LEIBNIZ AN MICHEL ANGELO FARDELLA

10/20 Augusti 1691

Pl. R^de et Clarissime Domine, Amice Honoratissime.

Ternas Am Kopf der Seite von Leibniz' Hand: ad R.P. Fardellam tuas gratissimas accepi, ex quo ab itinere Mediolanensi es reversus. Ill^mo Comiti Duglasio, et ornatissimo atque eruditissimo Cuninghamio, rogo ut me data occasione commendes, et quantum benigna recordatione mei sim delectatus, obstrictusque, testeris. Quo porro ire propositum sit ipsis scire pervelim, nihilque erit gratius, quam subinde intelligere optimam eorum valetudinem ac statum florentem.

Quod commendasti, maxime mihi curae est, ut amicum, imo ut virum bonum decet. Et quanquam nondum aliquid certi resciverim, spes tamen aucta magis quam im[m]inuta est, nec omittam certius aliquid perscribere cum primum licebit. Domino Evertio rescribam, ubi nonnulla rescivero, de quibus interrogat.

Diplomatis Monasterii Carcerum negotium tuae prorsus fidei curaeque committo. Ecce quid mihi interim de ejusdem Monasterii Scriptura quadam nobis profutura suppeditarit Sertorius Orsatus in Historia di Padoa all'anno 1140: ubi his verbis conceptis utitur: Azo et Folco *Marchesi da Este, fecero una generosa donatione di beni al Monasterio de' Carceri; l'instromento della quale professa l'Ongarello d' haverlo veduto*. Hoc diploma Monasterio eidem factae donationis anno 1140 aut circiter peto tunc etiam quaeri, cum in prius illud inquiretur. Et si qua alia liber copialis Monasterii (in quo copiae diplomatum consignari solent) exhibeat, in quibus Estensium mentio, rogo ut describi cures. Pretium descriptionis aut si quid aliud expendendum erit, statim solvi curabo.

L'Ongarello (Ungarellus) quem citat Sertorius Ursatus non est editus sed Manuscriptus, et Venetiis Pataviique, aut in vicinis locis habetur apud Curiosos; Ejus si copia nobis impetrari posset, esset hoc incrementum obligationis meae.

Quod duo illa illustria problemata attinet de origine Animae et de indifferentia libertatis, videtur mihi disputationem semper in orbem redire, nisi legibus formae Logicae astringatur: pro Traduce ita videris argumentari: Quicquid est perfectissimum Dei opus, id non est sterile. Anima est talis, Ergo. Ego tam in majore quam in minore haereo. In minore quidem, quia nescio an non dentur infinitae Creaturae anima nostra perfectiores. In majore vero, quia si sterile est, quod novam substantiam non producit, omnes Creaturae sunt steriles ut jam taceam Angelos secundum Theologos esse steriles. Videris etiam ita argumentari, Si imperfecta, ut *corpora, sunt foecunda, perfectiora ut mentes, debent etiam esse foecunda, Sed verum est prius, ergo et posterius.* Concedam majorem (etsi fortasse aliqui dubitarent); sed nego minorem, seu nego verum esse prius; seu corpora esse foecunda, si scilicet foecundum dicatur, quod novam substantiam producit, Revera enim corpora generantia tantum excludunt aliquid quod jam aderat, licet sub alia configuratione.

Fateor multa a nobis admittenda esse quae imaginatione nostra non capiuntur, modo eorum veritas sit demonstrata. Fortasse tamen ita explicabis traducem, ut potius in modo loquendi quam re pugnemus.

Nondum etiam pervideo, quid Te ad tuam illam indifferentiam admittendam cogat; mihi semper visum est, nihil unquam fieri, cujus non reddi posset ratio. Quod si tibi contrarium ~~videtur, velim probes*; sin mihi assentiris, poterit mea praedeterminatio conciliari cum tua* *indifferentia. Aliud enim est rationem reddi, aliud necessitationem afferri.

Sententiam tuam de praescientia Dei valde paradoxam esse fateor, et vereor, ne tibi molestias pariat. Itaque si quid meum apud Te consilium valet, suadeo ne publices. Odiosissima enim ni fallor res est, non minus in Romana Ecclesia quam apud Protestantes. Nec puto facile repertum iri Theologum Christianum, excepto Vorstio et similibus, qui dicere audeat, Deum non praescire actiones humanas contingentes. Scio multos tam Romanae communionis quam reformatae acerrime in quosdam Scholasticos invehi, qui visi erant dicere Deum non posse cognoscere futura contingentia conditionata seu objecta scientiae vulgo mediae dictae. Quid non in eum dicerent, qui pro futuris contingentibus absolutis ipsam scientiam quam vocant visionis, Deo adimeret. Et certe si futurae actiones humanae contingentes a Deo non praevidentur, non video quomodo futurae actiones aliarum creaturarum, praesertim connexae humanis a Deo praevideantur. Et pari jure nec praeteritas sciet, adeoque plane ignorabit humana. Ego cuivis, et praesertim amico lubens sartam tectamque relinquo sentiendi libertatem, gnarus opinionem non esse in arbitrio, id tantum monere debui (pro officio amicitiae) ne quid tale temere publicetur. Plerique enim providentiam hac doctrina tolli judicabunt, Deumque introduci sua contentum idea, qualem statuit Epicurus, et fortasse Aristoteles. Quae licet sciam a tua opinione esse alienissima, cavendum tamen tibi censeo, ne in re tanta suspicionibus sinistris occasionem praebeas. Quod vero ad tuas rationes attinet, fateor nullum me ex ipsis posse elicere syllogismum, tantum enim videris pluribus verbis amplificare, quod semel dixeras, libertatem sine indifferentia et cum praescientia stare non posse. Sed vellem nosse unde judices talem ac tam independentem in nobis esse debere libertatem. In tuo est arbitrio (si a communi significatione recedere placeat) libertatem tali modo definire. Sed in arbitrio non est talem libertatem actu statuere in nobis, nisi probatio afferatur, qualem nuspiam video. Profecto praestat nos tali libertate quam Dei cura ac praeordinatione carere, quemadmodum praestat sub Monarcha esse, quam in Anarchia vivere. Si libertatem similem et in sacris exigeres, utique incideres in pelagianismum, sin in sacris ea careri potest, quidni et in profanis. Nec video quid sublata praescientia lucremur, nam cum omnis propositio aut vera sit aut falsa, nemine licet cogitante, consequens est futurorum contingentium determinatam esse veritatem, sive praesciantur sive non praesciantur. Quicquid futurum est, non minus certo futurum est; quam certo praesens est praesens. Quod si quis admittat dari propositiones intelligibiles quae nec verae sint, nec falsae, impingit in principium contradictionis, quod est principium principiorum, nec habebit quomodo eum refellat qui rem latius extendet ad omne genus propositionum. Ita tuendae cujusdam praeconceptae notionis causa, quam de humana libertate ipsi nobis sine exemplo formavimus; omnem naturam veritatis et principia scientiarum evertemus. Haec ingenue et amice monere volui, speroque candorem meum non displiciturum, qui ab affectu et maxima tui existimatione proficiscitur, cui apud alios decedere aliquid nollem. Apud me quicquid statuas decedere affectui nihil potest. Gratias ago quod mei liberalius quam pro merito meministi quod et celeberrimus Magliabeccius noster significavit.

P. S. ad R.P. Fardellam 10/20 Aug. 1691.

Multi jam anni sunt quod instrumentum Aequationum habui, sed difficillimae executionis est, si exactum aliquid quaeratur, quemadmodum difficile foret elaborare instrumentum Cartesii pro inveniendis quotcunque mediis proportionalibus. Talia sunt demonstrationi aptiora quam praxi. Cogitavi de via minus Geometrica, sed magis commoda ad usum, quam tamen nondum satis absolvi.

Quoniam aliquid circa Aequationes desideras ascribam modum quo certa quaedam series altiorum aequationum resolvitur per radices, et spes est hanc methodum prosequendo ad perfectam Analysin aequationum omnium perveniri posse, qualem scilicet patitur natura rei. Octodecim fere anni sunt quod eam inveni, et Hugenio, Tschirnhusio aliisque communicavi. Sed non vacavit talia prosequi, quanquam videam arcana magni momenti pro perfectione speciosae per subsidium artis combinatoriae in ea latere. Utor autem sectione radicis in partes. Et quidem ex sola sectione in partes duas nascuntur quae sequuntur:   sit  x = m + n   et  y = m n Series prima per solam x haec dudum nota est x  = m   + n Numeri lineae inferioris oriuntur ex additione x²  = m²   + 2mn   + n² numerorum lineae superioris quin et x³  = m³   + 3m²n   + 3mn²   + n³ numeri columnae sequentis sunt summae

*  ^&!(^#g9012) ^&!(^#g9012) ^&!(^#g9014)

  x⁴  = m⁴   + 4m³n   + 6m²n²   + 4mn³   + n⁴ numerorum columnae praecedentis. x⁵  = m⁵   + 5m⁴n   + 10m³n²   + 10m²n³   + 5mn⁴   + n⁵

*  ^&!(^#g9018)

  x⁶  = m⁶   + 6m⁵n   + 15m⁴n²   + 20m³n³   + 15m²n⁴   + 6mn⁵   + n⁶ x⁷  = m⁷   + 7m⁶n   + 21m⁵n²   + 35m⁴n³   + 35m³n⁴   + 21m²n⁵   + 7mn⁶   + n⁷ x⁸  = m⁸   + 8m⁷n   + 28m⁶n²   + 56m⁵n³   + 70m⁴n⁴   + 56m³n⁵   + 28m²n⁶   + 8mn⁷ + n⁸ Series secunda (eaque nova) per x et y

*Die in Kleindruck gesetzte erste Niederschrift der folgenden Gleichungen hat Leibniz gestrichen: m   + n   = * + x m²   + n²   = -2y* + xx m³   + n³   = * ─ 3yx* + x³ m⁴   + n⁴   = ­+2y²* ─ 4yxx* + x⁴ m⁵   + n⁵   = * + 5y²x* ─ 5yx³* + x⁵ m⁶   + n⁶   = -2y³* + 9y²x²* ─ 6yx⁴* + x⁶ m⁷   + n⁷   = * ─ 7y³x* + 14y²x³* ─ 7yx⁵ + x⁷ m⁸   + n⁸   = ­+2y⁴* ─ 16y³x²* + 20y²x⁴* ─ 8yx⁶* + x⁸ m   + n   = * + x m²   + n²   = -2y* + x² m³   + n³   = * ─ 3yx* [+] x³ m⁴   + n⁴   = ­+2y²* ─ 4yx²* + x⁴ m⁵   + n⁵   = * + 5y²x* ─ 5yx³* + x⁵ m⁶   + n⁶   = -2y³* + 9y²x²* ─ 6yx⁴* + x⁶ m⁷   + n⁷   = * ─ 7y³x* + 14y²x³* ─ 7yx⁵* + x⁷ m⁸   + n⁸   = ­+2y⁴* ─ 16y³x²* + 20y²x⁴* ─ 8yx⁶* + x⁸ Hi numeri etiam additione oriuntur

1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7

2 5 9 14 20 27

2 7 16 30 50 [77]

2 9 25 55 105 [182] Sint jam aequationes resolvendae.

^&!ox⁹  + 9px⁷  + 27p²x⁵  + 30p³x³  + 9p⁴x  = q^&!i   1x  = q Numeris coefficientibus ex   x³  + 3px  = q serie secunda sumptis   x⁵  + 5px³  + 5p²x  = q   x⁷  + * 7px⁵*  + 14p²x³  + 7p³x  = q

x⁹  + 9px⁷  + 27p²x⁵  + 30p³x³  + 9p⁴x  = q

Fiet x = $\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}qq+p^e}$ + $\frac{1}{2}q-\sqrt{\frac{1}{4}qq+p^e.}$

Ubi pro aequatione simplice x = q, e significat 1, pro aequat. gradus tertii x³ + 3px = q, e significat 3, et pro aequat. gradus 5^ti x⁵ + 5px³ + 5p²x = q, e significat 5 et generaliter e significat exponentem gradus, ita pro aequ. 3^tii gradus x³ + 3px = q ^&!d+4 fit x = $\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}qq+p^3}$ + $\frac{1}{2}q-\sqrt{\frac{1}{4}qq+p^3.}$

Quae resolutio coincidit cum regula dudum nota et ita per sectionem radicis in duas partes potest resolvi aequatio cubica generalis, nam sublato termino secundo semper comparari potest cum formula nostra x³ + 3px = q nec signa aut imaginariae impediunt expressionis generalitatem. Altiores vero aequationes quinti septimive gradus etc. per sectionem radicis in duas partes generaliter resolvi non possunt, sed tamen in casibus innumeris. Puto tamen sectione radicis in partes plures etiam absolutam altiorum aequationum resolutionem obtentum iri. Ex quibus apparet male hactenus tractari Algebram speciosam, quia non consideratur esse eam subordinatam scientiae Combinatoriae seu speciosae generali, quae tractat de formulis in universum, sine respectu ad quantitatem vel qualitatem, cujus deinde leges Algebra ad Quantitatem coarctat. Itaque pro perfectione hujus doctrinae oportet series et Theoremata condere ex Combinatoriae legibus.