De casibus in quibus componendo nihil novi fieri potest

 [April bis Oktober 1686 (?)] Componendo nihil novi fieri potest

1) Ex duobus A, B, si contineantur in uno ex ipsis, ita enim binio coincidit cum continente. Nam ternio aut quaternio inutilis, quia repetitio est inutilis.

2) Ex tribus A, B, C, si neque binio neque ternio aliquid novi faciat, Unius rei binio, ternio etc. [coincidit uni]. Duarum rerum ternio, quaternio etc. coincidit binioni, trium quaternio, quinio etc. nil producit novi seu coincidit ternioni. nam altiores combinationes ut semel dicam sunt inutiles. Binio nihil facit novi, si vel coincidit uni ex ipsis eam componentibus, vel uni ex reliquis. Coincidit autem uni ex componentibus, quando unum componentium continetur in altero. Coincidit vero uni ex reliquis, si una binio coincidet rei tertiae. Quodsi semel contingat, ut sit A ⊕ B ∞ C tunc omnes biniones nihil novi faciunt. Nam A ⊕ C ∞ C; et B ⊕ C ∞ C. Porro si Binio quaevis est inutilis; etiam ternio erit inutilis, nam ternio fit ex binione, et uno, sed binio uni aequivalet, ergo ternio fit ex uno atque uno, seu est binio, atque adeo inutilis Quorum binio quaevis est inutilis eorum et ternio quaevis est inutilis; sed non contra. . Potest quidem fieri ut binio sit utilis licet ternio sit inutilis; sed tunc utique ex tribus propositis aliquid fieri potest novi. Ergo ut ex tribus propositis nihil novi fieri sciamus, sufficit, ut sciamus ex binis quibuslibet nihil novi fieri.

Et generaliter ex quotcunque rebus tum demum nihil fieri potest novi, si binio quaeque earum nihil novi componit. Itaque ex tribus rebus nihil componi potest novi, si binae quaeque vel habeant ut continens et contentum vel componant unum ex reliquis. Binae autem quaeque se habebunt ut continens aut contentum, si talis ordo eorum assignari possit, ut unum sit cui insit nullum, deinde unum cui tantum insit unum, cui tantum duo etc. usque ad ultimum cui omnia. Quod etiam accuratius demonstrandum, non tantum in ternis, sed et in quotcunque. Nempe sufficit demonstrari si sint diversa quotcunque quorum duo quaelibet se habeant ut continens et contentum esse unum quod omnia contineat, et a nullo contineatur, idque etiam posse inveniri, quod ita ostendetur, unumquodque ingreditur aliquam binionem et quidem vel ut continens vel ut contentum. Si sint duae res patet unam in altera contineri non contra alioqui coinciderent; si sint tres, ex his sumantur duae quaecunque patet ex dicto unam in altera contineri, non contra, jam tertia vel continebit continentem vel continebitur in contenta, vel continebitur in continente, et continebit contentam. Si sint quatuor ex his sumantur tres, eaeque ordinentur ut dictum est, jam quarta; vel continebit continentem, et habebitur ejus locus, vel continebitur in contenta et habebitur rursus ejus locus; vel media est inter ipsas, et tunc quaeratur ultima quae eam continet, et prima quae ea continetur, et ita haberi potest ordo, seu intra quas collocanda sit, et generaliter datis quotcunque rebus, quarum quaelibet quamlibet continet aut in ea continetur, si una proposita reliquas continet omnes habetur intentum, et sequestretur ut primo. Si continetur reliquis omnibus itidem sequestretur, ut Ultima. Si non continet reliquas omnes; saltem videndum quas contineat, aut quibus contineatur, si aliquas continet et aliquibus continetur inter eas quas continet collocetur ut prima, inter eas quibus continetur ut ultima; et omnes datae sunt divisae in duas classes aliis enim continetur proposita alias continet. Quibus continetur, ex his rursus sumatur una inter plures illas media, et ita porro, et ita habebitur tandem ordo. Sed hoc distinctius alias exponenda.

Nunc transeamus ad res quatuor, nempe

Ex quatuor rebus A, B, C, D nihil novi componi potest, si binae quaevis earum nihil novi componunt. Hoc autem fit primum si binae quaevis se habeant ut continens et contentum; deinde etiam si A ⊕ B ∞ C et C inest D. Ita enim A ⊕ B ∞ C et A ⊕ C ∞ C et A ⊕ D ∞ D et B ⊕ C ∞ C et B ⊕ D ∞ D et C ⊕ D ∞ D. At vero si A inest B et A ⊕ C ∞ D res non succedit, potest enim novi aliquid componi, scilicet B ⊕ C, quod non necesse est esse A vel B vel C vel D.

Ex quinque rebus A, B, C, D, E nihil novi componitur, primum si binae quaevis se habeant, ut continens et contentum, deinde si sit A ⊕ B ∞ C et C insit D, et D insit E, denique si sit A ⊕ B ∞ C et A in D et B ⊕ D ∞ E, sed si sit A ⊕ B ∞ C et A ⊕ D ∞ E nova habebuntur B ⊕ D et C ⊕ E. Item si sit A in B et A ⊕ C ∞ D et B ⊕ C ∞ E nova habebuntur B ⊕ D et D ⊕ E.

Si sint sex res A, B, C, D, E, F, et duo quaelibet se habeant ut continens et contentum item A ⊕ B ∞ C, et ex C, D, E, F duo quaelibet se habeant ut continens et contentum, impossibile est aliquid fieri novum, sed si sit A ⊕ B ∞ C, et sit C in D, et C in E, et C in F, sitque D ⊕ E ∞ F rursus impossibile est aliquid novum. Ergo inductione hactenus observata non procedunt.

Generaliter ex quotcunque rebus nihil novi componitur, si binio quaevis alicui rerum coincidat. Quod fit si ordine continuo una res alteri, et haec rursus alteri insit. Oblatis aliquot rebus A, B, C, D, E, F ut investigemus an ex iis componi possit aliquid novi quaeramus primum eam A quae nullam aliam continet quae semper inveniri potest; deinde ex reliquis quaeramus rursus eam B quae nullam aliam ex his reliquis continet. Hae duae A, B compositae aut novum A ⊕ B componunt, et habetur intentum, aut non componunt, sed unum ex reliquis, seu A ⊕ B ∞ C. Porro reliqua illa C, D, E, F, ex quibus id quod componitur ex duobus illis nempe C unum est, vel bina quaelibet se habent inter se ut continens et contentum, quo casu impossibile est ex omnibus novum componi; vel non habent: si non habent, tunc videndum an id quod ex duobus illis primo assumtis componitur, nempe C insit cuilibet eorum an non. Si inest cuilibet eorum, seu C inest ipsis D, E, F tunc etiam A itemque B, ipsis D, E, F inest; sequestratis ergo ipsis, A, B, C. Si reliqua D, E, F nil componunt novi, etiam omnia A, B, C, D, E, F nil novi componunt, nam biniones caeterorum cum A, B, C sunt inutiles. Ita rem reduximus ad pauciores terminos, qui similiter tractandi. Sin C non insit singulis D, E, F sumantur omnia illa quibus non inest, D, E, F etc., itemque omnia illa quibus inest, L, M, N. Quodsi ex omnibus illis quibus inest inter se non potest componi novum (quod eadem quam nunc describimus Methodo discetur), videamus an C additum cuivis eorum cui non [in]est, componat quidvis eorum cui inest, D ⊕ C ∞ L et E ⊕ C ∞ M etc., nam quia D, E, F, etc. sunt diversa, et C nulli eorum inest, cum quolibet eorum diversa componit (theorema demonstrandum), unde sequitur si minor sit numerus eorum quibus inest C quam eorum quibus non [in]est, necessario aliquid novi componi. Idque generaliter propositis quotcunque rebus dici potest una earum sumta et cum caeteris comparata. Quod si igitur C additum cuivis eorum cui non inest nil componit novum, sequestrato C, et iis quibus inest, tantum superest, ut dispiciamus an ipsa quibus non inest aliquid novi componant. Et ut repetamus cum aliqua variatione. Sint quotcunque A, B, C, D etc. Ex his sumamus unum A, cui nullum aliud ex ipsis inest; et videamus an adhuc sint plura quibus nullum aliud ex caeteris omnibus inest. Haec plura sint A, B, C etc. quibus nihil aliud ut dixi ex propositis inest, et sit A ⊕ B ∞ H, A ⊕ C ∞ I, B ⊕ C ∞ K et H, I, K etc. debent esse ex datis. Jam vero compositum ex duabus binionibus trium nil facit novi praeter ipsas biniones aut ternionem, praeterea sint Terniones Am Rande untereinander: A B C, A B D, A C D, B C D ipsarum A, B, C etc. et quaterniones et ita porro, ubi rursus duae terniones nil componunt novi, nisi forte quaternionem, et ita porro, ita ut si ipsas combinationes percenseamus sint combinationes combinationum inutiles. Hinc patet quotnam ex diversis rebus quarum una alteri non inest, quas vocabo disparatas, resultare possint nova, quot scilicet earum institui possunt combinationes sine repetitione. Quod si jam istae combinationes resultantes sint inter datas res, nihil inde fit novi. Itaque ecce regulam: si proposita sint data cum omnibus suis combinationibus nihil inde fieri potest novi. Si data sint aliquot quorum quodlibet respectu cujuslibet se habet ut continens et contentum etiam nihil inde fieri potest novi. Itaque ut rem generaliter complectar, si data sint plura a reliquis datis disparata, A, B, C etc.; et series continuo inexistentium sibi, F, G, H, quorum infimus nullum alium includat, et alia talis series M, N, P; ex omnibus terminis istis fiant omnes combinationes possibiles exceptis illis, in quibus conjunguntur termini ejusdem seriei continue inexistentium, ibi perinde est ac si is qui caeteros continet solus poneretur. Quodsi aliquae harum combinationum non sint jam inter Terminos datos potest ex datis fieri aliquid novi.

Nota, possunt diversae series esse continue inexistentium quarum communes sunt inferiores, ut  0  1  1}

 502  1  304  1  2  0  502  3  2  4 ubi series continue inexistentium, sic ut prius insit posteriori, fiant plures, 10.21.31, et 10.21.32 et 10.22.33 et 10.22.34. Sed tamen haec considerando ut totidem series continue inexistentium, habent locum quae diximus. Atque ita patet modus generalis ex datis formandi quae inde formari possunt, et quidem nova quando id fieri potest; si modo constet quodnam ex datis alterum contineat, aut ex aliis datis componatur. Ex his enumeratione dignum quomodo se habere debeant res, duae, tres, quatuor, quinque, sex etc. ut nihil ex ipsis fieri possit novi.

Possunt duae esse diversae series continue sibi inexistentium, habentes idem primum et ultimum, ut tamen quidam termini sibi non inexistent ex diversis seriebus, v.g. 10.11⎧  502  1.22  ⎨31.32  402 40 ubi binae series sunt 10.11.21.22.40, et 10.11.31.32.40, nec ideo necesse est 31 vel 32, ipsi 21 vel 22 inesse vel contra. Posset etiam determinari quot modis verbi gratia quinque res formari possint, ut nullum, vel unum tantum, vel tres tantum etc. novos terminos componere possint. Et hoc ostendi posset in quovis numero rerum si tanti esset.

Opus est definitione de subalternantibus et disparatis. Item de B [bricht ab]