Leibniz an Molanus
Je voy que Mons. Eckardus dont vous m'avés communiqué les lettres, n'a pas moins d'humanité que d'erudition; et c'est à cette humanité que j'attribue les paroles trop favorables dont il se sert à mon égard. Pour ce qui est du sujet de sa lettre, j'avoue qu'il a determiné tres ingenieusement les conditions generales d'un triangle rectangle en nombres, et celles du double d'un nombre quarré produit par deux autres nombres, qui representent les moindres costés de ce triangle. Cependant je suis obligé de dire, que je ne comprends pas encor la demonstration de l'incompatibilité de ces conditions; mais je feray mon possible pour la comprendre, et je tacheray de la representer icy, à fin que M. Eckardus me puisse avertir, si j'ay manqué en quelque chose.
Soit AB égale àAC .... BC sera Soit z .... et y sera Donc AB sera AC sera BC sera x-y x+y 2Vxy. 2Vxy zz/4x. x-zz/4x x+zz/4x . . z.
Or puisque AB et BC/2, ou bien AB/2 et BC multipliés l'un par l'autre doivent produire un nombre quarré, qui doit estre l'aire du triangle ABC, il est manifeste que la racine de ce quarré sera moyenne proportionelle entre AB et BC/2 ou bien entre AB/2 et BC. Je voy icy, que M. Eckardus a appellé cette moyenne proportionelle z. Mais comme z est déja determiné à estre le costé BC, et par consequent ne doit pas estre pris pour la racine de l'aire, si nous voulons raisonner generalement, servons nous plustost d'une autre lettre, si Mons. Eckardus le permet, c'est à dire, appellons cette moyenne proportionelle v, et son quarré sera vv, et posons suivant Mons. Eckardus l'un des deux nombres qui le doivent produire, égal à v/a, l'autre égal à av, ils produiront vv multipliés l'un par l'autre. Par consequent si BC/2 est posée égale à v/a, et AB égale à av (ce qui depend de nous), BC/2 sera à AB comme v/a est à av, c'est à dire comme 1 est à aa. Et par consequent BC sera à 2AB comme 1 est à aa, ou 2BC sera à 2AB, c'est à dire, BC à AB comme 2 est à aa.
»Maintenant il s'agit de prouver qu'il est impossible de supposer, que BC peut estre à AB, c'est à dire [z] à [x-zz/4x] comme [2] à [aa].« Et c'est de quoy depend toute nostre dispute. Mons. Eckardus, pour prouver cette impossibilité, suppose que z vaut 2, et dit qu'il peut le supposer sans faire tort à la generalité de sa demonstration; ce que je ne luy accorde pas, et il est tres manifeste que z par sa propre supposition est le costé BC. Donc sa demonstration n'auroit lieu qu'à l'egard de ces triangles rectangles seulement, qui ont un des costés, comme BC, égal au nombre 2, et par consequent la demonstration n'est pas generale à l'égard de tous les Triangles rectangles en nombres.
Mais comme je voy un moyen de remedier neantmoins à la generalité, je luy accorderay par surcroit, que BC ou z peut estre prise generalement pour 2: donc AB ou x-zz/4x sera x-1/x, et x-1/x ou xx-1/x doit estre égal à aa. Il faut donc monstrer que cela est impossible, c'est à dire, qu'il est impossible qu'un nombre quarré moins l'unité, estant divisé par sa racine, puisse estre égal à un autre nombre quarré. Mons. Eckardus pretend de prouver cette impossibilité de la maniere suivante: Si xx-1/x est un nombre quarré, il faut que cette fraction ne soit pas moindre que x, lorsque x est un quarré, ny moindre que xx, lorsque x n'est pas un quarré, parceque x de plusieurs dimensions (scavoir xx) y est divisé par x simple ou d'une seule dimension. Mais il est manifeste que cette fraction est moindre que x, et encor plus moindre que xx, donc elle ne scauroit estre un quarré. Et c'est là tout son raisonnement. Mais je m'étonne qu'il a avancé sans preuve, que xx-1/x ou quelqu'autre fraction, dans laquelle x de plusieurs dimensions est divisé par x d'une dimension, ne peut estre un quarré, si elle est moindre que x et moindre que xx. Il falloit prouver cette assertion, mais il est impossible de la prouver ainsi. Car voicy une instance contraire: soit x égal à 5, et xx-x/x (qui est aussi une fraction, où x de plusieurs dimensions est divisé par x d'une dimension) sera 4, et par consequent cette fraction est moindre que x, c'est à dire, moindre que 5, et neantmoins elle est égale au nombre quarré 4.
Je conclus que suivant mon opinion Mons. Eckardus doit se servir de quelque principe plus haut, s'il veut venir à bout de la solution de ce probleme. Car je dis ingenûment, que je ne voy pas qu'il ait trouvé jusques icy une entrée dans l'intérieur de la chose. Et comme je jugerois aisement, qu'un Geometre cherchant une moyenne proportionelle entre deux lignes données, n'y arriveroit pas, si je voyois qu'il n'avoit tracé sur le papier que des lignes droites, et jusqu'à ce qu'il se serve de cercles; de même j'oseray avertir Mons. Eckardus, que ce sera peine perdue, s'il n'adjoute quelque autre chose à ce qu'il a dit jusqu'icy.
Je ne m'arresterois pas à repondre par détail à tous les points de sa lettre, car un seul defaut suffit pour renverser une demonstration, et il me semble que j'en ay marqué, qui sont tres considerables ou plustost qui sont tout, car jusqu'icy ce en quoy consiste toute l'affaire est tousjours demeuré sans preuve. Je diray seulement en passant, que je croy de n'avoir pas soûtenu sans raison, qu'il ne faut pas employer les mêmes lettres dans deux problemes differents, quand ces deux problemes sont reunis à la fin dans un même calcul d'un seul probleme, comme il arrive icy. C'est pourquoy ce que dit M. Eckardus de ce que l'un pouvoit estre resolu à Paris, l'autre à Rome, et que rien n'empeche que les deux Algebristes ne se servent par hazard de mêmes lettres, ne me touche point, car j'entends qu'il ne faut pas donner des determinations particulieres à une lettre, quand on veut resoudre le probleme universellement. Or cela arriveroit icy, en faisant x égal à a. Car x est AC+AB/2; mais a est quelque autre chose, c'est à dire, a est un nombre dont le quarré est au nombre 2 comme AB est à BC (car je m'estois trompé dans la lettre precedente, en disant à la haste, que a estoit la racine du quarré égal à l'aire demandée du triangle). Or il est visible, que le probleme dans sa generalité ne demande pas que cet x (pris pour AC+AB/2) soit égal à ce nombre a dont le quarré soit au nombre 2 comme AB est à BC: et par consequent il ne faut pas supposer x égal à a, quand on veut raisonner generalement, non plus que z (qui represente le costé BC) égale à la racine demandée du quarré égal à l'aire triangle. Mais il est inutile de disputer la dessus, puisque Mons. Eckardus a eu la condescendance dans sa derniere, de se servir de a au lieu de x.
Au reste il n'a rien répondu à ce que j'avois remarqué dans ma derniere, qu'en posant AB égale à x-y, et AC égale à x+y, il avoit bien fait sans doute, pour destruire les quarrés xx et yy, plustost par l'adresse de son esprit que par regle, mais que cette adresse ne pourroit servir dans les plus hauts degrés, et lorsqu'il y a plusieurs lettres, où l'on ne peut pas prevoir les destructions futures, comme par exemple, pour trouver deux nombres quarrés-quarrés égaux à un nombre quarré. Et personne n'a encor publié une voye asseurée pour arriver à ces suppositions favorables. Par où l'on peut juger de l'imperfection de l'Algebre autant qu'elle est connue publiquement jusqu'icy. Je croy que Mons. Eckardus est du nombre de ceux qui peuvent contribuer beaucoup à sa perfection. C'est pourquoy je vous remercie, Monsieur, de m'avoir donné sa connoissance: mais je prendrois un exemple, qui ne monte qu'au quarré, et qui n'est pas des plus difficiles, mais qui a trois lettres: trouver trois nombres, en sorte que la somme de deux quelconques et la difference de deux quelconques fasse un nombre quarré. Si Mons. Eckardus peut trouver trois nombres de cette sorte par sa methode, je l'estimeray encor plus que je ne fais. Car comme je sçay que ce probleme est possible, il s'agira de nous donner ces trois nombres en effect, et nous n'aurons rien à disputer sur le raisonnement, car les paralogismes s'y refuteront d'eux mêmes, parce qu'ils ne meneront pas à ce qu'on cherche. Je ne le fatigueray point d'autres problemes, et s'il acheve ces deux, demonstrant l'impossibilité du premier par le raissonnement, et faisant voir ......2