Leibniz an Molanus
J'avois peur que la solution du probleme que vous m'avés envoyée ne fut fautife, puisqu'elle est si promte et si aisée. Et je ne m'y suis pas trompé. Car l'ayant considerée de près, j'ay trouvé d'abord en quoy vostre amy a manqué, sans doute parcequ'il se vouloit dépecher trop viste, et parce qu'il avoit trop bonne opinion de l'analyse ordinaire. Il est vray que tout nombre quarré est produit de deux nombres égaux, par exemple 36 par 6 et 6; mais tous les nombres qui produisent un quarré ne sont pas égaux, car par exemple 36 peut estre produit aussi par 4 et 9, item par 3 et 12. Donc quoyque les deux nombres (scavoir la moitié de la hauteur, et la base du triangle rectangle numerique) doivent produire un quarré, (scavoir l'aire [aream] du triangle, que nous voulons avoir quarrée), ils ne sont pas pour cela necessairement égaux, comme vostre amy pretend, et en quoy il fonde son impossibilité pretendue. Car cette égalité est impossible en effect, comme il le demonstre fort bien. On voit par là, que la source de ce paralogisme vient plus tost de la forme, que de la matiere.
Le probleme n'est pas si aisé qu'il pense, et il n'en sera pas quitte à si bon marché, s'il veut s'appliquer à le resoudre. J'ay trop bonne opinion d'un Mathematicien, pour croire qu'il veuille soutenir la solution. Il est fort aisé de faire des fautes de cette nature, quand on passe viste sur les choses. J'en ay fait quelques fois des pareilles. Mais quand on nous les fait remarquer, nous sommes les premiers à les rejetter. Si par hazard il ne s'en appercevoit pas d'abord, il n'aura qu'à reduire sa demonstration à un argument en forme1, et le défaut sera manifeste. Je suis avec passion etc.
Ce 13 Janvier 1679.
Leibniz hat Folgendes als Postscriptum zu dem vorstehenden Brief hinzugefügt:
Vous avés receu ma réponse à la solution que vous m'avés envoyée aujourdhuy. Il faut adjouter ce postscriptum: Je trouve encor une raison dans la demonstration pretendue de vostre amy, par laquelle il veut prouver l'impossibilité du probleme, scavoir il suppose que tous les nombres qui peuvent estre costés d'un triangle rectangle numerique sont 3. 4. 5 ou leur multiples, comme 6. 8. 10 ou 12. 16. 20 etc. Or les deux moindres costés, comme 3. 4 ou 6. 8 ou 12. 16 etc. sont tousjours l'un à l'autre comme 3 à 4 et par consequent ils ne scauroient produire le quarré, comme on le demande. Mais ce raisonnement est encor fautif. Car il y a une infinité d'autres triangles en nombres d'une toute autre nature, et qui ne dependent point des Pythagoriques, comme par exemple: 5. 12. 13; car les quarrés des deux premiers pris ensemble font le quarré du dernier, sans parler des fractions, car ce seroit assés, si le probleme estoit resolu en nombres rompus.
Beilage.
In demonstratione amici Tui, qua probare conatur, impossibile esse Triangulum rectangulum in numeris, cujus area sit quadratus, est paralogismus manifestus, qui haud dubie festinanti autori excidit. Demonstravit impossibilitatem casus tantum singularis, et quem absurdum esse per se patet, scilicet radix quadrati quaesiti seu areae deberet esse numerus primitivus. Duo supponit, et recte,
1) omnem quadratum produci ex aliquo numero in se ipsum;
2) aream Trianguli ABC produci ex dimidia altitudine AB in basin.
Unde concludit: si area trianguli rectanguli est quadratus, erit dimidia altitudo aequalis basi. Quia autem error est quodammodo contra formam, ideo in argumentum redigam, quod foret circiter tale:
Major: »Aliqui duo numeri, quadratum multiplicatione mutua producentes, sunt aequales« [nempe ipsa quadrati latera, exempli gratia a et a latera quadrati a2, vel ab et ab latera quadrati a2 b2]. Aliqui, inquam, non omnes; nam saepe dantur alii duo numeri quadratum aliquem mutua multiplicatione producentes, verbi gratia a2 et b2 in se invicem ducti producunt quadratum a2b2; item a2b et b in se invicem ducti producunt eundem quadratum a2b2. Ponamus quadratum esse 36, qui numerus potest produci ex 6ab in 6ab, item ex 4a2 in 9b2, et ex 12a2b in 3b.
Minor. »Dimidia altitudo, et basis trianguli rectanguli in numeris non sunt unquam aequales.« [Hoc est, quod recte probat.]
»Ergo dimidia altitudo et basis trianguli dicti non sunt numeri quadratum producentes, seu area trianguli, quippe ex his duobus producta, non est quadratus.«
Quasi scilicet numerus quadratus non nisi a suis lateribus, et non ab aliis etiam numeris produci possit.
Patet majorem esse particularem, quod in secunda figura permissum non est. Problema propositum tam facile non resolvitur.
- 1Siehe die Beilage.