Demonstratio brevior

DEMONSTRATIO BREVIOR Demonstratio pure analytica Quod multiplicando minus per minus, producatur plus, seu ─ b in ─ c facit + bc

Suppono autem + in + facere +; et + in ─ facere ─. Item suppono regulas aequalitatum, caeteraque in calculo usitata, quae regulam hoc loco demonstrandam nondum requirunt. Propositio I ^&.bb  ut fiat  ducenda in  + fx  ─ cx  ─ b    aequ. 0^&.b*  Sit   + x  ─ b  aequ. 0  in   + f  ─ c  302  ^#6+─ cx   · U ^#6-  202  ut fiat  aequ. 0  + fx  ─ bf posita x aequ. b ajo esse U aequ. + bc.* *Demonstratio

Nam quia x aequ. b, erit x ─ b aequ. 0, ergo x ─ b in f ─ c dabit 0 (quia, si nihilo* aequale, ducatur in quidvis, productum erit nihilo aequale). Est autem x ─ b in f ─ c idem quod + fx ─ cx ─ bf · U, ut ostendimus; ergo fiet + fx ─ cx ─ bf · U aequ. 0, seu, quod idem *est, fiet · U aequ. + cx + bf ─ fx.

*Rursus quia x aequ. b hinc fiet  + fx aequ. + bf item fiet  + bc aequ. + cx Ergo aequalibus addendo aequalia, fiet + fx + bc aequ. cx + bf. Ergo + bc aequ. + cx + bf ─ fx.* Sed paulo ante U erat etiam aequ. + cx + bf ─ fx, ergo erit U aequ. + bc *quod demonstrandum proponebatur. Propositio II  Sit   + d  ─ b  ducenda in   + f  ─ c  302  ^#6+  ─ cd   · U ^#6-  ut fiat  + df  ─ bf Ajo (generaliter) esse U aequ. + bc.* *Demonstratio:

Ponatur d aequ. + e + x, posito b aequ. x, et e existente excessu ipsius d supra x seu* supra b, ergo + d ─ b idem erit quod + e + x ─ b, Ergo + d ─ b in f ─ c idem erit quod + e + x ─ b in f ─ c. Jam + e in f ─ c est + ef ─ ce, et + x ─ b in + f ─ c (: posito scil. hic x aequ. b :) est + fx ─ cx ─ bf + bc per prop. I. Ergo (duo producta in unum colligendo) + e + x ─ b in + f ─ c, seu + d ─ b in + f ─ c erit: + ef ─ ce, + fx ─ cx ─ bf + bc. At supra *+ d ─ b in + f ─ c, erat aequ. + df ─ cd ─ bf · U. Ergo hos duos valores aequando et tollendo utrobique, ─ bf, fiet: (+ ef ─ ce + fx ─ cx + bc aequ. df ─ cd · U). Est autem + ef + fx aequ. + df et ─ ce ─ cx aequ. ─ cd, quia d aequ. e + x.

*Ergo + ef ─ ce + fx ─ cx aequ. df ─ cd. Ergo si in priori aequatione ( + ef ─ ce + fx ─ cx + bc aequ.  + df ─ cd · U)     tollantur utrinque aequalia, restabit U aequ. + bc. Quod erat demonstrandum.* *Scholion

Renaldinus aliique qui calculi regulas demonstrare voluere, usi sunt propositionibus Euclidis lib. 2. Elementorum, ad probandum quod ─ in ─ facit +. Unde Mariottus in Specimine Logico, negat eas propositiones geometricas per calculum probari posse, fieri enim circulum. Sed quoniam hinc sequeretur vulgarissimas Arithmeticae operationes (ex quibus est ista operatio per + et ─) pendere a propositionibus geometricis et linearum ductu, quod minime rationi consentaneum est; hinc modum quaesivi demonstrandi regulam quod ─ in ─ facit + per purum calculum, quem vel in numeris vel in lineis interpretari licet. Idque mihi Cavalerius quoque optasse videtur, quando hujus Algorithmi demonstrationem desiderabat Renaldino teste. Nam linearem demonstrationem apud Algebristas, ut Bombellum aliosque extare, non poterat ignorare.