Leibniz an Molanus
La lettre de M. Eckardus est pleine d'esprit, mais il faut que je dise la verité, et que je vous avoue, que je ne suis pas encor satisfait. Je voudrois qu'il ne parlât pas si positivement en disant: si in iis, super quibus jam disputamus, causa cecidero, non in Algebraicis solum, sed ne in ulla quidem levissima re quicquam me scire; car on peut estre habile homme, quoyqu'on se trompe en quelque chose. Pour moy, je me crois fort asseuré de deux choses: premierement, que M. Eckardus est fort sçavant en Mathematique; et secondement, qu'il a commis icy des paralogismes. Il a appris cette maniere de parler de des Cartes, qui est aussi un peu trop positif en bien des choses.
J'avois crû qu'il prendroit encor un autre chemin, apres avoir receu ma lettre; mais comme il insiste cette fois si positivement sur les mêmes raisons, il faut bien que je ne me sois pas bien expliqué à son égard.
Mons. Eckardus avoit entrepris de prouver, que la fraction (2b2c-c2)/(2b2-2c) ne sçauroit estre un nombre quarré. Pour cet effect il entreprend de prouver que le numerateur et le denominateur ne peuvent estre ensemble des nombres quarrés, donc la fraction entiere ne peut estre un nombre quarré. L'argument de M. Eckardus seroit tel: Omnis fractio generalis, cujus numerator et nominator non sunt simul quadrati in ullo casu particulari, non potest esse quadratus in ullo casu particulari;
Fractio (2b2c-c2)/(2b2-2c) est talis;
Ergo etc.
J'ay nié la mineure absolument, et j'ay répondu à la preuve, en sorte que M. Eckardus l'a abandonné, et a cherché un nouveau moyen pour arriver à son but. Mais feignant que la mineure est vraye, j'ai repondu par surcroist à la majeure, distinguendo: Omnis fractio generalis, cujus numerator et nominator in omni casu existentes primi inter se non sunt simul quadrati etc. Sed sic negatur minor. Et M. Eckardus devroit prouver, que ces deux nombres generaux 2b2c-c2 et 2b2-2c sont tousjours primi inter se. Mais pour luy epargner cette peine inutile, puisqu'il est impossible de la prouver, j'avois apporté des instances ou exemples en contraire. Et mon argument estoit tel en effect: Quicunque duo numeri habent divisorem communem, illi non sunt primi inter se. Aliqui duo numeri 2b2c-c2 et 2b2-2c habent divisorem communem (nempe 2 eo casu, quo b est 5 et c est 4, tunc enim aliquis 2b2c-c2 est 184, et aliquis 2b2-2c est 42). Ergo aliqui duo numeri 2b2c-c2 et 2b2-2c non sunt primi inter se. Mons. Eckardus forme l'argument autrement: mais voila le mien; et il faut qu'il reponde à la majeure ou à la mineure, s'il ne demeure pas d'accord de la conclusion. Je ne reponds donc pas à ce qu'il dit à l'argument qu'il se forme luy même, puisqu'il n'est pas le mien; mais je desire qu'il reponde à mon argument in forma, commencant par le syllogisme principal, et y appliquant la distinction entre les nombres primitifs et non primitifs. Si j'avois dit, que les deux termes 2b2c-c2 et 2b2-2c peuvent estre rendus non-primitifs entre eux, estant multipliés par un même nombre 2, j'aurois parlé inutilement, et ce qu'il repond auroit lieu; mais j'ay fait voir que ces deux nombres 2b2c-c2 et 2b2-2c tels qu'ils sont, sont condivisibles dans un certain cas, et il y en a une infinité d'autres.
Quoyqu'il en soit, Mons. Eckardus voyant qu'il luy seroit tres difficile de prouver que ces deux nombres ne peuvent estre ensemble quarrés, lors même qu'ils sont primitifs entre eux; il a abandonné entierement ce raisonnement, et s'est jetté sur un autre, dont je luy avois donné occasion, en luy proposant, qu'il auroit achevé la question, s'il pouvoit prouver, que ce nombre x3-x ne scauroit jamais estre quarré. Voyant donc, que cette equation x3-x égal à a2 ou x3 égal à x+a2 a la même forme que celles qui ne peuvent estre resolues generalement par la regle de Cardan, il a crû qu'elles n'estoient jamais reduisibles en nombres. Mais je luy ay donné des instances. La dessus il avoue, que ces equations sont exprimables en nombres, lorsqu'elles sont deprimables. Fort bien; c'est ce que je veux. Il faut donc qu'il prouve, que cette equation x3-x égal à a2 n'est jamais deprimable en aucun cas particulier. Il tache de le prouver ainsi, en disant, que cette equation x3-x-a2 égal à 0 ne sçauroit estre divisée par aucun binome: x plus ou moins un diviseur de a2. Car tous les diviseurs de a2 sont ou 1 ou a ou a2. Or la division ne reussit pas avec un. Donc l'equation n'est pas deprimable. Mais c'est icy où il se trompe visiblement de de deux façons; car premierement la regle de Nonius et de des Cartes a seulement lieu, quand l'equation est en nombres entiers; c'est pourquoy des Cartes commande qu'on oste de l'equation toutes les fractions. Mais icy pour parler generalement, il faut considerer, que a2 peut estre une fraction, et que M. Eckardus a entrepris de prouver l'impossibilité generalement. Secondement, posant que a soit un nombre entier, il est faux que tous les diviseurs de a2 sont tousjours 1 ou a ou a2. Cela est vray seulement quand a est un nombre primitif. Mais si nous posons a égal à fg, il est visible que a2 est égal à f2g2, et par consequent divisible par 1 f. g. f2. g2. f2g. fg2; et si f et g ne sont pas primitifs, a2 pourra estre divisé encor par plusieurs autres. Apres une conviction si claire, j'espere que M. Eckardus, estant de bonne foy, reconnoistra luy même son paralogisme, et avouera l'imperfection de cette algebre et la facilité qu'il y a de se tromper. Je ne sçais s'il reussira en prenant d'autres mesures; mais toutes celles qu'il a prises jusqu'icy, se sont trouvés courtes; ce que j'attribue à l'imperfection de ses methodes, et à la trop grande croyance qu'il leur donne, plustost qu'à sa personne, que j'estime tousjours beaucoup. Je suis avec zèle etc.2