Eckhard an Molanus

Accepi, quae illustris ille Antagonista meus, Vir non humanitate minus, quam doctrina et eruditione insignis, ultimis meis reponere voluit. Disputatio nostra ad finem spectare videtur, egoque id operam dabo, ut, quantum in me est, finis illi, non mora imponatur.

Confitetur Vir illustris solvisse me problemata sua, nihilque restare, quam ut aut in numeris rationalibus solvantur, aut illa in iis solvi non posse legitime demonstretur. Gaudeo quod hactenus res illa non male mihi successit. De illa quidem difficultate, quae Viri illustris judicio adhuc expedienda est, jam videbo, idque operam dabo, ut, si superata nondum est, a me superetur.

Dicit Vir illustris, scire sese mysterium meum. Ego vero ea de re ne dubitavi quidem; quin potius existimo, etiam si id antea incognitum fuisset, facile tamen ab homine non obtusi ingenii, in quorum numerum minime referendum esse Virum illustrem eruditissima ejus scripta satis superque demonstrant, ex solutione ipsorum problematum erui potuisse.

Quod vero addit, esse illam methodum communem, qua interpretes in resolvendis Diophanti problematis utantur, hoc illud est, quod ego volo. Nam praestantiam methodi Cartesianae, qua vulgo jam utimur, asserendam suscepi, semperque prae me tuli, nulla me uti methodo nisi qua et olim usus fuerit Cartesius, et qua utantur omnes ii, qui methodo Cartesiana rite sunt imbuti.

Restat itaque hoc unum, an beneficio ejusdem methodi, qua problemata Viri illustris huc usque resolvi, etiam hoc investigari possit, utrum problemata ista numeris rationalibus explicabilia sint, nec ne; et, si non sint, quo pacto id demonstrari possit. Putat Vir illustris, id methodo seu vulgata seu Cartesiana (utrocunque tandem nomine illam appellare libeat) fieri non posse, opusque esse ad eam rem alia quadam methodo, a Cartesiana diversa. Ego vero in contraria sum sententia, scilicet postquam problemata et ista et id genus alia eo usque soluta sunt, quousque a me soluta fuerunt, nihil esse facilius, quam eadem methodo, qua usus fui, porro investigare, an in numeris rationalibus explicari possint, nec ne; et si non possint, id ad oculum demonstrare.

Ut viam ad istam rem muniam, duo dicenda mihi sunt. Dixeram ego in proxime superioribus literis, ut (2bbc-cc)/(2bb-2c) esse possit numerus quadratus, requiri ut tam numerator 2bbc-cc quam denominator 2bb-2c ejus fractionis numerus sit quadratus. Hoc ratiocinium manifestissimi paralogismi incusat Vir illustris. In exemplum adducit 12/3, 72/8 aut 8/72, qui numeri sint quadrati, etiamsi nec numeratores nec denominatores harum fractionum tales sint. Non dubito quin ex festinatione dubium illud moverit in re non solum certissima, sed etiam facillima, quaeque ita comparata sit, ut ex definitione numeri quadrati statim pateat. Quid enim est numerus quadratus, nisi qui oritur ex multiplicatione ejusdem numeri per semet ipsum, et per consequens, ex quo radix quadrata extrahi potest. Ex. gr. 4 est numerus quadratus ideo, quia oritur ex multiplicatione ejusdem numeri 2 per semet ipsum, atque adeo eadem radix 2 ex 4 extrahi potest. Quemadmodum itaque 2 facit numerum quadratum, si per semet ipsum multiplicetur, et 3 facit numerum quadratum, si itidem per semet ipsum multiplicetur, ita etiam fractio ista 2/3 non potest redigi ad numerum quadratum, nisi tam numeratore, quam denominatore, hoc est, nisi tam numero 2 quam numero 3 quadrate multiplicato, id quod per se patet. Uti ergo quadratum ex 2/3 est 4/9, ita etiam e contrario 4/9 quadratum esse non potest, nisi tam numerator 4, quam denominator 9 radicem habet quadratam. Et sic de ceteris.

Neque obstant exempla ab illustri Viro in contrarium adducta. Sunt enim illa aut numeri integri in modum fractionis positi, aut fractiones non ad simplicissimos suos terminos reductae, ad quos si reducantur, fiunt perfecti numeri quadrati. Quomodo infinitas posse constitui fractiones quadratas, licet earum neque numeratores neque denominatores sint numeri quadrati, quis nescit? Quemadmodum enim 4 seu 4/1 est numerus quadratus, quia tam numerator 4 quam denominator sunt numeri quadrati, ita etiam 12/3 est numerus quadratus, quia est ipse numerus 4/1, sed ita ut tam numerator 4 quam denominator 1, per eundem numerum 3 sint multiplicati. Et sic de ceteris. Quotiescunque itaque fractio aliqua est numerus quadratus, cujus tamen neque numerator neque denominator talis existit, toties et numerator et denominator erunt per eundem numerum multiplicati, per quem si uterque iterum dividatur, emerget aut numerus integer, aut fractio aliqua, cujus tam numerator quam denominator sint numeri quadrati. Et si praeter hunc casum dederit Vir illustris fractionem quadratam, cujus et numerator et denominator non sint numeri quadrati, vicerit. Quid opus est verbis? Quemadmodum a/b redigitur ad numerum quadratum, si tam numerator a quam denominator b quadrate multiplicentur, ita etiam e contrario aa/bb fractio quadrata non esset, nisi tam aa quam bb essent numeri quadrati. Est quidem aac/bbc etiam fractio quadrata, etiamsi neque aac neque bbc sint numeri quadrati; at aac et bbc habent communem divisorem c, per quem si dividantur, emerget fractio aa/bb, cujus et numerator et denominator sunt numeri quadrati. Verum enim vero quantum ad istam fractionem (2bbc-cc)/(2bb-2c), illa quidem est ad minimos seu simplicissimos suos terminos reducta, hoc est, in ea neque numerator neque denominator habent ullum communem divisorem, per quem dividi ulterius possint (quod semper quidem faciunt non Algebraici solum, sed etiam Arithmetici, ideoque id monere opus non fuerat). Si itaque (2bbc-cc)/(2bb-2c) numerus debet esse quadratus, necesse est ut tam numerator 2bbc-cc quam denominator 2bb-2c tales sint. Et quid, quaeso, signum illud V fractioni isti praepositum aliud significat, quam tam ex numeratore quam denominatore extrahi debere radicem quadratam? Est enim quantitas V(2¯b¯b¯c¯-¯c¯c¯)¯/¯(¯2¯b¯b¯-¯2¯c¯) plane eadem cum ista V¯2¯b¯b¯c¯-¯c¯c/V¯2¯b¯b¯-¯2¯c. Quod itaque existimat Vir illustris, me propter istam objectionem suam vidisse, non absurdum videri, si dicas, quantitatem illam (4ff-16bbde+4ddee+4de3+e4)/8 casum admittere posse, ubi non repugnet illam esse numerum quadratum, id, quod pace summi Viri dictum velim, longe aliter se habet, egoque in superioribus literis meis disertis verbis explicui. Nihil enim impedire videtur, ut numerator istius fractionis statuatur aequalis octuplo quadrati alicujus, hoc est quadrato alicui per 8 multiplicato, ex. gr. 8gg. Quo casu fractio ista aequalis erit 8gg/8, id est, diviso utrimque per 8, aequalis gg/1 seu aequalis ipsi gg. Atque haec fuit causa, quam ob rem alio modo eandem rem obtinere aggressus sum, qui modus cum Viro illustri etiam non placeat, non admodum repugno, praesertim cum alius ad manum mihi sit, cui reponi nihil possit. Nimis quidem prolixus fui in re manifestissima; attamen non possum, quin Virum illustrem sua ipsius hypothesi convincam denique. Dicit, si (xx-1)/x est numerus quadratus, erit (x3-x)/xx etiam numerus quadratus, et per consequens (abjecto denominatore xx) x3-x etiam numerus quadratus. Nihil rectius, neque ego id nego. Sed qui scit Vir illustris, si (x3-x)/xx est numerus quadratus, etiam numeratorem x3-x talem fore? Nam dum assertum hoc suum demonstraverit, eadem opera demonstrabit assertum illud meum, de quo hactenus disputavi. Non, credo, aegre feret Vir illustris, quod tam prolixus fuerim in asserto meo probando, sine quo nihil ulterius demonstrare me posse profiteor. Cessi ipsi antehac in omnibus, quae, quantumvis essent verissima, non tamen ita simpliciter necessaria erant ad institutum meum obtinendum, ut illud alio modo obtineri a me posse diffiderem. Ita in omnibus prioribus literis suis inter alia acerrime negavit, universitati rationis (quando probandum mihi erat, non posse idem triangulum rectangulum simul habere aream quadratam et latera rationalia) nihil obstare, si unum latus supponatur = 2, quod tamen in his ultimis concedit. Cessi nihilominus, uti dixi, tametsi res erat evidentissima. In hoc autem, quod jam proposui, cedere non possum, siquidem quicquam adhuc proferre velim, quod ad rem faciat: cessurus alioqui, si possem. Tantum de primo.

Alterum, quod monere volui, illud est. Dicit Vir illustris, problema nostrum eo jam esse redactum, ut nihil in eo supersit praeter hoc unum, nempe cum x3-x numerus debeat esse quadratus, ut aut ille inveniatur, aut illum dari non posse demonstretur, et dum id hactenus factum non fuerit, versasse nos Ixionis rotam. Aut ego insigniter fallor, aut in proxime superioribus literis meis demonstravi, x3-x non posse esse numerum quadratum: ut adeo, si hoc tantum supersit, rem plane confectam jam esse contendere non dubitem. Demonstratio haec fuit: Esto x3-x = aa, eritque x3 = 1x+aa. Quae aequatio est ejusdem formae cum ista: z3 = *+pz+q. Jam vero nemo Algebraicorum etiam ante Vietam et Cartesium ignoravit, radices harum aequationum z3 = *.pz.q. nullo numero esse explicabiles. Atque ea fuit causa, quam ob rem Vieta in tractatu suo de numerosa potestatum resolutione radices harum aequationum investigarit, quae a veris quam minimum recedant; Cartesius autem in Geometria sua easdem radices in lineis dare tentaverit, idque felicissime perfecerit. Quod cum Viro illustri ignotum esse non possit, egoque in superioribus literis meis jam tum monuerim, mirari profecto subit, illud plane praeteriisse Virum illustrem. Si ergo grave non est, doceat me, an vel ab Algebraicis, qui ante Vietam et Cartesium vixerunt, vel etiam ab ipso Vieta aut Cartesio eorumque sectatoribus satis liquido demonstratum nondum sit, aequationum propositarum radices nullo numero esse explicabiles, et an defectum illum a me suppleri cupiat. Ego enim problematis istis satisfecisse mihi videor, si ista ad hos, quos dixi, terminos, aut vero ad istos: z4 = *.pzz.qz.V et similes reduxero, ad quos si reducta fuerint, nemini amplius ignotum esse existimo, radices harum aequationum nullo numero esse explicabiles. Vale, Reverendissime Domine Abbas, Viroque humanissimo, si grave non est, pro missa per Te salute meo nomine gratias age, ipsique significa, non minus me esse illustris sui, quam Rev. nominis Tui obsequentiss. cultorem.

Jeinsae ad d. 7. April. 1679.