Leibniz an Molanus

Je voy bien par l'écrit de vostre amy que vous m'avés communiqué, qu'il est habile homme, et qu'il est capable de faire tout ce qui se peut faire par la methode de des Cartes, et j'en suis d'autant plus aise, que nous en pourrons tirer cette consequence, que s'il ne vient pas à bout de la solution de nostre probleme, quelqu'autre Cartesien que ce soit aura bien de la peine d'y parvenir. Il commence tout à fait bien, et demonstre exactement, comment les costés d'un triangle rectangle en nombres doivent estre formés, et la proportion que deux nombres qui produisent ensemble un nombre quarré, doivent avoir l'un à l'autre; mais il s'est relaché à la fin, lorsqu'il est venu à la troisieme partie, c'est à dire lorsqu'il a voulu prouver que les conditions des deux moindres costés du triangle rectangle en nombres sont incompatibles avec les conditions des deux nombres, qui ensemble doivent produire le double d'un quarré. Car il est très asseuré, qu'il ne fait que proposer certains exemples, où les choses sont incompatibles, et il ne se dispose pas encor à la preuve de l'incompatibilité generale. Je croy qu'il l'a veu luy même; car il y a des ratures dans son écrit, lorsqu'il a voulu se hazarder de dire quelque chose en general; et non obstant qu'il a effacé les raisons, parcequ'elles ne satisfaisoient pas, il y a neantmoins laissé la conclusion. Je m'imagine donc, qu'il s'est apperceu de ce defaut, lorsque tout esté déja écrit, et qu'il n'a pas voulu cependant retarder la réponse. Pour venir au détail, et à fin qu'il voye que j'ay consideré son écrit avec soin, comme il le merite en effect, je dis qu'il a bien demonstré premiérement, que les deux moindres costés du triangle rectangle en nombres doivent estre l'un à l'autre comme z est à x - zz/4x; secondement que ces deux costés (si l'aire du triangle doit estre un nombre quarré) doivent estre l'un à l'autre comme 2 à aa. Je me sers exprès de a au lieu de x (dont il s'est servi) pour eviter une erreur, car il n'est pas necessaire que le nombre a, c'est à dire la racine de ce quarré que nous cherchons egal à l'aire du triangle, soit egal à x, c'est à dire à la moitié de la somme de l'hypotenuse (x+y) et d'un autre costé (x-y) du triangle. A quoy il semble que vostre amy n'a pas assés pris garde. Car il luy est bien libre en calculant de se servir de quelque lettre que ce soit; mais quand il s'est une fois servi d'une lettre, comme de x, pour dire que les deux costés subdits doivent estre l'un à l'autre comme z à x-zz/4x, il ne doit pas se servir par apres de cet x, mais de quelque autre lettre, qui est encor indéterminée, comme de a. Car en disant, que les deux costés subdits doivent estre aussi l'un à l'autre comme deux est à un nombre quarré tel qu'il puisse estre, alors il faut dire, que l'un est à l'autre comme 2 à aa, et non pas comme 2 à xx, parceque x est un nombre déja determiné dans le calcul precedent à quelques conditions particulieres, c'est à dire, qu'il est la moitié de la somme de l'hypotenuse (x+y) et d'un autre costé (x-y) du triangle. C'est donc en quoy consiste le paralogisme, qui est plus tost venu d'une inadvertance, que d'une erreur. Et je m'étonne, que nostre Mathematicien s'estant servi dans cette seconde supposition de a au lieu de x, a effacé par apres l'a, et a mis le x à la place, sans doute parcequ'il trouvoit moyen de raisonner, en se servant de cet x deux fois; car ainsi il pouvoit venir à une equation. Mais il n'a pas pris garde, que cela detruisoit entierement toute la force de la demonstration. Il y a encor une autre difficulté, car supposant même x égal à a, il ne prouve l'impossibilité qu'en certains cas encor plus particuliers, comme par exemple, quand il suppose z égal à 2 ou à 1, au lieu qu'il le doit prouver en general, quelque nombre qu'on puisse prendre pour z. Nous sommes donc encor aux premiers termes, c'est à dire, vostre amy ayant fort bien et même demonstrativement établi en general les conditions des deux moindres costés du triangle rectangle en nombres dont l'aire doit estre un nombre quarré, il est temps maintenant de venir au principal, c'est à dire de demonstrer l'incompatibilité pretendue de quelques unes de ces conditions. Car il s'agit icy, comme il le reconnoit fort bien, de la gloire de l'Algebre de Mr. des Cartes, et s'il la peut rétablir, il fera plus que quelques uns des plus habiles de ses sectateurs à Paris n'ont pû faire. S'il acheve ce qu'il a si bien commencé, je diray non seulement qu'il a maintenu la gloire de l'Algebre de Mr. des Cartes, mais je diray d'avantage, qu'il la perfectionnée en ces matieres, dont elle a grand besoin. Je ne dissimule pas, Monsieur, que je tiens vostre amy capable de le faire, car je remarque déja dans son écrit, qu'il s'est servi d'une adresse, que la Methode de M. des Cartes ne luy enseignoit pas, si ce n'est que nous voulions dire, que tout ce qui est raisonnable, appartient à la Methode de M. des Cartes. Car qui est ce qui luy a dit, qu'il devoit poser un des moindres costés du triangle x-y, et l'hypotenuse x+y? car le calcul ne le menoit pas à cela, et il pouvoit supposer toute autre chose. Mais ayant de l'esprit comme il en a, il voyoit bien que cette supposition luy serviroit à detruire les quarrés x2 et y2. Car le quarré de x+y est x2+2xy+y2, et le quarré de x-y est x2-2xy+y2, et ostant l'un de l'autre, il reste 4xy, c'est à-dire, les quarrés sont detruits et il ne reste que les lettres simples. Mais si cette destruction se peut prevoir par un homme d'esprit, dans un exemple aisé comme celui cy où il n'y a que deux lettres, et où l'on ne monte qu'au second degré, il est bien difficile, et même impossible par la seule force d'esprit, sans avoir une regle, de la prevoir dans les problemes qui montent plus haut, comme par exemple, il est bien difficile de resoudre celui cy, qui paroit assés simple: trouver un nombre cube dont sa racine cubique estant ostée, laisse un nombre quarré (numerum cubum invenire, qui latere suo minutus relinquit quadratum). Or je soûtiens que cette regle ou methode, pour prevoir ou procurer ces destructions des hautes puissances par de certaines suppositions propres à cela, ne se trouve encor nulle part, et que tout ce que les Algebristes ont fait en ces matieres, n'a esté que de se servir de certaines adresses particulieres, suivant le genie et l'experience d'un chacun: comme ceux qui ont écrit dépuis peu sur Diophante, apres M. des Cartes, et qui ont fort bien entendu son calcul, le temoignent assés par leur exemple. Mais je ne considere pas que vous et vostre amy estes plus occupés que moy, et je finis en vous suppliant de l'asseurer de mon estime, et de croire que je suis avec zele etc. A Hannover ce 4 de Fevrier 1679.

P.S.

Je vous supplie, Monsieur, d'excuser que j'écris en francois, car je crois que vostre amy l'entend; et quoyque j'entende assés le latin en lisant ce que les autres ont écrit, je n'ay pas assés d'habitude pour y expliquer distinctement mes pensées, sur tout dans une lettre entiere, qui me donneroit bien plus de peine, sans comparaison, que la solution du probleme ne donnera à vostre amy.