LEIBNIZ AN MICHEL ANGELO FARDELLA

[L]

Monsieur

Vous aurés receu plusieurs de mes lettres par des voyes differentes; car vostre silence m'avoit mis en peine. Vous ferés bien de faire toutes choses de bonne grace. Je vous prie d'écrire vos lettres d'une telle maniere, que si par hazard elle[s] tomboient en d'autres mains, elles ne puissent causer aucun mal. Vous trouverés que je le fais dans les miennes.

Je vous supplie aussi de ne pas oublier l'Ongarello, et les Diplomes.

J'espere qu'on sera content de vostre dessein. Sat cito si sat, bene. Je n'ay pas encor eu occasion de m'en informer. Mais je m'imagine, qu'on sera de ce sentiment.

Il n'est pas necessaire de songer à des harangues ou eloges. Res ipsa docebit in tempore et loco.

Le plus grand soin doit estre d'eviter tout ce qui pourroit donner des mechantes impressions capables de tout renverser chez vous.

Afin que les lettres ne soyent point vuides et ne roulent point sur une seule chose, je ne sçay si vous avés receu ce que je Vous ay mandé il y a long temps suivant vostre souhait, touchant la resolution de certaines equations r = x r = x³ + 3px r = x⁵ + 5px³ + 5p²x r = x⁷ + 7px⁵ + 14p²x³ + 7p³x r = x⁹ + 9px⁷ + 27p²x⁵ + 30p³x³ + 9p⁴x etc. etc. etc. etc.

Les racines de toutes ces equations se peuvent exprimer par cette formule generale

x = $\frac{r}{2}+\sqrt{\frac{rr}{4}+p^5}+$ $\frac{r}{2}-\sqrt{\frac{rr}{4}+p^5}$ n signifiera 3, 5, 7, etc. selon que l'equation est du 3^me, 5^me, 7^me etc. degré.

Ces nombres naissent par addition

1 3 5 7

1 4 9 16

1 5 14 30

1 6 20 50

C'est le chemin pour parvenir à la resolution generale des Equations, la regle de Cardan mentionnée par Descartes en est un exemple.

Si vous avés envie de mediter là dessus, je vous en communique l'origines et comment on doit faire des Tables pour passer plus avant. Ces Tables naissent des combinaisons et donnent des belles proprietés.

Der folgende Teil wurde in der Abfertigung wohl durch den im Auszug (l) erhaltenen Text ersetzt.

En voicy le commencement.

Soit x = a + b + c etc. C'est à dire a, ou a + b, ou a + b + c, ou a + b + c + d, et ita porro ou en abregé x = a̤.

Soit y = ab, ou ab + ac + bc, ou ab + ac + ad + bc + bd + cd. Et ita porro, ou en abregé y = ạḅ.

Soit z = abc, ou abc + abd [+ acd] + bcd, ou abc + abd + abe + acd + ace + ade + bcd + bce + bde + cde. Et ita porro, ou en abregé z = ab̤c seu omnes terniones.

De même b = aḅc̣d seu omnes quaterniones, et ita porro. Sic ạạ significat aa + bb etc. seu omnia quadrata, et a̤³ omnes cubos; et a^#̤'2b significat a²b + a²c + ab² + ac² + b²c + bc².

His positis id ago ut alias omnes formas per solas x, y, z, b, g etc. seu per solas combinationes exprimam. Ita fit a̤ = x ạạ = x² ─ 2y a̤³ = x³ ─ 3xy + 3z a̤⁴ = x⁴ - 4x²y + 4xz + 2yy ─ 4**b a̤⁵ = x⁵ ─ 5x³y + 5x²z + 5xy² ─ 5x**b ─ 5yz + 5**g a̤⁶ = x⁶ ─ 6x⁴y + 6x³z + 9x²y² ─ *6x²b* ─ 12xyz + 6[x]g ─ 2y³ + *6yb* + 3z² ─ 6**d Hanc tabulam vellem videre continuatam usque ad a̤²⁰ = x²⁰ ─ 20x¹⁸ y etc.

Tabula prior aequationum est tantum particula inde decerpta. Majoris intelligentiae causa ostendam quomodo sit: a̤³ = x³ ─ 3xy + 3z nempe explicando ^&!d+4 a³ + b³ + c³ + (etc.) = 3 ^&!k0 ^&!=(v6,v7,2) ^@+ a + b + c + etc.   - 3  a + b + c + etc.   ab + ac + etc.  ^&!d+2 + 3  abc + etc.  ut experiunti patebit, sufficit autem adhiberi literas tres a, b, c, quia dimensio ipsius a³ non assurgit ultra cubum.

Haec ideo ascribo, quod video Te mecum optare, ut Algebra vel Logistica hactenus male tradita theorematibus illustretur; qualium seriem sane pulcherrimam, et miri ad compendia usus adhibet haec tabula. Et video ubique elegantes servari leges in progrediendo verb. gr. 2y. 3xy. 4x²y. 5x³y. etc. 3z. 4xz. 5x²z. etc. 2**yy. 5xy². 9x²y². 14x³y². 20x⁴y². etc.

Das ursprüngliche Briefende hat Leibniz gestrichen und durch die folgende Abschlußformel ersetzt:

Calculi ita feci initium pro x² sufficit a et b. Ergo xx = a²b² + 2ab. Ergo a̤a = xx - 2y. Pro x³ oportet adhibere x = a + b + c. Ergo x³ = a̤³ + 3a^#̤'2b + 6abc seu a̤³ + 3a^#̤'2b + 6z. jam a^#̤'2b =   a²b  + ab²  + a²c + ac² + b²c + bc²   ab  │ a + ac  │ a + bc  │ b  + abc  + acb  + bca  =  │ b  │ c  │ c  - abc  - acb  - bca    │ c  │ b  │ a - 3 abc Seu a^#̤'2b = xy - 3z jam x³ = a³ + 3a^#̤'2b + 6z. Ergo a̤³ = x³ - 3xy + 3z

Vale et me ama ac subinde tuis meditationibus « - » «deditissimus» G. L. L.

Je suis avec passion

Monsieur vostre tres humble et tres obeissant serviteur L.

[l] Missum ad R.P. Fardellam a̤ id est a + b + c + etc.  ạḅ id est ab + ac + etc. omnes uniones.   omnes biniones. ab̤c id est abc + [abd] + etc.  ạạ id est aa + bb etc. omnes terniones.   omnia quadrata. a̤³ id est a³ + b³ etc.  a^#̤'2b id est a²b + a²c +ab² etc. omnes cubi.   Aggregatum scilicet omnium hujusmodi.

Hinc si sint literae duae, tunc a^#̤'2b significat a²b + ab², sin sint literae tres tunc a^#̤'2b erit a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc². Si sint literae quatuor fiet a^#̤'2b = ­a²b + ab² + a²c + ac² + a²d + ad² + b²c + bc² + b²d + bd² + c²d + cd²; et ita porro.

Per compendium sit, a̤ = x ab̤ = y ab̤c = z abc̤d = b abc̤de = g, et ita porro, seu summa simplorum sive unionum sit x, binionum y, ternionum z, quaternionum b, quinionum g, senionum d etc.

Hinc jam Theoremata. a̤ = x a̤² = x² ─ 2y a̤³ = x³ ─ 3xy + 3z a̤⁴ = x⁴ ─ 4x²y + 4xz + 2y² ─ 4**b a̤⁵ = x⁵ ─ 5x³y + 5x²z + 5xy² ─ 5x**b ─ 5yz + 5**g a̤⁶ = x⁶ ─ 6x⁴y + 6x³z + 9x²y² ─ *6x²b* - 12xyz + *6xg* ─ 2y³ [+ 6y**b] + 3z² ─ 6**d etc. etc. etc. etc.

Haec Tabula Theorematum pulcherrimas ubique habet progressiones et continuari meretur, quam in rem compendia egregia inter operandum nascuntur. Utilissimum autem est omnes formas exprimi per solas combinationes, seu per solas x, y, z, b etc. sic a^#̤'2b = xy ─ 3z. Itaque licet centum essent literae, a, b, c, d, e, etc. nihilominus omnia earum producta habentia hanc formam a²b simul sumta aequabuntur facto ex summa singularum, in summam binionum ducta (xy) a quo detractum sit triplum summae ternionum (3z). Usus sunt innumeri in toto calculo. Ut autem appareat quomodo haec Tabula ope calculi obtineri possit, initium dabo. Pulchra autem inter progrediendum operandi compendia nascuntur: pro x² adhiberi sufficit literas 2 pro x³ literas 3 et ita porro. Quod enim sic invenitur sufficit pro literis quotcunque. x² = a² + 2ab + bb = ạạ + 2y Ergo fit a̤² = x² - 2y <+4> x³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 3b²c + 6abc + 3ac² + 3bc² «+ c³» seu x³ = a̤³ + 3a^#̤'2b + 6z. Ergo debet inveniri a^#̤'2b, <+4> ^&!(^#g303)   a^#̤'2b = ab in  a + ac in  a + bc in  b. Nam ab in  a est a²b + ab² et ita de caeteris. a^#̤'2b + 3z    b  c  c  b   ^#1+3abc^#1- ^#4+=^#4- ^#1+ab in c^#1- ^#4++^#4- ^#1+ac in b^#1- ^#4++^#4- ^#1+bc in a^#1- <+4>     a^#̤'2b ^&!(^#g202)  

   = ab in x + ac in x + bc in x =  ab in x = xy    + 3z  ac    ^#1+  bc ^#1-   Ergo   a^#̤'2b + 3z = xy seu a^#̤'2b = xy ─ 3z Quo valore ipsius a^#̤'2b substituto in aeq. x³ = a̤³ + 3a^#̤'2b + 6z fiet x³ = a̤³ + 3xy ─ 9z + 6z hoc est demum a̤³ = x³ ─ 3xy + 3z ut in Tabula.