Leibniz an Molanus

J'ay receu la lettre de M. Eckardus, et j'espere comme luy, que la dispute sera bientost finie. Car nous verrons bientost, si M. Eckardus a achevé sa demonstration, ou s'il sera obligé d'avouer qu'il n'a rien avancé encor, si ce n'est qu'il apporte novum medium demonstrandi. Il dit de moy: confitetur solvisse me problemata sua nihilque restare quam ut aut in numeris rationalibus solvantur, aut illa in iis solvi non posse legitime demonstretur. Il reste donc encor tout. D'abord je n'ay demandé que cela, et nous ne sommes donc pas plus avancés qu'au commencement.

La methode des destructions dont il se sert, a esté déja mise en usage par les Algébristes du siecle passé: et M. des Cartes n'y a pas plus de droit qu'à l'arithmetique ordinaire; mais cette methode est imparfaite.

Mons. Eckardus avoit soûtenu, que (2bbc-cc)/(2bb-2c) ne sçauroit estre un nombre quarré, par ce que son nominateur et son numerateur ne sçauroient estre ensemble nombres quarrés. Je luy avois nié et antecedens et consequentiam. Il a taché de prouver antecedens; mais il abandonne maintenant cette preuve, n'en parlant plus dans sa lettre. Pour ce qui est de la consequence, je luy avois repondu, qu'il ne s'ensuit pas que cette fraction ne puisse pas estre quarrée, de ce que son numerateur et son nominateur ne le soyent pas, et je luy avois apporté des exemples contraires, comme 3/12. Il repond à cet exemple, que 3/12 est en effect autant que 1/4, par ce que le nominateur et le numerateur sont divisibles par le même nombre, sçavoir par 3. Et bien: c'est ce que je voulois, car peut estre que cette fraction (2bbc-cc)/(2bb-2c) est aussi reduisible à une fraction quarrée, et le raisonnement de Mons. Eckardus aura seulement lieu, s'il demonstre que les deux nombres: 2bbc-cc et 2bb-2c sont necessairement primi inter se, c'est à dire, qu'ils n'ont point de commune mesure. Il tache de le prouver, mais pas suffisamment. Je luy donneray un exemple contraire, pour prouver que ces deux nombres peuvent avoir un diviseur commun: par exemple, soit b égal à 5 et c égal à 4; 2bbc-cc sera 184, et 2bb-2c sera 42, donc la fraction sera 184/42. Par consequent on ne peut pas dire en general, que ces deux nombres sont tousjours primi inter se. Mais s'il l'avoit demonstré, cela ne serviroit encor de rien, tandis qu'il ne prouve pas que l'un et l'autre ensemble ne scauroient estre quarrés. Mons. Eckardus m'objecte, que j'ay agi moy même contre mon objection, en disant, que, (x3-x)/x2 estant quarré, x3-x le doit estre necessairement aussi. Je suis bien aise de cette objection; cela servira à le faire mieux remarquer la difference entre mon procedé et le sien. Car tousjours dans une fraction quarrée, le nominateur estant quarré, le numerateur doit estre quarré aussi, et contra. Mais il peut arriver, que ny l'un ny l'autre soit quarré, et neantmoins la fraction pourra estre quarrée, comme j'ay montré cydessus.

Je viens au nouveau moyen dont Mons. Eckardus se sert pour prouver son dessin. C'est qu'il dit, que cette equation x3-x aequ. aa est necessairement inexplicable en nombres rationaux, parce que cette equation aura cette forme: x3 aequ. +x+aa, ou z3 aequ. pz+q, faisant x égal à z, et p égal à 1, et q égal à aa. Or, dit il, cette forme z3 aequ. pz+q est tousjours inexplicable en nombres rationaux. Et il demande, si je veux qu'il le prouve, ou si je me contente des preuves de Viete et des Cartes. Mais je ne veux pas qu'il prouve une chose impossible à prouver. Aussi ny Viete ny des Cartes n'ont pas dit cela. Et pour luy faire voir qu'il est impossible de le prouver, je luy apporteray un exemple, où cette forme d'équation est explicable en nombres rationaux: par exemple soit l'équation: z3 égal à 3z+2, qui a la même forme que z3 égal à pz+q. Posant 3 égal à p, et 2 égal à q, je dis, que z est égale à 2, nombre rationel, comme il est aisé de voir. Je voy bien ce qui a trompé Mons. Eckardus: la racine de cette forme d'equation ne peut pas estre exprimée par une formule generale explicable par les moyennes proportionelles. C'est ce que Cardan et des Cartes ont dit. Mais il ne s'ensuit pas pour cela, qu'elle ne soit pas explicable en nombres en aucun cas particulier. Peut estre donc que nostre probleme est de ceux qui se peuvent resoudre en nombres rationels en certains cas particuliers. C'est pourquoy je dis encor une fois, qu'il est tres aisé de se tromper en Algebre, quand on ne raisonne pas avec rigueur, à la facon des anciens Geometres. Mons. Eckardus a l'esprit excellent, mais comme il se fie trop à ses methodes pretendues, il est sujet à faire des paralogismes. Je ne l'en estime pas moins, et je suis avec passion etc.¹

1. 1Ohne Datum.