Specimen Calculi universalis

 [Frühjahr bis Sommer 1679 (?)] Specimen Calculi universalis Am Rande gestr.: Ut calculi hujus natura intelligatur, notandum est quicquid a nobis enuntiatur in quibusdam literis a nobis pro arbitrio assumtis, enuntiari etiam in quibusvis aliis literis posse, vel ideo quia [bricht ab]

1) Propositio universalis affirmativa, hoc loco a nobis sic exprimetur: a est b sive (Omnis) homo est animal. Itaque semper intelligemus praefixum signum universale. Propositiones negativas, et particulares et hypotheticas nunc non attingemus.

2) Propositio per se vera Am Rande gestr.: Notandum hic nihil referre, sive dicas ab, sive dicas ba, exempli causa homo est animal rationale, sive homo est rationale animal. ab est a sive (Omne) animal rationale est animal. ab est b sive (Omne) animal rationale est rationale.

(sive omittendo b) a est a sive (Omne) animal est animal.

3) Consequentia per se vera Si a est b, et b est c, Ergo a est c sive Si (omnis) homo est animal, et (omne) animal est substantia, Ergo (omnis) homo est substantia.

4) Hinc sequitur: Si a est bd et b est c, Ergo a est c (Omnis) homo est animal rationale. (Omne) animal est substantia. Ergo (omnis) homo est substantia.

Hoc ita demonstratur:

Si a est bd, ex hypothesi; et bd est b per num. 2. Ergo a est b per num. 3. Rursus si a est b (ut probavimus) et b est c ex hypothesi, Ergo a est c per num. 3.

5) Propositio vera est, quae ex positis et per se veris per consequentias oritur.

Nota: etsi propositiones quaedam pro hominum arbitrio assumantur, ut definitiones terminorum, inde tamen oritur veritas minime arbitraria, saltem enim absolute verum ex positis istis definitionibus oriri conclusiones; sive, quod idem est, connexio inter conclusiones sive theoremata, et definitiones sive hypotheses arbitrarias est absolute vera. Quemadmodum in numeris apparet, quorum signa et periodi decadicae hominum voluntate constituta sunt, calculi tamen inde [deducti] significant absolutas veritates, nempe connexionem inter characteres assumtos, et formulas inde deductas, quibus et rerum connexiones (quae characteribus quibuscunque assumtis eaedem manent) significantur. Utile autem est ad scientias, ita assumi characteres, ut ex paucis assumtis multa facile duci possint, quod fit si simplicissimis cogitandi elementis characteres assignentur.

6) Si quid substitui ubique salva veritate potest in locum alterius, alterum vicissim ubique substitui potest in locum ipsius, verbi gratia quia ubique in locum figurae planae Triangulae substitui potest Trilatera, etiam contra ubique in locum trilaterae poterit substitui triangula. Nam sint duo a et b, et possit b ubique substitui in locum ipsius a, ajo vicissim a ubique substitui posse in locum ipsius b. Quod sic ostendo. Sit propositio b est c, vel d est b, ajo in his substitui posse a. Nam ponamus non posse substitui, seu non posse dici a est c, et d est a, ergo falsae erunt hae propositiones: Ergo saltem verae erunt hae duae propositiones: falsum est a esse c, et falsum est d esse a. Jam pro a substitui potest b ex hypothesi, ergo verae etiam erunt hae duae propositiones: falsum est b esse c, et falsum est d esse b, quod est contra hypothesin, has enim assumsimus ut veras. Demonstratum est ergo propositum. Idem aliter demonstrari potest.

7) Eadem sunt quorum unum in alterius locum substitui potest, salva veritate, ut Triangulum et Trilaterum, Quadrangulum et Quadrilaterum.

8) Omnes propositiones (universales affirmativae de quibus solis hoc loco agimus) in quas ingreditur litera data, a, possunt reduci ad has formas:

a est d

ab est e

c est a quamvis enumerari videantur posse plures, ^&.bb abc est  awx (etc.)  ^&.b*

*a est d

*a est fg   reducitur ad hanc, a est d posito fg esse d.

*a est  fhb   reducitur ad hanc: a est d posito fhb esse d, seu hb esse g et fg* *esse d.

* etc.

ab est e

*ab est ik   reducitur ad hanc: ab est e posito ik esse e.  etc.

alm est e   reducitur ad hanc: ab est e posito b esse lm. Nam si b est lm, *tunc ab erit alm.

*alm est ik   reducitur ad hanc ab est e, nam ik est e et ab est alm.  [etc.]

*c est a

*np est a   reducitur ad hanc: c est a, posito c esse np.  etc.

*q est ab (abc etc.)   reducitur ad hanc q est a, quia ab est a.

*rs est ab (abc etc.)   reducitur ad hanc q est a posito rs esse q.  etc.

a est a   reducitur ad hanc d est a posito d esse a, vel ad hanc a est c, *posito a esse c.

*a est at (aul etc.)   reducitur ad hanc a est d posito at esse d vel ad hanc a est a,* *quia at est a.

* 303   a  208  

*ab est   av     awx (etc.)      Hae omnes ex prioribus dupliciter reduci possunt; retinendo* *a vel in subjecto, vel in praedicato.

* 303   a  

*abc est   az     amp (etc.)    etc. Omnes tamen ad tres supradictas reducuntur; modo notemus pro df vel dfg vel bc vel cn,* ab, abc etc. posse poni literam unam huic plurium conjunctioni aequalem, uti pro termino animal rationale*, compendii causa ponimus unum terminum, homo, et pro composito *ab *vel abc in praedicato reperto posse substitui simplicem terminum a. Nam si dicas: *c est ab*, seu homo est animal rationale, utique etiam dicere potes c est a, seu homo est animal.* Secus est tamen in subjecto, nam etsi dicam omne animal rationale est homo, non tamen possum dicere: omne animal est homo. Itaque hanc propositionem: ab est c non possum reducere ad simpliciorem in quam etiam ingrediatur a. Caeteras possum, ut ex dictis *patet.

9) Si a est f, et f est a, erunt a et f, idem, seu alterum substitui poterit in locum* alterius. Quod sic demonstro. Ostendam primum semper f posse substitui in locum ipsius a. Nimirum per praecedentem omnes propositiones quas ingreditur a, reduci possunt ad tres, scilicet a est d, et ab est e, et c est a, unde ostendam has tres substitui posse: f est d, *et fb est e, et c est f. Nimirum quia f est a et a est d etiam f erit d. Item quia f est a etiam *fb erit ab* (per demonstrata in additionibus) jam ab est e ergo fb erit e. Denique quia c est a* et a est f etiam c erit f. Eodem autem modo quo ostendimus f posse substitui in locum a, etiam ostendetur a posse substitui in locum f, tum quia a an f eligeremus in arbitrio fuit *tum et quia supra num. 6 ostendimus reciprocari substitutionem.

Ens est quod termino aliquo, ut a vel b vel ab significatur.

*Der in Kleindruck folgende Text wurde von Leibniz gestrichen:

*Si  a est m  b est m et a, b, c est idem  c  est m  etc. tunc m his propositionibus contentum dicitur esse unum.

Si sint diversa nec inde fieri potest abc est m (imo semper hoc inde fieri potest) dicetur esse plura m, *nempe a et b seu duo, a et b et c seu tria et ita porro.

Contingit a, b, c esse diversa, nec tamen inde esse plura m, ut homo est animal, rationale est animal, nec *tamen inde est necesse dari plura animalia. An ergo sic melius:

Si a est m, et b est m, et c est m etc. et quaelibet propositio [bricht ab]

*Ut investigem quid sit unum et plura consideranda sunt exempla. Dicimus: *Petrus est unus Apostolus.* Vel Unus aliquis Apostolus est Petrus. Paulus est unus Apostolus vel* Unus aliquis Apostolus est Paulus. Petrus et Paulus sunt plures Apostoli. Sed si dicam *Petrus discipulus Christi est unus Apostolus, *Discipulus qui Christum abnegavit est unus Apostolus*, non ideo hinc plures fiunt Apostoli, quia Petrus discipulus Christi et *discipulus qui Christum abnegavit* est idem. Hinc

*si a est m et b est m et  a est b et b est a , tunc m est unum.  9027  (seu si a et b idem) Hinc si dicas a est m, sequitur hinc esse unum m nam perinde est ac si dicas a est m, et *b est m*, supponendo a et b esse idem.

*Si a est m, et b est m, et  neque a est b neque b est a , sunt plura m.  9044  (seu si a et b sunt disparata)

Si a est m et b est m, et a est b nec tamen b est a, incertum est an plura sint m an unum. Ex. gr. Adam est animal rationale et homo est animal rationale. Sed hinc incertum *an sint plura animalia rationalia, forte enim nullus datur alius homo quam Adam.

Si  a est m  205  unum  202  b ... . .   ... .   duo  403  tria  203  c ... .   ... ... ... ... .  quatuor  d ... .   ... ... ... ... ... ... ... .

*et a, b, c, d sunt disparata: erunt  uno verbo plura, m.

*Si a est b, tunc solum b erit a,  203 Haec ergo

*seu si omnis homo est animal, solum animal erit homo.   Solius

*Si solum b est a, tunc a erit b.   definitio est.

Si solum a est b et solum b est a, erunt a et b idem. Nam si solum a est b tunc b est a, et, si solum b est a, tunc a est b per solius definitionem. Jam si b est a, et a est b, erunt a *et b idem; per supra demonstrata.

Termini aequivalentes sunt, quibus res significantur eaedem, ut triangulum et *trilaterum.

Terminus simplex est in quo non nisi est unus, ut a. Terminus compositus *est qui constat ex pluribus, ut ab.

*Terminus primitivus (derivativus) est cui nullus (aliquis) compositus aequivalet, ut si ponamus ipsi a aequivalere bc, ipsique b aequivalere de, ipsi autem c* nullum aequivalere compositum erit a terminus [derivativus], itemque b, sed c erit [primitivus]. Hoc illustrari potest exemplo numerorum primitivorum. Sit a tricenarius et b quindenarius et c binarius, et d ternarius, et e quinarius patet a idem esse quod bc, seu tricenario aequivalere quindenarium binarium; et b idem esse quod de, seu quindenario *aequivalere ternarium quinarium. Patet ipsi binario (generaliter et absolute sumto) nullos alios junctos aequivalere, quemadmodum nec ternario nec quinario. Adeoque binarium, ternarium, quinarium, esse primitivos.

Terminus natura prior (posterior) est qui prodit pro composito (simplicibus) substituendo simplices (compositum). Sive quod idem est natura prior prodit per analysin natura posterior per synthesin: alter ex altero. Ita in exemplo praecedente: quindenarius est natura prior tricenario item binarius etiam natura prior est tricenario. Et terminus hic quindenarius-binarius est natura prior tricenario. Et ternarius est natura prior quindenario pariter ac tricenario, itemque quinarius, imo et ternarius-quinarius. Tametsi enim Numerus ternarius-quinarius idem sit qui [quindenarius], alius tamen est terminus, tametsi aequivalens. Quaeri potest an non Binarius sit terminus natura prior quindenario. Equidem secundum definitionem quam dedi erit nec prior natura nec posterior; quia alter alterum non constituit, neque ex altero per synthesin vel analysin oritur. Sed si sic definias: Natura prior est Terminus qui constat ex terminis minus derivatis. Ter- ­minus~~ autem minus derivatus est, qui paucioribus simplicibus primitivis aequivalet.~~ ~~Patet ex his si termini simplex et compositus alter de altero praedicari possint, tunc compositum esse natura priorem.

Nomen est terminus rem significans pro arbitrio assumtus. Ita circulus est hujusmodi*~~ ~~figurae nomen, at figuram esse, uniformem esse, capacissimum esse isoperimetrorum *sunt attributa.

Attributum est praedicatum in propositione universali affirmativa cujus rei nomen est subjectum. Ex. gr. *Omnis tricenarius est binarius. Omnis tricenarius est~~ ~~binarius-quinarius. Deus est* justus, misericors, etc. Itaque binarius est attributum tricenarii,* *justum esse est attributum Dei.

*Proprium est subjectum in propositione universali affirmativa, cujus rei nomen~~ ~~cui proprium esse dicitur est praedicatum. Ut a est b, voco a proprium. Nam si *omne a est b*, utique solum b erit a, ut supra, seu nullum non-b erit a. Estque [a ipsius b] proprium.* Ita tricenarius solius binarii proprium est, neque enim nisi binarius numerus (seu per 2 divisibilis) tricenarius esse potest, ita Deum esse solius justi proprium est, etsi enim non omni justo competat tamen soli justo competit. Ita ratio est proprium viventium, solis *enim viventibus competit.

Attributum proprium est quod ejusdem termini et subjectum est in una propositione~~ ~~affirmativa, et praedicatum in alia. Ut tricenarius et quindenarius-binarius.* Deus et omnipotens. Hinc patet attributum proprium idem esse cum eo quod vulgo vocant *proprietatem reciprocam; adeoque nomen rei et attributum proprium rei esse terminos aequivalentes.

Definitio (Definitum) est terminus aequivalens natura prior (posterior). Hoc~~ ~~modo potest definitum esse terminus aliquis compositus. Ut sectio conica, est *linea communis superficiei coni et cuidam plano.* Sed si malimus definitionem non esse nisi* *singulorum nominum, tunc ita dicendum erit:

Definitio (Definitum) est terminus compositus (simplex) aequivalens simplici~~ ~~(composito). Vel denique posito omnem terminum simplicem esse nomen, erit

~~~~Definitio (Definitum)~~ attributum proprium (nomen) nominis (attributi proprii).

~~Sed re recte expensa aliter videtur res explicanda: Nimirum

Definitio (Definitum seu Nomen) est terminus compositus (simplex) propositionis~~ ~~reciprocae pro arbitrio assumtae, ex termino simplici et composito constantis. Itaque definitio est propositio cujus ratio non redditur, sed quam compendii tantum causa adhibemus. Est ergo definitio hypothesis quaedam, de cujus veritate disputari non debet, sed tantum an sit apta, clara, prudenter assumta.

Patet definitum esse posse terminum compositum, si definitio componatur ex definitionibus partium ejus (vel ex definitio[ne] unius partis et altera parte). Cum scilicet res non habet unum aliquod nomen, ut sectio conica. Hinc patet, nomen esse posse terminum* *compositum. Aliter autem si definitum sit terminus compositus, definitio non est propositio assumta, sed demonstranda, posito scilicet partes definiti habere suas separatas definitiones quae utique simul sumtae definitioni definiti aequivalere debent. Nisi forte consideremus definitum velut unum nomen, licet non sit unum vocabulum ut intervallum.* *Ubi valli et inter, ratio non habetur. Ita Munimentum Regium, id est *regulare justam quandam habens magnitudinem*, ubi vocabuli: Regium non habetur ratio.

Caeterum nobis qui cuilibet conceptui singulare nomen dabimus non est opus his cautionibus. Nam nobis omnis terminus simplex est nomen; omnis definitio est praedicatum nominis reciprocum compositum ex quo alia omnia demonstrantur. Atque ita malo quam arbitrarium, nam ut postea dicam omnia ab arbitrio ad certas leges revocabo. Per Terminum non intelligo nomen sed conceptum seu id quod nomine significatur, possis et dicere notionem, ideam.