Leibniz an Molanus

Je croyois fermement que ma derniere estoit capable de faire voir à Mons. Eckardus, en quoy consiste l'imperfection de sa methode. Mais j'ay appris plusieurs choses par cette dispute et entre autres celle que je ne croyois pas: c'est qu'il faut un juge des controverses en mathematiques aussi bien qu'en theologie: autrement nostre dispute ne finiroit pas si tost, et vous ennuyeroit à la fin. Si M. Eckardus y consent, j'envoyeray les pieces de nostre procés à l'Academie Royale des Sciences à Paris, où il y a Monsieur Hugenius dont Schoten parle si souvent, et plusieurs autres personnes fort versées dans l'Analyse.

Je diray seulement en passant ce qui suit. Il s'agit de prouver que cette equation x3-x égal à a2 est impossible en nombres. Mons. Eckardus le prouve, parceque l'equation n'est pas divisible par x plus ou moins 1 ou a ou a2. Mais posons au lieu de a un equivalent, x3-x égal à f2 g2, il est manifeste que l'equation seroit resolue, si elle estoit divisible par x-f. Il faut donc que cela soit impossible, et si l'argument de M. Eckardus est bon, il faut que de ce que l'equation n'est pas divisible par x plus ou moins 1 ou a ou a2, on puisse prouver qu'elle n'est pas divisible par x-f. Je ne voy point cette consequence. Par la meme raison l'equation x3-x2 égal à a2 seroit aussi impossible en nombre. Cependant elle est tres possible. Car au lieu de a posant fg, nous aurons x3-x2 égal à f2 g2, et posant f égal à 5 et g égal à 2 ou a égal à 10, et x égal à f, c'est à dire x-f égal à 0, nous aurons x égal à 5, ce qui reussira, car est égal à , et cette equation x3-x2-100 égal à 0 sera divisible par x-5 égal 0, c'est à dire par x-f.

Si cela ne suffit pas, je n'ay rien à dire, si non qu'il faut un arbitrage pour sortir d'affaire.

Je reponds en passant à quelques choses que M. Eckardus m'objecte. Lorsque j'ay dit que les equations sont explicables en nombres quand elles sont deprimables, j'ay parlé des cubiques. Je ne me souviens d'aucun probleme que Mons. Eckardus m'ait proposé, si ce n'est celuy des deux cubocubes egaux à un cube. Mais il faut sçavoir comment M. Eckardus l'entend. S'il l'entend en nombres rationels et s'il m'asseure de l'avoir trouvé et d'en pouvoir donner des exemples, je le chercheray. Mais en nombres irrationels le probleme ne merite pas la peine à estre cherché, car on le peut tousjours donner par des racines cubiques. Mais si M. Eckardus demande un probleme, je luy en proposeray un, que je sçay pouvoir estre resolu en nombres rationels, qui n'est pas fort difficile, mais il faut seulement un peu d'adresse pour le resoudre. Le voicy: Invenire tres numeros, ita ut duorum quorumlibet differentia sit quadratus et duorum quorumlibet quadratorum ab ipsis differentia etiam sit quadratus, c'est à dire, les trois nombres estant x, y, z, on veut qu'il en vienne six quarrés, x-y égal à a2, x-z égal à b2, y-z égal à c2, x2-y2 égal à d2, y2-z2 égal à e2, y2-z2 égal à f2, on demande les trois nombres rationels x, y, z.

Quand Monsieur Eckardus en aura donné la solution, il s'appercevra luy même par experience, que les methodes connues publiquement ne sont pas tousjours suffisantes, et qu'il faut souvent ou des methodes nouvelles ou quelques adresses particulieres. L'opinion que j'ay concue de son esprit ne me laisse pas douter de la sienne. Je vous supplie de me conserver sa bienveillance, et de m'honorer tousjours de la vostre, me faisant la justice de croire, que je seray tousjours avec passion, Monsieur, etc.

1. 1Leibniz hat bemerkt: Responsio ad Epistolam Domini Eckardi 27 Maji 1679.