Leibniz an Molanus
J'ay receu la lettre de Mons. Eckardus que vous avés eu la bonté de me communiquer. Je vous en remercie fort. Elle est sçavante aussi bien que les autres qui font assés connoistre l'erudition et l'esprit de l'auteur. Mais comme il y a quelques choses qui ne sont pas encor claires, je les toucheray à fin d'en estre éclairci.
Je ne m'arreste pas à la dispute touchant les lettres x et z, puisqu'il en a employé d'autres; je demeure d'accord aussi, qu'il peut supposer le costé AB du triangle estre égal à 2, pourveu qu'il prenne garde alors, que les costés du triangle peuvent aussi estre des fractions, à fin que l'impossibilité qui doit estre demontrée, convienne aussi bien aux nombres rompus qu'aux nombres entiers.
Je viens au principal, c'est à dire, à la preuve qu'il apporte, que (xx-1)/x ne sçauroit estre un nombre quarré. Il le prouve, parce qu'alors deux nombres quarrés-quarrés seroient égaux à un nombre quarré, ce qu'il soûtient n'estre pas possible. La consequence est bonne, et je la sçavois bien; c'est pourquoy je luy proposay ce même probleme (trouver deux quarrés-quarrés qui composent un quarré), sçachant qu'il est le même en effect que le problème du triangle rectangle en nombres dont l'aire est un quarré. Mais voyons la preuve de l'impossibilité de ces deux quarrés-quarrés qui doivent composer un quarré. Il dit, si a4+b4 est égal à un quarré, il s'ensuit que aa est égal à (2bbc-cc)/(2b2-2c), ce qui est encor impossible en nombres rationaux. La consequence est vraye comme je le monstreray cy-dessous. Mais voyons comment il prouve, que (2bbc-cc)/(2b2-2c) ne sçauroit estre un nombre quarré. Si cette fraction est un nombre quarré, il sera necessaire, dit il, que son numerateur aussi bien que son nominateur soyent des nombres quarrés. Ce qu'il tâche de prouver en effect estre impossible, supposant encor qu'un nombre, dont le nominateur est 8 et par consequent n'est pas quarré, ne sçauroit estre un nombre quarré. Mais ce raisonnement est neantmoins un paralogisme bien manifeste, car une fraction peut estre un nombre quarré, quoyque ny son numerateur ny son nominateur ne soyent point quarrés, par exemple 12/3, 72/8 ou 8/72. C'est pourquoy nous sommes encor dans les mêmes termes, où nous en estions au commencement de la dispute, car je croy qu'il seroit plus aisé de prouver, que (xx-1)/x n'est pas un quarré, que de le prouver de (2b2c-c2)/(2b2-2c). Mons. Eckardus dit, qu'il veut cacher la methode, par laquelle il a prouvé que a2 est égal à (2b2c-c2)/(2b2-2c), et qu'il a decouvert une regle, dans laquelle consiste le mystere des destructions, mais qu'il ne veut point la decouvrir, que lorsque je luy diray, si j'en ay une aussi, ou non.
Mais il est aisé de voir, comment il a trouvé a2 égal à (2b2c-c2)/(2b2-2c), et si sa methode ne consiste qu'en cela, elle est assés connue, mais elle n'est pas suffisante. Voicy ce mystere, comme il l'appelle: a4+b4 doit estre égal à un quarré. Posons que la racine de ce quarré soit a2+b2-c, et nous aurons cette équation a4+b4 égal à a4+b4+2a2b2-2a2c-2b2c+c2, ou apres la destruction et transposition 2a2b2-2a2c égal à 2b2c-c2, c'est à dire, a2 égal à (2b2c-c2)/(2b2-2c). Voila donc sa methode, qui est aussi l'ordinaire, dont tous les interpretes de Diophante se servent, et ils ont déja trouvé par là, comment on peut faire un Triangle rectangle en nombres. Car soit x2+y2 égal à x2+y2+2xy-2xz-2yz+z2, et nous aurons x ègal à (z2-2yz)/(2z-2y) ou z-z2/(2z-2y). Posons y égal à z-v, et nous aurons x égal à z- z2/2v. Et c'est ce que Mons. Eckardus a encor voulu supprimer. S'il me donne un exemple de deux nombres cubo-cubes rationels égaux à un cube, je tacheray encor de trouver une regle pour en avoir. Et j'auray satisfait ainsi à tout ce qu'il me propose.
Mais il s'en faut beaucoup que cette methode dont Mons. Eckardus se sert icy, soit suffisante, car il s'agit maintenant de trouver en termes rationels la valeur simple de a (c'est à dire de ) ou de prouver qu'elle est impossibile. Tandis qu'il ne fait pas cela, sa methode ne sera pas encor ce qu'on demande.
Quand je luy ay proposé ce probléme: invenire numerum cubum, qui latere suo minutus relinquat quadratum, j'ay entendu numerum rationalem. Car toutes nos lettres n'ont parlé que de nombres rationels, et sans cela je n'aurois pas proposé un probleme comme difficile, dont la solution est connue et a esté donnée il y a long temps et qui n'a point de rapport à la methode dont il s'agit. Mais à fin que Mons. Eckardus ne se donne pas la peine de chercher cecy comme un nouveau probleme, je luy diray qu'il est encor le même avec le nostre, car si (xx-1)/x est un quarré, (x3-x)/xx sera aussi un quarré, par consequent x3-x sera aussi un quarré. Par là nostre probleme est reduit aux plus simples termes. Et il s'agit maintenant ou de trouver un tel quarré ou de prouver qu'il est impossible,
ce qui est à mon avis assés difficile à faire, sans une methode toute autre que l'ordinaire.
Comme Mons. Eckardus a trouvé la methode ordinaire de luy même et par son esprit, je ne doute point qu'il ne soit enfin capable de trouver la vraye methode universelle, et d'avancer beaucoup l'Algebre. Mais je suis encor persuadé, qu'il faut qu'il s'y prenne d'une autre façon; sans cela il se peinera inutilement. Car jusqu'icy nous n'avons fait que tourner la roue d'Ixion dans nos lettres. Je vous supplie, Monsieur, de le saluer de ma part, et je suis avec passion etc.2
P.S.
Je croyois d'avoir achevé cette lettre, lorsque j'ay receu la vostre avec une lettre de M. Eckardus qu'il vous a écrite pour suppléer à ce qui pouvoit manquer dans sa demonstration. Il a veu une partie de ce que je luy objecte ici. Car il a veu, que (4ff-16b2de+4d2e2+4de3+e4)/8 pourroit estre égal à un quarré, quoyque le nominateur 8 ne soit pas un nombre quarré. Cela estant, je m'étonne qu'il ne se soit pas apperceu, que la fraction (2b2c-c2)/(2b2-2c) pourra aussi estre un nombre quarré, quoyque son nominateur ne le soit pas, car son nominateur, par exemple, pourroit estre égal à 8, ou à quelqu'autre nombre. C'est pourquoy le fondement de toute cette demonstration de l'impossibilité pretendue est renversé. Mais si j'accordois même à Mons. Eckardus, que 2b2c-c2 et 2b2-2c devroient estre tous deux quarrés en même temps, il n'auroit pas encor gagné son procès, car il n'a pas encor bien prouvé que cela est impossible. Il est vray, qu'il entreprend cette preuve dans la derniere lettre, mais d'une maniere qui n'est pas soutenable. Cela fait voir, qu'il est bien aisé d'abuser de ce qu'on appelle analyse, quand on ne procede pas avec rigueur, et pour ainsi dire, en forme. Voyons cette preuve. Ayant pris pour certain, que 2b2c-c2 et 2b2-2c doivent estre des nombres quarrés, il monstre, que 8b3d-6b2d2+2bd3-1/4d4 doit estre un nombre quarré: il pose la racine de ce quarré égale à e-d. Donc nous aurons 8b3d-6b2d2-1/4d4+2bd3 égal à e2-2ed+d2. La consequence est bonne. Mais pour prouver que cela est impossible, il monstre, qu'il y a une impossibilité de supposer en même temps 8b3d égal à e2, et 6b2d2+1/4d4 égal à 2ed, et enfin 2bd3 égal à d2. Mais rien l'a forcé de le supposer, et c'est icy où je ne puis pas dissimuler que je m'etonne de son procedé. Par où at-il prouvé ces trois égalités? ou comment at-il prouvé, qu'il luy est permis de faire ces suppositions salva universalitate problematis? En un mot il prouve des impossibilités, faisant des suppositions impossibles que le probleme ne demande pas. Car en faisant ces trois suppositions, il determine à un seul exemple les lettres b. d. e, qui pourtant sont generales, et doivent convenir à une infinité d'exemples. Il ne faut donc pas s'étonner, s'il a rencontré une impossibilité en determinant ces trois lettres au hazard. Car on les pouvoit determiner autrement d'une infinité de façons. S'il m'est permis d'agir ainsi, je prouveray que tous les problemes sont impossibles: par exemple, je prouveray que le Triangle rectangle en nombres est une chose impossible: Soit x2+y2 aequ. 3c2+c2. Posons y2 égal à c2, et x2 sera égal à 3c2, et nous aurons x égal à cV3, ce qui est impossible en nombres. Si Mons. Eckardus veut soutenir ses trois suppositions, il faut qu'il prouve qu'elles subsistent sauf l'universalité; mais c'est ce qu'il ne fera jamais. Car c'est comme s'il vouloit prouver, que le probleme de b. d. e. n'est intelligible que dans un seul exemple, qui se trouve justement impossible en nombres rationaux. Au lieu qu'il peut avoir une infinité d'exemples, et il faut prouver de tous ensemble qu'ils sont impossibles en nombres que nous demandons.