LEIBNIZ AN MICHEL ANGELO FARDELLA

Extrait de ma lettre à Monsieur l'Abbé Fardella 1 octobr. 1706

Le nom de Calcul integral ne convient pas icy où quelques uns l'appliquent, pour l'opposer à celuy des differences. Pour moy j'appelle plustost Calcul integral celuy qui resout les problemes Numeriques (comme ceux de Diophante) en nombres entiers. Pour vous faire mieux comprendre l'Analogie des differences et des sommes prenés une series de Nombres telle qu'il vous plaira, par exemple $A\frac{1}{1}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{6}+$ $\frac{1}{7}+$ $\frac{1}{8}+$ $\frac{1}{9}etc.$

et prenes en les differences $B\frac{1}{1\cdot 2}$ $\frac{1}{2\cdot 3}$ $\frac{1}{3\cdot 4}$ $\frac{1}{4\cdot 5}$ $\frac{1}{5\cdot 6}$ $\frac{1}{6\cdot 7}$ $\frac{1}{7\cdot 8}$ $\frac{1}{8\cdot 9}etc.$

ou bien $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{20}$ $\frac{1}{30}$ $\frac{1}{42}$ $\frac{1}{56}$ $\frac{1}{72}etc.$

c'est à dire la moitie de $\frac{1}{1}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{10}$ $\frac{1}{15}$ $\frac{1}{21}$ $\frac{1}{28}$ $\frac{1}{36}etc.$ qui sont les reciproques des Triangulaires: je dis que la somme des differences B, d'une series A est la difference entre le premier et le dernier Terme de la Series A, par exemple $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}$ est la difference entre $\frac{1}{1}$ et $\frac{1}{5},$ ou bien $\frac{1}{1}-\frac{1}{5}$ et de meme $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}$ est = $\frac{1}{1}-\frac{1}{9}.$ Mais continuant les differences à l'infini, quand le dernier Terme de la Series A est egal à rien, on peut dire que la Series A est celle des sommes, comme la Series B est celle des differences[.] Car 1 est = $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+$ etc. et $\frac{1}{2}$ est = $\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+$ etc. et $\frac{1}{3}$ est = $\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$ + etc. et ainsi à l'infini. Cette consideration a esté la clef de tout mon Calcul, lorsque je l'ay transferée des nombres aux Lignes, où les differences sont infinitesimales, et respondent aux Tangentes comme les sommes respondent aux quadratures. Il ne semble pas que les gens ayent assez compris l'origine de mon invention. Car ny Monsieur le Marquis de l'Hospital ny même Messieurs Bernoulli ne paroissent pas avoir pris garde à ce que je viens de dire. Cependant cette seule observation suffit à aller aisement bien loin, et à decouvrir d'abord une infinité de belles verités, dont un autre qui ne fait pas nostre Methode aura de la peine à decouvrir la raison. Car on n'a qu'à prendre une Series reglée en Nombres telle qu'il vous plaira selon ce que je viens de faire; et en tirer les differences qui donneront une autre Series, dont on pourra tousjours trouver la somme soit que les Termes soyent finis ou infinis en multitude. Et de la meme maniere une Figure Courbe estant donné, on peut d'abord en differentiant la premiere en tirer une autre dont on a la quadrature par le moyen de la premiere; et cette seconde se peut construire par les Tangentes de la premiere; d'où il arrive que les sommes respondent aux Quadratures, et que les Tangentes respondent aux differences.