De incerti aestimatione

  September 1678

Septemb. 1678 De incerti aestimatione

Justus ludus est si spei et metus utrinque eadem ratio sit. In justo ludo tanti est spes quanti Emta est, quia justum est rem tanti emi quanti est, et tantus est metus quantum spei pretium est.

Axioma. Si ludentes similia agunt ita ut nullum discrimen inter ipsos assignari possit, nisi quod in solo eventu consistat eadem spei metusque ratio est.

 Potest demonstrari ex Metaphysicis, nam ubi quae apparent eadem sunt, idem de iis judicium formari [potest], id est eadem est ratio opinandi de futuro eventu, opinio autem de futuro eventu spes metusve est.

Si sors communi ludentium contributione aequali formetur, et unusquisque eodem modo ludat, et eidem eventui idem praemium eademve poena statuatur, justus ludus est.

Iisdem positis uniuscujusque spes tantum valet quantum contribuit.

 Nam ille spem pretio emit dum contribuit, et justo quidem quia ludus est justus (per praeced.), tanti ergo spes est, quanti emit, id est tantum valet quantum contribuit.

Imo generaliter iisdem positis, sive contributione aequali facta, sive aliunde oblata sit sors, spei aestimatio est virilis portio sortis.

 Nam quantum ad spei aestimationem nihil refert unde sors venerit (hoc enim ad metum amittendi pertinet, qui nullus est cum nulla contributio est), ergo tanti spes erit, quanti erat cum contributione sors formaretur, tunc autem aestimatio spei erat portio sortis virilis (quantum scilicet unusquisque contribuerat, ergo hic quoque).

 Idem aliter, si modo cogitemus totam sortem ad omnes pertinere, omnium autem aequalem spem esse, itaque si omisso ludo sortem pro ratione spei seu juris in eam ludendi proposito quaesiti distribuere vellent, cuique virilem portionem deberi.

Quanto plures sunt qui de eadem sorte ludunt, ludo justo, eo minor vincendi spes; nam minoris aestimatur, nam quo plures sunt, hoc minor est portio virilis.

Sed et minor perdendi metus est, alioqui ludus non esset justus.

Quo plures ludunt, qui in sortem conferunt aequaliter, eo major spes lucri, sed et major metus perdendi est.

 Possum enim uno nummo tres lucrari, non ideo tamen prudentius facio quam ille qui contra unum ludit, ergo necesse est etiam metum perdendi auctum esse.

Intelligatur sors in tot partes distribui quot sunt collusores, et partes esse A, B, C etc., erit spei aestimatio A + B + C etc. divisa per numerum partium seu collusorum

 quia sors est A + B + C cujus portio virilis spem metitur.

Idem est, etsi sors tota partibus propositis exhausta non sit,

 nam residui portio virilis ad unumquemque pertinere intelligitur, et totius ergo et detracti nempe ipsius A + B + C.

Si vel A vel B expectem aequali sperandi ratione erit aestimatio spei dimidium summae ex A et B.

 Perinde est enim ac si duo sint lusores et eventus uni A alteri B adjudicet.

Si vel A vel B vel C expectem aequali sperandi ratione erit aestimatio spei tertia pars summae ex A et B et C.

 Eadem est demonstratio quae prius.

Generaliter si diversos eventus utiles disjunctim habere possit negotium, spei aestimatio erit summa utilitatum possibilium ex omnibus eventibus collectarum, divisa per numerum eventuum.

Et [eodem] modo si diversos eventus damnosos disjunctim habere possit negotium metus aestimatio erit summa damnorum possibilium ex diversis casibus [collectorum], divisa per numerum eventuum seu casuum.

Ad eandem conclusionem perveniri potest hoc modo:

Probabilitas est gradus possibilitatis. Spes est probabilitas habendi. Metus est probabilitas amittendi. Aestimatio rei tanta est, quantum est jus cujusque in rem.

Si plures re conjuncti sunt, seu si res pluribus eodem jure communis est, jus cujusque juris in rem totam portio virilis est.

Si plures Socii aequis conditionibus inter se paciscantur circa rem communem neque toti societati quicquam adimant, jus eorum non est imminutum.

 Nam jus totum adhuc pertinet ad Societatem, et socii eodem se modo habent. Intelligo autem jus eodem modo pertinere ad Societatem, si nec tertio quicquam tribuere Socii nec sibi ademere.

Hoc intelligendum est in hominibus, qui non magis damno dolent, quam lucro gaudent, seu quibus amissio magnopere non nocet, seu qui continuare possunt ludum. His enim conditionem hanc imponere non est onus imponere.

Eatenus tamen ludendi necessitatem imponere est onus imponere, quia occupatur animus nullo lucro, neque enim jus auctum est.

Res ergo in illis tantum procedit, quibus occupatio animi ex ludo, ludendi voluptati aequalis est, quam quis ludendi exercitio capit.

Cum sola spes sine metu est, occupatio animi nullo modo pro damno haberi potest. Quod fit si alius in sortem contulerit. Si major spes quam metus est, prudentis, qui otium habet, et continuare potest, est subire aleam.

Abstrahendo animum a consideratione eorum quae in homine ludendi animum augere vel minuere possunt; spectandoque eos qui aleam jam subiere, aut crebro subire solent, seu posito ludum commercium frequens esse, ita ut quis facile emtorem expectationis suae cum velit, per subhastationem invenire possit tunc ita ratiocinabimur:

Spes tanti est, quanti est potestas habendi rem.

Potestas habendi rem in omnem eventum est jus in rem totam.

Potestas habendi rem in aliquem eventum est ad potestatem habendi rem in omnem eventum, ut possibilitas eventus unius ad possibilitatem eventuum omnium. Si eventus sint aeque faciles seu aeque possibiles, potestas habendi rem in unum eventum est ad potestatem habendi rem in omnem eventum, ut unitas ad numerum eventuum.

Si eventus sint aeque faciles potestas habendi rem in unum eventum est ad jus totum (quia idem est jus totum et potestas habendi rem in omnem eventum) ut unitas ad numerum eventuum.

Si eventus sint aeque faciles potestas habendi rem in unum eventum, est portio aliquota juris in rem, seu aestimationis rei, pro numero eventuum.

Idem intelligetur, si fingam me collusorum haeredem fieri; cum enim sit aequale jus omnium, sequitur me tantum unius quantum alterius morte lucrari, cumque omnium morte totam rem acquiram, sequitur me singulorum morte portionem virilem nactum.

Demonstrato ergo tantum nos in bonis habere videri, quanta est habendi probabilitas, et tantum nobis de re abesse videri, quanta est amittendi probabilitas (nam hoc erat illud de quo memini Robervallium dubitasse), caetera ita facile absolvemus: Theoremata:

1) Si plures sint eventus aeque faciles, et uno eventu rem habebo, aliis omnibus non habebo, spes valebit partem rei aliquotam pro numero eventuum.

 Sit numerus eventuum n res ipsa R, spes erit *s aequ. $\frac{R}{n},$ est illud ipsum quod paulo ante ostendimus, nempe si eventus sint aeque faciles potestas habendi rem in unum eventum est portio aliquota aestimationis rei pro numero eventuum.

2) Si plures sunt eventus aeque faciles, et aliquot eventibus rem habiturus sum, aliquot aliis re cariturus, spei aestimatio erit portio rei quae ita sit ad rem totam, ut numerus eventuum qui favere possunt ad numerum omnium eventuum.

 Nempe $\frac{s}{R}aequ.\frac{f}{n}$ seu *s aequ. $\frac{f}{n}R.$ Demonstratio manifesta est, nam si plures sint eventus faventes aequales, spei aestimatio multipla est, ejus quae competit si plures sint eventus aequales, tantum enim idem aliquoties repetitur.

 Notandum est cum dixi hactenus: si plures sunt eventus aeque faciles, intelligere me plures illos eventus esse omnes eventus possibiles.

Si omnes eventus sint aeque faciles, et unicuique eventui res aliqua assignata sit, quam in eum eventum sim habiturus, erit spes portio aliquota summae rerum secundum numerum eventuum.

 *s aequ. $\frac{A+B+Cetc.}{n}$ verbi gratia $\frac{A+B+C}{3}.$ Demonstratio pendet ex theoremate 1, nam rem A habere possum uno tantum eventu, aliis ea cariturus sum, ergo aestimatio spei in rem A est $\frac{A}{n},$ eodem modo aestimatio rei B est $\frac{B}{n},$ et ita porro. Integrae ergo spei aestimatio est $\frac{A+Betc.}{n}.$ Eadem est ratiocinatio de metu amittendi quae de spe habendi. Nam qui est in me metus amittendi est in aliis spes habendi.

Si spes et metus concurrant in rebus pretio seu communi mensura aestimabilibus, spes ultima vel metus ultimus erit differentia spei metusque primi.

Iisdem positis si spes prima sit major metu primo, erit spes ultima excessus spei super metum, et Metus ultimus minor quam nullus. Et contra si metus primus sit major, erit metus ultimus excessus metus super spem, et spes ultima minor quam nulla.

Si ex omnibus eventibus aliquot dent rem A, aliquot alii rem B, et reliqui rem C erit spes tota aggregatum ex rebus singulis in numerum eventuum qui eas dare possunt ductis, divisum per numerum eventuum possibilium omnium

 ut si numerus eventuum qui dare possunt rem A sit a, numerus eventuum qui dare possunt rem B sit b, et numerus eventuum qui dare possunt rem C sit g, et numerus omnium eventuum sit n, erit spes s aequ. $\frac{aA+bB+gC}{n},$ cujus rei manifesta demonstratio est, perinde enim est, ac si ponamus eventus tot res quot sunt omnes eventus a + b + g, verbi gratia res A, M, N, B, P, Q, C, R, S, eritque s aequ. $\frac{A+M+N+B+P+Q+C+R+S}{n}.$  Ponamus jam A et M et N aequivalere seu A aequ. M aequ. N, numerumque repetitionum ipsius A esse a, utique erit aA aequ. A + M + N, similiterque si B aequ. P aequ. Q, et numerus repetitionum ipsius B sit b, erit B + P + Q aequ. bB, et si C aequ. R aequ. S, et numerus repetitionum ipsius C sit g, erit C + R + S aequ. gC, adeoque erit s aequ. $\frac{aA+bB+gC}{n}.$ Quod erat dem.

Si major sit numerus eventuum possibilium, quam casuum quibus aliqua res assignata est nihilominus idem dicendum erit quod ante, nec proinde necesse est a + b + g esse aequ. n.

 Nam perinde est ac si reliquis eventibus quibus nihil assignatum est, assignatum esset 0 quod impune ascribi vel deleri potest, v.g.

  s aequ. $\frac{aA+bB+gC+d0}{n}$ posito n aequ. a + b + g + d, quod idem est ac

Si duo ludant ea conditione, ut qui primus ter vicerit, vincat in universum, egoque bis vicerim quaeritur quae sit mihi spes vincendi in universum? seu quanti sit spes mea. Manifestum est, si et ille semel vincat, nos fore aequales. Cogitemus in universum necessario sex ludis utilibus rem esse terminandam. Utilibus inquam, id est quibus aliquis nostrum vincit. Ponamus nunc eam esse ludi rationem, ut alterutrum vincere aut perdere quavis lusione necesse sit. Initio antequam quisquam nostrum vincat aequales sumus. Postea una lusione vinco, manifestum est alteri etiam semel vincendum esse ut aequales iterum fiamus. Habet autem quinque tantum ludos, multo majus ergo ejus periculum est, quam si adhuc plures ludos haberet. Vincit ille vicissim, et res reducta erit ad statum aequalitatis, praeterea perinde erit ac si ludus in eum statum venit, ut perinde sit ac si pepigissemus ab initio ut qui prior duabus lusionibus vincat ludo vicisse intelligatur. Hoc intellige si ludus aequalitate pensatus numeratur, secus est, si tribus continuis lusionibus vincendum sit, quae nulla adversa victoria interrumpantur.

Sed hoc nunc nihil refert. Sufficit omnia redire ad statum aequalitatis. Itaque proximo ludo res vel ad aequalitatem redit, vel ad hoc ut duabus lusionibus alteri opus sit ad aequalitatem. Ponamus me vicisse etiam secundo ludo, tunc res in eum statum venit, ut vel vincam vel res ad priorem statum redeat. Quae mihi spes est vincendi toto ludo, ea alteri est efficiendi ut redeat status prior, in quo ipsi uno opus erat ludo ad aequalitatem, mihi duobus ad victoriam. Ipsi opus est tribus ludis ad victoriam mihi duobus.

Sit ab initio pactum, ut qui prior duabus lusionibus vicisset, ludo vincat, ego vincam una lusione, manifestum est in ea victoria effecisse, ut secundo ludo inaequalis nostra spes sit, nam quo ego jure spero victoriam, hoc ille sperat aequalitatem, id est quo jure ego spero totum, hoc jure ille sperat dimidium, itaque est aestimatio spei meae spei illius dupla, ac proinde duo trientes rei mihi debentur, ipsi unus. Tametsi illi ad victoriam tribus opus sit lusionibus faventibus mihi una tantum. Numerus enim lusionum aestimari non potest, quia singulorum valor est heterogeneus seu inaequalis.

Est tamen difficultas in eo quod dixi: quo jure ego spero totum hoc jure ille sperat dimidium. Nam non videtur quaestio esse quid sperem habere, sed quid sperem lucrari. Videmur autem ambo jam habere aliquid, sed inaequale. Ego habeam y et ille x. Sitque Res tota, R aequ. y + x, mihi spes erit lucri R ─ y id est R minus id quod habeo, id est

minus id quod habet seu ad $\frac{y+x}{2}$ ─ x seu ad $\frac{y-x}{2}.$ Itaque mihi est spes lucri x, illi spes lucri $\frac{y-x}{2}.$ Debet autem id quod ego et quod ille lucrari potest hoc ludo idem esse, ademto scilicet jam illo in quo inaequales sumus, erit ergo x aequ. $\frac{y-x}{2}$ et 2x aequ. y ─ x et 3x aequ. y. Jam y aequ. R ─ x ergo R aequ. 4x et

pro numero ludorum quibus opus est ad victoriam. Supponendo scilicet unicuique ludentium praeter id quod jam habet juris, idem jus esse novi lucri sequenti lusione obtinendi, seu lucrum, quod unusquisque ludo secundo obtinet esse aequale. Sed hoc nondum certum. Illud certum ab initio unumquemque aequalis lucri spem habere; postea fieri potest, ut unus qui vicit, majorem etiam novi lucri spem habeat, quam alter.

Imo fortasse error in calculo, itaque resumamus: Cum primo ludo vicerim, utique aliquid obtinui, jam, quod vocemus y, erit id de quo adhuc ludendum est aequali jure

porro de reliquo secundo lusu contendatur, atque ita idem proveniat tandem, ac si nullum datum esset praecipuum, sed omnia secundum regulas ludendi fuissent continuata.

Cum ergo sors sit R ─ y, erit jus meum in reliquum $\frac{R-y}{2}.$ Et si vincam, [vincam] totum R ─ y, quod si addatur ad y quod habeo fit R, sed inde nihil discimus.

Initio habeo $\frac{R}{2},$ prima victoria mihi valet y, habeo ergo $\frac{R}{2}$ ─ z, primum infortunium alteri valet z, habet ergo $\frac{R}{2}+y,$ jam $\frac{R}{2}-z+\frac{R}{2}+yaequ.R.$ Ergo z aequ. y, ergo post primum ludum victor habet $\frac{R}{2}+y,$ victus $\frac{R}{2}$ ─ y. Si secundo ludo vinco, tunc obtineo v, tunc autem habeo totum: est ergo $\frac{R}{2}+y+vaequ.R$ seu y + *v aequ. $\frac{R}{2}$ et alter habet nihil, habet enim $\frac{R}{2}$ ─ y ─ v* jam $\frac{R}{2}$ ─ y ─ v aequ. 0*. Si secundo ludo vincor tunc perdo x, seu obtineo ─ x, adversarius autem obtinet x, egoque habeo $\frac{R}{2}+y$ ─ x*, adversarius $\frac{R}{2}$ ─ y + x, res autem sic redeunt ad aequalitatem, et singuli dimidium tantum jus in totam sortem R recepimus ergo $\frac{R}{2}+y$ ─ x* vel $\frac{R}{2}-y+xaequ.\frac{R}{2}$ ergo y ─ x aequ. 0 seu y aequ. x.

Pono duo sunt eventus aeque faciles unus ut perdam x, seu y, alter, ut lucrer v, ergo expectatio mea ad lucrandum id quod nondum habeo est \frac{^&.zj <Leibniz special character>y ^&.zk <Leibniz special character>v}{2} seu dimidia differentia inter v et y. Haec autem spes illud ipsum est quod lucratus sum, cum primo ludo vincerem, nihil aliud enim sum lucratus, quam spem vincendi secundo ludo facilius quam alter, fiet ergo \frac{^&.zj <Leibniz special character>y ^&.zk <Leibniz special character>v}{v} aequ. y. Ergo 2y aequ. ^&.zj y^&.zk v. Unde necessario ^&.zj est ─, et ^&.zk est +, alioqui foret

seu $\frac{4R}{8}+\frac{5}{8}R.$

Si vero ab initio cogitemus prima victoria me habere expectationem vel ad $\frac{1}{2}$ si vincar lusione secunda, vel ad 1 si vincam, erit valor expectationis prima victoria obtentae 12 + 1 2 seu $\frac{3}{4}$

 quod discrepat a priori; quare examinandum est accuratissime, an de totis quaerendum sit an vero de lucro et damno.

Initio ego spem aequalem habeo vel ad obtinenda omnia per ludi eventum, vel ad perdendum omnia, ab initio ergo habeo $\frac{R+0}{2}.$ Primo ludo per victoriam aliquid nactus sum, quod vocabo y, ergo spem nactus sum vel ad lucrandum omnia, id est (quia jam dimidium seu $\frac{R}{2}$ et y habeo) ad lucrandum adhuc $\frac{R}{2}$ ─ y vel ad perdendum y, at illa spes, est ipsa quantitas y, erit ergo y aequ. R 2 ─ y ─ y 2 seu 2y aequ. $\frac{R}{2}$ ─ 2y, seu y aequ. $\frac{R}{8}.$  Sed videtur responderi posse ad hanc ratiocinationem non posse y esse spem ad seipsum, sed definiri debere per aliquid aliud, dicitur enim me spem nactum esse lucrandi complementum hujus spei ad $\frac{R}{2}$ cum metu perdendi hanc ipsam spem, sed non videtur spes illa per ejusmodi reflexionem in seipsam debere definiri. Fingendo dominium non esse ludentium, sed tantum spes datas, et eum qui primo ludo vicit habere spem ad 1 vel $\frac{1}{2},$ qui primo perdidit ad $\frac{1}{2}$ vel 0 lucrandum, patet spem illius fore $\frac{3}{4}$ spem hujus $\frac{1}{4}$ quod verissimum est, et huc applicandum, quia intelligi potest neminem ludentium amplius aliud quiddam quam has spes habere; et si quis ei velit spes alternativas dare, quas supra definivimus, non posse melius dare, quam in hoc statu eos collocando.

Si superiori illo modo in se reflexo spem aestimemus, videamus quid prodeat si et alterius spes aestimetur; is ergo habet spem vel ad lucrandum y vel ad perdendum v quod est 3y, est autem *y aequ. $\frac{R}{8},$ et *v, aequ. $\frac{3R}{8},$ erit, ergo ejus expectationem esse $\frac{y-v}{2},$ id est

nos ostendisse quod spes tota aestimari debeat.

Sit jam tribus ludis vincendum, primae victoriae aestimatio sit y, secundae (y), tertiae ((y)), et primo ludo obtinebitur y id est $\frac{R}{2}$ vel (y) id est *y aequ. $\frac{R}{4}+\frac{(y)}{2},$ secundo ludo obtinebitur y vel ((y)), id est (y) aequ. $\frac{y+((y))}{2}$ adeoque y aequ. 2(y) ─ ((y)) *aequ $\frac{R}{4}+\frac{(y)}{2}$ eritque 6 aequ. R + 4((y)), seu y. (y) *aequ. $\frac{y + ((y))}{2}, ((y)) aequ. \frac{(y) + (((y)))}{2},

ultimum.

Sed re recte perspecta ad faciliorem calculum patet esse progressionis Arithmeticae, cujus ea est natura ut semper summa duorum dimidia aequetur intermedio, statuenda est ergo progressio arithmetica $\frac{R}{2},y,(y),((y)),(((y)))$ etc. R, cujus medii termini tot sunt quot numeri ludorum demto uno seu uno plures quam numeri ludorum. Differentia autem

quae est $\frac{R}{2}$ per numerum terminorum mediorum hoc loco (in tabula) 5, fiet $\frac{R}{10}$ differentia inter primum terminum $\frac{R}{2}$ et secundum y.