Eckhard an Molanus

Non equidem diffiteor, perfunctorie me tractasse illud, quod nuper mihi solvendum misisti, problema. Nesciebam enim, unde illud accepisses, et qua de causa solutionem ejus a me flagitares. Quod si scivissem, in leges reverentiae illius, quam et Tibi et Viro illi Illustri, qui Tibi illud solvendum dedit, debere me agnosco, utique pecassem, si illud pro re parva aut saltem non adeo magna habuissem. Neque negare possum, habere solutionem ejus aliquid curiosi, et quod mediocrem saltem rerum Algebraicarum notitiam requirat. Quanquam, ne quid dissimulem, hactenus videre nequeo, quam ob rem hujus et similium problematum analysin dare non possit Algebra Cartesiana. Sed quid opus est verbis? Ipsa re, quod dico, demonstrandum est. En Tibi itaque, Reverendissime Domine Abbas, plenam et integram, nisi me omnia fallunt, hujus problematis solutionem, in qua nihil mihi omisisse videor, quod quidem hac in parte desiderari a me possit. Agitur jam gloria totius Algebrae Cartesianae. Aut ergo pro insigni humanitate sua doceat Vir Illustris errorem, si quem forte in hac solutione commisi, cui si mederi nequeo, causa cadam victumque me fatebor: aut si id facere non potest, praestantiam Algebrae Cartesianae hactenus recte assertam esse fateri ne gravetur. Deus Te servet, Reverendissime Domine Abbas. Vale etc.

Jeinsae ad d. 1. Febr. 1679.

Problema.

Invenire triangulum rectangulum, cujus latera omnia sint numeri rationales, et area numerus quadratus.

Analysis.

Ut problemati omni ex parte satisfiat, tria investiganda mihi sumo:

1. quot modis omnia trianguli rectanguli latera numeris rationalibus exprimi possint;

2. quot modis area trianguli rectanguli fieri possit numerus quadratus. Quibus explicatis,

3. quaeram, an duo illa, quae in problemate requiruntur, conjungi inter se possint, hoc est, an fieri possit, ut trianguli latera omnia sint numeri rationales, et simul area ejus numerus quadratus. Quaeritur itaque

I. quot modis omnia trianguli rectanguli latera numeris rationalibus exprimi possint.

Quoniam in triangulo rectangulo ABC quadrata laterum BC, AB circa rectum angulum simul sumta aequalia sunt quadrato hypotenusae AC, pono pro latere AB, x-y, pro hypotenusa AC, x+y, eritque subtracto quadrato AB = xx-2xy+yy a quadrato AC = xx+2xy+yy, quadratum BC = 4xy. Ex quo duplex emergit problematis solutio.

1. quoniam 4xy est numerus quadratus, statuatur 4y = x, seu y = 1/4x, eritque xx = 4xy. Itaque si x seu AB sumatur pro lubitu, erit BC = x-y = x-1/4x = 3/4x, hoc est aequale ipsi AB, mulctatae quarta sui parte: et AC = x+y = x+1/4x = 5/4x, hoc est, aequale eidem AB auctae quarta sui parte. Erit itaque hoc priori modo ratio trium laterum trianguli rectanguli ut 3/4x, 1x seu 4/4x et 5/4x, hoc est, diviso ubique per x et multiplicato per 4, ut 3. 4. 5. Ergo si numeri 3. 4. 5 per quemcunque alium numerum simul vel multiplicentur vel dividantur, erunt quadrata duorum minorum numerorum sibi invicem addita aequalia quadrato majoris.

2. Quoniam 4xy debet esse numerus quadratus, statuatur radix ejus = z, fiatque uti x ad z ita z ad zz/x, ergo y = zz/4x. Ex quo patet, si pro x et z sumantur numeri quicunque, quo pacto y inveniri queat: erit enim semper y = zz/4x. Ex. gr. si sumatur x = 9 et z = 12, fiatque uti x ad z, hoc est 9 ad 12, ita z seu 12 ad 16, erit 16 = zz/x, et 4 = zz/4x = y. Unde detracto y = 4 ab x = 9, erit latus BC = x-y = 5, et latus AC = x+ y = 13. Ergo aggregatum ex quadrato 5 et quadrato 12 seu ex 25 et 144 aequatur quadrato ex 13 seu 169. Eodem modo si statuatur x = 4 et z = 3, fiatque uti x seu 4 ad z seu 3 ita z seu 3 ad 9/4, erit 9/4 = zz/4x et 9/16 = 4x = y. Unde detracto y = 9/16 ab x = 4, erit latus BC = x-y = 55/16, et latus AC = x+y = 73/16. Ergo aggregatum ex quadrato 55/16 et quadrato 3 seu 48/16 aequale est quadrato ex 73/16. Quod si numeris integris efferre cupias, erit multiplicato ubique per 16, hoc est demto communi denominatore, quadratum ex 55 seu 3025 additum quadrato ex 48 seu 2304 aequale quadrato ex 73 seu 5329. Et sic de ceteris. Erit itaque hoc modo ratio laterum BC, AB, AC ad se invicem ut x - zz/4x, x + zz/4x, seu 4xx-zz/4x, z, 4xx+zz/4x. Patet autem, numerum 2x debere majorem esse quam numerum z, seu x majorem esse debere quam 1/2z. Ergo si quicunque numeri in dicta ratione per quemcunque alium numerum simul vel multiplicentur vel dividantur, erunt quadrata duorum minorum numerorum simul sumta semper aequalia quadrato majoris. Qui est alter modus. Praeter hos duos autem modos nullus alius dari potest. Ratio est, quia 4xy non potest fieri numerus quadratus, nisi his duobus modis jam explicatis: nempe si vel solus numerus x sumatur pro lubitu, et statuatur 4y = x, qui est prior modus: vel si inter x et y statuatur medius numerus proportionalis, nempe z, et tam x quam z sumantur pro lubitu, dummodo, uti dictum est, x sit major quam 1/2z, qui est alter modus. Pergo ad

II. quot modis area trianguli rectanguli fieri possit numerus quadratus.

Omnis numerus quadratus, qui quidem ex multiplicatione duorum numerorum per se invicem producitur, aut fit ex multiplicatione ejusdem numeri per semet ipsum, aut ex duobus aliis numeris, quorum media proportionalis sit radix numeri quadrati. Ita numerus quadratus 36 fit primo ex multiplicatione radicis 6 per semet ipsum: sed potest etiam produci ex multiplicatione 1 per 36, item 2 per 18, item 3 per 12, item 4 per 9, et si fractos numeros accipere velis, infinitis aliis modis. Sed ex quibuscunque demum numeris producatur numerus ille quadratus 36, ipsa radix 6 media debet esse proportionalis inter duos illos numeros. Nam uti 1 est ad 6 ita 6 ad 36, et uti 2 ad 6 ita 6 ad 18, et uti 3 ad 6 ita 6 ad 12, et uti 4 ad 6 ita 6 ad 9. Neque praeter hos duos modos, nempe ut vel idem numerus in semet ipsum ducatur, vel duo alii numeri, inter quos ipsa radix sit media proportionalis, per se invicem multiplicentur, ullus numerus quadratus per multiplicationem unius numeri per alterum produci potest. Quibus positis, cum area trianguli rectanguli oriatur ex ductu dimidii unius lateris circa rectum angulum in alterum, non potest area ista esse numerus quadratus, nisi unum latus circa rectum angulum sit duplum vel alterius lateris, vel alterius extremorum numerorum ipsi radici proportionalium. Ex. gr. ut area trianguli rectanguli ABC aequetur 36, duobus tantum modis fieri potest: 1. Si latus AB sit duplum ipsius radicis 6, nempe 12, et latus BC ipsa radix seu 6; ita enim semissis ipsius AB, nempe 6, multiplicata per BC, quod itidem est 6, producet numerum quadratum 36. 2. Si duplum alterutrius extremorum numerorum, inter quos ipsa radix 6 est media proportionalis, sumatur pro uno latere circa rectum angulum, et alter extremus proportionalis pro altero latere. Ex. gr. quoniam 6 est medius proportionalis inter 2 et 18, alteruter extremorum duplicandus est, ponendumque unum latus = 4 et alterum = 18, vel unum latus = 36 et alterum = 2. Ita enim ex multiplicatione semissis unius lateris per integrum reliquum latus itidem orietur numerus quadratus 36. Et sic de ceteris. Neque praeter hos duos modos ullus alius inveniri potest.

His jam ita explicatis, manifestum est

1. secundum priorem modum, si AB statuatur = 2z, BC fore = z. Est itaque ratio ipsius AB ad BC ut 2z ad z, vel uti 2 ad 1.

2. Deinde secundum posteriorem modum, si ipsa radix statuatur = z, et numerus vel dividens vel multiplicans ipsum z statuatur = x, erit z/x unus et xz alter extremorum numerorum ipsi z proportionalium. Est enim uti z/x ad z ita z ad xz. Ergo hoc modo si area trianguli rectanguli numerus

esse debet quadratus, erit, si unum latus AB est 2z/x, alterum BC, xz, aut si BC est 2xz, AB erit z/x. Est itaque hoc modo ratio unius lateris ad alterum ut 2z/x ad xz, hoc est, multiplicato utrimque per x et diviso per z, uti 2 ad xx: vel etiam uti z/x ad 2xz, hoc est, multiplicato itidem utrimque per x et diviso per z, uti 1 ad 2xx. Quod est secundum.

Pergo ad

III. Itaque quaeritur, an trianguli rectanguli alicujus area simul possit esse numerus quadratus, et latera omnia numeri rationales.

Id fieri non posse, ita demonstro: Ut area trianguli rectanguli sit numerus quadratus, id ex iis, quae secundo loco demonstravi, duobus tantum modis fieri potest,

1. si AB sit ad BC ut 2 ad 1;

2. si AB sit ad BC ut 2 ad xx seu ad quemcunque numerum quadratum; vel etiam si AB sit ad BC ut 1 ad 2xx, seu ad duplum cujuscunque numeri quadrati, quod eodem recidit.

Deinde ex iis, quae primo loco demonstravi, duobus etiam tantum modis fieri potest, ut omnia latera trianguli rectanguli sint numeri rationales, nempe

1. si AB sit ad BC ut 4 ad 3.

2. si AB sit ad BC ut z ad 4xx-zz/4x, seu ad x - zz/4x. Jam vero 1. si AB sit ad BC uti 2 ad 1, non possunt omnia latera esse numeri rationales. Quod facile demonstratur. Si enim AB = 2 et BC = 1, et quadratum AB = 4 addatur quadrato BC = 1, erit quadratum hypotenusae AC = 5: unde ipsa AC = V5, qui est numerus irrationalis. 2. Si AB sit ad BC uti 2 ad xx, vel etiam uti 1 ad 2xx, non possunt itidem omnia latera esse rationalia. Nam 2 ad xx neque est uti 4 ad 3, quod per se patet. Sit enim 2 ad xx uti 4 ad 3, eritque 6 = 4xx et 3/2 = xx: quod fieri nequit; 3/2 enim non est numerus quadratus. Similiter uti 1 ad 2xx ita 4 non est ad 3. Sit enim 1 ad 2xx uti 4 ad 3, eritque 3 = 8xx et 3/8 = xx: quod itidem fieri nequit; nam 3/8 non est numerus quadratus.

Neque etiam 2 est ad xx uti z ad 4xx-zz/4x. Ponatur enim z = 2, et erit 4xx-zz/4x = xx-1/x. Faciamus jam uti 2 ad xx ita 2 ad xx-1/x: et erit xx-1/x = xx, hoc est, numero alicui quadrato, quod esse non potest. Esset enim xx-1 = x3, quod est absurdum.

Similiter non est uti 1 ad 2xx ita z ad 4xx-zz/4x. Ponatur enim z = 1, et erit 4xx-zz/4x = 4xx-1/4x. Faciamus jam uti 1 ad 2xx ita 1 ad 4xx-1/4x, et erit 4xx-1/4x = 2xx, et 4xx-1 = 8x3, quod est absurdum.

Cum itaque area trianguli rectanguli non possit esse numerus quadratus, nisi alterutro horum modorum 1. si AB sit ad BC uti 2 ad 1; 2. si AB sit ad BC uti 2 ad aa, vel etiam uti 1 ad 2aa, et neuter tamen horum modorum fieri possit, ut omnia latera simul sint numeri rationales (omnia ex demonstratis): fieri etiam non potest, ut detur ullum triangulum rectangulum, in quo simul area sit numerus quadratus et latera omnia numeri rationales. Quae omnia erant demonstranda.