Specimen calculi coincidentium

 [April bis Oktober 1686 (?)]

1) Eadem vel Coincidentia sunt quae sibi ubique substitui possunt salva veritate. Diversa quae non possunt. Am Rande: Hinc etiam demonstrari potest, si duo coincidentia reperiantur in aliqua propositione, posse loca eorum permutari, quanquam et possit unum eorum per alterum vel omnino, vel quantum lubet, tolli.

2) A ∞ B significat A et B esse eadem.

3) A non ∞ B significat A et B esse diversa.

4) Si A non ∞ B, etiam B non ∞ A.

5) Si A ∞ B et B ∞ C, etiam A ∞ C, per 1, facta substitutione.

6) Si A ∞ B et B non ∞ C, etiam A non ∞ C, per 5. Hinc per 6 et 4 si A ∞ B et B non ∞ C, erit C non ∞ [A].

7, 8) A significat determinatum, Y vel Z, vel alia litera posterior significat indeterminatum, etiam Nihil, si conditiones appositae non obstent.

9, 10) A + Y ∞ C significat A inesse C, seu C continere A.

11) A + A ∞ A significat A esse aliquod determinatum seu unicum, seu idem sibi ipsi additum nihil novum facit. Hinc ut obiter dicam, quia aequalium eadem magnitudo est, ideo si aequalia sibi addantur non dicendum est eorum magnitudines addi, sed ipsas res, fit enim nova magnitudo. Hinc sequitur nec magnitudinem esse Numerum, nec magnitudinem aut rationem unam alterius esse partem, nec posse sibi addi. Nec numerus cum aequali Numero idem est, solent tamen saepe pro ipsis rebus vel saltem numeris ratio aut magnitudo sumi. At Y + Y non ∞ Y significat Y plura esse Y.

12, 13) Hinc si A significet determinatum et Y indeterminatum, axiomata sunt A + A ∞ A et Y + Y non ∞ Y.

14) Duo Y diversa ita soleo exprimere Y et (Y). Si vero tractemus Y et adhuc Y, seu Y et (Y), reperiamusque Y + (Y) ∞ Y, erit Y ∞ (Y). Si vero reperiamus Y + (Y) non ∞ Y, erit Y non ∞ (Y).

15) Et generaliter si A + B ∞ A et B sit aliquid erit B in A.

16) Item si A + B ∞ A et B non in A, B erit Nihil.

17) Non Nihil est aliquid, et non aliquid est Nihil.

18) Si A non ∞ A erit A impossibile. Unde et si A ∞ B et A ∞ non B, tunc A erit impossibile per 18 et 6.

19) Hinc quod neque Nihil est, neque aliquid, id impossibile est per 17 et 18.

Notandum: omnem Terminum ut A vel B, intelligi aliquid, et possibile, nisi contrarium admoneatur aut probetur.

20) Si A est Nihil et B est Nihil, erit A ∞ B, seu duo Nihila coincidunt.

21) Si A est Nihil et B est Nihil, erit A + B ∞ A per [20] et 11, seu nihil additum nihilo facit Nihil.

22) Si A + A non ∞ A erit A impossibile, seu impossibile est quod additum sibi ipsi facit novum. Nam pono A esse determinatum seu unum certum. Unde per 11, A + A ∞ A. Jam A + A non ∞ A ex hyp. Ergo per 6, A non ∞ A. Notandum A ne quidem hoc casu fore Nihil, nam et si nihilo apponatur nihilum coincidunt, quia per 20, Nihilum Nihilo coincidit.

23) Si A ∞ B etiam A + C ∞ B + C. Nam si in A + C pro A substituas B, ex defin. Eorundem, fit B + C.

24) Continens [continentis] est continens [contenti], seu quod inest inexistenti, inest ei cui inexistit; seu contentum contenti est contentum continentis, seu si A est in B, et B est in C, etiam A est in C. Nam A + Y ∞ B ex hyp. per 9, et similiter B + Z ∞ C. Ergo (per substit.) A + Y + Z ∞ C. Sit Y + Z ∞ V (per 25). Erit A + V ∞ C. Ergo A est in C per 9. Quod Erat Dem.

25) Postulati instar est, ut liceat pro pluribus quotcunque, ponere unum aliquod ipsis collectis coincidens. Hoc tamen ostendi potest, ex alio postulato clariore, quod pro pluribus ut A et B possit poni unum C, ita ut sit A + B ∞ C. Si scilicet nihil in uno reperiatur, quod sit in alio, verbi gratia si post ea omnia sumta quae sunt in A sumamus ea omnia quae sunt in B, et ita omnia simul collecta dicamus constituere C, eorum aggregatum in quo unumquodque eorum insit. Sed hinc tamen sequitur idem fieri posse etiamsi B et A habeant commune aliquid quod insit utrique A et B. Ponamus enim id esse D, et A esse ∞ D + E, et B esse ∞ D + F, ita ut D, E, F nullum habeant commune contentum, dico fieri posse A + B ∞ C. Nam fiet D + E + D + F ∞ C. Jam D + D ∞ D. Ergo fiet D + E + F ∞ C, quod fieri posse diximus, quia D et E et F nil habent commune contentum.

26) Hic obiter notari potest discrimen inter viam et lineam; si punctum mobile tendat per aliquam lineam a puncto A ad punctum B, et per eandem redeat a puncto B ad punctum A, linea quidem percursa non erit major, quam si non rediisset, nihil enim novum est in regressu quod non fuerit in itione, et idem sibi ipsi additum non facit novum, per 11, at via percursa erit duplo longior; nisi quis malit viam pro ipsa linea sumere.

27) Quoties literam aliquam novam assumimus, tunc possumus quodvis, quod non est impossibile de ipsa asserere. Sed cum ea litera jam ante adhibita fuit in eodem calculo vel ratiocinio, non licet, nisi ostendamus ea quae nunc de ea asserimus, cum prioribus esse compatibilia, quo ostenso id asserere de ea licet. Haec observatio etiam instar postulati esse potest, et pendet ex natura nostrae characteristicae. V.g. si habuerimus D + C ∞ A et D non ∞ C, Am Rande gestr.: incommunicantia et tam D quam [C] sint aliquid et possibile; non licet postea ponere D ∞ A, sed nihil prohibet ponere E ∞ A. Item si sit D + C ∞ A et F + G ∞ H, nil prohibet novam facere positionem in iisdem literis modo priori compatibilem; ut F ∞ G + C. At si scripsissemus F ∞ H + C, id foret priori incompatibile. Sin novam assumsissemus literam in nova assertione, nihil esset timendum.

28) Nihilum sive ponatur sive non, nihil refert. seu A + Nih. ∞ A.

29) Am Rande gestr.: incommunicantia Signo + hactenus sumus usi ad designandum unum collectivum fieri ex pluribus; in quo plura insint, et quod ipsis simul sumtis coincidat. Nunc signo ─ utemur ad designandum, aliqua ab alio esse detrahenda, ut contrarium fiat signi +. Itaque si A + B ∞ C, erit A ∞ C ─ B, et A dicitur Residuum. Sed opus est A et B nihil habere commune. Nam exempli causa A + A ∞ A, ergo fieret A ∞ A ─ A. Jam (per 30) A ─ A ∞ Nihilo, ergo fieret A ∞ Nihilo contra Hyp.

30) C ─ C ∞ Nihilo. Nam C ∞ C + Nih. per 28. Ergo C ─ C ∞ Nih. per [29].

31) Si ab aliquo [B] detrahi jubeatur [C] quod ipsi non inest, tunc residuum A seu B ─ C erit res semiprivativa, et si apponatur alicui D, tunc D + A ∞ E significat D quidem et B esse ponenda, sed tamen a D prius esse removendum C, si quidem ei inest. Quod si insit, seu si D ∞ C + F fiet E ∞ C + F + B ─ C. Hoc est (per 30) E ∞ F + B. Unde E fit res positiva, posito F et B esse positivas. Sed si C non insit ipsi D, manet etiam E res semiprivativa.

32) Omnis positio quae inest in E sit G, et omnis privatio quae inest in E sit C, sic ut sit E ∞ G ─ C. Jam omne quod commune est ipsi G et C sit H, et sit G ∞ H + L, et C ∞ H + M, fiet E ∞ H + L ─ H ─ M seu (per 30) E ∞ L ─ M et L atque M nihil amplius habebunt commune, quod si jam L et M (incommunicantia) ambo sint aliquid positivum, erit E res semiprivativa; sin sit M ∞ Nih. erit E ∞ L seu E erit res positiva, si scilicet id omne H quod inest toti privationi C, insit etiam positioni G; denique sin sit L ∞ Nih. erit E ∞ ─ M seu E erit res privativa, si nempe omne H quod est in tota positione G insit etiam privationi C.

33) Hic cuicunque apponi potest privatio cujuscunque, est instar postulati, sit A, et B, scribi potest A ─ B.

34) Si A + B ∞ D + C et A ∞ D erit B ∞ C. Seu quibus apponendo coincidentia fiunt coincidentia, ea ipsa sunt coincidentia. Am Rande: Imo non sequitur nisi in incommunicantibus. Nam scribatur A + B ─ A (per 33) erit B ∞ A + B ─ D (per 30). Ergo (pro A + B substituendo coincidens D + C) fiet B ∞ [D] + C ─ D id est C (per 30). Ergo B ∞ C. Quod erat dem.

35) Si a coincidentibus auferas coincidentia fiunt coincidentia. Si [A ∞ D et] B ∞ C erit A ─ B ∞ D ─ C. Nam si ad A ─ B et D ─ C addas coincidentia B et C, fiunt A et D coincidentia. Ergo A ─ B ∞ D ─ C, per 34. Seu A ─ B + B ∞ D ─ C + C (∞ D ∞ A) et B ∞ C. Ergo per 34, A ─ B ∞ D ─ C.

36) Insunt in aliquo non tantum partes sed et alia, ut circulo inest non tantum quadratum inscriptum, sed et latus quadrati inscripti. Quadratum quidem est pars ejus, sed latus quadrati non est pars ejus. Sed pars ab alio inexistente non potest discerni, nisi accedente consideratione similis vel congrui, de qua suo loco.

37) Speciatim consideranda sunt contenta ejusdem incommunicantia inter se. Si sit L in A, et M in B, atque inde sequitur L non ∞ M, dicentur A et [B] incommunicantia.

38) Cum aliquid dicitur coincidere pluribus, saepius incommunicantia intelligere soleo. Seu contenta ejusdem quae continens constituunt, intelligi solent incommunicantia.

39) Si A et B incommunicantia et A + B ∞ C, non erit A ∞ C. Nam alioqui erit A + B ∞ A. Ergo (per 15) erit B in A, contra Hypoth. aut B erit Nihil, quod etiam est contra Hypothesin. Communi sermone, si contenta incommunicantia simul coincidant continenti, non potest unum eorum coincidere continenti. Darüber am Rande: Si A et B nihil habent commune, itemque L et M, et A non sit ∞ L, nec B erit M. Si L et M habent aliquid commune et A + B sit ∞ L + M, poterit esse A ∞ L, licet B non sit ∞ M, ut si A + B ∞ A + B + A, quod fiet si L sit A et M sit A + B. Si A et B incommunicantia item L et M, et nullum horum coincidat ulli illorum, non potest simul utrumque utrique inesse, sed si A inest L, non erit B in M.

40) Si A + B + C ∞ L singula contenta, ut A vel B vel C, voco contenta constituentia, ipsum autem L constitutum.

41) Darunter am Rande: Coincidentia assignare talia Efficere ut ab ipsis detrahendo eadem, residua non coincidant. G + M +M + H ∞G + M + H901190119011ABA Si M est in C et N est in C erit M + N in C, seu cui singula insunt etiam ex ipsis constitutum inest. Nam quia M est in C, ergo M + R ∞ C. Similiter N + S ∞ C. Ergo M + R + N + S ∞ C + C. Ergo (per 11) M + R + N + S ∞ C. Ergo M + N in C. Quod erat dem.

42) Si M est in A, et N est in B erit M + N in A + B. Seu constitutum ex contentis inest constituto ex continentibus. Hoc ita demonstro: M est in A (ex hyp.). Ergo in A + B (per 24). Similiter N est in B (ex hyp.). Ergo N est in A + B (per 24). Jam si M est in A + B et N est in A + B, erit (per 41) M + N in A + B. Quod erat dem. Am Rande: Si A sit in B, et B sit in A, tunc A ∞ B. Nam A ∞ B + L et B ∞ A + M. Ergo A ∞ B + A + M.

43) Si L est in A + B et L non est in A, nec in B, poterit assumi L ∞ M + N, sic ut sit M in A et N in B. Vel familiari sermone, si quid sit in constituto, nec sit in uno constituentium, erit partim in uno partim in alio. Hoc ita probo, quia alioqui etiam si quis cognosceret omnia quae sunt in L, non posset ostendere L esse in A + B, cum tamen omnis veritas ex cognitis rebus ostendi possit. Sed quia haec ratiocinatio abest a rigore demonstrationis, possemus hanc propositionem assumere instar axiomatis, sed praestat tamen quaerere demonstrationem, quia huc usque omnia demonstravimus. Sed ad hanc rem novis opus est considerationibus quas nunc exponemus.

44) Inexistens ultimum voco quod ita inest, ut nihil ipsi amplius insit, seu si L sit inexistens ultimum, et assumatur A + B ∞ L, erit A ∞ B ∞ L. Tale est punctum in spatio, instans in tempore.