Latin [April bis Oktober 1686 (?)]
Componendo nihil novi fieri potest
1) Ex duobus A, B, si contineantur in uno ex ipsis, ita enim binio coincidit cum
continente. Nam ternio aut quaternio inutilis, quia repetitio est inutilis.
2) Ex tribus A, B, C, si neque binio neque ternio aliquid novi faciat, Unius rei binio, ternio etc. [coincidit uni]. Duarum rerum ternio, quaternio etc. coincidit binioni, trium quaternio, quinio etc. nil producit novi seu coincidit ternioni. nam altiores
combinationes ut semel dicam sunt inutiles. Binio nihil facit novi, si vel coincidit uni ex
ipsis eam componentibus, vel uni ex reliquis. Coincidit autem uni ex componentibus,
quando unum componentium continetur in altero. Coincidit vero uni ex reliquis, si una
binio coincidet rei tertiae. Quodsi semel contingat, ut sit A ^&.Sg B ^&.SE C tunc omnes biniones
nihil novi faciunt. Nam A ^&.Sg C ^&.SE C; et B ^&.Sg C ^&.SE C. Porro si Binio quaevis est inutilis;
etiam ternio erit inutilis, nam ternio fit ex binione, et uno, sed binio uni aequivalet, ergo
ternio fit ex uno atque uno, seu est binio, atque adeo inutilis Quorum binio quaevis est inutilis eorum et ternio quaevis est inutilis; sed non contra. . Potest quidem fieri ut binio
sit utilis licet ternio sit inutilis; sed tunc utique ex tribus propositis aliquid fieri potest
novi. Ergo ut ex tribus propositis nihil novi fieri sciamus, sufficit, ut sciamus ex binis
quibuslibet nihil novi fieri.
Et generaliter ex quotcunque rebus tum demum nihil fieri potest novi, si binio
quaeque earum nihil novi componit. Itaque ex tribus rebus nihil componi potest novi, si
binae quaeque vel habeant ut continens et contentum vel componant unum ex reliquis.
Binae autem quaeque se habebunt ut continens aut contentum, si talis ordo eorum
assignari possit, ut unum sit cui insit nullum, deinde unum cui tantum insit unum, cui
tantum duo etc. usque ad ultimum cui omnia. Quod etiam accuratius demonstrandum,
non tantum in ternis, sed et in quotcunque. Nempe sufficit demonstrari si sint diversa
quotcunque quorum duo quaelibet se habeant ut continens et contentum esse unum quod
omnia contineat, et a nullo contineatur, idque etiam posse inveniri, quod ita ostendetur,
unumquodque ingreditur aliquam binionem et quidem vel ut continens vel ut contentum.
Si sint duae res patet unam in altera contineri non contra alioqui coinciderent; si sint tres,
ex his sumantur duae quaecunque patet ex dicto unam in altera contineri, non contra, jam
tertia vel continebit continentem vel continebitur in contenta, vel continebitur in continente,
et continebit contentam. Si sint quatuor ex his sumantur tres, eaeque ordinentur ut
dictum est, jam quarta; vel continebit continentem, et habebitur ejus locus, vel continebitur
in contenta et habebitur rursus ejus locus; vel media est inter ipsas, et tunc quaeratur
ultima quae eam continet, et prima quae ea continetur, et ita haberi potest ordo, seu intra
quas collocanda sit, et generaliter datis quotcunque rebus, quarum quaelibet quamlibet
continet aut in ea continetur, si una proposita reliquas continet omnes habetur intentum,
et sequestretur ut primo. Si continetur reliquis omnibus itidem sequestretur, ut Ultima. Si
non continet reliquas omnes; saltem videndum quas contineat, aut quibus contineatur, si
aliquas continet et aliquibus continetur inter eas quas continet collocetur ut prima, inter
eas quibus continetur ut ultima; et omnes datae sunt divisae in duas classes aliis enim
continetur proposita alias continet. Quibus continetur, ex his rursus sumatur una inter
plures illas media, et ita porro, et ita habebitur tandem ordo. Sed hoc distinctius alias
exponenda.
Nunc transeamus ad res quatuor, nempe
Ex quatuor rebus A, B, C, D nihil novi componi potest, si binae quaevis earum nihil
novi componunt. Hoc autem fit primum si binae quaevis se habeant ut continens et
contentum; deinde etiam si A ^&.Sg B ^&.SE C et C inest D. Ita enim A ^&.Sg B ^&.SE C et A ^&.Sg C ^&.SE C et
A ^&.Sg D ^&.SE D et B ^&.Sg C ^&.SE C et B ^&.Sg D ^&.SE D et C ^&.Sg D ^&.SE D. At vero si A inest B et A ^&.Sg C ^&.SE D
res non succedit, potest enim novi aliquid componi, scilicet B ^&.Sg C, quod non necesse est
esse A vel B vel C vel D.
Ex quinque rebus A, B, C, D, E nihil novi componitur, primum si binae quaevis se
habeant, ut continens et contentum, deinde si sit A ^&.Sg B ^&.SE C et C insit D, et D insit E,
denique si sit A ^&.Sg B ^&.SE C et A in D et B ^&.Sg D ^&.SE E, sed si sit A ^&.Sg B ^&.SE C et A ^&.Sg D ^&.SE E nova
habebuntur B ^&.Sg D et C ^&.Sg E. Item si sit A in B et A ^&.Sg C ^&.SE D et B ^&.Sg C ^&.SE E nova
habebuntur B ^&.Sg D et D ^&.Sg E.
Si sint sex res A, B, C, D, E, F, et duo quaelibet se habeant ut continens et contentum
item A ^&.Sg B ^&.SE C, et ex C, D, E, F duo quaelibet se habeant ut continens et contentum,
impossibile est aliquid fieri novum, sed si sit A ^&.Sg B ^&.SE C, et sit C in D, et C in E, et C in F,
sitque D ^&.Sg E ^&.SE F rursus impossibile est aliquid novum. Ergo inductione hactenus
observata non procedunt.
Generaliter ex quotcunque rebus nihil novi componitur, si binio quaevis alicui rerum
coincidat. Quod fit si ordine continuo una res alteri, et haec rursus alteri insit. Oblatis
aliquot rebus *A, B, C, D, E, F * ut investigemus an ex iis componi possit aliquid novi
quaeramus primum eam A quae nullam aliam continet quae semper inveniri potest;
deinde ex reliquis quaeramus rursus eam B quae nullam aliam ex his reliquis continet.
Hae duae A, B compositae aut novum A ^&.Sg B componunt, et habetur intentum, aut non
componunt, sed unum ex reliquis, seu A ^&.Sg B ^&.SE C. Porro reliqua illa C, D, E, F, ex quibus
id quod componitur ex duobus illis nempe C unum est, vel bina quaelibet se habent inter
se ut continens et contentum, quo casu impossibile est ex omnibus novum componi; vel
non habent: si non habent, tunc videndum an id quod ex duobus illis primo assumtis
componitur, nempe C insit cuilibet eorum an non. Si inest cuilibet eorum, seu C inest
ipsis D, E, F tunc etiam A itemque B, ipsis D, E, F inest; sequestratis ergo ipsis, A, B, C.
Si reliqua D, E, F nil componunt novi, etiam omnia A, B, C, D, E, F nil novi componunt,
nam biniones caeterorum cum A, B, C sunt inutiles. Ita rem reduximus ad pauciores
terminos, qui similiter tractandi. Sin C non insit singulis D, E, F sumantur omnia illa
quibus non inest, D, E, F etc., itemque omnia illa quibus inest, L, M, N. Quodsi ex
omnibus illis quibus inest inter se non potest componi novum (quod eadem quam nunc
describimus Methodo discetur), videamus an C additum cuivis eorum cui non [in]est,
componat quidvis eorum cui inest, D ^&.Sg C ^&.SE L et E ^&.Sg C ^&.SE M etc., nam quia D, E, F, etc.
sunt diversa, et C nulli eorum inest, cum quolibet eorum diversa componit (~~theorema
demonstrandum*), unde sequitur si minor sit numerus eorum quibus inest C quam*
*eorum quibus non [in]est, necessario aliquid novi componi. Idque generaliter propositis
quotcunque rebus dici potest una earum sumta et cum caeteris comparata. Quod si igitur
C additum cuivis eorum cui non inest nil componit novum, sequestrato C, et iis quibus*
*inest, tantum superest, ut dispiciamus an ipsa quibus non inest aliquid novi componant. Et
ut repetamus cum aliqua variatione. Sint quotcunque A, B, C, D etc. Ex his sumamus*
unum A, cui nullum aliud ex ipsis inest; et videamus an adhuc sint plura quibus nullum
aliud ex caeteris omnibus inest. Haec plura sint A, B, C etc. quibus nihil aliud ut dixi ex
propositis inest, et sit A ^&.Sg B ^&.SE H, A ^&.Sg C ^&.SE I, B ^&.Sg C ^&.SE K et H, I, K etc. debent esse ex
*datis. Jam vero compositum ex duabus binionibus trium nil facit novi praeter ipsas
biniones aut ternionem, praeterea sint Terniones Am Rande untereinander: A B C, A B D, A C D, B C D ipsarum A, B, C etc. et quaterniones et*
*ita porro, ubi rursus duae terniones nil componunt novi, nisi forte quaternionem, et ita
porro, ita ut si ipsas combinationes percenseamus sint combinationes combinationum
inutiles. Hinc patet quotnam ex diversis rebus quarum una alteri non inest, quas vocabo
disparatas, resultare possint nova, quot scilicet earum institui possunt combinationes sine
repetitione. Quod si jam istae combinationes resultantes sint inter datas res, nihil inde fit
novi. Itaque ecce regulam: si proposita sint data cum omnibus suis combinationibus nihil
inde fieri potest novi. Si data sint aliquot quorum quodlibet respectu cujuslibet se habet ut
continens et contentum etiam nihil inde fieri potest novi. Itaque ut rem generaliter
complectar, si data sint plura a reliquis datis disparata, A, B, C etc.; et series continuo*
inexistentium sibi, F, G, H, quorum infimus nullum alium includat, et alia talis series M,
N, P; ex omnibus terminis istis fiant omnes combinationes possibiles exceptis illis, in
*quibus conjunguntur termini ejusdem seriei continue inexistentium, ibi perinde est ac si is
qui caeteros continet solus poneretur. Quodsi aliquae harum combinationum non sint jam
inter Terminos datos potest ex datis fieri aliquid novi.
Nota, possunt diversae series esse continue inexistentium quarum communes sunt
inferiores, ut ^&.bb 0 1 1^&.b*
502 1
304 1
2
0
502 3
2
4
ubi series continue inexistentium, sic ut prius insit posteriori, fiant plures, 10.21.31, et
10.21.32 et 10.22.33 et 10.22.34. Sed tamen haec considerando ut totidem series continue
inexistentium, habent locum quae diximus. Atque ita patet modus generalis ex datis
formandi quae inde formari possunt, et quidem nova quando id fieri potest; si modo
constet quodnam ex datis alterum contineat, aut ex aliis datis componatur. Ex his enumeratione
dignum quomodo se habere debeant res, duae, tres, quatuor, quinque, sex etc.
ut nihil ex ipsis fieri possit novi.
Possunt duae esse diversae series continue sibi inexistentium, habentes idem primum
et ultimum, ut tamen quidam termini sibi non inexistent ex diversis seriebus,
v.g. 10.11^&.v9 502 1.22 ^&.v- 31.32 402 40
ubi binae series sunt 10.11.21.22.40, et 10.11.31.32.40, nec ideo necesse est 31 vel 32,
ipsi 21 vel 22 inesse vel contra. Posset etiam determinari quot modis verbi gratia quinque
res formari possint, ut nullum, vel unum tantum, vel tres tantum etc. novos terminos
componere possint. Et hoc ostendi posset in quovis numero rerum si tanti esset.
Opus est definitione de subalternantibus et disparatis. Item de B [bricht ab]