Eckhard an Molanus

Si Arithmetico diceres, adde mihi bis duo, ita ut inde emergant quinque, aut nega posse te pan problêma arithmêtikon lyein, tuane haec erit culpa, qui ea, quae fieri non possunt, imperas, an Arithmetici, qui id, quod vis, facere non potest?

Problema Tuum tale est:

Invenire triangulum, cujus latera sint numeri rationales, et area ejus sit numerus quadratus.

Esto AB = 2z

BC = z

erit area li rectanguli ABC = zz to.

Add. tum AB = 4 zz

to BC = zz

Aggr. 5 zz = to AC.

Unde z V5 = hypotenusae AC, quae est quantitas irrationalis.

Patet itaque, postulari aliquid hoc problemate, quod fieri nullo modo possit.

Explicabo tibi, cui, quid notae illae Algebraicae velint, exquirere fortasse non vacat, rem omnem valde distincte. Problema illud duo poscit, quae non magis conjungi possunt, quam aggregatum ex bis duobus et numerus quinarius. Quod ita demonstro: Postulat problema primo, ut area li rectanguli ABC sit numerus quadratus. Jam duo sunt manifesta: primo, non fieri numerum quadratum nisi ex ductu ejusdem numeri in semet ipsum1[L]), et deinde aream li rectanguli produci ex multiplicatione dimidiae catheti seu dimidiae altitudinis AB in basin BC, aut vice versa dimidiae baseos in cathetum seu altitudinem. Quibus positis, si area li rectanguli ABC numerus quadratus esse debet, altitudo ejus AB duplum esse debet baseos BC2[L]), aut vice versa, hoc est, si AB est 2, BC erit 1; si illa 4, haec 2; si illa 6, haec 3; et sic in infinitum. Nam primo casu dimidia AB erit 1, quae ducta in BC, quae itidem est 1, producit numerum quadratum 1. In secundo casu dimidia AB, quae est 2, ducta in BC, quae est 2, producit 4, numerum quadratum. In tertio casu dimidia AB, quae est 3, ducta in BC, quae itidem est 3, producit numerum quadratum 9. Et sic deinceps. Unde si BC est z, AB necessario esse debet 2z, scilicet ejus duplum; alioqui nunquam proveniet area quadrata, quemadmodum jam demonstratum est. Unde jam intelligi potest, quam ob rem AB posuerim = 2z et BC = z, hoc enim ex natura problematis fieri aliter non potuit. Sed si altitudo AB sumatur dupla baseos BC, quod, ut ex demonstratis patet, necessario fieri debet, si area numerus esse debet quadratus, hypotenusa AC nunquam erit numerus rationalis, quod tamen secundo loco in problemate requirebatur, quod ita demonstro: Quoniam in triangulo rectangulo

ABC duo quadrata AB et BC aequantur quadrato AC, multiplico

AB 2z

per AB per 2z

product. 4 zz AB.

Similiter multiplico BC z

per BC z

product. zz BC.

Add. tum AB = 4zz

to BC = zz

Aggreg. erit tum AC = 5zz.

Ergo si ex to AC seu 5zz extrahatur radix quadrata, erit radix illa ipsum latus AC. Jam vero radix ex zz est z1, at radix ex 5 est quantitas irrationalis seu in numeris dari non potest, unde hypotenusa AC ita notatur zV5, quod idem est ac si dicas radicem ex 5 extrahendam, et quod inde resultat per z multiplicandum esse, productum fore hypotenusam AC: at radix ex 5 in numeris dari nequit.

Sed si hoc adeo manifestum Tibi non erit, adhuc clarius me explicabo. Duo requiruntur in problemate: unum, ut omnia latera li ABC sint numeri rationales; alterum, ut area sit numerus quadratus. Ut omnia latera sint numeri rationales, necesse est, ut ta laterum AB et BC addita constituant numerum quadratum, seu talem numerum, ex quo radix quadrata extrahi possit: nam duo illa quadrata AB et BC aequantur quadrato hypotenusae AC. Si itaque bina illa quadrata AB et BC addita non constituunt numerum quadratum, seu talem numerum ex quo radix quadrata extrahi possit, hypotenusa AC non erit numerus rationalis. Ex. gr. esto AB 4; BC 3; tum AB 16 additum to BC 9 constituit alium numerum quadratum 25, ex quo radix extracta 5 constituit hypotenusam AC. Quod si autem radix extrahi non potuisset, hypotenusa non esset numerus rationalis. Jam vero ut bina illa quadrata AB et BC addita constituant alium numerum quadratum, AB esse debet ad BC ut 4 ad 33[L]), aut vice versa (uti notum est ex theoremate Pythagorico 3. 4. 5), hoc est, si BC est 3, AB debet esse 4; si BC est bis 3, hoc est 6, AB debet esse bis 4, hoc est 8; si BC est ter 3, hoc est 9, AB debet esse ter 4, hoc est 12; si BC est quater 3, hoc est 12, AB esse debet quater 4, hoc est 16. Et sic in infinitum.

Ita enim et nulla alia ratione4[L]) duo illa quadrata AB et BC addita constituunt alium numerum quadratum, ex quo cum radix extrahi possit, hypotenusa AC erit rationalis. Nam si AB est 8 et BC 6, quadratum ex AB est 64 et ex BC, 36: quibus additis summa erit 100 numerus quadratus, cujus radix 10 erit hypotenusa AC. Si AB est 12 et BC 9, quadratum ex AB erit 144 et ex BC, 81: quibus additis summa erit 225, cujus radix 15 erit hypotenusa AC. Et sic de ceteris.

Patet itaque, si tam hypotenusa AC, quam reliqua duo latera AB et BC numeri debent esse rationales, rationem lateris AB ad latus BC esse debere ut 4 ad 35[L]).

Sed et ex ante demonstratis etiam patet, si area trianguli rectanguli ABC esse debet numerus quadratus, rationem lateris AB ad latus BC esse debere ut 2 ad 1 (demonstratum enim est, fieri non posse ut area li rectanguli sit quadrata, nisi altitudo AB duplo major sit basi BC, aut vice versa).

Sed ut ratio ipsius AB ad BC simul sit ut 4 ad 3, et ut 2 ad 1, non magis fieri potest, quam ut bis duo simul sint quatuor et quinque.

Vides itaque duo in proposito problemate conjungi, quae per rei naturam conjungi non possunt. Vel meo itaque periculo jurabis aulico illi non indocto, qui problema illud solvendum Tibi dedit, tunc demum aream trianguli rectanguli simul fore quadratam et latera omnia numeros rationales, cum bis duo simul erunt quatuor et quinque. Debet autem Algebra problema aliquod propositum solvere, aut ostendere, istud ex natura rei esse insolubile. Sed de his satis.

Ego jam currum ascendo profecturus Brunsvigam ad agnatos meos, et rediturus, si Deus volet, futuro die Jovis. In via id operam dabo, ut fratri Tuo ostendam, demonstrationes illas de immortalitate animae, quas non ita pridem transmisisti, nihil minus esse quam demonstrationes. Ego intra hos septem dies novies ipsemet concionatus sum: ut reliqua, quae ex officii formula curare habeo, quaeque aliunde mihi objiciuntur negotia, taceam. Quod ideo scribo, ne existimes, noluisse me Viro optimo veterique amico tantillam gratiam gratificari. Spero Te, Reverendissime Domine Abbas, cum pristina valetudine in gratiam propediem rediturum. Vale etc.

Jeinsae ad d. 13. Jan. 1679.

P.S.

Harum lator aditum ad Te affectat, quem, credo, facilius impetrabit, quam quaesitor ille Tuus solutionem problematis sui. Ego Rintelium nihil mittam.

1[L]) Imo etiam ex ductu aliorum numerorum, v.g. 16 ex 2 et 8, 36 ex 3 et 12.

2[L]) Est error. Sequeretur pari jure, productum ex duobus numeris inaequalibus, verbi gratia, unumquodque parallelogrammum rectangulum non posse aequari quadrato.

3[L]) Dantur alia adhuc triangula rectangula in numeris.

4[L]) Dantur alia adhuc infinita triangula rectangula in numeris, ut si latera sint 5. 12. 13.

5[L]) Error, ut dixi.

1. 1Die Bemerkungen sind von Leibniz.