quarum aliqua vel aliquae repetuntur, variationem ordinis invenire. Hexametrorum species 76; Hexametri 26, quorum sequens antecedentem litera excedit Publii Porphyrii Optatiani: quis ille. Diphtongi ac scriptura. Probl. VII. Reperire dato capite variationes. Probl. VIII. Variationes alteri dato capiti communes. Probl. IX. Capita variationes communes habentia. Probl. X. Capita variationum utilium et inutilium. Probl. XI. Variationes inutiles. Probl. XII. Utiles. Optatiani Proteus versus, J.C. Scaligeri (Virgilii Casualis), Bauhusii (Ovidii Casualis), Kleppisii (praxis computandi Variationes inutiles et utiles), Caroli a Goldstein, Reimeri. Cl. Daumii 4, quorum ultimi duo plusquam Protei. Additamentum: Demonstratio Existentiae DEI.
DEMONSTRATIO
EXISTENTIAE DEI.
Praecognita:
1. Definitio 1: Deus est Substantia incorporea infinitae virtutis.
2. Def. 2. Substantiam autem voco, quicquid movet aut movetur.
3. Def. 3. Virtus infinita est Potentia principalis movendi infinitum. Virtus enim idem est quod potentia principalis; hinc dicimus Causas secundas operari in virtute primae.
4. Postulatum. Liceat quotcunque res simul sumere, et tanquam unum totum supponere. Si quis praefractus hoc neget, ostendo. Conceptus partium est, ut sint Entia plura, de quibus omnibus si quid intelligi potest, quoniam semper omnes nominare vel incommodum vel impossibile est, excogitatur unum nomen, quod in ratiocinationem pro omnibus partibus adhibitum compendii sermonis causa, appellatur Totum. Cumque datis quotcunque rebus, etiam infinitis, intelligi possit, quod de omnibus verum est, quia omnes particulatim enumerare infinito demum tempore possibile est, licebit unum nomen in rationes ponere loco omnium, quod ipsum erit Totum.
5. Axioma 1. Si quid movetur, datur illud movens.
6. Ax. 2. Omne corpus movens movetur.
7. Ax. 3. Motis omnibus partibus movetur totum.
8. Ax. 4. Cujuscunque corporis infinitae sunt partes, seu ut vulgo loquuntur, Continuum est divisibile in infinitum.
9. Observatio. Aliquod corpus movetur.
'Ekthesis.
(1.) Corpus A movetur per praecog. 9. (2.) Ergo datur aliud movens per 5. (3.) et vel incorporeum, (4.) quod infinitae virtutis est (per 3. (5.) quia A ab eo motum habet infinitas partes per 8.) (6.) et Substantia per 2. (7.) Ergo Deus per 1, q.e.d. (8.) vel Corpus, (9.) quod dicamus B; (10.) id ipsum et movetur per 6. (11.) et recurret, quod de corpore A demonstravimus, atque ita vel aliquando dabitur incorporeum movens. (12.) nempe ut in A ostendimus ab ekth. 1 ad 7. Deus q.e.d. (13.) vel in omne infinitum existent corpora continue se moventia, (14.) ea omnia simul, velut unum totum, liceat appellare C per 4. (15.) Cumque hujus omnes partes moveantur per ekth. 13. (16.) movebitur ipsum per 6. (17.) ab alio per 5. (18.) incorporeo, quia (omnia corpora in infinitum retro, jam comprehendimus in C per ekth. 14, nos autem requirimus aliud a C per ekth. 17) (19.) infinitae virtutis (per 3, quia quod ab eo movetur, nempe C, est infinitum per ekth. 13+14). (20.) Substantiâ per 2. (21.) Ergo DEO per 1. Datur igitur Deus. Q.E.D.
[Schema]
CUM DEO!
[1] Metaphysica, ut altissime ordiar, agit tum de Ente, tum de Entis affectionibus: ut autem corporis naturalis affectiones non sunt corpora, ita Entis affectiones non sunt Entia. [2] Est autem Entis affectio (seu Modus) alia absoluta, quae dicitur Qualitas, alia respectiva, eaque vel rei ad partem suam, si habet, Quantitas, vel rei ad aliam rem, Relatio, etsi accuratius loquendo, supponendo partem quasi a toto diversam, etiam quantitas rei ad partem relatio est. [3] Manifestum igitur neque Qualitatem neque Quantitatem neque Relationem Entia esse: Earum vero tractationem in actu signato ad Metaphysicam pertinere. [4] Porro omnis Relatio aut est Unio aut Convenientia. In unione autem Res, inter quas haec relatio est, dicuntur partes, sumtae cum unione, Totum. Hoc contingit, quoties plura simul tanquam Unum supponimus. Unum autem esse intelligitur, quicquid uno actu intellectus seu simul cogitamus, v.g. quemadmodum numerum aliquem quantumlibet magnum saepe Caeca quadam cogitatione simul apprehendimus, cyphras nempe in charta legendo, cui explicate intuendo ne Mathusalae quidem aetas suffectura sit. [5] Abstractum autem ab uno est Unitas, ipsumque totum abstractum ex unitatibus seu totalitas dicitur Numerus. Quantitas igitur est Numerus partium. Hinc manifestum, in re ipsa Quantitatem et Numerum coincidere, illam tamen interdum quasi extrinsece, relatione seu Ratione ad aliud, in subsidium nempe quamdiu numerus partium cognitus non est, exponi. [6] Et haec origo est ingeniosae Analyticae Speciosae, quam excoluit inprimis Cartesius, postea in praecepta collegere Franc. Schottenius, et Erasmius Bartholinus, hic elementis Matheseos universalis, ut vocat. Est igitur Analysis doctrina de Rationibus et Proportionibus, seu Quantitate non Exposita; Arithmetica de Quantitate exposita seu Numeris: falso autem Scholastici credidere, Numerum ex sola divisione continui oriri nec ad incorporea applicari posse. Est enim numerus quasi figura quaedam incorporea, orta ex Unione Entium quorumcunque, v.g. DEI, Angeli, Hominis, Motus, qui simul sunt Quatuor. [7] Cum igitur Numerus sit quiddam Universalissimum, merito ad Metaphysicam pertinet, si Metaphysicam accipias pro doctrina eorum, quae omni entium generi sunt communia. Mathesis enim (ut nunc nomen illud accipitur) accurate loquendo non est una disciplina, sed ex variis disciplinis decerptae particulae quantitatem subjecti in unaquaque tractantes, quae in unum propter cognationem merito coaluerunt. Nam uti Arithmetica atque Analysis agunt de Quantitate Entium, ita Geometria de Quantitate corporum, aut spatii quod corporibus coextensum est. Politicam vero disciplinarum in professiones divisionem, quae commoditatem docendi potius, quam ordinem naturae secuta est, absit ut convellamus. [8] Caeterum Totum ipsum (et ita Numerus vel Totalitas) discerpi in partes tanquam minora tota potest, id fundamentum est Complexionum, dummodo intelligas dari in ipsis diversis minoribus totis partes communes, v.g. Totum sit ABC, erunt minora Tota, partes illius, AB, BC, AC: et ipsa minimarum partium, seu pro minimis suppositarum (nempe Unitatum) dispositio inter se et cum toto, quae appellatur situs, potest variari. [9] Ita oriuntur duo Variationum genera, Complexionis et Situs. Et tum Complexio, tum Situs ad Metaphysicam pertinet, nempe ad doctrinam de Toto et partibus, si in se spectentur: si vero intueamur Variabilitatem, id est Quantitatem variationis, ad numeros et Arithmeticam deveniendum est. Complexionis autem doctrinam magis ad Arithmeticam puram, situs ad figuratam pertinere crediderim, sic enim unitates lineam efficere intelliguntur. Quanquam hic obiter notare volo, unitates vel per modum lineae rectae vel circuli aut alterius lineae linearumve in se redeuntium aut figuram claudentium disponi posse, priori modo in situ absoluto seu partium cum toto, Ordine; posteriori in situ relato seu partium ad partes, Vicinitate, quae quomodo differant infra dicemus def. 4. et 5. Haec prooemii loco sufficiant, ut qua in disciplina materiae hujus sedes sit, fiat manifestum.
DEFINITIONES.
1. Variatio h. l. est mutatio relationis. Mutatio enim alia substantiae est, alia quantitatis, alia qualitatis; alia nihil in re mutat, sed solum respectum, situm, conjunctionem cum alio aliquo.
2. Variabilitas est ipsa quantitas omnium Variationum. Termini enim potentiarum in abstracto sumti quantitatem earum denotant, ita enim in Mechanicis frequenter loquuntur, potentias machinarum duarum duplas esse invicem.
3. Situs est localitas partium.
4. Situs est vel absolutus vel relatus: ille partium cum toto, hic partium
ad partes. In illo spectatur numerus locorum et distantia ab initio et fine, in hoc neque initium neque finis intelligitur, sed spectatur tantum distantia partis a data parte. Hinc ille exprimitur linea aut lineis figuram non claudentibus neque in se redeuntibus, et optime linea recta; hic linea aut lineis figuram claudentibus, et optime circulo. In illo prioritatis et posterioritatis ratio habetur maxima, in hoc nulla. Illum igitur optime Ordinem dixeris;
5. Hunc vicinitatem, illum dispositionem, hunc compositionem. Igitur ratione ordinis differunt situs sequentes: abcd. bcda. cdab. dabc. At in Vicinitate nulla variatio, sed unus situs esse intelligitur, hic nempe: . Unde festivissimus Taubmannus, cum Decanus Facultatis philosophicae esset, dicitur Witebergae in publico programmate seriem candidatorum Magisterii circulari dispositione complexus, ne avidi lectores intelligerent, quis suillum locum teneret.
6. Variabilitatem ordinis intelligemus fere, quando ponemus Variationes kat' exochên, v.g. Res 4 possunt transponi modis 24.
7. Variabilitatem complexionis dicimus Complexiones, v.g. Res 4 modis diversis 15 invicem conjungi possunt.
8. Numerum rerum variandarum dicemus simpliciter Numerum, v.g. 4 in casu proposito.
9. Complexio est Unio minoris Totius in majori, uti in prooemio declaravimus.
10. Ut autem certa Complexio determinetur, majus totum dividendum est in partes aequales suppositas ut minimas (id est quae nunc quidem non ulterius dividantur), ex quibus componitur et quarum variatione variatur Complexio seu Totum minus; quia igitur totum ipsum minus, majus minusve est, prout plures partes una vice ingrediuntur, numerum simul ac semel conjungendarum partium seu unitatum dicemus Exponentem, exemplo progressionis geometricae. V.g. sit totum ABCD. Si Tota minora constare debent ex 2 partibus, v.g. AB. AC. AD. BC. BD. CD. exponens erit 2; sin ex tribus, v.g. ABC. ABD. ACD. BCD. exponens erit 3.
11. Dato Exponente Complexiones ita scribemus: si exponens est 2, Com2nationem (combinationem), si 3, Con3nationem (conternationem), si 4, Con4nationem etc.
12. Complexiones simpliciter sunt omnes complexiones omnium Exponentium computatae, v.g. 15. (de 4. Numero) quae componuntur ex 4 (Unione), 6 (com2natione), 4 (con3natione), 1 (con4natione).
13. Variatio utilis (inutilis) est quae propter materiam subjectam locum habere non potest, v.g. 4. Elementa com2nari possunt 6 mahl; sed duae com2nationes sunt inutiles, nempe quibus contrariae Ignis, aqua; aër, terra com2nantur.
14. Classis rerum est Totum minus, constans ex rebus convenientibus incerto tertio, tanquam partibus, sic tamen ut reliquae classes contineant res contradistinctas, v.g. infra probl. 3, ubi de classibus opinionum circa summum Bonum ex B. Augustino agemus.
15. Caput Variationis est positio certarum partium; Forma variationis, omnium, quae in pluribus variationibus obtinet, v. infra probl. 7.
16. Variationes communes sunt, in quibus plura capita concurrunt, v. infra probl. 8. et 9.
17. Res homogenea est quae est aeque dato loco ponibilis salvo capite, Monodica autem quae non habet homogeneam, v. probl. 7.
18. Caput multiplicabile dicitur, cujus partes possunt variari.
19. Res repetita est quae in eadem variatione saepius ponitur, v. probl. 6.
20. Signo + designamus additionem, - subtractionem, ¯ multiplicationem, _ divisionem, f. facit seu summam, = aequalitatem. In prioribus duobus et ultimo convenimus cum Cartesio, Algebraistis, aliisque; alia signa habet Isaacus Barrowius in sua editione Euclidis, Cantabrig. 8vo, anno 1655.
Problemata.
Tria sunt quae spectari debent: Problemata, Theoremata, usus; in singulis problematis usum adjecimus, sicubi operae pretium videbatur, et theoremata. Problematum autem quibusdam rationem solutionis addidimus. Ex iis partem posteriorem primi, secundum et quartum aliis debemus, reliqua ipsi eruimus. Quis illa primus detexerit, ignoramus. Schwenterus Delic. l. 1. sect. 1. prop. 32. apud Hieronymum Cardanum, Johannem Buteonem et Nicolaum Tartaleam extare dicit. In Cardani tamen Practica Arithmetica, quae prodiit Mediolani anno 1539, nihil reperimus. Inprimis dilucide, quicquid dudum habetur, proposuit Christoph. Clavius in Com. supra Joh. de Sacro Bosco Sphaer. edit. Romae forma 4ta anno 1585 p.33. seqq.
Probl. I.
DATO NUMERO ET EXPONENTE COMPLEXIONES INVENIRE.
[1] Solutionis duo sunt modi, unus de omnibus Complexionibus, alter de Com2nationibus solum: ille quidem est generalior, hic vero pauciora requirit data, nempe numerum solum et exponentem, cum ille etiam praesupponat inventas complexiones antecedentes. [2] Generaliorem modum nos deteximus, specialis est vulgatus. Solutio illius talis est: »Addantur complexiones exponentis antecedentis et dati de numero antecedenti, productum erunt complexiones quaesitae«; v.g. esto numerus datus 4, exponens datus 3, addantur de numero antecedente 3 com2nationes 3 et con3natio 1 (3 + 1 f. 4), productum 4 erit quaesitum. [3] Sed cum praerequirantur complexiones numeri antecedentis, construenda est tabula a, in qua linea suprema a sinistra dextrorsum continet Numeros a 0 usque ad 12 utrimque inclusive, satis enim esse duximus huc usque progredi, quam facile est continuare: linea extrema sinistra a summo deorsum continet Exponentes a 0 ad 12, linea infima a sinistra dextrorsum continet Complexiones simpliciter. Reliquae inter has lineae continent Complexiones dato numero qui sibi in vertice directe respondet, et exponente qui e regione sinistra. [4] Ratio solutionis, et fundamentum Tabulae patebit, si demonstraverimus, Complexiones dati numeri et exponentis oriri ex summa complexionum de numero praecedenti exponentis et praecedentis et dati. Sit enim numerus datus 5, exponens datus 3, erit numerus antecedens 4; is habet con3nationes 4 per Tabulam a, com2nationes 6. Iam numerus 5 habet omnes com3nationes quas praecedens (in toto enim et pars continetur) nempe 4, et praeterea tot quot praecedens habet com2nationes, nova enim res qua numerus 5 excedit 4, addita singulis com2nationibus hujus, facit totidem novas con3nationes, nempe 6 + 4 f. 10. Ergo Complexiones dati numeri etc. Q.E.D.
Tabula a. 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ----------------------------------------------
1 0 1 2 3 4 5 6 7n 8u 9m 10e 11r 12i C
E 2 0 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 o
x 3 0 0 0 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 m
p 4 0 0 0 0 1 5 15 35 70 126 210 330 495 p
o 5 0 0 0 0 0 1 6 21 56 126 252 462 792 l
n 6 0 0 0 0 0 0 1 7 28 84 210 462 924 e
e 7 0 0 0 0 0 0 0 1 8 36 120 330 792 x
n 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 45 165 495 i
t 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 55 220 o
e 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 66 n
s 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12 e
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 s
* 0. 1. 3. 7. 15. 31. 63. 127. 255. 511. 1023. 2047. 4095. ----------------------------------------------
† 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. 128. 256. 512. 1024. 2048. 4096.
Complexiones simpliciter * (seu summa Complexionum dato exponente) addita unitate, quae coincidunt cum terminis progressionis geometricae duplae †. [5] Majoris lucis causa apponimus Tabulam b, ubi lineis transversis distinximus Con3nationem
de 3, et de 4, et de 5, sic tamen ut con3nationes priores sint sequenti communes, et per consequens tota tabula sit con3nationum numeri 5, utque manifestum esset, quae con3nationes numeri sequentis ex com2nationibus antecedentis addito singulis novo hospite orirentur, linea deorsum tendente combinationes a novo hospite distinximus.
[6] Adjiciemus hic Theoremata quorum to hoti ex ipsa tabula a manifestum est, to dioti ex tabulae fundamento: 1. si Exponens est major Numero, Complexio est 0. 2. Si aequalis, ea est 1. 3. Si Exponens est Numero unitate minor, complexio et Numerus sunt idem. 4. Generaliter: Exponentes duo, in quos numerus bisecari potest, seu qui sibi invicem complemento sunt ad numerum, easdem de illo numero habent complexiones. Nam cum in minimis exponentibus 1 et 2, in quos bisecatur numerus 3, id verum sit quasi casu, per tab. a, et vero caeteri ex eorum additione oriantur per solut. probl. 1, si aequalibus (3 et 3) addas aequalia (superius 1 et inferius 1), producta erunt aequalia (3 + 1 f. 4 = 4), et idem eveniet in caeteris necessitate. 5. Si numerus est impar, dantur in medio duae complexiones sibi proximae aequales; sin par, id non evenit. Nam numerus impar bisecari potest in duos exponentes proximos unitate distantes, v.g. 1 + 2 f. 3; par vero non potest, sed proximi, in quos bisecari par potest, sunt iidem. Quia igitur in duos exponentes impar numerus bisecari potest, hinc duas habet Complexiones aequales per th. 4, quia illi unitate distant, proximas. 6. Complexiones crescunt usque ad exponentem numero ipsi dimidium aut duos dimidio proximos, inde iterum decrescunt. 7. Omnes numeri primi metiuntur suas complexiones particulares (seu dato exponente). 8. Omnes Complexiones simpliciter sunt numeri impares.1
[7] Restat hujus Problematis altera pars quasi specialis: »Dato Numero (A) com2nationes (B) invenire. Solutio. Ducatur numerus in proxime minorem, facti dimidium erit quaesitum, A¯A-1_2 = B. Esto v.g. Numerus 6, 6¯5 f. 30_2 f. 15.« Ratio solutionis: Esto Tab. b, in qua enumerantur 6 rerum abcdef com2nationes possibiles; prima autem res a ducta per caeteras facit com2nationes 5, nempe ipso numero unitate minores; secunda b per caeteras ducta tantum 4, non enim in antecedentem a duci potest, rediret enim prior com2natio ba vel ab (haec enim in negotio combinationis nihil differunt) ergo solum in sequentes quae sunt 4; similiter tertia c in sequentes ducta facit 3; quarta d facit 2; quinta e cum ultima f facit 1. Sunt igitur com2nationes 5. 4. 3. 2. 1 + f. 15. Ita patet, numerum com2nationum componi ex terminis progressionis arithmeticae, cujus differentia 1, numeratis ab 1 ad numerum numero rerum proximum inclusive, sive ex omnibus numeris Numero rerum minoribus simul additis. Sed quia, uti vulgo docent Arithmetici, tales numeri hoc compendio adduntur, ut maximus numerus ducatur in proxime majorem, facti dimidius sit quaesitus, et vero proxime major h. l. est ipse Numerus rerum, igitur perinde est ac si dicas: Numerum rerum ducendum in proxime minorem, facti dimidium fore quaesitum.
I. LOGICA. 1. Duae sunt propositiones primae, una principium omnium theorematum seu propositionum necessariarum: Quod est (tale) id est seu non est (tale) vel contra; altera omnium observationum seu propositionum contingentium: Aliquid existit. 2. Dantur demonstrationes perfectae in omnibus disciplinis. 3. Si disciplinas in se spectemus, omnes sunt theoreticae; si usum, omnes practicae. Eae tamen, ex quibus usus magis immediate fluit, merito practicae kat' exochên dicuntur. 4. Methodus etsi in omni disciplina omnis adhiberi potest, ut vel vestigia inquisitionis nostrae vel producentis naturae in tradendo sequamur, tamen in practicis fit ut coincidat et naturae et cognitionis ordo, quia in iis ipsa rei natura a cogitatione et productione nostra oritur. Nam finis et nos movet ad media producenda, et ducit ad cognoscenda, quod in iis quae cognoscere tantum, non etiam efficere possumus, secus est. Praeterea etsi omnis methodus licita est, non tamen omnis expedit. 5. Syllogismus non est finis Logicae, sed contemplatio simplex; propositio vero est medium ad hanc, syllogismus ad propositionem.
II. METAPHYSICA. 1. Infinitum aliud alio majus est. CARDAN. Arithmet. Pract. c. 66. n. 165 et 260. Dissentire dicitur SETHUS WARDUS in Arithmetica infinitorum. 2. Deus est substantia, Creatura accidens. 3. Necesse est dari disciplinam de Creatura in genere, sed ea fere hodie in Metaphysica comprehenditur. 4. Vix est probabile
//IV42// terminum Causae univocum conceptum dicere, ad efficientem materialem, formalem, finalem. Nam vox influxus itidem quid nisi Vox est?
III. PHYSICA. 1. Cum observandum sit alia mundi corpora moveri circa proprium axem, idem de terra absurdum non est, quemadmodum nec contrarium. 2. Cum corporum summa differentia sit densum et rarum, manifestum est quatuor primas qualitates ita illustrari posse: Humidum est rarum, Siccum est densum, Calidum est rarefactivum, Frigidum condensativum. Omne autem rarum facile alienis terminis continetur, difficulter suis; densum contra: et omne rarefaciens copiam facit in raro homogeneis ad se invicem properandi, et heterogeneis se separandi, quibus in denso via interclusa est. Unde definitionum Aristotelicarum ratio redditur. Neque ignis, qui rarus esse videtur, cum tamen siccus esse debeat, obstat; nam respondeo: aliud dicendum de igne per se, aliud de igne alii corpori inhaerente, nam ejus naturam sequitur. Ita patet, flammam, quae nihil aliud est quam aër ignitus, fluidam esse debere, quemadmodum et aër ipse; contra ignem in ferro ignito consistentem, quemadmodum et ferrum ipsum. 3. Vim Magnetis ab Adamante sisti fictum est.
IV. PRACTICA. 1. Iustitia (particularis) est virtus servans mediocritatem circa affectus hominis erga hominem, juvandi et nocendi, seu favorem et odium. Regula mediocritatis est: Licere eousque alterum (me) juvare, quo usque (alteri) tertio non nocetur. Hoc observare necesse est, ut tueamur ARISTOTELEM contra cavillum GROTII, qui de J. B. et P. Prolegom. ** 4. fac. a. ita dicit: Non recte autem universaliter positum hoc fundamentum (quod virtus posita sit in mediocritate) vel ex justitia apparet, cui oppositum nimium et parum cum in affectibus et sequentibus eos actionibus invenire non posset (ARISTOTELES), in rebus ipsis circa quas justitia versatur, utrumque quaesivit, quod ipsum primum est desilire de genere in genus alterum, quod in aliis merito culpat. Vult nempe GROTius incongrue in speciebus divisionis alicujus aliquam interseri quae ex alio prorsus dividendi fundamento derivetur (quod vocat minus Philosophice metabainein eis allo genos) et certe aliud prorsus est mediocritas
//IV43// affectuum, aliud rerum. Virtutes quoque non rerum, sed animorum habitus sunt. Quare ostendimus Iustitiam et ipsam in affectuum moderatione esse positam. 3. Non inepte dicit TRASYMACHUS apud Platonem de Republ. Lib. 1. fol. 379. Iustum esse potentiori utile. Nam DEUS proprie et simpliciter est caeteris potentior (homo enim homine absolute potentior non est, cum fieri possit, ut quantumcunque robustus ab infirmo occidatur). Caeterum DEI utilitas non in lucro, sed honore consistit. Igitur Gloriam DEI mensuram omnis juris esse manifestum est. Et qui Theologos moralistas et casuum conscientiae scriptores consulet, videbit eos plerumque discursus suos in hac fundare. Constituto igitur certo Principio, doctrina de justo scientifice conscribi poterit. Quod hactenus factum non est.
Probl. II.
DATO NUMERO COMPLEXIONES SIMPLICITER INVENIRE.
[8] Datus Numerus quaeratur inter Exponentes progressionis Geometricae duplae, numerus seu terminus progressionis ei e regione respondens, demta Unitate, erit quaesitum. Rationem seu to dioti difficile est vel concipere, vel si conceperis explicare; to hoti ex tabula a manifestum est. Semper enim complexiones particulares simul additae addita unitate, terminum progressionis geometricae duplae constituent, cujus exponens sit numerus datus. Ratio tamen, si quis curiosius investiget, petenda erit ex discerptione in Practica Italica usitata, vom Zerfällen. Quae talis esse debet, ut datus terminus progressionis geometricae discerpatur in una plures partes, quam sunt unitates exponentis sui, id est numeri rerum, quarum semper aequalis sit prima ultimae, secunda penultimae, tertia antepenultimae etc., donec vel, si in parem discerptus est numerum partium, exponente seu Numero rerum impari existente, in medio duae correspondeant partes per probl. 1 th. 5 (v.g. 128 de 7 discerpantur in partes 8 juxta tabulam a: 1. 7. 21. 35. 21. 7. 1), vel si in imparem, exponente pari existente in medio relinquatur unus nulli correspondens (v.g. 256 de 8 discerpantur in partes 9 juxta Tab. a: 1. 8. 28. 56. 70. 56. 28. 8. 1). Putet igitur aliquis, ex eo manifestum esse novum modum eumque absolutum solvendi probl. 1, seu dato exponente, inveniendi Numerum complexionum, si nimirum ope Algebrae inveniatur discerptio Complexionum simpliciter seu Termini Progr. Geom. duplae juxta modum datum; verum non sunt data sufficientia, et idem numerus in alias atque alias partes, eadem tamen forma, discerpi potest.
USUS Probl I. et II.
[10] Cum omnia quae sunt aut cogitari possunt, fere componantur ex partibus aut realibus aut saltem conceptualibus, necesse est, quae specie differunt, aut eo differre, quod alias partes habent, et hic Complexionum Usus, vel quod alio situ, hic Dispositionum, illic materiae, hic formae diversitate censentur. Imo Complexionum ope non solum species rerum, sed et attributa inveniuntur, ut ita tota propemodum Logicae pars inventiva illic circa terminos simplices, hic circa complexos fundetur in Complexionibus, uno verbo et doctrina divisionum et doctrina propositionum. Ut taceam, quantopere partem logices Analyticam seu Judicii diligenti de Modis syllogisticis scrutatione Exemplo 6. illustrare speremus. [11] In divisionibus triplex usus est Complexionum, 1. dato fundamento unius divisionis inveniendi species ejus; 2. datis pluribus divisionibus de eodem Genere, inveniendi species ex diversis divisionibus mixtas, quod tamen servabimus problemati 3.; 3. datis speciebus inveniendi genera subalterna. Exempla per totam philosophiam diffusa sunt, imo nec Jurisprudentiae deesse ostendemus, apud Medicos vero omnis varietas medicamentorum compositorum et pharmakopoiêtikê ex variorum ingredientium mixtione oritur, at in eligendis mixtionibus utilibus summo opus judicio est. Primum igitur exempla dabimus Specierum hac ratione inveniendarum: [12] I. apud ICtos l. 2. D. Mandati, et pr. J. de Mandato haec divisio proponitur: Mandatum contrahitur 5 modis: mandantis gratia, mandantis et mandatarii, tertii, mandantis et tertii, mandatarii et tertii. Sufficientiam divisionis hujus sic venabimur: Fundamentum ejus est finis hô seu persona cujus gratia contrahitur, ea est triplex: mandans, mandatarius et tertius. Rerum autem trium complexiones sunt 7: Uniones tres: cum solius 1. mandantis, 2. mandatarii, 3. tertii gratia contrahitur. Com2nationes totidem: 4. Mandantis et Mandatarii, 5. Mandantis et Tertii, 6. Mandatarii et Tertii gratia. Con3natio una, nempe 7. et mandantis
et mandatarii et tertii simul gratia. Hic ICti Unionem illam, in qua contrahitur gratia mandatarii solum, rejiciunt velut inutilem, quia sit consilium potius quam mandatum; remanent igitur species 6, sed cur 5 reliquerint, omissa con3natione, nescio. [13] II. Elementorum numerum, seu corporis simplicis mutabilis species Aristoteles libr. 2. de Gen. cum Ocello Lucano Pythagorico deducit ex numero Qualitatum primarum, quas 4 esse supponit, tanquam Fundamento, his tamen legibus, ut 1. quodlibet componatur ex duabus qualitatibus et neque pluribus neque paucioribus; hinc manifestum est Uniones, con3nationes et con4nationem esse abjiciendas, solas com2nationes retinendas, quae sunt 6; 2. ut nunquam in unam com2nationem veniant qualitates contrariae, hinc iterum duae com2nationes fiunt inutiles, quia inter primas has qualitates dantur duae contrarietates, igitur remanent com2nationes 4, qui est numerus Elementorum. Apposuimus Schema (vide paginam titulo tractatus proximam), quo origo Elementorum ex primis Qualitatibus luculentur demonstratur. Porro uti ex his illa Aristoteles, ita ex illis 4 temperamenta Galenus, horumque varias mixtiones medici posteriores elicuere, quibus omnibus jam superiori seculo se opposuit Claud. Campensius Animadvers. natural. in Arist. et Galen. adject. ad Com. ej. in Aph. Hippocr. ed. 8. Lugduni anno 1576. [14] III. Numerus communiter ab Arithmeticis distinguitur in Numerum stricte dictum ut 3, Fractum ut 2/3, Surdum ut Rad. 3, id est numerum qui in se ductus efficit 3, qualis in rerum natura non est, sed analogia intelligitur, et denominatum, quem alii vocant figuratum, v.g. quadratum, cubicum, pronicum. Ex horum commixtione efficit Hier. Cardanus Pract. Arith. c. 2. Species mixtas 11. Sunt igitur in universum Complexiones 15, nempe Uniones 4, quas diximus, Com2nationes 6: Numerus et Fractus v.g. 3/2 aut 1 1/2; Numerus et Surdus v.g. 7 ¯ R. 3; Numerus et Denominatus v.g. 3 + cub. de A; Fractus et Surdus 1/2 + R. 3; Fractus et Denominatus v.g. 1/2 ¯ cub. de A; Surdus et Denominatus v.g. cub. de 7; Con3nationes 4: Numerus et Fractus et Surdus, Numerus et Fractus et Denominatus, Numerus et Surdus et Denominatus, Fractus et Surdus et Denominatus; Con4natio 1: Numerus et Fractus et Surdus et Denominatus. Loco vocis: Numerus, commodius substituetur vox: Integer. Jam 4. 6. 4+1 f. 15. [15] IV. Registrum, Germanice ein Zug, dicitur in Organis Pneumaticis ansula quaedam, cujus apertura variatur sonus, non quidem in se melodiae aut elevationis intuitu, sed ratione canalis, ut modo tremebundus, modo sibilans etc. efficiatur. Talia recentiorum industria detecta sunt ultra 30. Sunto igitur in organo aliquo tantum 12 simplicia, ajo fore in universum quasi 4095; tot enim sunt 12 rerum Complexiones simpliciter per tab. a, grandis organistis, dum modo plura, modo pauciora, modo haec, modo illa simul aperit, variandi materia. [16] V. Th. Hobbes Element. de Corpore p. I. c. 5 Res, quarum dantur Termini in propositionem ingredientes, seu suo stylo, Nominata, quorum dantur nomina, dividit in Corpora (id est substantias, ipsi enim omnis substantia corpus), Accidentia, Phantasmata et Nomina, et sic nomina esse vel Corporum v.g. homo, vel Accidentium v.g. omnia abstracta, rationalitas, motus, vel Phantasmatum, quo refert spatium, Tempus, omnes Qualitates sensibiles etc., vel Nominum, quo refert secundas intentiones. Haec cum inter se sexies com2nentur, totidem oriuntur genera propositionum, et additis iis ubi termini homogenei com2nantur (corpusque attribuitur corpori, accidens accidenti, phantasma phantasmati, notio secunda notioni secundae), nempe 4, exsurgunt 10. Ex iis solos terminos homogeneos utiliter combinari arbitratur Hobbes. Quod si ita est, uti certe et communis philosophia profitetur, abstractum et concretum, accidens et substantiam, notionem primam et secundam male invicem praedicari, erit hoc utile ad artem inventivam propositionum, seu electionem com2nationum utilium ex innumerabili rerum farragine, observare; de qua infra. [17] VI. Venio ad exemplum complexionum haud paulo implicatius: determinationem numeri Modorum Syllogismi Categorici. Qua in re novas rationes iniit Joh. Hospinianus Steinanus, Prof. Organi Basileensis, vir contemplationum minime vulgarium, libello paucis noto, edito in 8. Basileae an. 1560 hoc titulo: Non esse tantum 36 bonos malosque categorici syllogismi modos, ut Aristot. cum interpretibus docuisse videtur, sed 512, quorum quidem probentur 36, reliqui omnes rejiciantur. [18] Incidi postea in controversias dialecticas ejusdem, editas post obitum autoris Basileae 8. anno 1576, ubi quae in Erotematis Dialecticis libelloque de Modis singularia statuerat, velut quadam Apologia, ex 23 problematibus constante, tuetur; promittit ibi et libellum de inveniendi judicandique facultatibus, et Lectiones suas in universum Organon cum Latina versione, quas ineditas arbitror fortasse ab autore conceptas potius, quam perfectas. Etsi autem variationem ordinis adhibere necesse est, quae spectat ad probl. 4, quia tamen potissimae partes complexionibus debentur, huc referemus. Cum libri hujus de Modis titulus primum se obtulit, antequam introspeximus, ex nostris traditis calculum subduximus hoc modo: Modus est dispositio seu forma syllogismi ratione quantitatis et qualitatis simul: Quantitate autem propositio est vel Universalis vel Particularis vel Indefinita vel Singularis; nos brevitatis causa utemur literis initialibus: U. P. I. S. Qualitate vel Affirmativa vel Negativa, A. N. Sunt autem in Syllogismo tres propositiones, igitur ratione quantitatis Syllogismus vel est aequalis vel inaequalis: Aequalis, seu habens propositiones ejusdem quantitatis 4 modis: 1. Syllogismus talis est: U, U, U. 2. P, P, P. 3. I, I, I. 4. S, S, S, ex quibus sunt utiles: 2. 1mus et 4tus; inaequalis vel ex parte vel in totum; [19] Ex parte, quando duae quaecunque propositiones sunt ejusdem quantitatis, tertia diversae. Et in tali casu duo genera Quantitatis sunt in eodem Syllogismo, etsi unum bis repetitur: id toties diversimode contingit, quoties res 4 id est genera haec quantitatum: U. P. I. S. diversimode sunt com2nabilia, 6 mahl, et in singulis 2 sunt casus, quia jam hoc bis repetitur, jam illud, altero simplici existente; ergo 6 ¯ 2 f. 12. Atque ita rursus in singulis, ratione ordinis, sunt variationes 3, nam v.g. hoc U, U, P, vel ponitur uti jam, vel sic: P, U, U, vel sic: U, P, U; ergo 12 ¯ 3 f. 36. Ex quibus utiles 18: 2U(S)U(S)S(U), 2U(S)S(U)U(S), 2S(U)U(S)U(S), 4U(S)U(S)P vel I, 4UI(P)I(P) vel loco U, S, 4I(P)UI(P) et S loco U. [20] In totum inaequalis, quando nulla cum altera est ejusdem magnitudinis, et ita quemlibet Syllogismum ingrediuntur genera 3, toties alia quoties 4 res possunt con3nari, nempe 4 mahl. Tria autem ratione ordinis variantur 6 mahl, v.g. U, P, I; U, I, P; P, U, I; P, I, U; I, U, P; I, P, U; ergo 4 ¯ 6 f. 24. Ex quibus utiles 12: 2 UP(I)I(P), 2 I(P)UP(I); totidem si pro U ponas S, 4+4 f. 8; 2 U(S)S(U)P; totidem si pro P ponas I, 2+2 f. 4. Addamus jam: 4+36+24 f. 64. Hae sunt variationes Quantitatis solius. Ex quibus sunt utiles: 2+18+12 f. 32. Caeteri cadunt per Reg. 1, Ex puris particularibus nihil sequitur; 2. Conclusio nullam ex praemissis quantitate vincit; etsi fortasse interdum ab utraque vincatur, uti in Barbari. [21] Porro cum Qualitatis duae solum sint diversitates A et N, propositiones vero 3, hinc repetitione opus est, et vel Modus est similis, id est ejusdem qualitatis, vel dissimilis: hujus nulla ulterius est variatio, quia nunquam ex toto, sed semper ex parte est dissimilis, nunquam enim omnes propositiones sunt dissimiles, quia solum 2 sunt diversitates. Similis species sunt 2: A, A, A; N, N, N; dissimilis 2: A, A, N, vel N, N, A; dissimilis singulae variantur ratione ordinis 3 mahl, v.g. A, A, N; N, A, A; A, N, A. Ergo 2¯3 f. 6+2 f. 8. Toties variatur Qualitas. Ex quibus utiles Variationes sunt 3: AAA; NAN; ANN, per reg. 1, ex puris negativis nihil sequitur; 2. Conclusio sequitur partem in qualitate deteriorem. Sed quia modus est variatio Qualitatis et Quantitatis simul, et ita singulae variationes Quantitatis recipiunt singulas Qualitatis, hinc 64 ¯ 8 f. 512, numerum omnium Modorum utilium et inutilium. [22] Ex quibus utiles sic repereris: duc variationes utiles quantitatis in qualitatis, 32 ¯ 3 f. 96; de producto subtrahe omnes modos, qui continentur in Frisesmo, id est qui ratione Qualitatis quidem sunt ANN, ratione quantitatis vero Major prop. est I vel P, Minor autem U vel S, et conclusio I vel P, quales sunt 8. Frisesmo enim etsi modus est per se quodammodo subsistens, tamen est in nulla figura, v. infra, jam 96-8 f. 88, numerum utilium Modorum. Hospiniano, cui nostra methodus ignota, aliter, sed per ambages procedendum erat. Primum igitur cap. 2. 3. Aristotelicos modos 36 investigat ex complicatione UPI. omisso S et conclusione; ex quibus utiles sunt 8: UA, UA in Barbara vel Darapti, UA, PA in Darii et Datisi, PA, UA in Disamis, UA, UN in Camestres, UN, UA in Celarent, Cesare, Felapton, UA, IN in Baroco, UN, IA in Ferio, Festino, Ferison, IN, UA in Bocardo. Quibus addit cap. 4. singulares similes aequales SA, SA, SN, SN, 2 inaequales 3ium generum singulis inversis, et quibuslibet vel A vel Neg. 3¯2¯2 f. 12+2 f. 14. Ex quibus Hospinianus solum admittit UA, PA, et ponit in Darii, quia singulares ait particularibus aequipollere cum communi Logicorum schola, quod tamen mox falsum esse ostendemus. C. 5 addit singulares dissimiles totidem, nempe 14, ex quibus Hosp. solum admittit SN, UA in Bocardo; item UN, SA in Ferio. C. 6 addita Conclusione quasi denuo incipiens enumerat modos similes aequales 4 ¯ 2 f. 8. ex quibus utiles solum UA, UA, UA in Barbara. Juxta Hospin. similes inaequales sunt vel ex toto inaequales, de quibus infra, vel ex parte, de quibus nunc, ubi duae propositiones sunt ejusdem quantitatis, tertia quaecunque diversae; et tunc modo duae sunt universales, una indefinita, quo casu sunt modi 6 (nam una vel initio vel medio vel fine ponitur 3, semperque aut omnes sunt A aut N. 3 ¯ 2 fac. 6) vel contra etiam 6 per cap. 7. fac. 12. Ex solis prioribus 6 utilis est UA, IA, IA in Darii et Datisi; item IA, UA, IA in Disamis; item UA, UA, IA in Darapti, et, ut Hospinianus non inepte, in Barbari. Certe cum ex propositione UA sequantur duae P. U, una conversa, hinc oritur modus indirectus Baralip; alterna subalterna 1, v.g. Omne animal est substantia. Omnis homo est animal. Ergo Quidam Homo est substantia. Hinc oritur iste: Barbari. Totidem, nempe 12, sunt modi per caput 8, si duae U et una P jungantur, vel contra; et iidem sunt modi utiles, qui in proxima mixtione, si pro I substituas P. Totidem, nempe 12, sunt modi per c. 8, si jungantur duae U et una S per c. 9, et quia Hospin. habet S pro P, putat solum modum utilem esse in Darii UA, SA, SA; v. infra. Item 12 IIP vel PPI; omnes inutiles per c. 10. Item 12 IIS vel SSI, omnes, ut ille putatur, inutiles per c. 11. Item 12 PPS vel SSP, omnes, ut ille putatur, inutiles per c. 12. Jam 6 ¯ 12 f. 72 + 8 fac. 80, numerum modorum similium additis variationibus Conclusionis. Dissimiles modi sunt vel aequales vel inaequales. Aequales sunt ex meris vel U vel P vel I vel S, 4 genera quae singula variantur ratione qualitatis sic: NNA, ANN etc. 6 mahl, uti supradiximus n. 20; jam 6 ¯ 4 f. 24, v. cap. 13. Utilis est: UA, UN, UN in Camestres. [23] Dissimiles inaequales sunt vel ex toto inaequales, ut nulla Propositio alteri sit aequalis, de quibus infra, vel ex parte, ut duae sint aequales, una inaequalis, de quibus nunc. Et redeunt omnes variationes quantitatis, de quibus in similibus ex c. 7. 8. 9. 10. 11. 12. in singulis de binis contrariis diximus; modi autem hic fiunt plures quam illic, ob variationem qualitatis accedentem. Erat igitur in c. 7. UUI vel contra IIU. Ordo quantitatis variatur 3 mahl, quia v.g. I modo initio, modo medio, modo fine ponitur. Qualitatis tum complexus variatur 2 mahl, NNA vel AAN, tum ordo 3 mahl, uti supra dictum, ponendo A vel N initio aut medio aut fine, ergo 3 ¯ 2 ¯ 3 f. 18 de UUI, et contra etiam 18 de IIU f. 36, per c. 14. In prioribus 18 utiles sunt modi: UA, UN, IN; vel loco IN, PN aut SN, et sunt in modo Camestros, uti supra Barbari; UN, UA, I (P.S.)N similiter in modo Celaro et Cesaro et Felapton; UA, I(P.S)N, I(P.S)N in Baroco; UN, I(P.S.)A, I(P.S.)N in Ferio, Festino et Ferison, qui ultimus tamen in S locum non habet; I(P.S.)N, UA, I(P.S.)N in Bocardo. Similiter UUP vel PPU 36 modos habent. Utiles designavimus proxime per P in ( ). Similiter UUS vel SSU faciunt simul modos 36 per c. 15. Modos utiles proxime signavimus per S. IIP vel PPI faciunt similiter 36 per c. 16; modi omnes sunt inutiles. IIS et SSI et PPS et SSP faciunt modos 2 ¯ 36 = 72 per c. 17, qui omnes sunt inutiles. Huc usque distulimus inaequales ex toto, ubi nulla propositio in eodem Syllogismo est ejusdem quantitatis, sunt autem vel similes vel dissimiles; inaequales ex toto similes sunt: UIP, quae forma habet modos 12, nam 3 res variant ordinem 6 mahl, qualitas autem variatur 2 mahl; ergo 6 ¯ 2 f. 12 per c. 18, ubi sunt inutiles: UA, I(P.S.)A, P(I.S.)A; UA, P(I.S.)A, I(P.S.)A in Darii et Datisi; I(P.S.)A, UA, P(I.S.)A; P(I.S.)A, UA, I(P.S.)A in Disamis, nisi quod S non ingreditur Minorem in Figura Tertia; UPS et UIS, quae habent modos 24 per c. 10. Utiles signavimus proxime per S. IPS, quae habet modos 12 per c. 20; omnes autem sunt inutiles iuxta Hosp. [24] Dissimiles omnino inaequales sunt eodem modo, uti similes: UIP quae variant ordinem 6 mahl. Qualitas autem variatur 6 mahl; ergo 6 ¯ 6 f. 36 per c. 21. Modi utiles sunt: UA, I(P.S.)N, P(I.S.)N in Baroco; UN, I(P.S.)A, P(I.S.)N in Ferio, Festino et Ferison; I(P.S.)N, UA, P(I.S.)N in Bocardo. UIS et UPS, 36 ¯ 2 f. 72 per c. 22. Modos utiles signavimus proxime per S et P et I in ( ). IPS habet modos 36 per c. 23, omnes inutiles juxta hypothesin Hosp. Addemus jam omnes modos a cap. 6 incl. ad c. 23 computatos (nam anteriores in his rediere) + 80. 24. 36. 36. 36. 36. 72. 12. 24. 12. 36. 72. 36. seu 80+12¯36 f. 512. In his Hospiniani speculationibus quaedam laudamus, quaedam desideramus. Laudamus inventionem novorum modorum: Barbari, Camestros, Celaro, Cesaro; laudamus quod recte observavit, modos, qui vulgo nomen invenere, v.g. Darii etc. habere se ad modos a se enumeratos velut genus ad speciem; sub Darii enim hi novem continentur ex ejus hypothesi: UA, IA, IA; UA, SA, SA; UA, PA, PA; UA, IA, SA; UA, SA, IA; UA, IA, PA; UA, PA, IA; UA, SA, PA; UA, PA, SA. Sed non aeque probare possumus, quod Singulares aequavit particularibus, quae res omnes ejus rationes conturbavit, effecitque ei modos utiles justo pauciores, ut mox apparebit. Hinc ipse in controversiis dialect. c. 22. p.430 errasse se fatetur et admittit modos utiles 38. nempe 2 praeter priores 36, 1. in Darapti, cum ex meris UA concluditur SA, quoniam Christus ita concluserit Luc. XXIII, v. 37. 38; 2. in Felapton, cum ex UN et UA concluditur SN, quia ita concluserit Paulus Rom. IX. v. 13. Nos etsi scimus ita vulgo sentiri, arbitramur tamen alia omnia veriora: Nam haec: Socrates est Sophronisci filius, si resolvatur fere iuxta modum Joh. Rauen, ita habebit: Quicunque est Socrates, est Sophronisci filius. Neque male dicitur: Omnis Socrates est Sophronisci filius, etsi unicus sit (neque enim de nomine, sed de illo homine loquimur), perinde ac si dicam: Titio omnes vestes quas habeo, do lego, quis dubitet, etsi unicam habeam, ei deberi? Imo secundum ICtos universitas quandoque in uno subsistit. l. municipium 7. D. quod cujusque univers. nom. Magnif. Carpzov. p.11. c. VI. def. 17. Vox enim: omnis, non infert multitudinem, sed singulorum comprehensionem. Imo supposito quod Socrates non habuerit fratrem, etiam ita recte loquor: Omnis Sophronisci filius est Socrates. Quid de hac propositione dicemus: Hic homo est doctus? Ex qua recte concludemus: Petrus est hic homo, ergo Petrus est doctus. Vox autem: Hic, est signum singulare. Generaliter igitur pronunciare audemus: omnis Propositio singularis ratione modi in syllogismo habenda est pro Universali, uti omnis indefinita pro particulari. Hinc etsi Modos utiles solum 36 numerat, sunt tamen 88, de quo supra, omissa nihilominus variatione, quae oritur ex figuris. Nam modi diversarum figurarum correspondentes, id est quantitate et qualitate convenientes, sunt unus simplex v.g. Darii et Datisi. Simplices autem modos voco, non computata figurarum varietate, Figuratos contra tales sunt modi Figurarum, quos vulgo recensent. Age igitur, ne quid mancum sit, et ad hoc descendamus, dum fervet impetus. Ad figuram requiruntur termini tres: Major, quem signabimus graece m; minor quem latine M; medius quem germanice M, et singuli bis. Ex his fiunt com2nationes 3, quae hic dicuntur propositiones, quarum ultima conclusio est, priores praemissae. Regulae com2nandi generales cuique figurae sunt: 1. nunquam com2nentur duo termini iidem, nulla enim propositio est: MM seu minor minor. 2. M et M solum com2nentur in Conclusione, ita ut semper praeponatur M hoc modo: MM. 3. in praemissarum 1ma com2nentur M et M, in secunda M et m. Neque enim pro variatione figurae habeo, quando aliqui praemissas transponunt, et loco hujus: B est C, A est B, ergo A est C, ponunt sic: A est B, B est C, ergo A est C, uti collocant P. Ramus, P. Gassendus, nescio quis I. C. E. libello peculiari edito, et jam olim Alcinous lib. 1. Doct. Plat. qui semper Majorem prop. postponunt, Minorem prop. praeponunt. Sed id non variat figuram, alioqui tot essent figurae, quot variationes numerant Rhetores, dum in vita communi Conclusionem nunc initio, nunc medio, nunc fine quam observant. [25] Manifestum igitur figurarum varietatem oriri ex ordine medii in praemissis, dum modo in majore praeponitur, in minore postponitur, quae est Aristotelica I, modo in majore et minore postponitur, quae est Aristot. II, modo utrobique praeponitur, quae est III, modo in Majore postponitur, in Minore praeponitur, quae est IV Galeni (frustra ab Hospiniano contr. Dial. Probl. 19. tributa Scoto, cum ejus meminerit Aben Rois) quam approbat Th. Hobbes Elem. de Corp. P. I. c. 4. art. 11. Designabuntur sic: I. Mm, MM, Mm, II. mM, MM, Mm, III. Mm, MM, Mm, IV. mM, MM, Mm. IVtae figurae hostibus unum hoc interim oppono: Quarta figura aeque bona est ac ipsa prima; imo si modo, non praedicationis, ut vulgo solent, sed subjectionis, ut Aristoteles, eam enunciemus, ex IV fiet I, et contra. Nam Arist. ita solet hanc v.g. propositionem: omne a est b, enunciare: b inest omni a. IVtae igitur figurae designatio orietur talis: M inest tô m, M inest tô M, ergo M est m; vel ut conclusio etiam sic enuncietur, transponendae praemissae, et conclusio erit: Ergo m inest tô M. Idem in aliis fieri figuris potest, quod reducendi artificium nemo observavit hactenus. [26] Caeterum secunda oritur ex prima, transposita propositione majore; 3tia, transposita minore; 4ta, transposita conclusione, sed hic alius efficitur syllogismus, quia alia conclusio. Unde modi hujus 4tae sunt designandi modis indirectis primae figurae ut vulgo vocant, dummodo praeponas majorem propositionem minori, non contra, ut vulgo contra morem omnium figurarum hanc unicam ob causam, ut vitaretur quarta Galeni, factum est, v.g. sit Syllogismus in Baralip: omne animal est substantia, omnis homo est animal, ergo quaedam substantia est homo. Certe substantia est minor terminus, igitur praemissa in qua ponitur, est minor, et per consequens propositio haec: Omne animal est substantia, non est ponenda primo secundo loco, tum prodibit ipsissima IVta figura. [27] Propter hanc transpositionem propositionum, quos vulgo Syllogismos in Celantes ponunt, sunt in Fapesmo, loco Frisesmo dicendum Fresismo, loco Dabitis Ditabis; Baralip manet. Hi sunt modi figurae IVtae, quibus addo Celanto et Colanto. Erunt simul 6 Modi: Imae sunt 6: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaro; Modi IIdae 6: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestros; Modi IIItiae etiam 6: Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison. Ita ignota hactenus figurarum harmonia detegitur, singulae enim modis sunt aequales; 1. Imae autem et 2dae figurae semper Major Propositio est U; 2. Imae et IIItiae semper Minor A. 3, in IIda semper conclusio N; 4. in IIItia Conclusio semper est P; in IVta conclusio nunquam est UA, Major nunquam PN, etsi minor N, major UA. Propter has regulas fit, ut non quilibet 88 modorum utilium in qualibet figura habeat locum; alioqui essent Modi utiles: 4 ¯ 96 f. 384. Modi autem figurati in universum utiles et inutiles 512 ¯ 4 f. 2048. Qui autem in qua figura sint utiles, praesens schema docebit:
8 UA, UA, UA. SA, SA, SA. UA, UA, SA. UA, SA, UA. SA, UA, UA. 8 UN, UA, UN. SN, SA, SN. UN, UA, SN. UN, SA, UN. SN, UA, UN. 8 UA, UN, UN. SA, SN, SN. UA, UN, SN. UA, SN, UN. SA, UN, UN. 8 UA, UA, PA. UA, UA, IA. SA, SA, PA. SA, SA, IA. UA, SA, IA. 8 UN, UA, PN. UN, UA, IN. SN, SA, PN. SN, SA, IN. UN, SA, IN. 8 UA, UN, PN. UA, UN, IN. SA, SN, PN. SA, SN, IN. UA, SN, IN. 8 UA, IA, IA. UA, PA, PA. UA, PA, IA. UA, IA, PA. SA, IA, IA. *
8 UN, IA, IN. UN, PA, PN. UN, PA, IN. UN, IA, PN. SN, IA, IN. 8 UA, IN, IN. UA, PN, PN. UA, PN, IN. UA, IN, PN. SA, IN, IN. 8 IA, UA, IA. PA, UA, PA. IA, UA, PA. PA, UA, IA. IA, SA, IA. 8 IN, UA, IA. PN, UA, PN. IN, UA, PN. PN, UA, IN. IN, SA, IN. Restat. 8 IA, UN, IN. PA, UN, PN. IA, UN, PN. PA, UN, IN. IA, SN, IN. 0 4 3 2 1
SA, SA, UA. SA, UA, SA. UA, SA, SA. 1 . . . - - - Barbara.
SN, SA, UN. SN, UA, SN. UN, SA, SN. 2 . . . - - Cesare. Celarent.
SA, SN, UN. SA, UN, SN. UA, SN, SN. 3 . . . - - Camestres. -
UA, SA, PA. SA, UA, IA. SA, UA, PA. 4 . . . Baralip. Darapti. - Barbari.
UN, SA, PN. SN, UA, IA. SN, UA, PN. 5 . . . Celanto. Felapt. Cesaro. Celaro.
UA, SN, PN. SA, UN, IN. SA, UN, PN. 6 . . . Fapesmo. - Camestros. -
* SA, PA, PA. SA, PA, IA. SA, IA, PA. 7 . . . - Datisi. - Darii.
SN, PA, PN. SN, PA, IN. SN, IA, PN. 8 . . . Fresismo. Ferison. Festino. Ferio.
SA, PN, PN. SA, PN, IN. SA, IN, PN. 9 . . . - Baroco. - - -
PA, SA, PA. IA, SA, PA. PA, SA, IA. 10 . . . Ditabis. Disamis. - -
PN, SA, PN. IN, SA, PN. PN, SA, IN. 11 . . . Calerent. Camestres. - -
Restat.
PA, SN, PN. IA, SN, PN. PA, SN, IN. 12 . . . Frisesmo. - - -
In quo descripti sunt omnes modi utiles, ex quibus octo semper constituunt modum figuratum generalem, tales autem voco illos vulgo appellatos, in quibus U et S, item I et P habentur pro iisdem. Ipsae lineae modorum constant ex quatuor trigis, in qualibet lineae quantitate conveniunt, differunt pro tribus illis utilibus qualitatis differentiis. Ipsae autem trigae inter se differunt quantitate, positae eo ordine quo supra variationes ejus invenimus, in quarum quatuor reducuntur omnes supra inventae, quia hic U et S, item I et P reducuntur ad eandem. Cuilibet lineae ad marginem posuimus Modos figuratos generales, in quos quilibet ejus Modus specialis cadit. In summo signavimus numeris figuram. [28] Ex eodem autem manifestum est, Modos figuratos generales esse vel Monadicos, vel correspondentes, et hos vel 2 vel 3 vel 4, prout plures paucioresve uni lineae sunt appositi. Singulae porro lineae habent unum modum simplicem generalem, quem explicare possumus sumtis vocalibus, uti vulgo, ut A sit UA (vel SA), E sit UN (vel SN), I sit P(vel I)A, O sit P(I)N (ita omittendae sunt 4 praeterea vocales U pro IA; Y pro IN; OY seu ou pro SA; ô pro SN; quas ad declarandum Hospinianum posuit Joh. Regius, quem vid. Disp. Log. lib. 4 probl. 5) et ita modus lineae 1. est AAA, 2. EAE, 3. AEE, 4. AAI, 5. EAO, 6. AEO, 7. AII, 8. EIO, 9. AOO, 10. IAI, 11. AEE, 12. IEO, abjectis nempe consonantibus ex vocibus vulgaribus, in quibus Scholastici per consonas figuram, per vocales modos simplices designarunt. Ultimus vero modus: IEO, quem diximus Frisesmo, et collocavimus in figura nulla, propterea est inutilis, quia major est P (hinc locum non habet in 1 et 2), minor vero N (hinc locum non habet in 1 et 3), etsi ex regulis modorum non sit inutilis. Quod vero in 4 locum non habeat, exemplo ostendo: Quoddam Ens est homo, Nullus Homo est Brutum, ergo quoddam brutum non est Ens. [29] Atque hic obiter consilium suppeditabo utile, quod vel ipso exemplo hoc comprobatur, in quo consistit Proba, ut sic dicam, seu ars examinandi modum propositum, et sicubi non formae, sed materiae vi concludit, celeriter instantiam reperiendi, qualem apud Logicos hactenus legere me non memini. Breviter: Pro UA sumatur propositio, quam materia non patitur converti simpliciter, v.g. sumatur haec potius: Omnis homo est animal, quam: Omnis homo est animal rationale, et quo remotius genus sumitur, hoc habebis accuratius. Pro UN eligatur talis, qua negentur de se invicem species quam maxime invicem vicinae sub eodem genere proximo, v.g. homo et brutum, et quae non sit convertibilis per contrapositionem in UA seu cujus neque subjectum neque praedicatum sit terminus infinitus. Pro P(I)A sumatur semper talis, quae non sit subalterna alicujus UA, sed in qua de genere quam maxime generali dicatur species particulariter. Pro (I)PN sumatur, quae non sit subalterna alicujus UN, et cujus neuter terminus sit infinitus, et in qua negetur de genere maxime remoto species. [30] Quod diximus de Terminis infinitis vitandis, ejus ratio nunc patebit. Prodiit cujusdam Joh. Christoph. Sturmii Compendium Universalium seu Metaphysicae Euclideae ed. 8. Hagae anno 1660 apud Adrian. Vlacq. Cui annexuit novos quosdam modos syllogisticos a se demonstratos, qui omnes videntur juxta communem sententiam impingere in alteram vel utramque harum duarum regularum qualitatis: Ex puris negativis nihil sequitur; et: Conclusio sequitur qualitatem debilioris ex praemissis. Ut tamen recte procedat argumentum, vel assumit propositionem affirmativam infiniti subjecti, quae stet pro negativa finiti, aut contra, v.g. aequipollent: Quidam non lapis est homo; et: quidam lapis non est homo (verum annoto, non procedere in universali contra, v.g. omnis lapis non est homo, ergo omnis non lapis est homo); vel assumat negativam infiniti praedicati pro affirmativa finiti, vel contra, v.g. aequipollent: omnis philosophus non est non homo, et: est homo; vel 3. assumat loco datae conversam ejus per contrapositionem. Iam UA convertitur per contrap. in UN, U et PN in PA, ita facile illi est elicere ex puris neg. affirmantem, si negativae ejus tales sunt, ut stent pro affirmativis; item ex A et N elicere affirmantem, si ista stet pro negativa. Ita patet, omnes illas 8 variationes Qualitatis fore utiles, et per consequens modos utiles fore 32 ¯ 8 f. 256 juxta nostrum calculum. Similis fere ratio est syllogismi ejus, de quo Logici disputant: Quicunque non credunt, damnantur, Iudaei non credunt, ergo damnantur. Sed ejus expeditissima solutio est, minorem esse affirmantem, quia Medius terminus affirmatur de minore. Medius terminus autem non est: credere, sed: non credere, id enim praeexstitit in maiori prop. [31] Non possum hic praeterire modum Daropti ex ingenioso invento Cl. Thomasii nostri. Is observavit ex Ramo Schol. Dialect. lib. 7. c. 6. pag. m. 214, Conversionem posse demonstrari per syllogismum adjiciendo propositionem identicam, v.g. UA in PA sic: omne a est g, omne a est a (si in 3tiae modo Darapti velis, vel omne g est g, si in 4tae modo Baralip), ergo quoddam g est a. Item PA in PA sic: Quoddam a est ã, omne a est a (si in 3tiae modo Disamis velis, vel omne g est g, si in 4tae modo Ditabis), ergo quoddam g est a. Item UN in UN (in Cesare 2dae) sic: Nullum a est g, omne g est g, ergo nullum g est a. Item PN vel in Baroco 3tiae sic: omne a est a, quoddam a non est g, ergo quoddam g non est a (vel in Colanto 4tae: Quoddam a non est g, omne g est g, ergo quoddam g non est a). Idem igitur ipse in Conversione per Contrapositionem tentavit, v.g. hujus PN: Quidam homo non est Doctus, in hanc PA infiniti subjecti: quoddam non doctum est homo. Syllogismus in Daropti erit talis: Omnis homo est homo, quidam homo non est doctus, ergo quoddam quod non est doctum est homo. [32] Observari tamen hic duo debent, Minorem juxta Sturmianam doctrinam videri quasi pro alia positam: Quidam homo est non doctus; deinde omnium optime sic dici: propositionis hujus: Quidam Homo non est doctus, conversam per contrapositionem proprie hanc esse etiam negativam: Quoddam doctum non est non non homo, et in conversione per contrapositionem identicam ipsam debere esse contrapositam, id ostendit syllogismus jam non amplius in Daropti, sed Baroco: Omnis homo est non non homo (id est, omnis homo est homo), quidam homo non est doctus, ergo quoddam doctum non est non non homo (id est, quoddam non doctum est homo). [33] Caeterum Sturmianos illos modos arbitror non formae, sed materiae ratione concludere, quia quod termini vel finiti vel infiniti sint, non ad formam propositionis seu copulam aut signum pertinet, sed ad terminos. Desinemus tandem aliquando Modorum, nam etsi minime pervulgata attulisse speramus, habet tamen et novitas taedium in per se taediosis. Ab instituto autem abiisse nemo non dicet, qui omnia ex intima Variationum doctrina erui viderit, quae sola prope per omne infinitum obsequentem sibi ducit animum, et harmoniam mundi et intimas constructiones rerum seriemque formarum una complectitur, cujus incredibilis utilitas perfecta demum philosophia, aut prope perfecta, recte aestimabitur. [34] Nam VIImus est in complicandis figuris geometricis usus, qua in re glaciem fregit Joh. Keplerus lib. 2. Harmonicôn. Istis complicationibus non solum infinitis novis Theorematis locupletari geometria potest, nova enim complicatio novam figuram compositam efficit, cujus jam contemplando proprietates, nova theoremata, novas demonstrationes fabricamus, sed et (si quidem verum est, grandia ex parvis, sive haec atomos sive moleculas voces, componi) unica ista via est in arcana naturae penetrandi, quando eo quisque perfectius rem cognoscere dicitur, quo magis rei partes et partium partes,
earumque figuras positusque percepit. Haec figurarum ratio primum abstracte in geometria ac stereometria pervestiganda: inde ubi ad historiam naturalem existentiamque, seu id quod revera invenitur in corporibus, accesseris, patebit Physicae porta ingens, et elementorum facies, et qualitatum origo et mixtura, et mixturae origo et mixtura mixturarum, et quicquid hactenus in natura stupebamus. [35] Caeterum brevem gustum dabimus, quo magis intelligamur: Figura omnis simplex aut rectilinea aut curvilinea est. Rectilineae omnes symmetrae, commune enim omnium principium: Triangulus. Ex cujus variis complicationibus congruis omnes Figurae rectilineae coeuntes (id est non hiantes) oriuntur. Verum curvilinearum neque circulus in ovalem etc. neque contra reduci potest, neque ad aliquid commune. Neutra vero triangulo et triangulatis symmetros. Porro quilibet circulus cuicunque circulo est symmetros, nam quilibet cuilibet aut concentricus est aut esse intelligitur; Ovalis vero vel Elliptica ea tantum symmetros quae concentrica intelligitur; ita neque omnis ovalis ovali symmetros est etc. Haec de simplicibus; jam ad complicationes. [36] Complicatio est aut congrua aut hians: congrua tum, cum figurae compositae lineae extremae seu circumferentiales nunquam faciunt angulum extrorsum, sed semper introrsum. Extrorsum autem fit angulus, cum portio circuli inter lineas angulum facientes descripta ex puncto concursus tanquam centro, cadit extra figuram, ad cujus circumferentiam lineae angulum facientes pertinent: introrsum cum intra. Hians est complicatio, cum aliquis angulus fit extrorsum. Stella autem est complicatio hians, cujus omnes radii (id est lineae stellae circumferentiales angulum extrorsum facientes) sunt aequales, ita ut si circulo inscribatur, ubique eum radiis tangat. Caeterum hiantes figurarum complicationes texturas voco, congruas proprie figuras. Sunt tamen et quaedam Texturae figuratae, quas et figuras hiantes ad oppositionem coeuntium voco. [37] Iam sunt theoremata: 1. Si duae figurae asymmetrae sunt contiguae (complicatio enim vel immediata est contiguitas, vel mediata inter tertium et primum, quoties tertium contiguum est secundo, et secundum vel mediate vel immediate primo), complicatio fit hians. 2. Curvilinearum inter se omnis contiguitas est hians, nisi alteri circumdetur Zona alterius symmetri dato concentrici. 3. Curvilineae cum rectilinea omnis contiguitas est hians, nisi in medio Zonae ponatur rectilinea. Zonam autem voco residuum in figura curvilinea majori, exempta concentrica minori. In contiguitate
Rectilinearum autem aut angulus angulo, aut angulus lineae, aut linea lineae imponitur. 4. Si angulus angulo imponitur aut lineae, contiguitas est in puncto. 5. Omnis curvilinearum inter se contiguitas hians est in puncto. 6. Omnis earum cum rectis contiguitas etiam non hians, itidem. 7. Linea lineae nonnisi ejusdem generis imponi potest, v.g. recta rectae, curvilinea ejusdem generis et sectionis. 8. Si linea lineae aequali imponatur, contiguitas est congrua, si inaequali, hians. [38] Observandum autem est plures figuras ad unum punctum suis angulis componi posse, quae est textura omnium maxime hians. Sed et hoc fieri potest, ut duae vel plures contiguae sint hiantes, accedat vero tertia vel plures, et efficiatur una figura, seu complicatio congrua. Unde nova contemplatio oritur, quae figura vel textura quibus addita faciat ex textura figuram, quod nosse magni momenti est ad rerum hiatus explendos. Restat ut computationem ex nostris praeceptis instituamus, ad quam requiritur ut determinetur numerus figurarum ad conficiendam texturam, et determinentur figurae complicandae; utrumque enim alias infinitum est. Sed hoc facile cuilibet juxta enumeratos casus et theoremata praestare; nobis ad alia properantibus satis est prima lineamenta duxisse tractationis de Texturis hactenus fere neglectae. Decebat fortasse doctrinam hanc illustrare schematibus, sed intelligentes non indigebunt; imperiti, uti fieri solet, nec intelligere tanti aestimabunt. [39] VIIIvus Usus est in casibus apud Iureconsultos formandis. Neque enim semper exspectandum est praecipue legislatori, dum casus emergat, et majoris est prudentiae leges quam maxime initio sine vitiis ponere, quam restrictionem ac correctionem fortunae committere. Ut taceam, rem judicariam in qualibet republica hoc constitutam esse melius, quo minus est in arbitrio judicis. Plato lib. 9. de Leg. Arist. 1. Rhet. Menoch. Arbitr. Iud. lib. 1. prooem. n. 1. [40] Porro Ars casuum formandorum fundatur in doctrina nostra de Complexionibus. Iurisprudentia enim cum in aliis geometriae similis est, tum in hoc quod utraque habet Elementa, utraque casus. Elementa sunt simplicia, in geometria figurae: triangulus, circulus etc. in Iurisprudentia: actus, promissum, alienatio etc. Casus: complexiones horum, qui utrobique variabiles sunt infinities. Elementa Geometriae composuit Euclides, Elementa juris in ejus Corpore continentur, utrobique tamen admiscentur Casus insigniores. Terminos autem in jure simplices, quorum mixtione caeteri oriuntur, et quasi Locos communes, summaque genera colligere instituit Bernhardus Lavintheta, Monachus ordinis Minorum, Com. in Lullii Artem Magnam, quem vide. Nobis sic visum: Termini quorum complicatione oritur in Iure diversitas casuum, sunt: Personae, Res, Actus, Iura. [41] Personarum genera sunt tum naturalia, ut: Mas, Foemina, Hermaphroditus, Monstrum, Surdus, Mutus, Caecus, Aeger, Embryo, Puer, Iuvenis, Adolescens, Vir, Senex, atque aliae differentiae ex physicis petendae, quae in jure effectum habent specialem; tum artificialia, nimirum genera vitae, corpora seu Collegia et similia. Nomina officiorum huc non pertinent, quia complicantur ex potestate et obligatione; sed ad jura. [42] RES sunt mobiles, immobiles, dividuae (homogeneae), individuae, corporales, incorporales, et speciatim: Homo, animal cicur, ferum, rabiosum, noxium; Equus, aqua, fundus, mare etc., et omnes omnino res, de quibus peculiare est jus. Hae differentiae petendae ex physicis. [43] ACTUS (aut non actus seu status) considerandi qua naturales: ita dividui, individui, relinquunt apotelesma vel sunt facti transeuntis; detentio quas est materiale possessionis, traditio, effractio, vis, caedes, vulnus; noxa, huc temporis et loci circumstantia, hae differentiae itidem petendae ex physicis; qua morales: ita sunt actus spontanei, coacti, necessarii, mixti, significantes, non significantes; inter significantes verba, consilia, mandata, praecepta, pollicitationes, acceptationes, conditiones. Haec omnis verborum varietas et interpretatio ex Grammaticis. Denique actus sunt vel juris effectum habentes, vel non habentes, et illi quidem pertinent ad catalogum jurium quae efficiunt, hi ex politicis ethicisque uberius enumerandi. [44] JURIUM itidem enumerandae vel species vel differentiae. Et hae quidem sunt v.g. realia, personalia; pura, dilata, suspensa; mobilia vel personae aut rei affixa etc. Species v.g. Dominium, directum, utile; Servitus, realis, personalis; Ususfructus, usus, proprietas, jus possidendi, Usucapiendi conditio; Potestas, obligatio (active sumta); Potestas administratoria, rectoria, coercitoria. Tum actus judiciales sumti pro jure id agendi tales sunt: postulatio, seu jus exponendi desiderium in judicio, cujus species pro ratione ordinis: Actio, Exceptio, Replica etc. nempe in termino; tum in scriptis aut alias extra terminum; supplicatio pro impetranda citatione, pro Monitorio etc. Jurium autem catalogus ex sola Jurisprudentia sumitur. [45] Nos hic festini quicquid in mentem venit attulimus, saltem ut mens nostra perspiceretur; alii termini simplices privata cujusque industria suppleri possunt, sed ita ut eos tantum ponat terminos, qui revera sunt simplices, id est quorum conceptus ex aliis homogeneis non componitur, quanquam in locis communibus, quorum disponendorum artificium potissimum huc redit, licebit terminos complexos simplicibus valde vicinos etiam tanquam peculiarem titulum collocare, v.g. Compensationem, quae componitur ex obligatione Titii Cajo, et ejusdem Caji Titio in rem dividuam, homogeneam seu commensurabilem, quae utraque dissolvitur in summam concurrentem. [46] Ex horum Terminorum simplicium, tum cum se ipsis aliquoties repetitis, tum cum aliis com2natione, con3natione etc. et in eadem complexione, variatione situs prodire casus prope infinitos quis non videt? Imo qui accuratius haec scrutabitur, inveniet regulas eruendi casus singulariores. Ac nos talia quaedam concepimus, sed adhuc impolitiora, quam ut afferre audeamus. [47] Par in Theologia terminorum ratio est, quae est quasi Jurisprudentia quaedam specialis, sed eadem fundamentalis ratione caeterarum. Est enim velut doctrina quaedam de Jure publico, quod obtinet in Republica DEI in homines, ubi Infideles quasi rebelles sunt, Ecclesia velut subditi boni, personae Ecclesiasticae, imo et Magistratus Politicus velut Magistratus subordinati, Excommunicatio velut Bannus, Doctrina de Scriptura sacra et verbo DEI velut de Legibus et earum interpretatione; de Canone, quae leges authenticae, de Erroribus fundamentalibus quasi de Delictis capitalibus, de Iudicio extremo et novissima die velut de Processu Iudiciario et Termino praestituto, de Remissione Peccatorum velut de jure aggratiandi, de Damnatione aeterna velut de Poena capitali etc. [48] Hactenus de usu Complexionum in Speciebus divisionum inveniendis; sequitur IXnus usus: Datis speciebus divisionis, praedivisiones seu genera et species subalternas inveniendi. Ac siquidem divisio, cujus species datae sunt, est dichotomia, locum problema non habet, neque enim ea est ulterius reducibilis; sin polytomia, omnino. [49] Esto enim trichotomia inter polytomias minima, seu dati generis species 3: a, b, c; con3natio igitur earum tantum 1 est in dato genere summo; Uniones vero 3. Illic ipsum prodit genus summum, hic ipsae species infimae, inter con3nationem autem et Unionem sola restat com2natio. Trium autem rerum com2nationes sunt 3, hinc oriuntur 3 genera intermedia, nempe abstractum seu genus proximum tôn a. b., item tôn b. c., item tôn a. c. Ad genus autem requiritur tum ut singulis competat, tum ut cum omnibus disjunctive sumtis sit convertibile. [50] Exemplo res fiet illustrior. Genus datum sit Respublica, species erunt 3, loco A Monarchia, loco B Oligarchia Polyarchica seu optimatum, loco C Panarchia; his enim terminis utemur commodissime, ut apparebit, et voce Panarchiae, etsi alio sensu, usus est Fr. Patritius Tomo inter sua opera peculiari ita inscripto, quo Hierarchias coelestes explicuit. Polyarchiae voce tanquam communi oligarchiae et panarchiae usus est Boxhornius lib. 2. c. 5. Inst. Polit. Igitur 1. Genus Subalternum tôn A. B. seu Monarchiae et regiminis Optimatum erit Oligarchia; imperant enim vel non omnes. Oligarchia (sed vel unus: Monarchia, vel plures: Oligarchia Polyarchica) vel omnes: Panarchia. [51] 2. Genus subalternum tôn B. C. erit Polyarchia; imperat enim vel unus: Monarchia, vel plures: Polyarchia (in qua iterum vel non omnes: Polyarchia Oligarchica, vel omnes: Panarchia). [52] 3. Genus subalternum tôn A. C. est Respublica extrema. Nam species reipublicae alia intermedia est optimatum (hinc et nomen duplex: Oligarchia polyarchica), alia Extrema. Extremae autem sunt, in quibus imperat unus, item in quibus omnes. Ita in minima tôn polytomiôn trichotomia, usum complexionum manifestum fecimus, quantae, amabo, in divisione virtutum in 11 species, similibusque aliis erunt varietates? ubi non solum singulae com2nationes, sed et con3nationes etc. usque ad con10nationes, eruntque computato genere summo et speciebus infimis in universum complicationes seu genera speciesque possibiles 2047. [53] Nam profecto tam est in abstrahendo foecundus animus noster, ut datis quotcunque rebus, Genus earum, id est conceptum singulis communem et extra ipsas nulli, invenire possit. Imo etsi non inveniat, sciet Deus, invenient angeli; igitur praeexistet omnium ejusmodi abstractionum fundamentum. [54] Haec tanta varietas generum subalternorum facit, ut in praedivisionibus seu tabellis construendis, invenienda etiam datae alicujus in species infimas divisionis sufficientia, diversas vias ineant autores, et omnes nihilominus ad easdem infimas species perveniant. Deprehendet hoc, qui consulet Scholasticos numerum praedicamentorum, virtutum cardinalium, virtutum ab Aristotele enumeratarum, affectuum etc. investigantes. [55] X. A divisionibus ad Propositiones tempus est ut veniamus, alteram partem Logicae inventionis. Propositio componitur ex subjecto et praedicato, omnes igitur propositiones sunt com2nationes. Logicae igitur inventivae propositionum est hoc problema solvere: 1. dato subjecto praedicata, 2. dato praedicato subjecta invenire, utraque tum affirmative, tum negative. [56] Vidit hoc Raym. Lullius Kabbalae Tr. 1. c. 1. fig. 1. p.46, et ubi priora repetit pag. 239 Artis Magnae. Is ut ostendat, quot propositiones ex novem illis suis terminis universalissimis: Bonitas, magnitudo, duratio etc. quas singulas de singulis praedicari posse dicit, oriantur, describit Circulum, ei inscribit enneagônon figuram regularem, cuilibet angulo ascribit terminum, et a quolibet angulo ad quemlibet ducit lineam rectam. Tales lineae sunt 36, tot nempe quot com2nationes 11 rerum. Cumque variari situs in qualibet com2natione possit bis, seu propositio quaelibet converti simpliciter, prodibit 36 ¯ 2 f. 72, qui est numerus propositionum Lullianarum. Imo talibus complexionibus omne artificium Lullii absolvitur; vide ejusdem operum Argentorati in 8. anno 1598 editorum pag. 49. 53. 68. 135, quae repetuntur p.240. 244. 245. Idem tabulam construxit ex 84 columnis constantem, quarum singulae continent 20 complexiones, quibus enumerat con4nationes suarum regularum literis alphabeticis denominatarum; ea tabula occupat pag. 260. 261. 262. 263. 264. 265. 266. Con3nationum vero tabulam habes apud Henr. Corn. Agrippam Com. in artem brevem Lullii, quae occupat 9 paginas, a pag. 863 usque 871 inclusive. Eadem ex Lullio pleraque exequitur, sed brevius Joh. Heinr. Alstedius in Architectura Artis Lullianae, inserta Thesauro ejus Artis Memorativae pag. 47 et seqq. [57] Sunt autem Termini Simplices hi: I. Attributa absoluta: Bonitas, Magnitudo, Duratio, Potestas, Sapientia, Voluntas, Virtus, Veritas, Gloria; II. Relata: Differentia, Concordantia, Contrarietas, Principium, Medium, Finis, Majoritas, Aequalitas, Minoritas; III. Quaestiones: Utrum, Quid, de Quo, Quare, Quantum, Quale, Quando, Ubi, Quomodo (cum Quo); IV. Subjecta: Deus, Angelus, Coelum, Homo, Imaginatio, Sensitiva, Vegetativa, Elementativa, Instrumentativa; V. Virtutes: Iustitia, Prudentia, Fortitudo, Temperantia, Fides, Spes, Charitas, Patientia, Pietas; VI. Vitia: Avaritia, Gula, Luxuria, Superbia, Acedia, Invidia, Ira, Mendacium, Inconstantia. Etsi Ian. Caecilius Frey Via ad Scient. et art. part. XI. c. 1. classem 3tiam et 6tam omittat. [58] Cum igitur in singulis classibus sint 9 res, et 9 rerum sint complexiones simpliciter 511, totidem in singulis classibus complexiones erunt, porro ducendo classem in classem per prob. 3. 511. 511. 511. 511. 511 ¯ 511. f. 17804320388674561, Zensicub. de 511. Ut omittam omnes illas variationes, quibus idem terminus repetitur, item quibus una classis repetitur, seu ex una classe termini ponuntur plures. [59] Et hae solum sunt complexiones; quid dicam de Variationibus Situs, si in complexiones ducantur. Atque hic explicabo obiter problema hoc: »Variationes situs seu dispositiones ducere in complexiones, seu datis certis rebus omnes variationes tam complexionis seu materiae, quam situs seu formae reperire. Sumantur omnes complexiones particulares dati Numeri (v.g. de Numero 4: uniones 4, com2nationes 6, con3nationes 4, con4natio 1) quaeratur variatio dispositionis singulorum Exponentium per probl. 4. infra (v.g. 1 dat 1, 2 dat 2, 3 dat 6, 4 dat 24), ea multiplicetur per complexionem suam particularem, seu de dato exponente (v.g. 1 ¯ 4 f. 4, 2 ¯ 6 f. 12, 4 ¯ 6 f. 24, 1 ¯ 24 f. 24). Aggregatum omnium factorum erit factus ex ductu Dispositionum in Complexiones, id est Quaesitum (v.g. 4. 12. 24. 24. + f. 64)«. [60] Verum in terminis Lullianis multa desidero. Nam tota ejus methodus dirigitur ad artem potius ex tempore disserendi, quam plenam de re data scientiam consequendi, si non ex ipsius Lullii, certe Lullistarum intentione. Numerum Terminorum determinavit pro arbitrio, hinc in singulis classibus sunt novem. Cur praedicatis absolutis, quae abstractissima esse debent, commiscuit Voluntatem, Veritatem, Sapientiam, Virtutem, Gloriam, cur Pulchritudinem omisit, seu Figuram, cur Numerum? Praedicatis relatis debebat accensere multo plura, v.g. Causam, totum, partem, Requisitum etc. Praeterea Majoritas, Aequalitas, Minoritas est nihil aliud, quam concordantia et differentia magnitudinis. Quaestionum tota classis ad praedicata pertinet: Utrum sit, est existentiae, quae durationem ad se trahit; Quid, essentiae; Quare, causae; de Quo, objecti; Quantum, magnitudinis; Quale, qualitatis, quae et genus praedicatorum absolutorum; Quando, temporis; Ubi, loci; Quomodo, formae; cum Quo, adjuncti: omnes terminorum sunt, qui aut relati sunt inter praedicata, aut referendi. Et cur Quamdiu omisit? anne durationi coincideret? cur igitur alia aeque coincidentia admiscet; denique Quomodo et cum Quo male confunduntur. [61] Classes vero ultimae Vitiorum et Virtutum sunt prorsus ad Scientiam hanc tam generalem aprosdionysoi. Ipsa quoque earum recensio quam partim manca, partim superflua! Virtutum recensuit priores 4 cardinales, mox 3 theologicas, cur igitur addita Patientia, quae in fortitudine dicitur contineri? cur Pietatem, id est amorem DEI, quae in Charitate? scilicet ut novenarii hiatus expleretur. Ipsa quoque Vitia cur non Virtutibus opposita recensuit? An ut intelligeremus in virtute vitia opposita, et in vitio virtutem? at ita vitia 27 prodibunt. Subjectorum census placet maxime. Sunt enim hi inprimis Entium gradus: DEUS, Angelus, Coelum (ex doctrina peripatetica Ens incorruptibile),
Homo, Brutum perfectius (seu habens imaginationem), imperfectius (seu sensum solum, qualia de zôophytois narrant), Planta. Forma communis corporum (qualis oritur ex commixtione Elementorum, quo pertinent omnia inanima). Artificalia (quae nominat instrumenta). Haec sunt quorum complexu Lullius utitur, de quo judicium, maturum utique, gravis viri Petri Gassendi Logicae suae Epicureae T. 1. operum capite peculiari. Quare artem Lullii dudum com2natoriam appellavit Iordan. Brunus Nolanus Scrutin. praefat. p. m. 684. [62] Atque hinc esse judico, quod immortalis Kircherus suam illam diu promissam artem magnam sciendi, seu novam portam scientiarum, qua de omnibus rebus infinitis rationibus disputari, cunctorumque summaria cognitio haberi possit (quo eodem fere modo suam Syntaxin artis mirabilis inscripsit Petr. Gregor. Tholosanus) Com2natoriae titulo ostentaverit. Unum hoc opto, ut ingenio vir vastissimo altius quam vel Lullius vel Tholosanus penetret in intima rerum, ac quae nos praeconcepimus, quorum lineamenta duximus, quae inter desiderata ponimus, expleat, quod de fatali ejus in illustrandis scientiis felicitate desperandum non est. Ac nos profecto haec non tam Arithmeticae augendae, et si et hoc fecimus, quam Logicae inventivae recludendis fontibus destinavimus, fungentes praeconis munere, et quod in catalogo desideratorum suis augmentis Scientiarum Verulamius fecit, satis habituri, si suspicionem tantae artis hominibus faciamus, quam cum incredibili fructu generis humani alius producat. [63] Quare age tandem artis complicatoriae (sic enim malumus, neque enim omnis complexus com2natio est) uti nobis constituenda videatur, lineamenta prima ducemus. Profundissimus principiorum in omnibus rebus scrutator Th. Hobbes merito posuit omne opus mentis nostrae esse computationem, sed hac vel summam addendo vel subtrahendo differentiam colligi; Elem. de Corp. p.1. c. 1 art. 2. Quemadmodum igitur duo sunt Algebraistarum et Analyticorum primaria signa + et -, ita duae quasi copulae est et non-est: illic componit mens, hic dividit. In tali igitur sensu to Est non est proprie copula, sed pars praedicati; duae autem sunt copulae, una nominata, non, altera innominata, sed includitur in tô est, quoties ipsi non additum: non, quod ipsum fecit, ut to Est habitum sit pro Copula. Possemus adhibere in subsidium vocem: revera, v.g. Homo revera est animal. Homo non est lapis. Sed haec obiter. [64] Porro ut constet ex quibus omnia conficiantur, ad constituenda hujus artis praedicamenta et velut materiam analysis adhibenda est. Analysis haec est: 1. Datus quicunque Terminus resolvatur in partes formales, seu ponatur ejus definitio; partes autem hae iterum in partes, seu terminorum definitionis definitio, usque ad partes simplices seu terminos indefinibiles. Nam ou dei pantos horon zêtein; et ultimi illi termini non jam amplius definitione, sed analogia intelliguntur. [65] 2. Inventi omnes Termini primi ponantur in una classe, et designentur notis quibusdam; commodissimum erit numerari. [66] 3. Inter Terminos primos ponantur non solum res, sed et modi sive respectus. [67] 4. Cum omnes termini orti varient distantia a primis, prout ex pluribus Terminis primis componuntur, seu prout est exponens Complexionis, hinc tot classes faciendae, quot exponentes sunt, et in eandem classem conjiciendi termini, qui ex eodem numero primorum componuntur. [68] 5. Termini orti per com2nationem scribi aliter non poterunt, quam scribendo terminos primos, ex quibus componuntur; et quia termini primi signati sunt numeris, scribantur duo numeri duos terminos signantes. [69] 6. At Termini orti per con3nationem aut alias majoris etiam exponentis Complexiones, seu Termini qui sunt in classe 3tia et sequentibus, singuli toties varie scribi possunt, quot habet complexiones simpliciter exponens ipsorum, spectatus non jam amplius ut exponens, sed ut numerus rerum. Habet hoc suum fundamentum in Usu IX, v.g. sunto termini primi his numeris signati 3. 6. 7. 9.; sitque terminus ortus in classe tertia, seu per con3nationem compositus, nempe ex 3bus simplicibus 3. 6. 9. et sint in classe 2da combinationes hae: (1) 3. 6. (2) 3. 7. (3) 3. 9. (4) 6. 7. (5) 6. 9. (6) 7. 9.; ajo terminum illum datum classis 3tiae scribi posse vel sic: 3. 6. 9. exprimendo omnes simplices; vel exprimendo unum simplicem, et loco caeterorum duorum simplicium scribendo com2nationem, v.g. sic: 1/2. 9. vel: 3/2. 6. vel sic: 5/2. 3. Hae quasi-fractiones quid significent, mox dicetur. Quo autem classis a prima remotior, hoc variatio major. Semper enim termini classis antecedentis sunt quasi genera subalterna ad terminos quosdam variationis sequentis. [70] 7. Quoties terminus ortus citatur extra suam classem, scribatur per modum fractionis, ut numerus superior seu numerator sit numerus loci in classe, inferior seu nominator, numerus classis. 8. Commodius est, in terminis ortis exponendis non omnes terminos primos, sed intermedios scribere, ob multitudinem, et ex iis eos qui maxime cogitanti de re occurrunt. Verum omnes primos scribere est fundamentalius. [71] 9. His ita constitutis possunt omnia subjecta et praedicata inveniri, tam affirmativa quam negativa, tam universalia quam particularia.
Dati enim subjecti praedicata sunt omnes termini primi ejus; item omnes orti primis propiores, quorum omnes termini primi sunt in dato. Si igitur Terminus datus, qui subjectum esse debet, scriptus est terminis primis, facile est eos primos, qui de ipso praedicantur, invenire, ortos vero etiam invenire dabitur, si in complexionibus disponendis ordo servetur. Sin terminus datus scriptus est ortis, aut partim ortis, partim simplicibus, quicquid praedicabitur de orto ejus, de dato praedicabitur. Et haec quidem omnia praedicata sunt latioris de angustiori, praedicatio vero aequalis de aequali est, quando definitio de Termino, id est vel omnes termini primi ejus simul, vel orti, aut orti et simplices, in quibus omnes illi primi continentur, praedicantur de dato. Eae sunt tot, quot modis nuperrime diximus unum Terminum scribi posse. [72] Ex his jam facile erit, numeris investigare omnia praedicata, quae de omni dato subjecto praedicari possunt, seu omnes U.A. Propositiones de dato subjecto, nimirum singularum classium a prima usque ad classem dati inclusive; numeri ipsas denominantes seu exponentes ponantur ordine v.g. 1. (de classe prima) 2. (de 2da) 3. 4. etc. Unicuique tanquam non jam amplius exponenti, sed numero assignetur sua complexio simpliciter, v.g. 1. 3. 7. 15; quaerantur complexiones particulares numeri classis ultimae seu de qua est terminus datus, v.g. de 4, cujus complexio simpliciter 15, uniones 4, com2nationes 6, con3nationes 4, con4natio 1; singulae complexiones simpliciter classium multiplicentur per complexionem particularem classis ultimae, quae habeat exponentem eundem cum numero suae classis, v.g. 1 ¯ 4 f. 4, 3 ¯ 6 f. 18, 4 ¯7 f. 28, 15 ¯ 1 f. 15; aggregatum omnium factorum erit numerus omnium praedicatorum de dato subjecto, ita ut propositio sit U.A. v.g. 4. 18. 28. 15. + f. 65. [73] Praedicata per propositionem P.A. seu numerus Propositionum Particularium affirmativarum ita investigabitur: inveniantur praedicata U.A. dati termini, uti nuper dictum est, et subjecta U.A, uti mox dicetur; addatur numerus uterque, quia ex U.A. propositione oritur P.A., tum per conversionem simpliciter, tum per subalternationem; productum erit Quaesitum. [74] Subjecta in propositione U.A. dati termini sunt tum omnes termini orti, in quibus terminus datus totus continetur, quales sunt solum in classibus sequentibus, et hinc oritur subjectum angustius, tum omnes termini orti qui eosdem cum dato habent terminos simplices, uno verbo ejusdem termini definitiones, seu variationes eum scribendi invicem sunt sibi subjecta aequalia. [75] Numerum subjectorum sic computabimus: inveniatur numerus omnium Classium. Eae autem sunt tot, quot termini sunt primi in prima classe, v.g. sunt termini in prima classe tantum 5, erunt classes in universum 5, nempe in 1ma uniones, in 2da com2nationes, in 3tia con3nationes, in 4ta con4nationes, in 5ta con5nationes. Ita erit inventus etiam numerus omnium classium sequentium, subtrahendo numerum classis termini dati, v.g. 2 de numero classium in universum 5 remanebit 3. Numerum autem classium seu terminorum primorum supponamus pro Numero rerum, numerum classis pro exponente, erit numerus terminorum in classe idem cum complexionibus particularibus dato numero et exponente, v.g. de 5 rebus uniones sunt 5, com2.3nationes 10, con4nationes 5, con5natio 1; tot igitur erunt in singulis classibus exponenti correspondentibus termini, supposito quod termini primi sint 5. Praeterea Terminus datus, cujus subjecta quaeruntur, respondebit capiti complexionum; Subjecta angustiora ipsis complexionibus quarum datum est caput. Igitur dati termini subjecta angustiora inveniemus, si problema hoc solvere poterimus: [76] »Dato capite complexiones invenire, partim simpliciter (ita inveniemus subjecta angustiora omnia) partim particulares, seu dato exponente (ita inveniemus ea tantum quae sunt in data classe). Problema hoc statim impraesentiarum solvemus, ubi manifestus ejus usus est, ne ubi seorsim posuerimus, novis exemplis indigeamus. Solutio igitur haec est: Subtrahatur de Numero rerum, v.g. 5: a.b.c.d.e. exponens capitis dati, v.g. a.b., 2-5 f. 3 aut a, 1-5 f. 4. Sive supponamus datum caput unionem sive com2nationem esse; complexio enim ut sit necesse est. Proposito item exponente subtrahatur, de eo itidem exponens capitis dati. Igitur si datus sit quicunque exponens, in cujus complexionibus quoties datum caput reperiatur invenire sit propositum, quaeratur complexio exponentis tanto minoris dato, quantus est exponens capitis dati, in numero rerum, qui sit itidem tanto minor dato, quantus est exponens capitis dati per tab. a probl. 1, inventum erit quod quaerebatur. At si Complexiones simpliciter capitis dati in omnibus complexionibus dati numeri quocunque exponente quaerere propositum sit, complexio Numeri rerum, numero dato tanto minoris, quantus est exponens capitis dati, erit quaesitum.« [77] E.g. in 5 rerum a.b.c.d.e unionibus datum caput a reperitur 1 vice (quae est nullio, seu 0llio de 4); datum caput a. b. 0lla vice (quae est super0llio, ut ita dicam, de 3); in com2nationibus earundem illud reperitur
vicibus 4 (quae sunt uniones de 4) hoc 1 (quae est 0llio de 3), in con3nationibus illud 6 (com2natio de 4) hoc 3 (unio de 3), in con4nationibus illud 4 (con3natio de 4) hoc 3 (com2natio de 3), in con5nationibus utrobique 1 vice (illic con4natio, hic con3natio de 3). Hae complexiones sunt dato exponente, ex quarum aggregatione oriuntur complexiones simpliciter, sed et sic: in 5 rerum complexionibus simpliciter (quae sunt 31) a reperitur vicibus 15 (complexio simpliciter de 4) ab 7 (complexio simpliciter de 3) vicibus. [78] Hae complexiones sunt numerus subjectorum angustiorum dati termini. Subjecta aequalia, quando definitiones definitionibus subjiciuntur, eadem methodo inveniuntur qua supra praedicata aequalia, Termini enim aequales sunt servata quantitate et qualitate convertibiles, igitur ex praedicatis fiunt subjecta et contra; praedicata autem tot sunt, quot dati termini (cujus subjecta quaeruntur) termini primi habent complexiones simpliciter, v.g. + a 1, ab 2. Additis jam subjectis aequalibus ad angustiora 1+15 f. 16, 2+7 f. 9, prodibit numerus subjectorum omnium dati termini, quem erat propositum invenire. [79] Subjecta hactenus Universalia, restant Particularia, ea tot sunt quot praedicata particularia. Praedicata et Subjecta negativa sic invenientur: computentur ex datis certis Terminis primis tanquam Numero rerum omnes termini tam primi quam orti, tanquam complexiones simpliciter, v.g. si termini primi sint 5, erunt 31; de producto detrahantur omnia praedicata affirmativa universalia et subjecta angustiora affirmativa universalia: residuum erunt omnia praedicata negativa. De subjectis contra. Particularia negativa ex universalibus computentur, uti supra PA ex UA computavimus. Omisimus vero propositiones identicas UA, quarum sunt tot quot complexiones simpliciter Terminorum primorum, seu quot sunt omnino termini et primi et orti, quia quilibet terminus vel primus vel ortus de se dicitur. Caeterum inter complexiones illas omisimus, in quibus idem terminus repetitur, quae repetitio in nonnullis producit variationem in infinitum, ut in numeris et figuris geometriae. [80] Methodus porro argumenta inveniendi haec est: Esto datus quicunque terminus tanquam subjectum A et alius quicunque tanquam praedicatum B, quaeratur medium: Medium erit praedicatum subjecti et subjectum praedicati, id est terminus quicunque continens A et contentus a B. Continere autem terminus terminum dicitur, si omnes ejus termini primi sunt in illo. Fundamentalis autem demonstratio est, si uterque terminus resolvatur in primos, manifestum erit alterum alterius aut partem esse, aut partium earundem. Mediorum autem numerum sic inveniemus: Subjectum et praedicatum vel sunt in eadem classe, vel diversa. Si in eadem, necesse est utrumque terminum esse ortum, et variationem scriptionis saltem seu definitionis ejusdem termini, poterunt igitur duae definitiones ejusdem termini non nisi per tertiam de se invicem probari. Igitur de numero definitionum ejusdem termini orti, quem investigavimus supra n. 69, subtrahatur 2, residuum erit numerus mediorum possibilium inter terminos aequales. [81] Sin non sunt in eadem classe, erit praedicatum in classe minoris exponentis, subjectum in classe majoris. Jam supponatur Praedicatum velut caput complexionis, exponens classis subjecti supponatur pro numero rerum. Inveniantur omnes complexiones dati capitis particulares per singulas classes a classe praedicati ad classem subjecti inclusive; in singulis classibus complexiones dati capitis particulares ducantur in complexiones simpliciter Exponentis ipsius classis pro numero rerum suppositi. Aggregatum omnium factorum, subtracto 2, erit quaesitum. [82] Praedicatum autem de subjecto negari facile inveniemus, si utroque termino in primos resoluto manifestum est neutrum altero contineri. Probari tamen negativa sic poterit: inveniantur omnia praedicata subjecti, cum de omnibus negetur praedicatum, totidem erunt media probandi negativam. Inveniantur omnia subjecta praedicati, cum omnia negentur de subjecto, etiam erunt totidem media probandi negativam. Utrisque igitur computatis numerum mediorum probandi negativam habebimus. [83] Admonendum denique est, totam hanc artem complicatoriam directam esse ad theoremata, seu propositiones quae sunt aeternae veritatis, seu non arbitrio DEI, sed sua natura constant. Omnes vero propositiones singulares quasi historicae, v.g. Augustus fuit Romanorum Imperator, aut observationes, id est propositiones universales, sed quarum veritas non in essentia, sed existentia fundata est, quaeque verae sunt quasi casu, id est DEI arbitrio, v.g. omnes homines adulti in Europa habent cognitionem DEI. Talium non datur demonstratio, sed inductio, nisi quod interdum observatio per observationem interventu Theorematis demonstrari potest. [84] Ad tales observationes pertinent omnes propositiones particulares, quae non sunt conversae vel subalternae universalis. Hinc igitur manifestum est, quo sensu dicatur singularium non esse demonstrationem, et cur profundissimus Aristoteles locos argumentorum posuerit in Topicis, ubi et propositiones sunt contingentes et argumenta probabilia, Demonstrationum autem unus locus est: definitio. Verum cum de re dicenda sunt ea quae non ex ipsius visceribus desumuntur, v.g. Christum natum esse Bethleemi, nemo huc definitionibus deveniet, sed historia materiam, loci reminiscentiam suppeditabunt. Haec jam locorum Topicorum origo, et in singulis maximarum, quibus omnibus qui sint fontes, ostenderemus itidem, nisi timeremus ne in progressu sermonis cupiditate declarandi omnia abriperemur. [85] Uno saltem verbo indigitabimus, omnia ex doctrina metaphysica relationum Entis ad Ens repetenda esse, sic ut ex generibus quidem relationum Loci, ex theorematis autem singulorum maximae efformentur. Hoc vidisse arbitror, praeter morem compendiographorum solidissimum Joh. Henr. Bisterfeld in Phosphoro Catholico seu Epitome artis meditandi ed. Lugd. Bat. anno 1657, quae tota fundatur in immeatione et perichôrêsei, ut vocat, universali omnium in omnibus, similitudine item et dissimilitudine omnium cum omnibus, quarum principia: Relationes. Eum libellum qui legerit, usum artis complicatoriae magis magisque perspiciet. [86] Ingeniosus ille, quem saepe nominavimus, Joh. Hospinianus, libellum promisit de inveniendi et judicandi facultatibus, in quo emendationem doctrinae Topicae paraverat, locosque recensuerat 180, maximas 2796, vide controvers. dial. p.442. Hunc ego insigni rei logicae damno nunquam editum arbitror. Abibimus hinc, cum primum geuma quoddam praxeos artis com2natoriae dederimus. [87] Commodissima Mathesis extemporaneo conatui visa est: hinc non a primis simpliciter terminis orsi sumus, sed a primis in mathesi; neque omnes posuimus, sed quos ad producendos complicatione sua terminos ortos propositos sufficere judicabamus. Potuissemus eadem methodo omnes definitiones ex Elementis Euclidis exponere, si tempus superfuisset. Quoniam autem non a primis simpliciter terminis orti sumus, hinc necessarium erat signa adhibere, quibus casus vocabulorum aliaque ad sermonem complendum necessaria intelligentur. Nam siquidem a primis simpliciter terminis incepissemus, pro ipsis casuum variationibus, quorum ex relationibus et metaphysica originem exposuit Jul. Caesar Scaliger lib. de Caus. L. L., terminos posuissemus. Adhibuimus autem articulos graecos. Numerum pluralem signavimus adscripto in ( ), 15 si quidem indefinitus, 2, 3 etc. si determinatus. [88] Esto igitur Classis I, in qua termini primi: 1. Punctum, 2. Spatium, 3. intersitum, 4. adsitum seu contiguum, 5. dissitum seu distans, 6. Terminus seu quae distant, 7. Insitum, 8. inclusum (v.g. centrum est insitum circulo, inclusum peripheriae), 9. Pars, 10. Totum, 11. idem, 12. diversum, 13. unum, 14. Numerus, 15. plura, v.g. 1. 2. 3. 4. 5 etc., 16. distantia, 17. possibile, 18. omne, 19. datum, 20. Fit, 21. Regio, 22. Dimensio, 23. Longum, 24. Latum, 25. Profundum, 26. Commune, 27. Progressio seu Continuatum. Classis II. 1. Quantitas est 14 tôn 9 (15), 2. Includens est 6. 10. III. 1. Intervallum est 2. 3. 10. 2. Aequale A tês 11. 1/2. 3. Continuum est A ad B, si tou A hê 9 est 4 et 7 tô B. IV. 1. Majus est A habens tên 9. 2/3 tô B. 2. Minus, B. 2/3 tê 9 tou A. 3. Linea, 1/3 tôn 1 (2). 4. Parallelum, 2/3 en tê 16. 5. Figura, 24. 8. ab 18. 21. V. 1. Crescens, quod 20. 1/4. 2. Decrescens, 20. 2/4. 3. Implexum est 2/3 in tê 11. 22. 4. Secans, 3/5 in tê 12, 22. VI. 1. Convergens, 2/5 en tê 16. 2. Divergens, 1/5 en tê 16. VII. 1. Superficies, 1/3 tôn 3/4. 2. Infinitum, 1/4 quam 18. 19. 17. 3. Peripheria, 3/4. 13. 2/2. 4. A dicitur Mensura seu metitur B, si 10 ex A (15) 2/3 est 2/3 tô B. VIII. 1. Maximum est 1/4 non 2/4. 2. Minimum, 2/4 non 1/4. 3. Recta, 3/4. 2/3. tê 16. tôn 6 (2). 4. quae non talis, Curva. 5. Arcus, 9. tês 3/7. IX. 1. Ambitus est 1/7. 2/2. X. 1. Commensurabilia sunt, quorum 4/7. 26 est et 1. et 2. XI. 1. Angulus est quem faciunt 3/4 (2). 4. 2/6. XII. 1. Planum est 1/7. 2/3. tê 16 tôn 6. XIII. 1. Gibbus, 1/7. 1/4. tê 16 tôn 6. XIV. 1. Rectilineum est 5/4 cujus 8 est tôn 3/8 (15). 2. quae dicuntur Latera. 3. si 3/8 (3), Triangulum. 4. Si 3/8 (4), Quadrangulum etc. XV. 1. Lunula est 1/3 tôn 5/8 (2), non 2/3. 4 (2) [subintelligo autem tam lunulam gibbosam, qua arcus arcui concavitatem obvertit, quam falcatam, qua interior alterius concavitati suam convexitatem] XVI. 1. Angulus rectus est 1/11. 2/3. in tô 18. 21. 2. Segmentum est 3 ton 2/2 et 3/8. 7 tê 5/4. XVII. 1. Aequilaterum est 5/4 cujus est 2/2 tôn 3/8 (15). 2. Triangulum aequicrurum est 5/4 cuius 2/2 est tôn 3/8 (3) 2/3 (2). 3. Scalenum est 5/4 cujus 2/2 est 8 tôn 3/8 (3) non 2/3 (3). XVIII. 1. Angulus contactus est quem faciunt 3/4 (2). 4. 2/6 non 4/5. 27. modo 17. XIX. 1. Inscriptum est 4/5. 7 cujus 1/11 (15) sunt 4 tô 2/2. 2. Circumscripta vero est ea figura cui inscripta est. XX. 1. Angulus obtusus est 1/4 quam 1/16. 2. Acutus, 2/4 quam 1/16. XXI. 1. Diameter est 3/8. 1/8. 7. tê 5/4. XXII. 1. Circulus est 1/12. 8. ab 18. 21. habens tên 16. 2/3 tou 19 alicuius 1 (quod dicitur 2. Centrum Circuli) ab 18. 6. 2. Triangulum rectangulum est 5/4 cujus 1/11 (3) sunt omnes, sed 13. est 2/3. in tô 18. 21. XXIII. 1. Centrum Figurae est 1. 26 tois 1/21 (15). XXIV. 1. Semifigura data v.g. semicirculus etc. est 3. ton 1/22 et (dimidium toy) 2/2. Hinc facile erit definitiones conficere, si observetur, quod n. 70 diximus in iis notis, quae per fractiones scriptae sunt: nominatorem designare numerum classis, numeratorem numerum termini in classe, v.g. centrum est 1. (punctum) 26. (commune) tois 1/21 (diametris) 15 pluribus. Diameter est 3/8 (recta) 1/8 (maxima) 7 (insita) tê 5/4 (figurae). [89] Ex his, quae de Arte complicatoria Scientiarum seu Logica inventiva disseruimus, cujus quasi praedicamenta ejusmodi Terminorum tabula absolverentur, fluit velut Porisma seu usus XI: Scriptura Universalis, id est cuicunque legenti, cujuscunque linguae perito intelligibilis, qualem hodie complures viri eruditi tentarunt, quorum diligentissimus Caspar Schottus hos recenset lib. 7. Techn. Curios., primo Hispanum quendam, cujus meminerit Kenelm. Digbaeus Ar. de Nat. Corp. c. 28. n. 8. quique fuerit Romae anno 1653, ejus methodus haec ex ipsa natura rerum satis ingeniose petita: distribuebat res in varias classes, in qualibet classe erat certus numerus rerum. Ita meris numeris scribebat, citando numerum classis et rei in classe, adhibitis tamen notis quibusdam flexionum grammaticarum et orthographicarum. Idem fieret per classes a nobis praescriptas fundamentalius, quia in iis fundamentalior digestio est. Deinde Athanasium Kircherum, qui Polygraphiam suam novam et universalem dudum promisit; denique Joh. Joachimum Becherum, Archiatrum Moguntinum, opusculo primum Francofurti Latine edito, deinde germanice anno 1661; is requirit, ut construatur Lexicon Latinum, tanquam fundamentum, et in eo disponantur voces ordine pure alphabetico et numerentur; fiant deinde Lexica, ubi voces in singulis linguis dispositae non alphabetice, sed quo ordine Latinae dispositae sunt ipsis respondentes. Scribantur igitur quae ab omnibus intelligi debent, numeris, et qui legere vult, is evolvat in lexico suo vernaculo vocem dato numero signatam, et ita interpretabitur. Ita satis erit legentem vernaculam intelligere et ejus Lexicon evolvere, scribentem necesse est (nisi habeat unum adhuc Lexicon suae linguae alphabeticum ad numeros se referens) et vernaculam et latinam tenere, et utriusque lexicon evolvere. Verum et Hispani illius et Becheri artificium et obvium et impracticabile est ob synonyma, ob vocum ambiguitatem, ob evolvendi perpetuum taedium (quia numeros nemo unquam memoriae mandabit), ob heterogeneian phrasium in linguis. [90] Verum constitutis Tabulis vel praedicamentis artis nostrae complicatoriae majora emergent. Nam Termini primi, ex quorum complexu omnes alii constituuntur, signentur notis, hae notae erunt quasi alphabetum. Commodum autem erit notas quam maxime fieri naturales, v.g. pro uno punctum, pro numeris puncta, pro relationibus Entis ad Ens lineas, pro variatione angulorum aut Terminorum in lineis genera relationum. Ea si recte constituta fuerint et ingeniose, scriptura haec universalis aeque erit facilis quam communis, et quae possit sine omni lexico legi, simulque imbibetur omnium rerum fundamentalis cognitio. Fiet igitur omnis talis scriptura quasi figuris geometricis, et velut picturis, uti olim Aegyptii, hodie Sinenses, verum eorum picturae non reducuntur ad certum Alphabetum seu literas, quo fit ut incredibili memoriae afflictione opus sit, quod hic contra est. Hic igitur est Usus XI. complexionum, in constituenda nempe polygraphia universali. [91] XIImo loco constituemus jucundas quasdam partim contemplationes, partim praxes ex Schwenteri Deliciis Mathematicis et supplementis G.P. Harsdörfferi, quem librum publice interest continuari, haustas. P. 1. sect. 1. prop. 32 reperitur numerus complexionum simpliciter, quem faciunt res 23, v.g. literae Alphabeti, nempe 8388607. P. 2 sect. 4. prop. 7 docet dato textu melodias invenire, de quo nos infra probl. 6. [92] Harsdörfferus parte ead. sect. 10. prop. 25 refert ingeniosum repertum Dni de Breissac, qua nihil potest arti scientiarum complicatoriae accommodatius reperiri. Is, quaecunque in re bellica attendere bonus imperator debet, ita complexus est: facit classes novem, in Ima quaestiones et circumstantias, in IIda status, in III. personas, in IV. actus, in V. fines, in VI. instrumenta exemtae actionis, seu quibus uti in nostra potestate est, facere autem ea, non est; VII. instrumenta quae et facimus et adhibemus; VIII. instrumenta quorum usus consumtio est; IX. actus finales seu proximos executioni, v.g.
1. An. Cum quo. Ubi. Quando. Quomodo. Quantum.
2. Bellum. Pax. Induciae. Colloquium. Foedus. Transactio.
3. Patriotae. Subditi. Foederati. Clientes. Neutrales. Hostes.
4. Manere. Cedere. Pugnare. Proficisci. Expeditio. Hyberna.
5. Decus. Lucrum. Obedientia. Honestas. Necessitas. Commoditas.
6. Sol. Aqua. Ventus. Itinera. Angustiae. Occasio.
7. Cursus. Scalae. Pontes. Ligones. Palae(Schauffeln). Naves.
8. Pecunia. Commeatus. Pulvis Torm. Globi Torm. Equi. Medicamenta.
9. Excubiae. Ordo. Impressio. Securitas. Aggressio. Consilia.
[93] Fiant novem rotae ex papyro, omnes concentricae et se invicem circumdantes, ita ut quaelibet reliquis immotis rotari possit. Ita promota leviter quacunque rota nova quaestio, nova complexio prodibit. Verum cum hic inter res ejusdem classis non detur complexio atque ita accurate loquendo non sit complexio terminorum cum terminis, sed classium cum classibus, pertinebit computatio variationis ad probl. 3. Quoniam tamen complexio etiam, quae hujus loci est, potest repraesentari rotis, ut mox dicemus, fecit cognatio, ut praeoccuparemus. Sic igitur inveniemus: multiplicetur 6 in se novies: 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6. ¯ 6. seu quaeratur progressio geometria sextupla, cujus exponens 9, aut Cubicubus de 6. f. 1 0077696; tantum superest, ut sint solum 216 quaestiones, quod putat Harsdörfferus. [94] Caeterum quoties in Complexionibus singuli termini in singulos ducuntur, ibi necesse est tot fieri rotas, quot unitates continet numerus rerum: deinde necesse est singulis rotis inscribi omnes res. Ita variis rotarum conversionibus complexiones innumerabiles gignentur, eruntque omnes complexiones quasi jam scriptae seorsim, quibus revera scribendis vix grandes libri sufficient. [95] Sic ipsemet doctissimus Harsdörff. P. 13. sect. 14. prop. 5. machinam 5 rotarum concentricarum construxit, quam vocat Fünffachen Denkring der teuschen Sprache, ubi in rota intima sunt 48 Vorsylben, in penintima 60 Anfangs- und Reim-Buchstaben, in media 12 Mittel-Buchstaben, vocales nempe vel diphthongi, in penextima 120 End-Buchstaben, in extima 24 Nachsylben. In has omnes voces germanicas resolvi contendit. Cum hic similiter classes sint in classes ducendae, multiplicemus: 48. 60. 12. 120. 24, factus ex prioribus per sequentem f. 97209600, qui est numerus vocum germanicarum hinc orientium utilium seu significantium et inutilium. [96] Construxit et rotas Raym. Lullius, et in Thesauro artis memorativae Ioh. Henr. Alstedius, cujus rotis, in quibus res et quaestiones, adjecta est norma mobilis, in qua loci Topici, secundum quos de rebus disseratur, quaestiones probentur; et fraternitas Roseae Crucis in fama sua promittit grandem librum titulo Rotae Mundi, in quo omne scibile contineatur. Orbitam quandam pietatis, ut vocat, adjecit suo Veridico Christiano Ioh. Davidius Soc. J. Ex eodem principio Complicationum est Rhabdologia Neperi, et pensiles illae Serae, die Vorleg-Schlösser, quae sine clave mirabili arte aperiuntur, vocant Mahl-Schlösser, nempe superficies serae armillis tecta est, quasi annulis gyrabilibus, singulis annulis literae Alphabeti inscriptae sunt. Porro serae certum nomen impositum est, v.g. Ursula, Catharina, ad quod nisi casu qui nomen ignorat, annulorum gyrator pervenire non potest. At qui novit nomen, ita gyrat annulos invicem, ut tandem nomen prodeat, seu literae alphabeti datum nomen conficientes sint ex diversis annulis in eadem linea, justa serie. Tum demum ubi in tali statu annuli erunt, poterit facillime sera aperiri. Vide de his Seris armillaribus Weckerum in Secretis, Illustrissimum Gustavum Selenum in Cryptographia fol. 449, Schwenterum in Deliciis sect. 15. prop. 25. Desinemus Usus problematis 1 et 2 enumerare, cum coronidis loco de Coloribus disseruerimus. [97] Harsdörfferus P. 3. Sect. 3. prop. 16 ponit colores primos hos 5: Albus, flavus, rubeus, caeruleus, niger. Eos complicat, ita tamen ut extremi: albus et niger, nunquam simul coëant. Oritur igitur cx AF subalbus, AR carneus, AC cinereus; FR aureus, FC viridis, FN fuscus; RC purpureus; RN subrubeus; CN subcaeruleus. Sunt igitur 9, quot nempe sunt com2nationes 5 rerum, demta Una, extremorum. Quid vero si tertii ordinis colores addantur, seu con3nationes primorum et com2nationes secundorum, et ita porro, quanta multitudo exsurget? Hoc tamen admoneo, ipsos tanquam primos suppositos non esse primos, sed omnes ex albi et nigri, seu lucis et umbrae mixtione oriri. [98] Ac recordor legere me, etsi non succurrit autor, nobilem acupictorem nescio quem 80 colores contexuisse, vicinosque semper vicinis junxisse, ex filis tamen non nisi nigerrimis ac non nisi albissimis, porro varias alternationes alborum nigrorumque filorum, et immediationes modo plurimum alborum, modo plurium nigrorum, varietatem colorum progenuisse; fila vero singula per se inermi oculo invisibilia paene fuisse. Si ita est, fuisset hoc solum experimentum satis ad colorum naturam ab ipsis incunabulis repetendam.
Prob. III.
DATO NUMERO CLASSIUM ET RERUM IN CLASSIBUS COMPLEXIONES CLASSIUM INVENIRE.
[1] »Complexiones autem classium sunt, quarum exponens cum numero classium idem est; et qualibet complexione ex qualibet classe res una. Ducatur numerus rerum unius classis in numerum rerum alterius, et si plures sunt, numerus tertiae in factum ex his, seu semper numerus sequentis in factum ex antecedentibus; factus ex omnibus continue, erit quaesitum.« [2] Usus hujus problematis fuit tam in usu 6. probl. 1 et 2, ubi modos syllogisticos investigabamus, tum in usu 12, ubi et exempla prostant. Hic aliis utemur. Diximus supra, Complexionum doctrinam
versari in divisionum generibus subalternis inveniendis, inveniendis item speciebus unius divisionis, et denique plurium in se invicem ductarum. Idque postremum huic loco servavimus. [3] Divisionem autem in divisionem ducere est unius divisionis membra alterius membris subdividere, quod interdum procedit vice versa, interdum non. Interdum omnia membra unius divisionis omnibus alterius subdividi possunt, interdum quaedam tantum, aut quibusdam tantum. Si vice versa, ita signabimus ; si quaedam tantum, ita: ; si quaedam quibusdam tantum, ita: . Ad nostram vero computationem primus saltem modus pertinet, in quo exemplum suppetit ex Politicis egregium. A esto Respublica, a recta, b aberrans, quae est divisio moralis; c Monarchia, d Aristocratia, e Democratia, quae est divisio numerica: ducta divisione numerica in moralem, orientur species mixtae 2 ¯ 3 f. 6, ac. ad. ae. bc. bd. be. [4] Hinc origo formulae hujus: divisionem in divisionem ducere, manifesta est, ducendus enim numerus specierum unius in numerum specierum alterius. Numerum autem in numerum ducere est numerum numero multiplicare, et toties ponere datum, quot alter habet unitates. Origo est ex geometria, ubi si linea aliam extremitate contingens ab initio ad finem ipsius movetur, sic ut eam radat, spatium omne, quod occupabit linea mota, constituet figuram quadrangularem, si ad angulos rectos alteram contingit, heteromêkes aut quadratum: sin aliter, rhombum aut rhomboeides; si alteri aequalis, quadratum aut rhombum; sin aliter, heteromêkes aut rhomboeides. Hinc et spatium ipsum quadrangulare facto ex multiplicatione lineae per lineam aequale est. [5] Caeterum ejusmodi divisionibus complicabilibus pleni sunt libri tabularum, oriunturque nonnunquam confusiones ex commixtione diversarum divisionum in unum, quod dividentibus conscientiam in rectam, erroneam, probabilem, scrupulosam, dubiam, factum videtur. Nam ratione veritatis in rectam et erroneam dispescitur, ratione firmitatis in apprehendendo in certam, probabilem, dubiam; quid autem aliud dubia, quam scrupulosa? [6] Hujus problematis etiam propria investigatio Varronis apud B. Augustinum lib. 19 de Civ. DEI cap. 1. numeri sectarum circa summum bonum possibilium. Primum igitur calculum ejus sequemur, deinde ad exactius judicium revocabimus. [7] Divisiones sunt VI, 1ma quadrimembris, 2da et 6ta trimembris, reliquae bimembres. I. Summum Bonum esse potest vel Voluptas, vel Indoloria, vel utraque, vel prima naturae. 4. II. horum quodlibet vel propter virtutem expetitur, vel virtus propter ipsum, vel et ipsum et virtus propter se. 4 ¯ 3. f. 12. III. S. B. aliquis vel in se quaerit, vel in societate. 12 ¯ 2. f. 24. IV. Opinio autem de S. B. constat vel apprehensione certa, vel probabili Academica. 24 ¯ 2 f. 48. V. Vitae item genus cynicum vel cultum. 48 ¯ 2 f. 96. VI. Otiosum, negotiosum vel temperatum. 96 ¯ 3 f. 288. Haec apud B. Augustinum Varro cap. 1; at c. 2 accuratiorem retro censum instituit. Divisionem ait 3. 5. et 6. facere ad modum prosequendi, 4 ad modum apprehendendi S. B.; corruunt igitur divisiones ultimae et varietates 276, remanent 12. Porro capite 3. Voluptatem, indoloriam et utramque ait contineri in Primis naturae. Remanent igitur 3 (corruunt 9): Prima naturae propter se, virtus propter se, utraque propter se. Postremam autem sententiam et quasi cribratione facta in fundo remanentem amplectitur Varro. [9] Ego in his noto, Varronem non tam possibiles sententias colligere voluisse, quam celebratas, hinc axioma ejus: qui circa summum bonum differant, secta differre; et contra. Interim dum divisionem instituit, non potuit, quin quasdam adespotous admisceret. Alioqui cur divisiones attulit, quas postea summi boni varietatem non facere agnoscit; an ut numero imperitis admirationem incuteret? Praeterea si genera vitae admiscere voluit, cur non plura? nonne alii scientias sectantur, alii minime; alii professionem faciunt ex sapientia, creduntque hac imprimis summum Bonum obtineri? Etiam hoc ad S. B. magni momenti est, in qua quis republica vivat: alii vitam rusticam urbanae praetulere, suntque genera variationum infinita fere, in quibus singulis aliqui fuere, qui hac sola via crederent ad S. B. iri posse. [10] Porro quando prima divisio ducitur in 1mum membrum secundae, facit 4 species: 1. voluptas, 2. indoloria, 3. utraque, 4. prima naturae, propter virtutem, cum tamen in omnibus sit unum summum Bonum Virtus; qui prima naturae, is et caetera; qui voluptatem, is et indoloriam ad virtutem referet. Adde quod erat in potestate Varronis, non solum 2dam et 6tam, sed et 3. et 4. et 5. trimembrem facere, addendo 3tiam speciem, semper mixtam ex duabus; v.g. in se vel in societate, vel utraque; apprehensione certa, probabili, dubia; cynicum, cultum, temperatum. [11] Fuit et sententia, quae negaret dari S. B. constans, sed faciendum quod cuique veniret in mentem, ad quod ferretur motu puro animi et irrefracto. Huc fere Academia nova, et hodiernus Anabaptistarum spiritus inclinabat. Ubi vero illi qui negant in hac vita culmen hoc ascendi posse? quod Solon propter incertitudinem pronunciandi dixit, Christiani philosophi ipsa rei natura moti. Valentinus vero Weigelius nimis Enthusiastice, beatitudinem hominis esse Deificationem. [12] Apud illos quoque, quibus collocatur beatitudo in aeterna vita, alii asserunt, alii negant Visionem substantiae DEI beatificam. Hoc reformatos recordor facere, et exstat de hoc argumento dissertatio inter Gisb. Voetii selectas; illud nostros, ac pro hac sententia scripsit Matth. Hoë ab Hoënegg peculiarem libellum contra Dnum. Budowiz a Budowa. [13] In hac quoque vita omnes illos omisit Varro, qui bonum aliquod externum, eorum quae fortunae esse dicunt, summum esse supponunt, quales fuisse, ipsa Aristotelis recensio indicio est. Corporis bona sane pertinent ad prima naturae, sed fieri potest ut aliquis hoc potissimum genus voluptatis sequatur, alius aliud. Et bonum animi jam aut habitus aut actio est, illud Stoicis, hoc Aristoteli visum. Stoicis hodie se applicuit accuratus sane vir, Eckardus Leichnerus, Medicus Erphordiensis, tr. de apodictica scholarum reformatione et alibi. [14] Quin et voluptatem animi pro S. B. habendam censet Laurentius Valla in lib. de Vero Bono, et ejus Apologia ad Eugenium IV, Pontificem Maximum, ac P. Gassendus in Ethica Epicuri, idque et Aristoteli excidisse VII. Nicomach. 12 et 13 observavit Cl. Thomasius Tab. Phil. Pract. XXX. lin. 58. Ad voluptatem animi gloriam, id est triumphum animi internum, sua laude sibi placentis, reducit Th. Hobbes initio librorum de cive. Fuere qui contemplationem actioni praeferrent, alii contra, alii utramque aequali loco posuere. Breviter quotquot bonorum imae sunt species, quotquot ex illis complexiones, tot sunt summi boni possibiles sectae numerandae. [15] Ex hoc ipso problemate origo est numeri personarum in singulis gradibus Arboris Consanguinitatis, eum nos, ne nimium a studiorum nostrorum summa divertisse videamur, eruemus. Computationem autem, canonica neglecta, civilem sequemur. [16] Duplex personarum in singulis gradibus enumeratio est, una generalis, altera specialis. In illa sunt tot personae quot diversi flexus cognationis, eadem tamen distantia. Flexus autem cognationis voco ipsa velut itinera in arbore consanguinitatis, lineas angulosque, dum modo sursum deorsumve, modo in latus itur. In hac non solum flexus cognationis varietatem facit, sed et sexus tum intermediarum, tum personae, cujus distantia quaeritur a data. In illa enumeratione Patruus, Amita, id est Patris frater sororve, Avunculus, Matertera, id est Matris frater sororve, habentur pro eadem persona, et convenientissime intelliguntur in voce Patrui, quia masculinus dignior foemininum comprehendit; sed in enumeratione speciali habentur pro 4 diversis personis. Igitur illic cognationes, hic personae numerantur (sic tamen ut plures fratres vel plures sorores, quia ne sexu quidem variant, pro una utrobique persona habeantur); illa generalis computatio est Caji in l. 1 et 3 (quanquam specialis nonnunquam mixta est), haec specialis Pauli in grandi illa l. 10. D. de Grad. et Affinibus. Etsi autem prior fundata est in prob. 1 et 2, quia tamen posterioris fundamentum est, quae huc pertinet, praemittemus. [17] Cognatio est formae linea vel linearum a cognata persona ad datam ductarum, ratione rectitudinis et inflexionis, et harum alternationis. Persona h. l. est persona datae cognationis et dati gradus, sexusque tum sui, tum intermediarum, inter cognatam scilicet et datam. Datum autem voco personam, eum eamve, de cujus cognatione quaeritur ut appellant ICti veteres; Ioh. Andreae Petrucium nomine sui Bidelli fertur nominasse: Fr. Hottomannus lib. de Gradib. Cognationum, hypothetikon, latine Propositum. [18] Terminus est persona vel cognatio, quae est de conceptu complexae; v.g. frater est Patris filius. Igitur Patris et Filius sunt termini, ex quibus conceptus Fratris componitur. Termini autem sunt vel primi, tales accurate loquendo sunt hi solum: Pater et filius, nos tamen commodioris computationis causa omnes personas lineae rectae vel supra vel infra supponemus pro primis, vel orti: accurate loquendo omnes qui plus uno gradu remoti sunt a dato, laxius tamen, omnes transversales tantum. Omnes autem transversales componuntur ex duobus terminis lineae rectae; hinc et facillimum prodit artificium data quacunque cognata numerum gradus complecti, v.g. in simplicissima transversalium persona, Fratre seu Patris filio, quia Pater est in 1, filius etiam in gradu 1 + 1 f. 2, in quo est Frater. Caeterum Schemate opus est. Esto igitur hoc:
Gr. Cognationes DA. TUS Personae Gr.
1. Patris 2 1
4 Filius.
Patris FR Filius
AT
ER
2. Avi 3 1. 1 12 Nepos. 2
Pa- Pa-
tru- tru-
us elis
3. Proavi 4 2. 1 1. 2 32 Pronepos. 3
Patru- Con- Patru-
us Mag- sobri- elis-
nus nus parvus
4. Abavi 5 3. 1 2. 2 1. 3 80 Abnepos. 4
Subpa- Sub- Pro-
Pro- truus Mag- conso- patru-
patruus nus brinus elis
5. Atavi 6 4. 1 3. 2 2. 3 1. 4 192 Atnepos. 5
Ab- Subpro- Prosub- Prosub- Ab-
pa- pa- patruus conso- patru-
truus truus Magnusve vel*) brinus elis
6. Tritavi 7 5. 1 4. 2 3. 3 2. 4 1. 5 448 Trinepos. 6
*) Consobrinus secundus.
[20] Sunt in hoc schemate infinita propemodum digna observatione. Nos pauca stringemus. Personae eo loco intelligantur, ubi puncta sunt. Numeri puncta includentes designant terminos seu gradus lineae rectae (antecedens ascendentis, sequens descendentis) ex quibus datus gradus transversalis componitur. In eadem Linea transversa directa sunt ejusdem gradus cognationes: oblique a summo ad imum dextrorsum ordinem generationis, at sinistrorsum complectuntur cognationes homogeneas gradu differentes. Linea perpendicularis unica a vertice ad basin, triangulum dividens, continet cognationes, quarum terminus et ascendens et descendens sunt ejusdem gradus; tales voco aequilibres, et dantur solum in gradibus pari numero signatis, in uno non nisi unus. [21] Nam si libra esse fingatur, cujus Trutina sit linea gradus primi, brachia vero sint, dextrum quidem, linea perpendicularis a summa persona descendentium, sinistrum vero, perpendicularis a summa ascendentium ducta ad terminum vel ascendentem vel descendentem datam cognationem componentem; tum brachiis aequalibus, si utrinque 3. 3. aut 2. 2. etc. cognatio erit aequilibris et ponenda in medio trianguli; in inaequalibus, cognatio talis ponenda in eo latere quod lineae rectae vel ascendenti vel descendenti, ex qua brachium longius sumtum est, est vicinum. [22] Hic jam complexionum vis apertissime relucet. Componuntur enim omnes personae transversae ex 2 terminis, una cognatione recta ascendenti, altera descendenti, semper autem sic, ut ascendens in casu obliquo, descendens in casu recto conjungantur, v.g. frater, id est patris filius. At si contra, redibit persona data, nam qui patrem filii sui nominat, se nominat, quia unus pater plures filios habere potest, non contra. [23] Ex his jam datur: proposito quocunque gradu cognationum, tum numerum, tum species reperire; numerus transversalium semper erit unitate minor gradu (numerus omnium semper unitate major, quia addi debent duae cognationes lineae rectae, una sursum, altera deorsum) cujus ratio ex inventione specierum patebit. » Nam com2nationes partium, oder Zerfällung in zwey Theil, dati numeri cujuscunque sunt tot, quot unitates habet numeri dati paris dimidium, imparis demta unitate dimidium, v.g. 6 habet has: 5, 1; 4, 2; 3, 3; ejusque rei ratio manifesta est, quia semper numerus antecedens proximus dato cum remotissimo, paene proximus cum paene remotissimo complicatur etc.« Sed cum hic non solum complexionis, sed et situs habenda ratio sit, v.g. alia cognatio est 5, 1, nempe Abpatrui, quam 1, 5, nempe Abpatruelis, hinc cum 2 res situm varient 2 vicibus, ergo duplicentur discerptiones, redibit numerus datus si par fuerat; sed cum in ejus discerptionibus detur una homogenea, v.g. 3. 3, in qua nihil dispositio mutat, hinc subtrahatur de numero dato, seu duplo discerptionum, iterum 1, si vero numerus datus fuerat impar, redibit numerus unitate minor. [24] Ex hoc manifestum est generaliter: (1.) Subtrahatur de numero gradus unitas, productum erit numerus cognationum transversalium; (2.) duo numeri, qui sibi sunt complemento ad datum, seu quorum unus tantum distat ab 1, quantum alter a dato, complicati dabunt Speciem cognationis, si quidem praecedens intelligatur significare ascendentem, sequens descendentem sui gradus. [25] Hac occasione obiter explicandum est, quae sint dati numeri discerptiones, Zerfällungen, possibiles. Nam omnes quidem Discerptiones sunt Complexiones, sed Complexionum eae tantum Discerptiones sunt, quae simul toti sunt aequales. Instigari similiter possunt tum com2nationes, tum con3nationes, tum discerptiones simpliciter, tum dato exponente. Quot factores vel divisores exactos numerus aliquis datus habeat, scio solutum vulgo. Et hinc est quod Plato numerum civium voluit esse 5040, quia hic numerus plurimas recipit divisiones civium pro officiorum generibus, nempe 60, lib. 5. de Legib. fol. 845. Et hoc quidem in multiplicatione et divisione, sed qui additione datum numerum producendi varietates, et subtractione discerpendi collegerit, quod utrumque eodem recidit, mihi notus non est. Viam autem colligendi com2nationes discerptionum ostendimus proxime. At ubi plures partes admittuntur, ingens panditur abyssus discerptionum, in qua videmur nobis aliquod fundamentum computandi agnoscere, nam semper discerptiones in 3 partes oriuntur ex discerptionibus in 2, praeposita una; exsequi vero hujus loci fortasse, temporis autem non est. [26] Caeterum antequam in Arbore nostra a computatione generali ad specialem veniamus, unum hoc admonendum est, Definitiones cognationum a nobis assignatas in populari usu non esse. Nam v.g. Patruum nemo definit avi filium, sed potius patris fratrem. Quicunque igitur has definitiones ad popularem efformare morem velit, si quidem persona transversalis ascendit, in termino descendenti loco filii substituat fratrem; nepotis patruum etc. loco Descendentem ponat uno gradu minorem; sin descendit, contra. [27] Nunc igitur cum ostendimus cognationes in quolibet gradu, gradus numero unitate majores esse, age et Personas cognationum numeremus, quae est Specialis Enumeratio. Diximus autem in eadem cognatione diversitatem
facere tum Sexum cognatae, tum intermediarum inter cognatam et datam personarum. Sexus autem duplex est. Igitur semper continue numerus personarum est duplicandus, v.g. non solum et pater et mater sexu variant, 2, sed iterum pater habet patrem vel matrem. Et mater quoque; hinc 4. Avus quoque a patre habet patrem vel matrem, et avia a patre, et avus a matre aviaque similiter; hinc 8 etc. Igitur regulam colligo: »2 ducatur toties in se, quotus est gradus cujus personae quaeruntur, vel quod idem est, quaeratur numerus progressionis geometricae duplae, cujus exponens sit numerus gradus. Is ducatur in numerum cognationum dati gradus; productum erit numerus personarum dati gradus.« [28] Et hac methodo eundem numerum personarum erui, quem Paulus ICtus in d. l. 10. excepto gradu 5. Gr. I. 2 ¯ 2 f. 4, consentit Paulus d. I. 10. §.12. Gr. II. 2 ¯ 2 f. 4 ¯ 3 f. 12, §.13. Gr. III. 2. 2. 2 ¯ f. 8 ¯ 4 f. 32, §.14. Gr. IV. 2. 2. 2. 2 ¯ f. 16 ¯ 5 f. 80, §.15. Gr. V. 2. 2. 2. 2. 2 ¯ f. 32 ¯ 6 f. 192, dissentit Paulus §.16. et ponit: 184, cujus tamen calculo errorem inesse necesse est. Gr. VI. 2. 2. 2. 2. 2. 2 ¯ f. 64 ¯ 7 f. 448, consentit Paulus §.17. Gr . VII. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 ¯ f. 128 ¯ 8 f. 1024, §. fin. 18.
Probl. IV.
DATO NUMERO RERUM VARIATIONES ORDINIS INVENIRE.
[1] »Solutio: Ponantur omnes numeri ab unitate usque ad Numerum rerum inclusive in serie naturali, factus ex omnibus continue erit quaesitum«; ut esto tabula h, quam ad 24 usque continuavimus.
Tab. h.
1 1
2 2
6 3
24 4
120 5
720 6
5040 7
40320 8
362880 9
3628800 10
39916800 11
479001600 12
6227020800 13
87178291200 14
1307874368000 15
20922789888000 16
355687428096000 17
6402373705728000 18
121645100408832000 19
2432902008176640000 20
51090942171709440000 21
1124000727777607680000 22
25852016738884976640000 23
620448401733239439360000 24
Latus dextrum habet exponentes seu numeros rerum qui hic coincidunt, in medio sunt ipsae Variationes. Ad sinistrum posita est differentia variationum duarum proximarum, inter quas est posita. Quemadmodum exponens in latere dextro, est ratio variationis datae ad antecedentem. Ratio solutionis erit manifesta, si demonstraverimus Exponentis dati variationem esse factum ex ductu ipsius in variationem exponentis antecedentis, quod est fundamentum Tabulae h.
Tab. d.
A b cd
. . dc
. c bd
. . db
. d bc
. . cb
B a cd
. . dc
. c ad
. . da
. d ac
. . ca
C b ad
. . da
. a bd
. . db
. d ba
. . ab
D b ca
. . ac
. c ba
. . ab
. a bc
. . cb
[2] In hunc finem esto aliud Schema d. In eo 4 rerum ABCD 24 variationes ordinis oculariter expressimus. Puncta significant rem praecedentis lineae directe supra positam. Methodum disponendi secuti sumus, ut primum quam minimum variaretur, donec paulatim omnia. Caeterum quasi limitibus distinximus Variationes exponentis antecedentis ab iis quas superaddit sequens. Breviter igitur: Quotiescunque varientur res datae, v.g. tres 6 mahl, addita una praeterea poni poterit servatis variationibus prioris numeri jam initio, jam 2do, jam 3tio, jam ultimo seu 4to loco, seu toties poterit prioribus varie adjungi, quot habet unitates; et quotiescunque prioribus adjungetur, priores variationes omnes ponet; vel sic: quaelibet res aliquem locum tenebit semel, cum interim reliquae habent variationem antecedentem inter se, conf. problem. 7. Patet igitur variationes priores in exponentem sequentem ducendas esse. [3] Theoremata hic observo sequentia: (1.) omnes numeri variationum sunt pares; (2.) omnes vero quorum exponens est supra 5, in cyphram desinunt, imo in tot cyphras, quoties exponens 5narium continet. (3.) Omnes summae Variationum (id est aggregata variationum ab 1 aliquousque) sunt impares et desinunt in 3 ab exponente 4 in infinitum; (4.) quaecunque variatio antecedens, ut et exponens ejus, omnes sequentes variationes metitur. (5.) Numeri variationum conducunt ad conversionem progressionis arithmeticae in harmonicam. Esto enim progressio arithmetica 1. 2. 3. 4. 5 convertenda in harmonicam. Maximi numeri h. l. 5 quaeratur Variatio: 120; ea dividatur per singulos, prodibunt: 120. 60. 40. 30. 24, termini harmonicae progressionis. Per quos si dividatur idem numerus 120, numeri progressionis illius arithmeticae redibunt. (6.) Si data quaecunque variatio duplicetur, a producto subtrahatur factus ex ductu proxime antecedentis in suum Exponentem, residuum erit summa utriusque Variationis, v.g. 24 ¯ 2 f. 48-'6 ¯ 3' 18 f. 30 = 6+24 f. 30. (7.) Variatio data ducatur in se, factus dividatur per antecedentem, prodibit differentia inter datam et sequentem, v.g. 6 ¯ 6 f. 36. _ 2 f. 18 = 24-6 f. 18. Inprimis autem duo haec postrema theoremata non facile obvia crediderim. [4] Usus etsi multiplex est, nobis tamen danda opera, ne caeteris problematibus omnia praeripiamus. Cumque serias inprimis applicationes Complexionum doctrinae miscuerimus (saepe enim necesse erat Ordinis Varietates in Complexiones duci), erunt hic pleraque magis jucunda, quam utilia. [5] Igitur quaerunt, quoties datae quotcunque personae uni mensae alio atque alio ordine accumbere possint. Drexelius in Phaëthonte orbis seu de vitiis linguae p. 3. c. 1, ubi de lingua otiosa, ita fabulam narrat: Paterfamilias nescio quis 6 ad coenam hospites invitaverat. Hos cum accumbendi tempus esset, proedrian sibi mutuo deferentes, ita increpat: quid? an stantes cibum capiemus? imo ne sic quidem, quia et stantium necessarius ordo est. Nisi desinitis, tum vero ego vos, ne conqueri possitis, toties ad coenam vocabo, quoties variari ordo vester potest. Hic antequam loqueretur, ad calculos profecto non sederat, ita enim comperisset ad 720 variationes (tot enim sunt de 6 exponente, uti Drexelius illic 12 paginis, et in qualibet pagina 3 columnis et in qualibet columna 20 variationibus oculariter monstravit) totidem coenis opus esse; quae etsi continuarentur, 720 dies, id est 10 supra biennium absument. [6] Harsdörfferus Delic. Math. p.2. sect. 1. prop. 32 hospites ponit 7; ita variationes, coenae, dies erunt 5040, id est anni 14 septimanae 10. At Georg. Henischius, Medicus Augustanus, Arithmeticae perfectae lib. 7. pag. 399 hospites vel convictores ponit 12; variationes, coenae, dies prodeunt 479001600; ita absumentur anni 1312333 et dies 5. Imo si quis in hoc Exponente tentare vellet, quod Drexelius in dimidio ejus effecit, nempe variationes oculariter experiri, annos insumeret 110, demto quadrante, et si singulis diebus 12 horis laboraret et hora qualibet 1000 variationes effingeret. Pretium operae si Diis placet! [7] Alii, ut cruditatem nudae contemplationis quasi condirent, versus elaborarunt, qui salvo et sensu et metro et verbis variis modis ordinari possunt. Tales primus Jul. Caes. Scaliger lib. 2. Poëtices Proteos appellat. Horum alii minus artis habent, plus variationis, ii nempe quorum omnis est a monosyllabis variatio; alii contra, in quibus temperatura est monosyllaborum caeterorumque. Et quoniam in his plurimae esse solent inutiles variationes, de quibus problemate 11 et 12 erit contemplandi locus, de illis solis nunc dicemus. [8] Bernhardus Bauhusius, Societatis Iesu, Epigrammatum insignis artifex, tali Hexametro Salvatoris nostri velut Titulos monosyllabous complexus est :
Rex, Dux, Sol, Lex, Lux, Fons, Spes, Pax, Mons, Petra, CHRISTUS.
Hunc Eryc. Puteanus Thaumat. Pietat. Y. pag. 107, aliique ajunt variari posse vicibus 362880, scilicet monosyllabas tantum respicientes, quae 9; ego numerum prope decies majorem esse arbitror, nempe hunc 3628800. Nam accedens decima vox CHRISTUS etiam ubique potest poni, dummodo Petra maneat immota, et post Petram vel vox Christus vel 2 monosyllaba ponantur. Erunt igitur variationes inutiles, quibus post Petram ponitur 1 monosyllaba proxime antecedente Petram Christo; id contingit quoties caeterae 8 monosyllabae sunt variabiles, nempe 40320 mahl, cum ultima possit esse quaecunque ex illis, 9. 40320 ¯ 9 f. 362880 - 3628800 f. 3265920, qui est numerus utilium versus hujus Bauhusiani variationum. [9] Thomas Lansius vero amplius progressus praefatione Consultationum tale quid molitus est:
Lex, Rex, Grex, Res, Spes, Ius, Thus, Sal, Sol (bona), Lux, Laus.
Mars, Mors, Sors, Lis, Vis, Styx, Pus, Nox, Fex (mala), Crux, Fraus.
Hic singuli versus, quia 11 monosyllabis constant, variari possunt vicibus 39916800. [10] Horum exemplo Joh. Philippus Ebelius Giessensis, Scholae Ulmensis quondam Rector, primum Hexametrum, deinde Elegiacum Distichon commentus est. Ille exstat praefat. n. 8; hoc, quia et retrocurrit, in ipso opere pag. 2 Versuum Palindromorum, quos in unum fasciculum collectos Ulmae anno 1623 in 12mo edidit. Hexameter ita habet:
DIs, VIs, LIs, LaUs, fraUs, stIrps, frons, Mars, regnat In orbe.
Ubi eadem opera annus quo et compositus est, et verissimus erat, a Christo nato 1620mus, exprimitur. Cujus cum monosyllabae sint 8, 40320 variationes necesse est nasci. [11] At Distichon ad Salvatorem tale est:
Dux mihi tu, mihi tu Lux, tu Lex, Jesule, tu Rex:
Jesule tu Pax, tu Fax mihi, tu mihi Vox.
Variationes ita computabimus: tituli Salvatoris monosyllaboi sunt 7; hi inter se variantur 5040 vicibus. Cumque singulis adjecta sit vox Tu, quae cum titulo suo variatur 2 vicibus, quia jam ante, jam post poni potest, idque contingat vicibus septem, ducatur 2narius septies in se, 2. 2. 2. 2. 2. 2 ¯ 2 f. 128 seu Bissurdesolidum de 2, factus ducatur in 5040 ¯ 128 f. 645120; productum erit Quaesitum. [12] Hos inter nomen suum voluit et Joh. Bapt. Ricciolus legi, ut alieniori in opere Poëtica facultas professoris quondam sui tanto clarius reluceret. Symbola ejus Almagest. nov. P. 1. lib. 6. c. 6, Scholio 1. fol. 413 talis:
Hoc metri tibi me en nunc hic, Thety, Protea sacro:
Sum Stryx, Glis, Grus, Sphynx, Mus, Lynx, Sus, Bos, Caper et Hydrus, cujus 9 monosyllabae variantur 362880 vicibus. Si loco postremarum vocum: et Hydrus, substituisset monosyllabas, v.g. Lar, Grex, ascendisset ad Lansianas varietates. Hic admonere cogor, ne me quoque contagio criminis corripiat, primam in Thety correptam non legi. Et succurrit opportune Virgilianus ille, Georg. lib. 1. v. 31:
Teque sibi generum Thetys emat omnibus undis.
Nam alia Thetys, Oceani Regina, Nerei conjux; alia Thetis, nympha marina vilis, Peleo mortali nupta, Achillis parens, nec digna cui se Proteus sacret. Ea sane corripitur:
Vecta est frenato caerula pisce Thetis.
Caeterum Ricciolus Scaligerum imitari voluit, utriusque enim de Proteo Proteus est. Hujus autem iste:
Perfide sperasti divos te fallere Proteu.
De cujus variationibus infra probl. fin. [13] Ne vero Germani inferiores viderentur, elaborandum sibi Harsdörfferus esse duxit, cujus Delic. Math. P. 3. sect. 1. prop. 14 distichon exstat :
Ehr, Kunst, Geld, Guth, Lob, Weib und Kind.
Man hat, sucht, fehlt, hofft, und verschwind.
Cujus 11 monosyllaba habent variationes 39916800. Tantum de versibus. Quanquam autem et Anagrammata huc pertinent, quae nihil sunt aliud, quam Variationes utiles literarum datae orationis, nolumus tamen vulgi scrinia compilare. [14] Unum e literaria re vel dissensu computantium quaeri dignum est: quoties situs literarum in Alphabeto sit variabilis. Clav. Com. in Sphaer. Joh. de Sacro Bosco cap. 1. pag. 36. 23 literarum linguae latinae dicit variationes esse 25852016738884976640000, cui nostra assentitur computatio; 24 literarum Germanicae linguae variationes Laurembergius assignavit 620448397827051993, Erycius Puteanus dicto libello, 62044801733239439360000; at Henricus ab Etten: 620448593438860613360000, omnes justo pauciores. Numerus verus, ut in tabula h, manifestum, est hic: 620448401733239439360000. Omnes in eo conveniunt, quod numeri initiales sint 620448. Puteaneae computationis error non mentis, sed calami vel typorum esse videtur, nihil aliud enim, quam loco 7mo numerus 4 est omissus. [15] (Aliud autem sunt variationes, aliud numerus vocum ex datis literis componibilium. Quae enim vox 23 literarum est? Imo quantacunque sit, inveniantur omnes complexiones 23 rerum, in singulas ducantur variationes suae juxta probl. 2 num. 59, productum erit numerus omnium vocum nullam literam repetitam habentium. At habentes reperire docebit problema 6.) Porro tantus hic numerus est, ut, etsi totus globus terraqueus solidus circumquaque esset, et cuilibet spatiolo homo insisteret, et quotannis, imo singulis horis morerentur omnes surrogatis novis, summa omnium ab initio mundi ad finem usque multum abfutura sit, ut ait Harsdörff. d. l. Hegiam Olynthium Graecum dudum censuisse. [16] His contemplationibus cum nuper amicus quidam objiceret, ita sequi, ut liber esse possit, in quo omnia scripta scribendaque inveniantur; tum ego: et fateor, inquam, sed legenti grandi omnino fulcro opus est, ac vereor ne orbem terrarum opprimat. Pulpitum tamen commodius non inveneris cornibus animalis illius, quo Muhamed in coelum vectus arcana rerum exploravit, quorum magnitudinem et distantiam Alcorani oracula dudum tradiderunt. [17] Vocum omnium ex paucis literis orientium exemplo ad declarandam originem rerum ex Atomis usus est ex doctrina Democriti ipse Aristot. 1. de Gen. et Corr. text. 5. et illustrius lib. Metaph. c. 4, ubi ait ex Democrito, Atomos differre schêmati, id est Figura, uti literas A et N; thesei, id est situ, uti literas N et Z, si enim a latere aspicias, altera in alteram commutabitur; taxei, id est ordine, v.g. Syllabae AN et NA. Lucret. quoque lib. 2. ita canit:
Quin etiam refert nostris in versibus ipsis
Cum quibus (complexiones) et quali sint ordine (variatio situs) quaeque locata.
Namque eadem coelum, mare, terras, flumina, Solem
Significant: eadem fruges, arbusta, animantes:
Si non omnia sint; at multo maxima pars est
Consimilis; verum positura discrepitant haec.
Sic ipsis in rebus item jam materiai
Intervalla, viae, connexus, pondera, plagae,
Concursus, motus, ordo, positura, figura
Cum permutantur, mutari res quoque debent.
Et Lactant. Divin. Inst. lib. 3. c. 49. pag. m. 163: Vario, inquit (Epicurus), ordine ac positione conveniunt atomi sicut literae, quae cum sint paucae, varie tamen collocatae innumerabilia verba conficiunt. Add. Pet. Gassend. Com. in lib. 10. Laërtii ed. Lugduni anno 1649 fol. 227, et Ioh. Chrysost. Magnen. Democrit. redivivo Disp. 2. de Atomis c. 4, prop. 32. p.269. [18] Denique ad hanc literarum transpositionem pertinet ludicrum illud docendi genus, cujus meminit Hieronymus ad Paulinam tesserarum usu literas syllabasque puerulis imprimens. Id Harsdörfferus ita ordinat Delic. Math. P. 2. sect. 13. prop. 3: sunt 6 cubi, quilibet cubus sex laterum est, eruntque inscribenda 36. haec nempe: I. a. e. i. o. u. y. II. b. c. d. f. g. h. III. k. l. m. n. p. q. IV. r. s. ß. t. w. x. V. v. j. s. r. ä. ö. VI. ff. ss. tz. sch. ch. z. Alphabetum autem lusus unius tesserae, syllabas (das Buchstabiren) duarum docebit: inde paulatim voces orientur.
Probl. V.
DATO NUMERO RERUM VARIATIONEM SITUS MERE RELATI SEU VICINITATIS INVENIRE.
[1] »Quaeratur Variatio situs absoluti, seu ordinis, de numero rerum unitate minori quam est datus, juxta probl. 4; quod invenietur in Tab. h. erit quaesitum.« [2] Ratio Solutionis manifesta est ex Schemate d, quo rationem solutionis problematis praecedentis dabamus, v.g. in variationibus vicinitatis, variationes hae: Abcd. Bcda. Cdab. Dabc. habentur pro una, velut in circulo scripta. Et ita similiter de caeteris; omnes igitur illae 24 variationes dividendae sunt per numerum rerum, qui hoc loco est 4, prodibit variatio ordinis de numero rerum antecedenti, nempe 6. [3] Finge tibi hypocaustum rotundum in omnes 4 plagas januas habens, et in medio positam mensam (quo casu quis sit locus honoratissimus disputat Schwenter, et pro janua orientem spectante decidit, e cujus regione collocandus sit honoratissimus hospes. Delic. Math. sect. VII. prop. 28.) atque ita hospitum situm variari cogita prioritatis posterioritatisque consideratione remota. [4] Hic obiter aliquid de Circulo in demonstratione perfecta dicemus. Ejus cum omnes Propositiones sint convertibiles, prodibunt syllogismi sex, circuli tres. Ut esto demonstratio: I. O. rationale est docile. O. homo est rationalis. Ergo O. homo est docilis. II. O. homo est docilis. O. rationale est homo. Ergo O. rationale est docile. 2. III. O. homo est rationalis. O. docile est homo. Ergo O. docile est rationale. IV. O. docile est rationale. O. homo est docilis. Ergo O. homo est rationalis. 3. V. O. homo est docilis. O. rationale est homo. Ergo O. rationale est docile. VI. O. rationale est docile. O. homo est rationalis. Ergo O. homo est docilis.
Probl. VI.
DATO NUMERO RERUM VARIANDARUM, QUARUM ALIQUA VEL ALIQUAE REPETUNTUR, VARIATIONEM ORDINIS INVENIRE.
[1] »Numerentur res simplices et ex iisdem repetitis semper una tantum, et ducantur in variationem numeri numero variationum dato unitate minoris; productum erit quaesitum.« V.g. sint sex: a. b. c. c. d. e, sunt simplices 4 + 1 (duo illa c habentur pro 1) f. 5 ¯ 120 (120 autem sunt variatio numeri 5 antecedentis datum 6) f. 600. [2] Ratio manifesta est, si quis intueatur schema d; corruent enim omnes variationes, quibus data res pro se ipsa ponitur. Usum nunc monstrabimus. [3] Esto propositum: dato textu omnes melodias possibiles invenire. Id Harsdörfferus quoque Delic. Math. sect. 4. prop. 7. tentavit. Sed ille in textu 5 syllabarum melodias possibiles non nisi 120 esse putat, solas variationes ordinis intuitus. At nobis necessarium videtur etiam complexiones adhibere, ut nunc apparebit. [4] Sed altius ordiemur: Textus est vel simplex, vel compositus. Compositum voco in lineas, Reimzeilen, distinctum. Et compositi textus variationem discemus melodiis simplicium in se continue ductis per probl. 3. Textus simplex vel excedit 6 syllabas, vel non excedit. Ea differentia propterea necessaria est, quia 6 sunt voces: Ut, Re, Mi, Fa, Sol, La (ut omittam 7mam: Bi, quam addidit Eryc. Puteanus in Musathena). Si non excedit, aut sex syllabarum, aut minor est. [5] Nos in exemplum de Textu hexasyllabico ratiocinabimur, poterit harum rerum intelligens idem in quocunque praestare. Caeterum in omnibus plusquam hexasyllabicis necesse est vocum repetitionem esse. Porro in textu hexasyllabico capita variationum sunt haec:
I. ut, re, mi, fa, sol, la. Variatio ordinis est. . . . . . . . . 720
II. ut, ut, re, mi, fa, sol. Variatio ordinis est 720-120 f. 600. Non
solum autem ut, sed et quaelibet 6 vocum potest repeti 2
mahl, ergo 6 ¯ 600 f. 3600; et reliquarum 5 vocum
semper 5 mahl, aliae 4 possunt poni post ut ut, nempe: re,
mi, fa, sol. re, mi, fa, la. re, mi, sol, la. re, fa, sol, la. mi, fa,
sol, la; seu 5 res habent 5 con4nationes: 5 ¯ 3600 f. . . . . 18000
III. ut ut re re mi fa. 480 ¯ 15 f. 7200 ¯ 6 f. . . . . . . . . 43200
VI. ut ut re re mi mi 360 ¯ 20 f. . . . . . . . . . . . . . 7200
V. ut ut ut re mi fa. 360 ¯ 6 f. 2160 ¯ 20 f. . . . . . . . . 43200
VI. ut ut ut re re mi. 360 ¯ 6 ¯ 5 ¯ 4 f. . . . . . . . . . . 43200
VII. ut ut ut re re re. 240 ¯ 15 f. . . . . . . . . . . . . . 3600
VIII. ut ut ut ut re mi. 360 ¯ 6 ¯ 10 f. . . . . . . . . . . . 21600
IX. ut ut ut ut re re. 240 ¯ 6 ¯ 5 f. . . . . . . . . . . . 7200
Summa 187920
[6] Quid vero, si septimam vocem Puteani Si, si pausas, si inaequalitatem celeritatis in notis, si alios characteres musicos adhibeamus computationi, si ad Textus plurium syllabarum quam 6, si ad compositos progrediamur, quantum erit mare melodiarum, quarum pleraeque aliquo casu utiles esse possint? [7] Admonet nos vicinitas rerum, posse cujuslibet generis carminum possibiles species seu flexus, et quasi Melodias inveniri, quae nescio an cuiquam hactenus vel tentare in mentem venerit. [8] Age in Hexametro conemur. Cum hexametro sex sint pedes, in caeteris quidem dactylus spondaeusque promiscue habitare possunt, at penultimus non nisi dactylo, ultimus spondaeo aut trochaeo gaudet. Quod igitur 4 priores attinet, erunt vel meri dactyli: 1, vel meri spondaei: 1, vel tres dactyli, unus spondaeus, vel contra: 2, vel 2 dactyli, 2 spondaei: 1, et ubique variatio situs 12, 2 + 1 f. 3 ¯ 12 f. 36 + 1 + 1 f. 38. In singulis autem his generibus ultimus versus vel spondaeus vel trochaeus est, 2 ¯ 38 f. 76. Tot sunt genera hexametri, si tantum metrum spectes. [9] Ut taceam varietates, quae ex vocibus veniunt, v.g. quod vel ex monosyllabis vel disyllabis etc. vel his inter se mixtis constat; quod vox modo cum pede finitur, modo facit caesuram eamque varii generis; quod crebrae intercedunt elisiones aut aliquae aut nullae. [10] Caeterum et multitudine literarum hexametri differunt, quam in rem exstat carmen Publilii Porphyrii Optatiani (quem male cum Porphyrio Graeco, philosopho, Christianorum hoste, Caesar Baronius confudit) ad Constantinum Magnum 26 versibus heroicis constans, quorum primus est 25 literarum, caeteri continue una litera crescunt, usque ad 26tum qui habet 50; ita omnes organi Musici speciem exprimunt. Meminere Hieron. ad Paulinam, Firmicus in Myth., Rab. Maurus, Beda de re metrica. Edidit Velserus ex Bibliotheca sua Augustae cum figuris An. 1591. Adde de eo Eryc. Puteanum in Thaum. Pietatis lit. N, qui ait hoc carmine revocari ab exilio meruisse; Gerh. Joh. Vossium syntag. de Poët. Latinis v. Optatianus; item de Historicis Graecis, I. 16. Casp. Barthium Commentariolo de Latina Lingua, et Aug. Buchnerum Notis in Hymnum Venantii Fortunati (qui vulgo Lactantio ascribitur) de Resurrect. ad v. 29. pag. 27, qui observat Hexametros fistulis, Versum per medium ductum: Augusto victore etc. regulae organi, jambos anacreonticos dimetros omnes 18 literarum, epitoniis respondere. Versus ipsos, quia ubique obvii non sunt expressimus:
25 O si diviso Metiri Limite Clio
26 Una Lege Sui Uno Manantia Fonte
27 Aonio Versus Heroi Iure Manente
28 Ausuro Donet Metri Felicia Texta
29 Augeri Longo Patiens Exordia Fine
30 Exiguo Cursu Parvo Crescentia Motu
31 Ultima Postremo Donec Vestigia Tota
32 Ascensus Iugi Cumulato Limite Cludat
33 Uno Bis Spatio Versus Elementa Prioris
AUGUSTO 34 Dinumerans Cogens Aequali Lege Retenta
VICTORE 35 Parva Nimis Longis Et Visu Dissona Multum
IUVAT 36 Tempore Sub Parili Metri Rationibus Isdem
RATA 37 Dimidium Numero Musis Tamen Aequiparantem
REDDERE 38 Haec Erit In Varios Species Aptissima Cantus
VOTA. 39 Perque Modos Gradibus Surget Fecunda Sonoris
40 Aere Cavo Et Tereti Calamis Crescentibus Aucta
41 Quîs Bene Suppositis Quadratis Ordine Plectris
42 Artificis Manus Innumeros Clauditque Aperitque
43 Spiramenta Probans Placitis Bene Consona Rythmis
44 Sub Quibus Unda Latens Properantibus Incita Ventis
45 Quas Vicibus Crebris Iuvenum Labor Haud Sibi Discors
46 Hinc Atque Hinc Animaeque Agitant Augetque Reluctans
47 Compositum Ad Numeros Propriumque Ad Carmina Praestat
48 Quodque Queat Minimum Admotum Intremefacta Frequenter
49 Plectra Adaperta Sequi Aut Placitos Bene Claudere Cantus
50 Iamque Metro Et Rythmis Praestringere Quicquid Ubique Est.
Ex quibus multa circa scripturam Veterum observari possunt, inprimis Diphthongum AE duabus exprimi solitum, qui tamen mos non est cur rationem vincat, unius enim soni una litera esse debet. Sed de hoc Optatiano vel propterea fusius diximus, ut infra dicenda praeoccuparemus, ubi versus Proteos ab eo compositos allegabimus.
Probl. VII.
DATO CAPITE VARIATIONES REPERIRE.
25 Post martios labores 26 Et Caesarum parantes 27 Virtutibus, per orbem 28 Tot laureas virentes, 29 Et Principis trophaea; 30 Felicibus triumphis 31 Exultat omnis aetas, 32 Urbesque flore grato 33 Et frondibus decoris 34 Totis virent plateis. 35 Hinc ordo veste clara 36 In purpuris honorum 37 Fausto precantur ore 38 Feruntque dona laeti. 39 Iam Roma culmen orbis 40 Dat munera et coronas 41 Auro ferens coruscas 42 Victorias triumphis, 43 Votaque jam theatris 44 Redduntur et Chorëis. 45 Me sors iniqua laetis 46 Solemnibus remotum 47 Vix haec sonare sivit 48 Tot vota fronte Phoebi 49 Versuque comta solo, 50 Augusta rite seclis.
[1] Hoc in Complexionibus solvimus supra. De situs variationibus nunc: Sunt autem diversi casus. Caput enim Variationis hujus aut constat una re, aut pluribus: si una, ea vel monadica est, vel dantur inter Res (variandas) alia aut aliae ipsi homogeneae. Sin pluribus constat, tum vel intra caput dantur invicem homogeneae, vel non, item extrinsecae quaedam intrinsecis homogeneae sunt, vel non. [2] »Primum igitur capite variationis fixo manente, numerentur res extrinsecae, et quaeratur variatio earum inter se (et si sint discontiguae seu caput inter eas ponatur) praeciso capite, per prob. 4, productum vocetur A. Si caput multiplicabile non est, seu neque pluribus rebus constat, et una ejus res non habet homogeneam, productum A erit quaesitum. [3] Sin caput est multiplicabile, et constat 1 re habente homogeneam, productum A multiplicetur numero homogenearum aeque in illo capite ponibilium, et factus erit quaesitum. [4] Si vero caput constat pluribus rebus, quaeratur variatio earum inter se (etsi sint discontiguae seu res extrinsecae interponantur) per probl. 4, ea ducatur in productum A, quodque ita producitur, dicemus B. Iam si res capitis nullam habet homogeneam extra caput, productum B erit quaesitum. [5] Si res capitis habet homogeneam tantum extra caput, non vero intra, productum B multiplicetur numero rerum homogenearum et si saepius sunt homogeneae, factus ex numero homogenearum priorum multiplicetur numero homogenearum posteriorum continue, et factus erit quaesitum. [6] Sin res capitis habet homogeneam intra caput et extra, numerentur primo res homogeneae intrinsecae et extrinsecae simul, et supponantur pro Numero complicando; deinde res datae homogeneae tantum intra caput supponantur pro exponente. Dato igitur numero et exponente quaeratur complexio per probl. 1, et si saepius contingat homogeneitas, ducantur complexiones in se invicem continue. Complexio vel factus ex complexionibus ducatur in productum B, et factus erit quaesitum.« [7] Hoc problema casuum multitudo operosissimum effecit, ejusque nobis solutio multo et labore et tempore constitit. Sed aliter sequentia problemata ex artis principiis nemo solvet. In illis igitur usus hujus apparebit.
Probl. VIII.
VARIATIONES ALTERI DATO CAPITI COMMUNES REPERIRE.
[8] »Utrumque caput ponatur in eandem Variationem, quasi esset unum caput compositum (etsi interdum res capitis compositi sint discontiguae) et indagentur variationes unius capitis eompositi per probl. 10, pro»ductum erit quaesitum.«
Probl. IX.
CAPITA VARIATIONES COMMUNES HABENTIA REPERIRE.
[9] »Si plura capita in variatione ordinis in eundem locum incidunt vel ex toto vel ex parte, non habent variationes communes. 2. Si eadem res monadica in plura capita incidit, ea non habent variationes communes. Caetera omnia habent variationes communes.«
Probl. X.
CAPITA VARIATIONUM UTILIUM AUT INUTILIUM REPERIRE.
[10] Capita in universum reperire expeditum est. Nam quaelibet res per se, aut in quocunque loco per se, aut cum quacunque alia aliisve, quocunque item loco cum alia aliisve, breviter omnis complexio aut variatio proposita minor et earundem rerum, seu quae tota in altera continetur, est caput. Methodus autem in disponendis capitibus utilis, ut a minoribus ad majora progrediamur, quando v.g. propositum nobis est omnes variationes oculariter proponere, quod Drexelius loco citato, Puteanus et Kleppisius et Reinerus citandis factitarunt. [11] Caeterum ut Capita utilia vel inutilia reperiantur, adhibenda disciplina est, ad quam res variandae, aut totum ex iis compositum pertinet. Regulae ejus inutilia quidem elident, utilia vero relinquent. Ibi videndum, quae cum quibus et quo loco conjungi non possint, item quae simpliciter quo loco poni non possint v.g. primo, tertio etc. Inprimis autem primo et ultimo. Deinde videndum, quae res potissimum causa sit anomaliae (v.g. in versibus hexametris protëis syllabae breves). Ea ducenda est per omnes caeteras, omnia item loca, si quando autem de pluribus idem judicium est, satis erit in uno tentasse.
Probl. XI.
VARIATIONES INUTILES REPERIRE.
[12] »Duae sunt viae: (1.) per probl. 12 hoc modo: Inventa summa variationum utilium et inutilium per probl. 4, subtrahatur summa utilium per probl. 12 viam secundam; residuum erit quaesitum; (2.) absolute hoc modo: Inveniantur capita variationum inutilium per probl. 10, quaerantur singulorum capitum variationes per probl. 7, si qua capita communes habent variationes per probl. 9, numerus earum inveniatur per probl. 8, et in uno solum capitum variationes communes habentium relinquatur, de caeterorum variationibus subtrahatur; aut si hunc laborem subtrahendi subterfugere velis, initio statim capita quam maxime composita pone, conf. probl. 8; Aggregatum omnium variationum de omnibus complexionibus, subtractis subtrahendis, erit quaesitum.«
Probl. XII.
VARIATIONES UTILES REPERIRE.
[13] Solutio est ut in proxime antecedenti, si haec saltem mutes, in via 1. loco problem. 12 pone 11 etc. et subtrahatur summa inutilium per probl. 11 viam secundam. In via 2. inveniantur capita variationum utilium. Caetera ut in probl. proximo.
Usus Problem. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
[14] Si cui haec problemata aut obvia aut inutilia videntur, cum ad praxin superiorum descenderit, aliud dicet. Rarissime enim vel natura rerum vel decus patitur, omnes variationes possibiles utiles esse. Cujus specimen in argumento minus fortasse fructuoso, in exemplum tamen maxime illustri daturi sumus. [15] Diximus supra Proteos versus esse pure proteos, id est in quibus pleraeque variationes possibiles utiles sunt, ii nimirum qui toti propemodum monosyllabis constant; vel mixtos, in quibus plurimae incidunt inutiles, quales sunt qui polysyllaba, eaque brevia continent. [16] In hoc genere inter veteres, qui mihi notus sit, tentavit tale quiddam idem ille, de quo probl. 6, Publilius Porphyrius Optatianus. Et Erycius Puteanus Thaumat. Piet. lit. N. pag. 92 ex aliis ejus de Constantino versibus hos refert:
Quem divus genuit Constantius Induperator
Aurea Romanis propagans secula nato.
Ex illis primus est Torpalius, vocibus continue syllaba crescentibus constans, alter est Proteus sexiformis, si ita loqui fas est:
Aurea Romanis propagans secula nato
Aurea propagans Romanis secula nato
Secula Romanis propagans aurea nato
Propagans Romanis aurea secula nato
Romanis propagans aurea secula nato.
[17] Verum plures habet primus ille Virgilianus:
Tityre tu patulae recubans sub tegmine fagi,
quem usus propemodum in jocum vertit. Ejus variationes sunt hae: pro tu, sub 2, pro patulae, recubans 2, et Tityre jam initio, ut nunc, jam tegmine initio, jam Tityre tegmine fine, jam tegmine Tityre fine, 4 ¯ 2 ¯ 2 f. 16. Verum in Porphyrianaeis non singuli Protei, sed omnes, neque unus versus, sed carmen totum talibus plenum admirandum est. Ejus modi versus composituro danda opera, ut voces consonis aut incipiant aut finiant. [18] Alter qui et nomen Protei indidit, est Iul. Caes. Scaliger, vir si ingenii ferocia absit, plane incomparabilis, Poët. lib. 2. c. 30 pag. 185. Is hunc composuit, formarum, ut ipse dicit, innumerabilium, ut nos, 64:
Perfide sperasti divos te fallere Proteu.
Plures non esse facile inveniet, qui vestigia hujus nostrae computationis leget. Pro Perfide, fallere 2, pro Proteus, divos, 2 ¯ 2 f. 4. Sperasti divos te habet variationes 6 ¯ 4 f. 24. Divos perfide Te sperasti habet var. 2. Divos Te sperasti perfide habet 6+2+2 f. 10 ¯ 4 f. 40 + 24 f. 64. Observavimus ex Virgilio aeque, imo plus variabilem Aen. lib. 1. v. 282: Queis (pro His) ego nec metas verum nec tempora pono. Nam perfide una vox est; queis ego in duas discerpi potest. [19] Venio ad ingeniosum illum Bernhardi Bauhusii, Iesuitae Lovaniensis, qui inter Epigrammata ejus exstat, utque superior, vid. probl. 4, de Christo, ita hic de Maria est:
Tot tibi sunt dotes virgo, quot sidera coelo.
Dignum hunc peculiari opera esse duxit vir doctissimus Erycius Puteanus libello, quem Thaumata Pietatis inscripsit, edito Antverpiae anno 1617, forma 4ta, ejusque variationes utiles omnes enumerat a pag. 3 usque ad 50 inclusive, quas autor, etsi longius porrigantur, intra cancellos numeri 1022 continuit, tum quod totidem vulgo stellas numerant Astronomi, ipsius autem institutum est ostendere dotes non esse pauciores quam stellae sunt; tum quod nimia propemodum cura omnes illos evitavit, qui dicere videntur, tot sidera coelo, quot Mariae dotes esse, nam Mariae dotes esse multo plures. Eas igitur variationes si assumsisset (v.g. Quot tibi sunt dotes virgo, tot sidera coelo) totidem, nempe 1022, alios versus ponendo tot pro quot, et contra, emersuros fuisse manifestum est. Hoc vero etiam in praefatione Puteanus annotat pag. 12; interdum non sidera tantum, sed et dotes coelo adhaerere, ut coelestes esse intelligamus, v.g.
Tot tibi sunt coelo dotes, quot sidera virgo.
Praeterea ad variationem multum facit, quod ultimae in Virgo et Tibi ambigui quasi census et corripi et produci patiuntur, quod artificium quoque infra in Daumiano illo singulari observabimus. [20] Meminit porro Thaumatum suorum et Protei Bauhusiani aliquoties Puteanus in apparatus Epistularum cent. I. ep. 49 et 57 ad Gisbertum Bauhusium, Bernardi Patrem; add. et ep. 51. 52. 53. 56 ibid. Editionem autem harum epistolarum habeo in 12. Amstelodami anno 1647; nam in editione epistolarum in 4to, quia jam anno 1612 prodiit, frustra quaeres. [21] Ceterum Ioh. Bapt. Ricciol. Almag. nov. P. 1. lib. 6. c. 6. schol. 1. f. 413 peccato mnêmonikô Versus Bauhusiani Puteanum autorem praedicavit his verbis: quoniam vero vetus erat opinio a Ptolemaeo usque propagata, stellas omnes esse 1022, Erycius Puteanus pietatis et ingenii sui monumentum posteris reliquit, illo artificiosissimo carmine, Tot tibi etc. qui tamen non autor, sed commentator commendatorque est. [22] Denique similem
prorsus versum in Ovidio, levissima mutatione, observavimus hunc, Metam. XII. fab. 7. v. 594:
Det mihi se, faxo triplici quid cuspide possim
Sentiat etc.
Is talis fiet:
Det mihi se faxo trina quid cuspide possim.
Nam etiam ultima in mihi et faxo anceps est. [23] Exstat in eodem genere Georg. Kleppisii, nostratis Poëtae laureati, versus hic:
Dant tria jam Dresdae, ceu sol dat, lumina lucem,
cujus variationes peculiari libro enumeravit 1617; occasionem dedere tres soles, qui anno 1617 in coelo fulsere, quo tempore Dresdae convenerant tres soles terrestres ex Austriaca domo: Matthias Imperator, Ferdinandus Rex Bohemiae, et Maximilianus Archidux, supremus ordinis Teutonici Magister. Libellum illis dedicatum titulo Protei Poëtici eodem anno edidit, quem variationum numerus signat. [24] Omnino vero plures sunt variationes quam 1617, quod ipse tacite confitetur autor, dum in fine inter Errata ita se praemunit: fieri potuisse, ut in tanta multitudine aliquem bis posuerit, supplendis igitur lacunis novos aliquot ponit quos certus sit nondum habuisse. Nos ut aliquam praxin proximorum problematum exhibeamus, Variationes omnes utiles computabimus. Id sic fiet, si inveniemus omnes inutiles. Capita variationum expressimus notis quantitatis, sic tamen ut pro pluribus transpositis unum assumserimus, v.g. - - . - . . etiam continet hoc: - . - - . - . _ _ etc. Punctis designamus et includimus unam vocem.
[25] Summa omnium variationum utilium et inutilium . . . . . . . . . . . . . . 362880
Catalogus Variationum inutilium:
1. _ _ . v.g. tria dant jam Dresdae ceu sol dat lumina lucem . . . . . . . . . . . 40320
2. - - . _ _ . Dresdae tria dant jam ceu sol etc. . . . . . . . . . . . . . . . . 10080
3. - . - ._ _ . dant jam tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14400
4. - - . - . - . _ _ . Dresdae dant jam tria . . . . . . . . . . . . . . . . 28800
5. - - . - - . _ _ . Dresdae lucem tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1440
6. - . - . - . - . _ _ . dant jam ceu sol tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2880
7. - - . - - . - . - . _ _ . Dresdae lucem ceu sol tria . . . . . 28800
8. - - . - . - . - . - . _ _ . Dresdae dant jam ceu sol
tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7200
9. - - . - - . - . - . - . - . _ _ . Dresdae lucem
dant jam ceu sol tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7200
10. in fine _ _ . v.g. tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40320 ----
[26] Summa variationum ob vocem Tria inutilium, quae exacte
constituit dimidium summae Variationum possibilium . . . . . . . . . 181440
11. ab initio: - . - _ _ . dant lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18000
12. - . - - . - _ _ . dant Dresdae lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9600
13. - . - . - . - _ _ . dant jam ceu lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . 4320
14. - . - . - . - . - . - _ _ . dant jam ceu sol dat
lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
15. - . - - . - - . - _ _ . dant Dresdae lucem lumina . . . . . . 2160
16. - . - . - . - - . - _ _ . dant jam ceu lucem lumina . . . . . 5760
17. - . - . - . - . - . - - . - _ _ . dant ceu jam sol dat
lucem lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
18. - . - . - . - - . - - . - _ _ . dant ceu jam Dresdae
lucem lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1200
19. - . - . - . - . - . - - . - - . - _ _ . dant ceu jam sol
dat lucem Dresdae lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
20. fine - _ _ . v.g. lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11620
[27] Summa a variationum ob solam vocem: Lumina inutilium . . . . . . . . . . 52900
21. ubicunque: - _ _ . _ _ . lumina tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40320
22. - _ _ . - - . _ _ . lumina Dresdae tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14440
23. - _ _ . - . - . _ _ . lumina ceu jam tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4800
24. - _ _ . - . - . - . - . _ _ . lumina ceu jam sol dat
tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1440
25. - _ _ . - - . - - . _ _ . lumina Dresdae lucem tria . . . . . 480
26. - _ _ . - . - . - - . _ _ . lumina ceu jam Dresdae
tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4800
27. - _ _ . - . - . - - . - - . _ _ . lumina ceu jam
Dresdae lucem tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4080
28. - _ _ . - . - . - . - . - - . _ _ . lumina ceu jam
dat sol lucem tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
29. - _ _ . - . - . - . - . - - . - - . _ _ . lumina ceu
jam dat sol lucem Dresdae tria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2978
[28] Summa variationum inut. ob complicationem Lumina
et Tria, illo praeposito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59870
30. - . _ _ . - . - . _ _ . dant tria jam lumina . . . . . . . . . . . . . . . 2400
31. - . _ _ . - . - - . - _ _ . dant tria jam Dresdae
lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3840
32. - . _ _ . - . - . - . - _ _ . ceu sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1440
33. - . _ _ . - . - . - . - - . - _ _ . dant tria jam ceu
sol lucem lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5760
34. - . _ _ . - . - . - . - - . - - . - _ _ . dant tria
jam ceu sol lucem Dresdae lumina . . . . . . . . . . . . . . . . 9360 ----
Summa variationum inut. ob complic. Tria et Lumina,
illo praeposito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22800
59870
52900
181440
Summa summarum Var. inut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317010
subtrahatur de summa universali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362880
[29] remanet Summa utilium Variationum versus Kleppisii admissis
spondaicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45870
Spondaicos reliquimus, ne laborem computandi augeremus; quot tamen
inter omnes variationes utiles et inutiles existant spondaici, sic invenio:
1. si in fine ponitur - . - - . v.g. dant lucem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100800
2. - - . - - . v.g. Dresdae lucem . . . . . . . . . . . . . . . . 10080
3. - . - . - . v.g. dant ceu sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43200
Summa omnium spondaicorum util. et inut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154080
[30] Exstat praeterea versus nobilissimi herois Caroli a Goldstein:
Ars non est tales bene structos scribere versus,
in arte sibi neganda artificiosus, qui 1644 variationes continere dicitur. Aemulatione horum, Kleppisii inprimis, prodiit Henr. Reimerus Luneburgensis, Scholae patriae ad D. Iohannis Collega, Proteo instructus tali:
Da pIe ChrIste UrbI bona paX sIt teMpore nostro,
qui idem annum 1619, quo omnes ejus variationes uno libello in 12. Hamburgi edito inclusae prodierunt, continet. [31] Laboriosissimus quoque Daumius, vir in omni genere poëmatum exercitatus, nec hoc quidem intentatum voluit a se relinqui. Nihil de ejus copia dicam, qua idem termillies aliter curmine dixit (hic enim non alia verba, sed eorundem verborum alius ordo esse debet) quod in hac sententia: fiat justitia aut pereat mundus, Vertumno poëtico Cygneae anno 1646. 8. edito praestitit. Hoc saltem adverto, quod et autori annotatum, in Millenario 1. num. 219 et 220 versus Proteos esse. Hi sunt igitur:
v. 219. Aut absint vis, fraus, ac jus ades, aut cadat aether.
v. 220. Vis, fraus, lis absint, aequum gerat, aut ruat orbis.
[32] Nacti vero nuper sumus, ipso communicante, alium ejus versum invento sane publice legi digno, quem merito plus quam Protea dicas, neque enim in idem tantum, sed alia plurima carminis genera convertitur. Verba enim haec: O alme (sc. Deus) mactus Petrus (sponsus) sit lucro duplo; varie transposita dant Alcaicos 8, Phaleucios 8, Sapphicos 14, Archilochios 42, in quibus omnibus intercedit elisio. At vero sine elisione facit pentametros 32, Iambicos senarios tantum 20, Scazontes tantum 22, Scazontes et Iambos simul 44 (et ita Iambos omnes 64, Scazontes omnes 66); si syllabam addas fit Hexameter. v.g.
Fac duplo Petrus lucro sit mactus, o alme!
variabilis versibus 480. [33] Caeterum artificii magna pars in eo consistit, quod plurimae syllabae, ut prima in duplo, Petrus, lucro, sunt ancipites. Elisio autem efficit, ut eadem verba, diversa genera carminis syllabis se excedentia, efficiant. Alium jam ante anno 1655 dederat, sed variationum parciorem, nempe Alcaicum hunc:
Faustum alma sponsis da Trias o torum!
convertibilem in Phaleucios 4, Sapphicos 5, Pentametros 8, Archilochios 8, Iambicos senarios 14, Scazontes 16.
Sed jam tempus equum spumantia solvere colla:
[34] Si quis tamen prolixitatem nostram damnat, is vereor ne cum ad praxin ventum erit, idem versa fortuna de brevitate conqueratur.
FINIS.
Beilage
Von der Dissertatio de Arte Combinatoria erschien ohne Leibnizens Wissen im Jahre 1690 zu Frankfurt am Main ein neuer Abdruck. Er ließ darauf die folgende Note in die Acta Erudit. Lips. an. 1691 S.63f. einrücken:
G. G. L. ARS COMBINATORIA.
Francofurti apud H.C. Crökerum. 1690. in 4.
Libellus ab Autore admodum juvene anno 1665 compositus et anno 16681 Lipsiae editus, nunc ipso inscio inconsulte recusus est. Tametsi enim applausu non vulgari eruditorum fuerit exceptus, et novas complures meditationes non poenitendas, quibus semina artis inveniendi sparguntur, contineat, atque inter caeteras palmariam illam de Analysi cogitationum humanarum in Alphabetum quasi quoddam notionum primitivarum, judicat tamen celeberrimus Autor libellum non satis esse limatum, nec praesentibus ejus cogitatis ac personae ubique respondentem, et veniam olim annis datam, in quibus aliqua interdum luxuriantis ingenii audacia laudatur, nunc a se peti non posse. Itaque per nos moneri lectores cupit, ne putent talia nunc a se protrudi, et in eo inprimis editorem, quisquis est, in se injurium fuisse censet, quod ne verbulo quidem indicarit hanc editionem esse novam, ex priore tot ante annis publicata expressam. Et praeter oeconomiam operis, in qua multa possent mutari in melius, speciatim quaedam corrigenda indicare voluit. Ita schema elementorum et qualitatum pro lusu ingenii magis eleganti quam vero habet; statuit etiam colores ex sola mistura lucis et umbrae non oriri, sed alia lucis modificatione opus esse. Agnoscit, problemata quaedam numerica longe perfectius solvi, et solutiones accuratius demonstrari posse; nam illo tempore Autor profundiorem Mathesin vix eminus salutaverat, itaque ignarus alienorum inventorum nec satis analyseos compos quaedam de suo extuderat, festinata meditatione et adhuc tironem sapiente. Lapsus quoque commissus est in Modis, quos figurae syllogisticae habent, determinandis: etsi enim verissimum sit (quod hic fortasse primum est observatum) in quavis ex quatuor figuris modos utiles reperiri totidem, nempe sex, in quarta tamen unus festinatione quadam est male positus, et pro OAO (ubi major PN seu O, minor UA seu A, conclusio PN seu O) qui locum non habet, substitui debet modus AEE, ubi major UA, minor UN, conclusio UN, adeoque pro Colanto juxta Bocardo poni debet Calerent juxta Camestres. Et hoc quidem in utraque editione est corrigendum pag. 12. Fortasse etiam nomina quorundam modorum melius formari deberent, si tanti esset. Sed in editione nova novus ibidem admissus est error, nam Frisesmo poni debet sub figura 0 seu nulla, non sub 4 seu quarta. Neque enim in ulla figura dari potest modus IEO, in quo major PA, minor UN et conclusio PN. Aliaque passim sphalmata nova occurrunt; tantum abest ut priora sint correcta. Denique demonstratio existentiae Dei, libello adjecta, tametsi aliquid boni contineat, ipsi Autori numeris omnibus absoluta nunc non videtur.
CONFESSIO NATURAE CONTRA ATHEISTAS.
Pars I.
Quod ratio phaenomenorum corporalium reddi non possit, sine incorporeo principio, id est Deo
Divini ingenii Vir Franciscus Baconus de Verulamio recte dixit, philosophiam obiter libatam a DEO abducere, penitus haustam reducere ad eundem. Experimur hoc seculo nostro, feraci pariter scientiae et impietatis. Cum enim excultis egregie mathematicis artibus, et rerum interioribus per Chemiam et Anatomiam tentatis appareret, plerorumque rationes ex Corporum figura motuque velut mechanice reddi posse, quod Veteres vel ad solum Creatorem vel ad nescio quas incorporales formas retulerant; tum vero ingeniosi quidam primum tentare coeperunt, possentne Phaenomena naturalia, seu ea quae in corporibus apparent, salvari et explicari, Deo non supposito, nec ad ratiocinandum assumto: mox ubi paulum res successit (antequam scilicet ad fundamenta et principia venissent) velut gratulantes securitati suae permature prodiderunt, se neque DEUM, neque immortalitatem Animae naturali ratione reperire. sed fidem ejus rei vel praeceptis civilibus vel historiarum relationi deberi; ita censuit subtilissimus Hobbes, Inventis suis meritus hoc loco sileri, nisi autoritati ejus in deterius valiturae nominatim obviam eundum esset. Atque utinam non alii, longius progressi, jamque de Scripturae sacrae autoritate, de veritate historiarum, de historiarum relatione dubitantes Atheismum Mundo non obscure invexissent.
Hoc vero mihi admodum indignum visum est. animum nostrum sua ipsius luce, id est Philosophia praestringi. Coepi igitur ipsemet inquisitioni rerum incumbere, tanto vehementius, quanto ferebam impatientius, me maximo vitae bono, certitudine scilicet aeternitatis post mortem, et spe divinae beneficentiae in bonos ac innocentes aliquando appariturae, dejici per subtilitates novatorum.
Sepositis igitur praejudiciis et dilata Scripturae et historiae fide, anatomen corporum mente aggredior, tentaturus an eorum quae in corporibus sensu apparent, rationem reddere possibile sit, sine suppositione causae incorporalis.
Ac principio hodiernis philosophis, Democriti et Epicuri resuscitatoribus, quos Robertus de Boyle corpusculares non inepte appellat, ut Galilaeo, Bacono, Gassendo, Cartesio, Hobbesio, Digbaeo facile condescendendo assensus sum, in reddendis corporalium Phaenomenorum rationibus neque ad Deum, neque aliam quamcumque rem, formamque aut qualitatem incorporalem sine necessitate confugiendum esse,
(Nec Deus intersit, nisi dignus vindice nodus inciderit)
sed omnia quoad ejus fieri possit, ex natura corporis, primisque ejus qualitatibus, Magnitudine, Figura et Motu deducenda esse.
Sed quid si demonstrem, ne harum quidem primarum qualitatum originem in natura corporis reperiri posse? Tum vero fatebuntur, ut spero, naturalistae nostri, corpora sibi non sufficere nec sine principio incorporeo subsistere posse. Demonstrabo vero nec obscure nec flexuose.
Si scilicet qualitates istae ex definitione corporis deduci non possunt, manifestum est eas in corporibus sibi relictis existere non posse. Omnis enim affectionis Ratio vel ex re ipsa, vel ex aliquo extrinseco deducenda est. Definitio autem corporis est spatio inexistere. Et omnes homines illud dicunt corpus, quod in spatio aliquo reperiunt, et contra, quod corpus est in spatio aliquo reperiunt. Constat haec definitio duobus terminis, spatio et inexistentia.
Ex spatii termino oritur in corpore magnitudo et figura. Corpus enim eandem statim magnitudinem et figuram habet cum spatio quod implet. Sed restat dubium cur tantum potius et tale spatium impleat, quam aliud, et ita cur exempli causa sit potius tripedale quam bipedale, et cur quadratum potius quam rotundum. Cujus rei ratio ex corporum natura reddi non potest, eadem enim materia ad quamcunque figuram sive quadratam sive rotundam indeterminata est. Duo igitur tantum responderi possunt, vel corpus propositum quadratum fuisse ab aeterno, vel ab alterius corporis impactu quadratum factum esse, siquidem ad causam incorpoream confugere nolis. Si dicis: ab aeterno fuisse quadratum, eo ipso rationem non assignas, quidni enim potuerat ab aeterno esse Sphaericum? aeternitas quippe nullius rei causa intelligi potest. Sin dicis: alterius corporis motu quadratum factum esse, restat dubium cur figuram talem vel talem ante motum illum habuerit; et si iterum rationem refers in motum alterius, et sic in infinitum, tum per omne infinitum responsiones tuas novis quaestionibus prosequendo, apparebit nunquam materiam deesse quaerendi rationem rationis, et ita rationem plenam redditam nunquam esse. Apparebit igitur ex natura corporum rationem certae in iis figurae et magnitudinis reddi non posse. Diximus definitionem corporis duas habere partes: spatium et inexistentiam; sed ex voce spatii oriri magnitudinem aliquam et figuram, sed non determinatam; ad terminum vero inexistentiae in illo spatio pertinet motus, dum enim corpus incipit existere in alio spatio quam prius, ex ipso movetur. Sed re accuratius perpensa apparebit ex natura quidem corporis oriri mobilitatem, sed non ipsum motum. Eo ipso enim dum corpus propositum est in spatio hoc, etiam esse potest in alio aequali et simili prioris, id est potest moveri. Nam posse esse in alio spatio quam prius, est posse mutare spatium, posse mutare spatium est posse moveri. Motus enim est mutatio spatii. Actualis autem motus ab inexistentia in spatio non oritur, sed potius corpore relicto sibi contrarium ejus, nempe permansio in eodem, seu quies. Ratio igitur motus in corporibus sibi relictis reperiri non potest. Frustraneum igitur est illorum effugium, qui rationem motus sic reddunt: Omne corpus vel motum esse ab aeterno vel moveri ab alio corpore contiguo et moto. Nam si dicunt corpus propositum motum esse ab aeterno, non apparet cur non potius quieverit ab aeterno, tempus enim, etiam infinitum, causa motus intelligi non potest. Sin dicunt corpus propositum moveri ab alio contiguo et moto, idque iterum ab alio, sine fine; nihilo magis rationem reddiderunt, cur moveatur primum et secundum et tertium vel quotumcunque, quamdiu non reddidere rationem cur moveatur sequens, a quo omnia antecedentia moventur. Ratio enim conclusionis tam diu plane reddita non est, quamdiu reddita non est ratio rationis, praesertim cum hoc loco idem dubium sine fine restet.
Satis igitur, opinor, demonstratum est: determinatam figuram et magnitudinem, motum vero omnino illum in corporibus sibi relictis esse non posse. Tacebo hoc loco, quia altioris indaginis res est, ne causam quidem consistentiae corporum hactenus ab ullo ex ipsa corporum natura redditam esse.
A consistentia autem corporum est (1) quod corpus grande parvo impellenti non cedit, (2) quod corpora aut partes corporum sibi invicem cohaerent, ex quo oriuntur qualitates istae tactiles quas vulgo secundas vocant, nempe soliditas, fluiditas; durities, mollities; glabrities, aspritudo; tenacitas, fragilitas; friabilitas, ductilitas, malleabilitas, fusibilitas, (3) quod corpus durum corpori non cedenti impingens reflectitur. Breviter a consistentia tria sunt: resistentia, cohaerentia, reflexio. Quarum rationem qui ex materiae figura, magnitudine et motu mihi reddiderit, eum ego magnum philosophum libens fatebor. Unica prope via apparet, nempe corpus ideo corpori impellenti resistere, et ipsum repercutere, quia ipsius partes in superficie insensibiliter in occursum ejus moveantur. Sed supponamus corpus impingens non ea linea, qua partes corporis impellendi occursura sunt, sed alia, obliqua fortasse incidere; eo ipso statim omnis reactio, resistentia, reflexio cessabit contra Experientiam. Sed cohaerentiae ratio a reactione et omnino motu plane reddi non potest. Nam si chartae partem impello, pars quam impello cedit, ideo aliqua reactio et motus resistentiae fingi non potest. At non cedit sola, sed reliquas partes sibi adhaerentes simul aufert. Sane verum est, et rationem habet, quod olim Democritus, Leucippus, Epicurus et Lucretius, hodie sectatores eorum Petrus Gassendus et Ioh. Chrysost. Magnenus prodiderunt: Omnem in Corporibus Cohaerentiae causam dare naturaliter figuras quasdam implicatorias, nempe hamos, uncos, annulos, eminentias, breviter omnes durorum corporum curvitates vel flexiones sibi invicem insertas. Sed haec ipsa instrumenta implicatoria solida et tenacia esse necesse est, ut suum faciant officium et corporum partes contineant. Sed unde ipsis tenacitas? an hamos hamorum supponemus in infinitum? Sed quae dubitandi ratio in primis erit, ea et in secundis et tertiis erit sine fine. Ad has difficultates acutissimis istis philosophis nihil aliud superfuit quod responderent quam ut supponerent in ultima corporum resolutione insecabilia quaedam corpuscula, ipsi Atomos vocant, quae variis suis figuris varie combinatis varias corporum sensibilium qualitates efficiant. Sed in istis ultimis corpusculis nulla apparet ratio cohaerentiae et insecabilitatis.
Reddidere aliquam Veteres, sed ita ineptam, ut ejus recentiores pudeat. Scilicet partes Atomorum ideo cohaerere, quia nullum intercedat vacuum; ex qua sequitur, omnia corpora quae se semel contigerunt, inseparabiliter ad atomorum exemplum cohaerere debere, quia in omni contactu corporis ad corpus nullum intercedit vacuum. Qua perpetua cohaerentia nihil est absurdius, nihil ab experientia magis alienum. Recte igitur in reddenda Atomorum ratione confugiemus ad Deum denique, qui ultimis istis rerum fundamentis firmitatem praestet. Et miror neque Gassendum neque alium inter acutissimos hujus seculi philosophos praeclaram hanc demonstrandae Divinae Existentiae occasionem animadvertisse. Apparet enim in extrema corporum resolutione Dei auxilio carere naturam non posse.
Cum autem demonstraverimus corpora determinatam figuram et quantitatem, motum vero illum habere non posse, nisi supposito Ente incorporali, facile apparet illud Ens incorporale pro omnibus esse unicum, ob harmoniam omnium inter se, praesertim cum corpora motum habeant, non singula a suo Ente incorporali, sed a se invicem. Cur autem Ens illud incorporale hanc potius quam illam magnitudinem, figuram, motum eligat, ratio reddi non potest, nisi sit intelligens et ob rerum pulchritudinem sapiens, ob earum obedientiam ad nutum potens. Tale igitur Ens incorporale erit Mens totius Mundi Rectrix, id est DEUS.
Pars II.
Mentis humanae immortalitas continuo sorite demonstrata.
Mens humana est Ens cujus aliqua actio est cogitatio.
Ens cujus aliqua actio est cogitatio, ejus aliqua actio est res immediate sensibilis sine imaginatione partium. Cogitatio enim est res (1) immediate sensibilis; mens quippe se cogitantem sentiens sibi immediata est. (2) Cogitatio est res sensibilis sine imaginatione partium. Hoc experienti clarum est. Cogitatio enim est hoc ipsum nescio quid, quod sentimus, quando sentimus nos cogitare. Quando autem verbi gratia sentimus nos cogitasse de Titio, non solum sentimus nos Titii imaginem, quae sane partes habet, habuisse in animo, quia hoc non sufficit ad cogitationem.
Habemus enim imagines in animo etiam quando de iis non cogitamus, sed sentimus praeterea, nos illam Titii imaginem advertisse, in qua advertentiae ipsius imaginatione nullas partes deprehendimus.
Cujus aliqua actio est res immediate sensibilis sine imaginatione partium,
Ejus aliqua actio est res sine partibus.
Nam quale quid immediate sentitur, tale est.
Erroris enim causa est medium, quia si objectum sensus esset causa erroris, semper falso sentiretur; sin subjectum, semper falso sentiret.
Cujus aliqua ratio est res sine partibus, ejus aliqua actio non est motus.
Omnis enim motus habet partes per demonstrata Aristotelis et omnium confessionem.
Cujus aliqua actio non est motus, illud non est corpus.
Omnis enim corporis actio est motus: omnis enim rei actio est essentiae variatio.
Corporis essentia est esse in spatio; existentiae in spatio variatio est motus.
Omnis igitur corporis actio est motus.
Quicquid non est corpus, non est in spatio.
Corporis enim definitio est esse in spatio.
Quicquid non est in spatio, non est mobile.
Motus enim est mutatio spatii.
Quicquid non est mobile, est indissolubile.
Dissolutio enim est motus secundum partem.
Omne indissolubile est incorruptibile.
Corruptio enim est dissolutio intima.
Omne incorruptibile est immortale.
Mors enim est corruptio viventis, sive dissolutio ejus machinae, per quam quid apparet se movere.
Igitur
MENS HUMANA EST IMMORTALIS.
Quod erat demonstrandum.
- 1Hier endigt das Bruchstück, das Leibniz unter dem Titel: Disputatio Arithmetica de complexionibus, quam in illustri Academia Lipsiensi indultu amplissimae Facultatis Philosophicae pro loco in ea obtinendo prima vice habebit M. Gottfredus Guilielmus Leibnüzius, Lipsiensis. I. U. Baccat. d. 7. Martii Anno 1666. H. L. Q. C. - veröffentlichte (Vergl. Ludovici, Ausführlicher Entwurff einer vollständigen Historie der Leibnizischen Philosophie, Leipzig 1737, Bd. I. S.308. 309. Kortholt hat im 2ten Theil von Leibn. Epist. ad diversos diese Disputation unter etwas verändertem Titel vollständig abdrucken lassen). Zum Behuf der Disputation hatte Leibniz der akademischen Sitte gemäß die folgenden COROLLARIA hinzugefügt:
- 1Muß heißen: 1666.